Tuyển tập đề thi toán luyện thi ĐH năm 2009

Tri thc l ti sn chung ca mi ngi Triu Vn Tiờn
Đề số 61
Câu1: (2 điểm) Cho hàm số: y =
1
2
2
+
+
x
xx
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng trên đồ thị (C) tồn tại vô số cặp điểm tại đó các tiếp tuyến của đồ thị song
song với nhau.
Câu2: (2 điểm) 1) Giải phơng trình:






=
33
4
2
x
cos
x
cos
2) Giải hệ phơng trình:
( )
( )

=+
=+
31411
31411
xylog
yxlog
y
x

Câu3: (3 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho điểm F(3; 0) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
3x - 4y + 16 = 0
a) Viết phơng trình đờng tròn tâm F và tiếp xúc với (d).
b) Chứng minh rằng parabol (P) có tiêu điểm F và đỉnh là gốc toạ độ tiếp xúc với (d).
2) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi H là hình chiếu của A
lên mặt phẳng (BCD) và S, S
1
, S
2
, S
3
lần lợt là diện tích của các mặt (BCD), (ABC), (ACD), (ABD). Chứng
minh rằng:
a)
2222
1111
ADACABAH

++=
b)
2
3
2
2
2
1
2
SSSS
++=

Câu4: (2 điểm)
1) Tính tích phân: I =
( )


e
dxxlncos
1
2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số F(t) xác định bởi:
F(t) =

t
dxxcosx
0
2

Câu5: (1 điểm) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5,
mỗi số có 5 chữ số phân biệt.

2) Giải phơng trình: sin
4
x + cos
4
x - cos2x +
4
1
sin
2
2x = 0
Đề số 62
Câu1: (3,5 điểm)
Cho hàm số: y = x
3
- 3x
2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đờng cong (C) và trục hoành.
3) Xét đờng thẳng (D): y = mx, thay đổi theo tham số m. Tìm m để đờng thẳng (D) cắt đờng cong
(C) tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dơng.
Câu2: (2 điểm)
Tính các tích phân sau đây:
1) I =


0
xdxsinx
2) J =

2
0
32
xdxcosxsin

Câu3: (2,5 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho hypebol (H):
1
916
2
2
=
y
x
. Gọi F là một tiêu
điểm của hypebol (H) (x
F
< 0) và I là trung điểm của đoạn OF. Viết phơng trình các đờng thẳng tiếp xúc
với hypebol (H) và đi qua I.
Pht ti tõm tõm hu pht
Tri thc l ti sn chung ca mi ngi Triu Vn Tiờn
2) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho điểm A(3; -3; 4) và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z
- 7 = 0. Tìm điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng (P).
Câu4: (2 điểm) Giải hệ phơng trình:





=

=+
9
3
411
xy
yx
Đề số 63
Câu1: (2 điểm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =
1
1
2

+
x
xx
2) Tìm m để đờng thẳng d: y = -x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. Khi đó chứng minh
rằng cả hai giao điểm cùng thuộc một nhành của (C).
Câu2: (2,5 điểm)
1) Giải phơng trình:
(
)
(
)
43232
=++
xx
2) Cho ABC có ba góc nhọn. Chứng minh rằng: tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = tgA + tgB + tgC
Câu3: (1,5 điểm)

Chứng minh rằng nếu: y = ln






++
4
2
xx
thì đạo hàm y' =
4
1
2
+
x
Sử dụng kết quả này tính tích phân: I =

+
2
0
2
4dxx
Câu4: (3 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho parabol (P): y
2
= 4x. Từ điểm M bất kỳ trên đ-
ờng chuẩn của (P) vẽ hai tiếp tuyến đến (P), gọi T
1

, T
2
là các tiếp điểm. Chứng minh rằng T
1
, T
2
và tiêu
điểm F của (P) thẳng hàng.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho mặt phẳng
(): x + y + z + 10 = 0 và đờng thẳng :





+=
=
=
tz
ty
tx
3
1
2
(t R)
Viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng ' là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng ().
3) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một, sao cho OA = a; OB = b;
OC = 6 (a, b > 0). Tính thể tích tứ diện OABC theo a và b. Với giá trị nào của a và b thì thể tích ấy đạt giá
trị lớn nhất, tính giá trị lớn nhất đó khi a + b = 1.
Câu5: (1 điểm)

Hãy khai triển nhị thức Niutơn (1 - x)
2n
, với n là số nguyên dơng. Từ đó chứng minh rằng: 1.
( )
n
nnn
n
nnn
nC...C.C.Cn...CC
2
2
4
2
2
2
12
2
3
2
1
2
242123
+++=+++


Đề số 64
Câu1: (2 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y =
1
2

x
x
. Gọi đồ thị là (C)
2) Tìm trên đờng thẳng y = 4 tất cả các điểm mà từ đó có thể tới đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với
nhau một góc 45
0
.
Câu2: (3 điểm) Giải các phơng trình sau đây:
1)
11414
2
=+
xx
2) sin3x = cosx.cos2x.(tg
2
x + tg2x)
Pht ti tõm tõm hu pht
Tri thc l ti sn chung ca mi ngi Triu Vn Tiờn
3)
( )
xxxx
PAAP 2672
22
+=+
trong đó P
x
là số hoán vị của x phần tử,
2
x
A

là số chỉnh hợp chập 2
của x phần tử (x là số nguyên dơng).
Câu3: (2 điểm)
1) Tuỳ theo giá trị của tham số m, hãy tìm GTNN của biểu thức:
P = (x + my - 2)
2
+
( )
[ ]
2
1224
+
ymx
.
2) Tìm họ nguyên hàm: I =








+

+
dxxgcotxtg
63
Câu4: (2 điểm)
Cho hình chóp SABC đỉnh S, đáy là tam giác cân AB = AC = 3a, BC = 2a. Biết rằng các mặt bên
(SAB), (SBC), (SCA) đều hợp với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 60
0
. Kẻ đờng cao SH của hình chóp.
1) Chứng tỏ rằng H là tâm đờng tròn nội tiếp ABC và SA BC.
2) Tính thể tích hình chóp.
Câu5: (1 điểm) Chứng minh rằng với x 0 và với > 1 ta luôn có:
xx
+

1
. Từ đó chứng minh
rằng với ba số dơng a, b, c bất kỳ thì:
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a

++++
3
3
3
3
3
3
.
Đề số 65
Câu1: (2,5 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = (x + 1)
2
(x - 2).
2) Cho đờng thẳng đi qua điểm M(2; 0) và có hệ số góc là k. Hãy xác định tất cả giá trị của k để
đờng thẳng cắt đồ thị của hàm số sau tại bốn điểm phân biệt:
y =
23
3

xx
.
Câu2: (2 điểm) Giải các phơng trình:
1)
2
5
122122
+
=++++++
x
xxxx
2)

( )
( )
1
12
232
=

+++
xsin
xsinxsinxsinxcosxcos

Câu3: (2,5 điểm) 1) Giải và biện luận phơng trình sau theo tham số a:
aaa
xx
=++
22
2) Giải phơng trình:

( )
2
2
2
22
2
22
2
22
=

+++
xlog
x
log
x
logxlogxlogxlog
xx

Câu4: (2 điểm) Cho tứ diện SPQR với SP SQ, SQ SR, SR SP. Gọi A, B, C theo thứ tự là trung
điểm của các đoạn PQ, QR, RP.
1) Chứng minh rằng các mặt của khối tứ diện SABC là các tam giác bằng nhau.
2) Tính thể tích của khối tứ diện SABC khi cho SP = a, SQ = b, SR = c.
Câu5: (1 điểm)
Tính tích phân: I =


+
4
0
22
2
dx
xcosxsin
xcos

Pht ti tõm tõm hu pht