Tuyen tap de thi toan hsg 11

Các đề thi học sinh giỏi lớp 11
Đề số 1
Câu I.
Cho phơng trình:
0
2
21
sin
21
cos =+



m
x
x
x
x
. Với m là tham số.
1) Khi m = 0, hãy tìm tất cả các nghiệm
)
2
1
;50( x
của phơng trình.
2) Xác định m để phơng trình có nghiệm
)
2
1
;
2

1
(

+
x
.
Câu II.
Biết rằng số đo ba góc trong của tam giác ABC lập thành một cấp số nhân với công bội q = 2.
Gọi (O; R) là đờng tròn ngoại tiếp và G là trọng tâm của tam giác ABC.
1) Tính độ dài đoạn OG theo R.
2) Biết R = 57, hãy tính gần đúng số đo diện tích tam giác ABC (lấy đến 5 chữ số sau dấu
phẩy).
Câu III.
Cho tam giác ABC thoả mãn:
2
34
2
sin)
2
cos
2
(cos32
+
=++
ACB
. Hãy xác định số đo các
góc của tam giác ABC.
Câu IV.
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau tại O. Gọi
111

,, CBA
thứ tự là
trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
1) Chứng minh rằng tam giác
1
A
1
B
1
C
là tam giác nhọn.
2) Biết số đo ba góc của tam giác ABC là A, B, C. Gọi

là số đo của góc nhị diện
[ ]
111
,, BOAC
; tìm

cos
theo B và C.
3) Gọi d là độ dài lớn nhất trong ba độ dài 3 cạnh OA, OB, OC và gọi h là độ dài lớn nhất
trong độ dài ba đờng cao của tam giác ABC. Chứng minh:
hdh <
3
6
.
Hết
Đề số 2
Câu I.

Giải các phơng trình sau:
1)
42sin.22sin
22
=++ xtgxxxtg
.
2)
[ ]
x
x
=+
+
13log
)13(log
4
4
.
Câu II.
Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:
1)
2
cos
2 A
cb
bc
l
a
+
=
.

2)
2
9R
lll
cba
++
.
trong đó
a
l
,
a
l
,
a
l
lần lợt là độ dài các đờng phân giác trong của các góc A, B, C ; BC = a, CA
= b, AB = c và R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu III.
Cho góc tam diện vuông Oxyz( Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc). Trên các tia Ox, Oy, Oz ta lấy
lần lợt các điểm M, N, P không trùng với O. Đặt

=== NPOMPOMPN ,,
.
Các đề thi học sinh giỏi lớp 11
1) Chứng minh tam giác MNP có 3 góc nhọn.
2) Chứng minh:

cos.coscos =
.

3) Giả sử P cố định còn M, N lần lợt di động trên Ox, Oy tơng ứng sao cho
OP = OM + ON. Chứng minh rằng:
2


=++
.
Câu IV.
Chứng minh rằng:
64
7
7
3
sin
7
2
sin
7
sin
222
=

.
Hết
Đề số 3
Câu I.
Cho hàm số:
2cos2cossin1)(
244
++++= xxxxf
.
Giải các phơng trình sau:
1)
22)( =xf
.
2)
51)( +=xf
.
Câu II.
Các góc A, B, C của một tam giác thoả mãn:

+
=++

2
23
sinsinsin
120
0
CBA
A
.
Tìm các góc của tam giác đó.
Câu III.
Cho tam giác ABC vuông góc tại A. Trên đờng thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B ta
lấy một điểm S sao cho SB = BA = AC = l. (P) là mặt phẳng song song với các cạnh SB và AC
cắt các cạnh SA, SC, BC, BA lần lợt tại D, E, F, H.
1) Chứng minh rằng DEFH là hình chữ nhật.
2) Xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho diện tích hình chữ nhật đó lớn nhất.
Câu IV.
a, b, c là các số thực dơng. Chứng minh bất đẳng thức:
))((4)(
2222222222222
accbbacabcabbccbaccaabba +++++++++
.
Hết
Đề số 4
Câu I.

Giải các phơng trình:
1)
01cos2cos
22
=+++ xxtgx
.
2)
xxxx
2
sinsin2cos1cos =+
.
Câu II.
Tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn có bán kính bằng 1. Chứng minh điều kiện cần và đủ để
tam giác ABC vuông là:



+=
++
CBA
CBA
223
222
sinsinsin
2sinsinsin
.
Các đề thi học sinh giỏi lớp 11
Câu III.
Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên đờng thẳng (d) vuông góc với mặt
phẳng (P) tại A ta lấy điểm S. M và N là điểm chuyển động trên lần lợt các cạnh BC và CD sao

cho hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
1) Chứng minh tứ diện SAMN có tất cả các mặt đều là tam giác vuông.
2) Giả sử BM = x(
ax 0
).
a) Giả sử BM + DN
a
2
3

.
b) Xác định vị trí của M và N để BM.DN nhỏ nhất.
Câu IV.
Cho các phơng trình:
02)1(
22
=++ mxmx
(1)

02
2234
=+++ mxxmxx
(2)
trong đó x là ẩn số và m là tham số (0 < m < 1).
1) Chứng tỏ rằng phơng trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt và 1 nằm trong khoảng
nghiệm.
2) Chứng minh phơng trình (2) có nghiệm.
Hết
Đề số 5
Câu I.

Trong các nghiệm (x, y, z, t) của hệ:





+
=+
=+
12
16
9
22
22
yzxt
tz
yx
. Hãy tìm nghiệm làm cho x + z đạt giá trị lớn
nhất.
Câu II.
Cho hai dãy số
)();(
nn
ba
biết
n
nn
n
nn
a

bb
b
aaba
1
,
1
;0,0
1111
+=+=>>
++
với mọi n = 1, 2,
Chứng minh rằng:
2,22 >>+ nnba
nn
.
Câu III.
Giải phơng trình:
4
5
)6cos2(3cos)1cos38(sin2sin4
22
=+++ xxxxx
.
Câu IV.
Cho tứ diện ABCD có DA = a, DB = b, DC = c và DA, DB, DC từng đôi một vuông góc với
nhau. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của AB, BC, CA. Hình chiếu H của D xuống mặt phẳng
(ABC) nằm trong tam giác MNP.
1) Chứng minh rằng: H là trực tâm của tam giác ABC. Xác định tâm và tính bán kính
mặt cầu nội tiếp tứ diện DMNP.
2) Gọi

,,
lần lợt là các góc phẳng nhị diện của các mặt DMN, DNP, DPM với mặt
ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:

2cos2cos2cos ++=T
.
3) Lấy điểm S bất kỳ nằm trong tứ diện ABCD. Chứng minh rằng tổng các góc nhìn từ
điểm S đến các cạnh của tứ diện ABCD lớn hơn
0
540
.
Hết
Các đề thi học sinh giỏi lớp 11
Đề số 6
Câu I.
1/ Chứng minh rằng:
07cos4cos88cos4
>+++
xxx
với mọi giá trị của x.
2/ Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là:
02cos2cos2coscoscoscos
=+++++
CBACBA
.
Câu IIa.
Cho hình hộp ABCD.A B C D có tất cả các mặt là hình thoi, các cạnh của hình hộp có độ dài
bằng độ dài đờng chéo AC và góc tam diện tại đỉnh A là tam diện đều.
1/ Tính số đo các mặt của tam diện tại đỉnh A.

2/ Một mặt phẳng cắt các cạnh AB, AD, AA theo thứ tự tại M, N, P và cắt đờng chéo AC
tại Q. Chứng minh rằng:
APANAMAQ
1111
++=
.
Câu IIb.
Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C .
1/ Gọi I, K, G lần lợt là trọng tâm các tam giác ABC, A B C , ACC . Chứng minh mp(IKG)
song song với mp(BB C C ).
2/ Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB , CC . Có một đờng thẳng đi qua I
cắt AB và MN thứ tự tại P và Q. Tính
PA
PB'
và
QM
QN
.
Câu III.
Chứng minh rằng: Nếu
)(2/,, Zkk

và

222
sin,sin,sin
theo thứ tự lập thành 1
cấp số cộng, và
1. =

tgtg
thì

tgtgtg ,,
theo thứ tự lập thành 1 cấp số nhân.
Hết
Đề số 7
Câu I. 1/ Chứng minh rằng các số
020202
80,40,20 tgtgtg
là các nghiệm của phơng trình:
032733
23
=+ xxx
.
2/ Cho tam giác ABC với a, b, c là độ dài các cạnh và r là bán kính đờng tròn nội tiếp.
Chứng minh rằng nếu a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai d thì:
)
22
(32
A
tg
C
tgrd =
.
Câu II.
1/ Cho phơng trình
Rmmmxxx =+++ ;0223
23
.

Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình trên có 3 nghiệm phân biệt
321
,, xxx
thoả mãn điều
kiện:
321
1 xxx <<<
.
2/ Cho hàm số
aa
a
xf
x
x
+
=
+
2
12
)(
với a là số thực dơng khác 1. Hãy tính tổng:
)1()
2005
2004
( )
2005
2
()
2005
1

()0( fffffS +++++=
.
Các đề thi học sinh giỏi lớp 11
Câu III.
Cho hai nửa đờng thẳng Ax, By chéo nhau, vuông góc với nhau và có AB là đờng vuông góc
chung. M, N là hai điểm thay đổi lần lợt thuộc Ax và By sao cho MN = AM + BN.
1/ Chứng minh rằng AM x BN không đổi.
2/ Gọi O là trung điểm của AB; H là hình chiếu vuông góc của O trên MN. Chứng minh
OH = OA.
3/ Chứng minh H thuộc một mặt phẳng (P) cố định và góc giữa đờng thẳng MN và mặt
phẳng (P) không đổi.
Câu IV.
Cho dãy số
}{
n
U
đợc xác định bởi công thức:

++++=


nn
tg
nn
tgtg
n
eU
2
sin
2
)
2
sin(sin)
2
(
2 222ln


với n =1, 2 và trong đó có n dấu căn. Tìm
n
n
LimU
.
Hết
Đề số 8
Câu I. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu
2

,
2
,
2
C
tg
B
tg
A
tg
theo thứ tự đó lập thành một
cấp số cộng thì CosA, CosB, CosC theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.
Câu II. Cho các số thực
]2;1[,, cba
thoả mãn điều kiện a + b + c = 0. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
222
cbaP ++=
.
Câu III. Cho đa thức
),,,()(
234
Rdcbadcxbxaxxxf ++++=
. Biết f(1) = 10;
f(2)=20; f(3) = 30. Hãy tính giá trị:
22
10
)8()12(
+
+

=
ff
P
.
Câu IV. Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O. Gọi P là điểm bất kỳ nằm trên
cung nhỏ BC(cung không chứa điểm A). Chứng minh rằng: PA = PB + PC.
Câu V. Giải phơng trình:
xx
x
lglg
4.3)42)(lg1( =++
.
Hết
Các đề thi học sinh giỏi lớp 11
Đề số 9
Câu I: Cho góc x thoả mãn:
2
1
cossin;1800
00
=+<< xxx
.
Tính các số p và q biết
3
)( qp
tgx
+
=
.
Câu II: Cho cấp số cộng, biết tỷ số của tổng n số hạng đầu và tổng của m số hạng đầu bằng nnn

)(
2
2
nm
m
n

. Tính tỷ số giữa số hạng thứ 8 và số hạng thứ 13.
Câu III: Giải phơng trình:
1111
6
4
22
=+++ xxxx
.
Câu IV: Cho a, b, c, x, y, z là 6 số bất kỳ thoả mãn hệ:





=++
=++
=++
30
36
25
222
222
czbyax

zyx
cba
.
Tính
zyx
cba
M
++
++
=
.
Câu V: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD.
1/ Giả sử
DSABSCCSDASB == ;
và ABCD là hình bình hành có I là giao điểm hai đ-
ờng chéo. Chứng minh SI là đờng cao của hình chóp.
2/ Giả sử S.ABCD là hình chóp đều. Một mặt phẳng cắt 4 cạnh bên SA, SB, SC, SD theo thứ tự tại
M, N, P, Q. Đặt SM = m; SN = n; SP = p; SQ = q. Chứng minh rằng:
pqnm
1111
=
.
Hết
Đề số 10
Câu I: Giải phơng trình:
xxCosSinxSin 2281)
4
3(2
2
+=+

.
Câu II: Giải hệ phơng trình:



=+
=+
222
22
51
6
xyx
xxyy
.
Câu III: Giả sử các góc

,,
thoả mãn:
2sinsinsin ++

. Chứng minh rằng:
Các đề thi học sinh giỏi lớp 11
5coscoscos ++

.
Câu IV: Cho hình hộp ABCD.A B C D có các mặt là hình thoi, độ dài các cạnh hình hộp bằng
độ dài đờng chéo AC, góc tam diện tại đỉnh A là tam diện đều.
1/ Tính số đo các mặt của tam diện tại đỉnh A.
2/ Một mặt phẳng cắt các cạnh AB, AD, AA , AC theo thứ tự tại M, N, P, Q. Chừng minh rằng:

APANAMAQ
1111
++=
.
Hết
Đề số 11
Câu I: Cho phơng trình:
0)cossin1)(42()cossin1(
2222
=+++ xmxmxmx
.
1. Giải phơng trình với m = 0.
2. Tìm m để phơng trình có đúng một nghiệm.
Câu II:
1. Chứng minh rằng hàm số
23
2
4
1
)(
tt
tf
+






=

nghịch biến khi t > 0.
2. Giải hệ phơng trình:











=






=






=

+
+
+
x
z
y
zz
yy
xx
23
23
23
2
2
2
4
1
4
1
4
1
.
Câu III: Cho mặt phẳng (P) trong đó có một đờng thẳng (d) cố định và một điểm A cố định
không thuộc (d). Trên tia Az

(P) ta lấy một điểm D cố định. Góc vuông xAy quay quanh A sao

cho (d) cắt Ax, Ay lần lợt tại B và C. Kẻ AH

(BCD), H

(BCD).
1. Chứng minh H là trực tâm của tam giác BCD.
2.Chứng minh
22
11
ACAB
+
không đổi. Xác định dạng của tam giác BCD để diện tích của nó nhỏ
nhất.
3. K là điểm đối xứng của H qua (d). Chứng minh rằng tứ giác DBKC nội tiếp trong một đờng
tròn. Tìm quỹ tích tâm của đờng tròn đó.
Câu IV: Cho các phơng trình:
)1(0)()(
2
=++ dexbcax

)2(0
234
=++++ edxcxbxax
.
C¸c ®Ò thi häc sinh giái líp 11
BiÕt r»ng ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lín h¬n 1. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm.