Các bài toán về góc trong không gian

Các bài toán về góc trong không gian.
ThS. Trịnh Đình Hoàn – Viện Toán học
1




Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD. Hãy tính
góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN =
2a
.
Bài 2
: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD.
a. Chứng minh rằng
OA CD⊥ .
b. Gọi M là trung điểm của CD. Tính cosin góc giữa AC và BM.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD, có AB = CD = a , AC = BD = b , AD = BC = c .
a. Chứng minh rằng các đoạn nối chung điểm của hai cạnh đối diện là đoạn vuông góc
trung của hai cạnh đó, tính độ dài của chúng.
b. Tính góc hợp bởi các cạnh đối của tứ diện.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a , AD = 2a , SAB
là tam giác vuông cân tại A, M là điểm trên cạnh AD (M khác A và D). Mặt phẳng (P) qua M
song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P và Q.
a. Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông.
b. Đặt AM =
x
, với (02xa<< ). Tính diện tích của MNPQ theo
a
và
x

.



Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA =
6a
và vuông
góc với mặt phẳng (ABCD).
a. Tính góc giữa SC và (ABCD).
b. Tính tan của góc giữa SC và (SAB).
c. Tính sin của góc giữa SB và (SAC).
d. Tính sin góc giữa AC và (SBC)
Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy là tm giác đều cạnh bằng a . Biết BC
1

hợp với (ABB
1
A
1
) góc 30
0
.
a. Tính AA
1

.
b. Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến mặt phẳng (BA
1
C
1
).
c. Gọi N là trung điểm của cạnh BB
1
. Tính sin của góc giữa MN và (BA
1
C
1
).
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD la hình vuông cạnh a , SA = 2a và vuông góc
với đáy. Mặt phẳng (P) qua BC và hợp với AC một góc 30
0
, cắt SA, SD lần lượt tại M, N.
Tính diện tích thiết diện BCNM.
Bài 8
: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy. Cạnh SC
có độ dài bằng
a
, hợp với đáy góc
α
và hợp với mặt bên (SAB) góc
β
.
a. Tính SA.
b. Chứng minh rằng AB =
cos( ).cos( )a αβ αβ+−

.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông tai A, BC = a , SA = SB = SC =
3/2a .
a. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
b. Tính cosin góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC).
Bài toán 1: Góc giữa hai đường thẳng
Bài toán 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Các bài toán về góc trong không gian.
ThS. Trịnh Đình Hoàn – Viện Toán học
2
Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , tâm O. Gọi M và N lần lượt
là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 60
0
.
a. Tính MN.
b. Tính SO.
c. Tính sin góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).



Bài 11
: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a , SA vuông góc
với đáy. Mặt phẳng (SAC) hợp với mặt (SAB) một góc
α và hợp với mặt (SBC) một góc β .
Dựng các đường cao AH, AK của các tam giác SAC và SAB.
a. Chứng minh rằng
n
n
BAC , AHKαβ==.
b. Chứng minh rằng

cos
SA
cos( ( )).cos( )
a β
παβ αβ
=
−+ −
.
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Hai mặt bên SAB và SCD
vuông tại A và C, cùng hợp với đáy góc α . Biết
n
ABC ϕ= .
a. Chứng minh rằng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
b. Chứng minh (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc β thỏa mãn hệ thức
cot cot .cosβαϕ= .
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh huyền BC thuộc mặt phẳng (P). Gọi ,βγ là
góc hợp bởi hai đường thẳng AB, AC với mặt phẳng (P). Gọi
α
là góc hợp bởi (ABC) và
(P). Chứng minh rằng:
222
sin sin sinαβγ=+.
Bài 14: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB =
a
,
n
BAC α= , SA =
a và vuông góc với đáy. Gọi β là góc giữa hai mặt bên (SAC) và (SBC).
a. Chứng minh rằng:
2

1cos
tan .tan
cos
α
αβ
α
+
= .
b. ABC
+ phải thỏa mãn thêm điều kiện gì để
0
60β = .
Bài 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ,
1
AA a= . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (ABC
1
) và (BCA
1
).
Bài 16 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn
đường kính
AB 2 , SA 3aa== và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) .
a. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).

Bài 17: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân với AB = AC = a , DBC là tam
giác đều, nhị diện cạnh BC có số đo bằng 30
0
.
a. Tính AD.
b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
c. Tính tan của góc nhị diện cạnh BD.
Bài toán 3: Góc giữa hai mặt phẳng
Bài toán 3: Góc nhị diện
Các bài toán về góc trong không gian.
ThS. Trịnh Đình Hoàn – Viện Toán học
3
d. Tính tan của góc nhị diện cạnh AD.
Bài 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB = BC = a , SA =
a và vuông góc với đáy. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
a. Tính số đo của góc nhị diện (A, SC, B).
b. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC).
Bài 19: Cho hình vuông ABCD cạnh a , SA 3a= và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a. Tính số đo của góc nhị diện (S, BC, A).
b. Tính tan số đo của góc nhị diện (S, BD, A).
c. Tính số đo của nhị diện (SAB, SCD).
Bài 20: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) sao cho nhị diện cạnh AD của hình chóp S.ABCD có số đo bằng 60
0
.
Gọi K là trung điểm của cạnh AD.

a. Tính SH.
b. Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
c. Tính cosin số đo góc nhị diện (A, SD, C).
d. Tính số đo góc nhị diện (B, SC, K).
Bài 21
: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh
a
, tâm O,
3
OB
3
a
=
,
6
SO
3
a
=
và vuông góc với đáy.
a. Chứng minh tam giác ÁC vuông.
b. Chứng minh (B, SA, D) là nhị diện vuông.
c. Tính số đo của nhị diện (S, BC, A).
Bài 22: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy ABC vuông cân đỉnh A, BC = 2a . Cho

biết nhị diện (A, B
1
C
1
, B) có số đo bằng α .
a. Tính độ dài AA
1
.
b. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên B
1
C và A
1
C. Chứng minh rằng
n
AHK
là góc phẳng nhị diện (A, B
1
C, A
1
) và
n
AHK 2πα=−
.
Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a ,
AD DC a==,
SA 2a=
và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a. Tính số đo góc nhị diện (S, BC, A).
b. Tính số đo góc nhị diện (A, SB, C).
c. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).

Bài 24
: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O, 2SA a= và
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính cosin số đo nhị diện (B, SC, D).
Bài 25
: Cho Hình chữ nhật ABCD có AB = a , AD = b . Trên hai tia Ax, Cy cùng chiều và
cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy hai điểm M, N. Đặt AM =
x , CN = y .
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để nhị diện (M, BD, N) có số đo bằng 60
0
là:
22
22
22
()
3
xyab ab
xy
ab
ab
⎛⎞
+
⎟
⎜
⎟
=−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜

+
⎝⎠
+