Sử dụng phần mềm minh họa một số bài toán có yếu tố thay đổi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
MA THỊ THÚY HỒNG
SỬ DỤNG PHẦN MỀM MINH
HỌA MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ
YẾU TỐ THAY ĐỔI
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. TRỊNH THANH HẢI
THÁI NGUYÊN - NĂM 2014
Mục lục
Mục lục i
Lời cảm ơn ii
Mở đầu 1
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2
1.1 Phần mềm "Vi thế giới" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Sử dụng phần mềm "Vi thế giới" để biểu diễn, minh họa kết
quả bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 MINH HỌA KẾT QUẢ MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ YẾU TỐ
THAY ĐỔI TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT 15
2.1 Bài toán về tính tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Bài toán về điểm cố định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Kết luận 42
i
Lời cảm ơn
Em xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Trịnh Thanh Hải đã giới thiệu và
giúp em làm quen với việc sử dụng phần mềm minh họa kết quả của một số
bài toán có yếu tố thay đổi trong chương trình Toán ở trường phổ thông hiện
nay, đồng thời thầy đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình từ khi em
nhận đề tài đến khi em hoàn thành luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn trường Đại học Khoa học, khoa Toán - Tin,
các thầy giáo, cô giáo, các bạn lớp cao học Toán K6C,các bạn đồng nghiệp
đã luôn động viên giúp đỡ em yên tâm học tập, công tác và hoàn thiện luận
văn.
Với trình độ và điều kiện nghiên cứu của bản thân còn nhiều hạn chế, nên
bài luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận
được sự phê bình, góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn học viên cho luận
văn này đem lại những ứng dụng thực tế tốt.
Một lần nữa,em xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2014
Người viết Luận văn
Ma Thị Thúy Hồng
ii
LỜI NÓI ĐẦU
Trong chương trình toán ở trường THPT các bài toán có yếu tố thay đổi
như: Bài toán về hàm số có chứa tham số, bài toán quỹ tích, là những bài
toán khó và trừu tượng với hầu hết học sinh. Với mong muốn minh họa một
cách trực quan kết quả lời giải của các bài toán thông qua việc sử dụng đồ
họa máy tính, chúng tôi chọn đề tài "Sử dụng phần mềm minh họa một
số bài toán có yếu tố thay đổi" làm luận văn thạc sĩ.
Nhiệm vụ của luận văn là:
- Hệ thống hóa một vài dạng toán có yếu tố thay đổi trong chương trình

THPT, với mỗi dạng sau khi đưa ra định hướng giải quyết luận văn sẽ lựa
chọn một vài ví dụ cụ thể và đưa ra lời giải chi tiết.
- Nhiệm vụ chính của luận văn là sử dụng phần mềm minh họa kết quả của
lời giải bài toán.
- Trong luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo gồm hai
chương:
Chương I: Kiến thức chuẩn bị
Chương II: Minh họa kết quả một số bài toán có yếu tố thay đổi trong
chương trình Toán ở trường phổ thông.
Trong quá trình viết luận văn cũng như quá trình xử lý văn bản chắc chắn
không tránh khỏi những hạn chế thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của
các thầy, cô các bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện hơn.
Thái nguyên, tháng 9 năm 2014
Học viên
Ma Thị Thúy Hồng
1
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Phần mềm "Vi thế giới"
Khái niệm "Vi thế giới" được đề cập lần đầu vào những năm 60 thế kỷ
XX từ việc xác định đặc trưng cho vũ trụ hoạt động của người máy. Có thể
nêu lên các đặc trưng cơ bản của một "Vi thế giới" là:
(1) Một môi trường gồm những đối tượng và những quan hệ.
(2) Một tập hợp những thao tác cho phép hành động trên những vật thể
và cho phép tạo ra những vật thể mới, tạo ra những quan hệ mới.
Với các thuộc tính "cấu trúc", "động", "liên tục" và tính tương tác rất
cao, các vi thế giới cung cấp các chức năng cơ bản để mô hình hóa các bài
toán và nghiên cứu bài toán trên các mô hình, chẳng hạn các vi thế giới cho
phép người sử dụng:
(1) Tạo ra các đối tượng cơ bản như điểm, đoạn thẳng, các mối quan hệ

cơ bản như quan hệ liên thuộc, quan hệ ở giữa, quan hệ song song, quan hệ
vuông góc. . .
(2) Tác động lên những đối tượng đã có nhằm xác lập những đối tượng
mới, những quan hệ mới.
(3) Khi tác động vào các đối tượng như thay đổi thuộc tính các đối tượng
. . . thì cấu trúc và mối quan hệ giữa các đối tượng vẫn được bảo toàn.
(4) Hỗ trợ nghiên cứu các hiện tượng một cách liên tục.
(5) Có các chức năng cho phép tính toán, đo đạc, kiểm tra các mối quan
hệ giữa các đối tượng.
2
Trên thế giới các phần mềm như Omnigraph, Coypu, Mentoniezh, Cheypre, Defi,
Geometer

s Sketchpad, Geospacw, Geoplanw, Euclides, Autograph, Geometry Cabri
đang được sử dụng rộng rãi vì bản thân chúng đã thỏa mãn một phần hoặc
hầu hết các đặc trưng của một phần mềm "Vi thế giới".
Hình 1.1: Hình vẽ minh họa.
1.2 Sử dụng phần mềm "Vi thế giới" để biểu diễn,
minh họa kết quả bài toán
Sử dụng phần mềm "Vi thế giới" để biểu diễn, minh họa kết quả bài
toán, cần thực hiện các bước cơ bản sau:
Bước 1: Xác định bài toán.
- Trong bước này cần xác định rõ yếu tố thay đổi (đối tượng động)
- Mối quan hệ giữa các đối tượng (thường được cho dưới dạng một biểu thức
giải tích hoặc một hệ các ràng buộc ).
Bước 2: Xây dựng mô hình biểu diễn bài toán:
- Trường hợp bài toán hình học: Sử dụng các công cụ của "Vi thế giới" theo
các bước dựng hình cơ bản.
3
- Trường hợp bài toán được biểu diễn bởi một biểu thức giải tích f(x, m):

Trình tự xây dựng mô hình như sau:
(1) Xác định hệ trục toạ độ Oxy.
(2) Lấy một điểm X(x; 0) bất kỳ thuộc miền xác định của hàm số và điểm
M(m, 0) bất kỳ thuộc miền giá trị của tham số.
(3) Tính giá trị y = f(x, m).
(4) Dựng điểm Y (x; f(x, m)).
Bước 3: Đưa ra mô hình trực quan của bài toán.
Ta sẽ sử dụng các chức năng để thay đổi tham số và nhận được mô hình
trực quan của bài toán.
Ví dụ 1.1 Xét bài toán: "Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y =
(m+1)x+m+2
x+m+2
luôn luôn đi qua hai điểm cố định bất chấp m (ngoại trừ một vài giá trị của
m mà ta sẽ tìm ra)".
Việc sử dụng "Vi thế giới" để minh hoạ kết quả như sau:
Bước 1: Xác định bài toán:
Trong trường hợp này, mối quan hệ giữa các yếu tố được cho bới biểu thức
giải tích: y =
(m+1)x+m+2
x+m+2
, trong đó m là giá trị thay đổi nhận giá trị thực.
Bước 2: Xây dựng mô hình biểu diễn hàm số:
Sử dụng phần mềm Geometry Cabri thì các thao tác chính như sau:
- Chọn chức năng P oint on Object lấy X(x; 0), M(m; 0) bất kỳ trên trục Ox
- Chọn chức năng Equation and Coordinates: cho hiện toạ độ của hai điểm
X, M ra màn hình.
- Chọn công cụ Calculate: tính giá trị của hàm số trong đó x là hoành độ điểm
X, m là hoành độ của điểm M.
- Chọn chức năng Measurement Transfer: lần lượt bấm chọn giá trị vừa tính
được sau đó chỉ vào trục tung Oy. Ta xác định được điểm Y thuộc Oy.

- Chọn công cụ P erpendicular Line: lần lượt dựng các đường vuông góc với
trục Ox tại điểm X, vuông góc với Oy tại điểm Y .
- Chọn chức năng Intersection P oints: xác giao điểm N của hai đường thẳng
vuông góc vừa dựng. N sẽ là điểm có toạ độ (x, f(x)).
- Chọn chức năng Locus: lần lượt chỉ vào điểm N và điểm X để Cabri Geometry
4
đưa ra đồ thị của hàm số.
Bước 3: Minh họa hình ảnh của điểm cố định.
- Chọn chức năng T raceOn/Off : gán thuộc tính để lại vết cho đường cong.
- Cho điểm M thay đổi khi đó vết để lại của họ đường cong tương ứng với
các giá trị của m sẽ cho ta hình ảnh đồ thị của hàm số y = f(x, m). Hình ảnh
cho thấy rõ ràng đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định (0; 1)
và (−4; −3) như lời giải của bài toán.
Hình 1.2: Hình vẽ minh họa.
Ví dụ 1.2 Xét bài toán: Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là
một điểm cố định chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I
sao cho MI = 2MB. Tìm tập hợp các điểm I.
Bước 1: Xác định bài toán:
Đây là dạng bài toán quỹ tích hình học, trong đó yếu tố quỹ tích là vị trí của
điểm M chạy trên đường tròn.
Bước 2: Xây dựng mô hình của bài toán:
Sử dụng các công cụ của phần mềm Sketch P ad và thực hiện theo trình
tự sau:
-Dựng đoạn thẳng AB.
5
- Xác định trung điểm O của đoạn thẳng AB
- Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA.
- Lấy điểm M bấy kỳ thuộc (O, OA).
- Chọn công cụ vẽ tia sau đó lần lượt nhấp chuột vào điểm A và điểm M.
- Chọn công cụ dựng đường tròn, lần lượt dựng đường tròn tâm M bán kính

MB và xác định giao của đường tròn này với tia AM (gọi là điểm F ).
- Tiếp tục vẽ đường tròn tâm F, bán kính F M. Gọi giao của đường tròn này
với tia AM là I.
Việc chứng minh quỹ tích bài toán là cơ bản đối với học sinh, cụ thể: vì
góc

MIB không đổi nên tập hợp các điểm I sẽ là cung chứa góc dựng trên
đoạn thẳng AB (điểm I luôn nhìn đoạn thẳng AB với một góc có tan luôn
bằng
1
2
)
Bước 3: Minh họa mô hình quỹ tích.
- Chọn lệnh Display/T raceP oint xác định thuộc tính để lại vết khi chuyển
động cho điểm I rồi chọn lệnh Display/AnimatePoint cho điểm M chuyển
động ta thu được hình ảnh trực quan của quỹ tích điểm I.
Hình 1.3: Hình vẽ minh họa.
Bước 4: Khai thác bài toán cho học sinh khá, giỏi:
6
Ta có thể mở rộng bài toán cho học sinh khá giỏi bằng cách đặt những
câu hỏi sau:
Ta đã nhận dạng được quỹ tích là cung chắn góc dựng trên đoạn thẳng
AB nhưng cụ thể cung đó nằm trên đường tròn tâm nào? Hãy xác định tâm
và bán kính của đường tròn chứa quỹ tích này?
Trong bài toán ta đã xác định được quỹ tích điểm I thoả mãn MI = 2MB.
Nếu tỷ số không phải là 2 mà MI = k.MB (với k là số thực bất kỳ) thì quỹ
tích điểm I như thế nào?
Trong trường hợp tổng quát, AB không phải là đường kính mà chỉ là một
dây cung. Quỹ tích điểm I như thế nào?
Minh họa bài toán mở rộng với phần mềm Sketchpad.

a) Nhận dạng đường tròn chứa quỹ tích
- Cho điểm M di chuyển đến những vị trí đặc biệt. Khi M tiến đến trùng với
A thì tia AM chính là tiếp tuyến At với đường tròn tâm O bán kính OA tại
A.
- Sau khi lựa chọn điểm A và đoạn thẳng AB,ta chọn lệnh Construct/ Per-
pendicular Line để dựng đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với AB
đây chính là tiếp tuyến At.
Gọi G là điểm thuộc At sao cho AG = 2AB (việc dựng điểm G hoàn toàn đơn
giản). Vì AB cố định nên G cố định.
- Nối điểm I (yếu tố thay đổi) với các điểm G và B (là các yếu tố cố định).
Bằng trực quan, học sinh cảm thấy hình như mặc dù điểm M thay đổi vị trí
nhưng góc

GIB là góc vuông? học sinh sử dụng lệnh Measure/Angle thì nhận
được kết quả góc

GIB luôn bằng 90
0
Kết luận I thuộc nửa đường tròn đường kính BG.
7
Hình 1.4: Hình vẽ minh họa.
Hoàn toàn tương tự đối với nhánh dưới, quỹ tích thuộc nửa đường tròn
đường kính BH. Điểm H được xác định là điểm đối xứng của điểm G qua
điểm A hay AH = 2AB.
b) Mở rộng quỹ tích với tỷ số k bất kỳ.
Việc mở rộng bài toán với số thực k bất kỳ được bắt đầu với việc tạo ra
số thực k. Có nhiều cách giải quyết, chẳng hạn ta làm như sau:
- Chọn chức năng F ile/Open và vào thư mục Custom T oolss để mở File Script
Sliders.gsp.
- Chọn chức năng File/New Sketch và chọn tiếp Sliders/Basic Horizontal rồi

đưa chuột ra màn hình vẽ một thanh trượt ngang. Độ dài thanh trượt cho ta
số thực k.
- Tiếp tục thao tác tương tự như đối với bài toán ban đầu: vẽ đường tròn
đường kính AB(O, OA); vẽ tia AM với M là điểm bất kỳ thuộc đường tròn
(O, OA);
- Chọn lệnh Measure/Length để đo độ dài đoạn thẳng MB và AB
- Chọn lệnh Measure/Calculate để tính giá trị k.BM và k.AB
- Chọn lệnh Construct/Circle by Center + Radius để dựng đường tròn tâm M,
bán kính k.MB. Giao của đường tròn với tia AM cho ta điểm I(MI = k.MB)
8
- Chọn lệnh Construct/Perpendicular Line để dựng đường thẳng đi qua điểm
A và vuông góc với AB- đây chính là tiếp tuyến At với đường tròn (O, OA)
tại điểm A.
- Chọn lệnh Construct/CirclebyCenter + Radius để dựng đường tròn tâm A,
bán kính k.AB. Giao của đường tròn với At cho ta điểm G(AG = k.AB)
Sau khi nối điểm I với điểm G và nối I với B, học sinh hoàn toàn bằng mắt
thường phát hiện được góc

GIB luôn vuông. Từ đây học sinh nhận dạng chính
xác quỹ tích điểm I là nửa đường tròn đường kính BG và phần đối xứng qua
AB.
Hình 1.5: Hình vẽ minh họa.
Để thấy rõ tác động khi tỷ số k thay đổi nên quỹ tích điểm I, học sinh chỉ
cần nhấp chuột vào thanh trượt để kéo cho giá trị k thay đổi.
Ngoài việc quan sát sự biến đổi của quỹ tích, học sinh còn đưa ra được các
nhận xét lý thú khi k = 0; k là dương nhỏ thua 1, k = 1 và k > 1.
c) Mở rộng quỹ tích với trường hợp AB là một dây cung
Ta sử dụng các chức năng dựng hình của Sketchpad lần lượt dựng:
- Đường tròn tâm O, đường kính EF , dây AB song song với EF .
- Lấy điểm I trên tia AM về phía M sao cho MI = k.MB.

- Gán thuộc tính để lại vết cho điểm I và cho điểm M di chuyển, ta thu được
hình ảnh trực quan của quỹ tích.
9
Để nhận dạng quỹ tích, cho điểm M di chuyển đến các vị trí đặc biệt:
- Khi M trùng với A, ta xác định được điểm G thuộc tiếp tuyến At sao cho
AG = k.AB.
- Khi M trùng với N (khi đó AM vuông góc với AB hay BN là đường kính),
ta xác định được điểm K sao cho NK = k.NB
- Nối K với I, nối B với I, góc

KIB = 90
0
.
Kết luận: Quỹ tích điểm I là một phần của đường tròn đường kính KB và
giới hạn bởi tiếp tuyến với đường kính EF tại điểm A.
Hình 1.6: Hình vẽ minh họa.
Đặc biệt phần đối xứng của quỹ tích cũng chỉ lấy một phần đó là cung
BH, giới hạn bởi điểm H là giao của tiếp tuyến At với phần đối xứng của quỹ
tích. Như vậy, với sự hỗ trợ của phần mềm Sketchpad, ta không chỉ giải quyết
được bài toán mà còn mở rộng, phát triển bài toán.
Ví dụ 1.3. Xét bài toán:
Chứng minh rằng (dm):y = x
2
+ (2m + 1)x + m
2
− 1,∀m luôn tiếp xúc với một
đường thẳng cố định, có phương trình là y = x −1.
10
Bước 1: Xác định bài toán:
Bài toán chứng minh rằng một họ đường cong d(m), với m là tham số luôn

tiếp xúc với một đường cong cố định nào đó chính là bài toán tìm hình bao
của họ đường cong d(m). Với phương pháp tìm hình bao được giới thiệu trong
chươnh trình hình học vi phân ở bậc Đại học: Để tìm hình bao của họ đường
cong F(x, y, m) = 0 (m là tham số) là ta tiến hành khử tham số m từ hệ
phương trình.

F (x, y, m) = 0
F

(x, y, m) = 0
Vận dụng cách làm này vào bài toán trên ta có hệ phương trình.

2m + 2x = 0(1)
x
2
+ (2m + 1)x + m
2
− 1 = y(2)
Từ (1) ta có m = −x, thế vào (2) và rút gọn ta được:
x
2
− (2x −1)x + x
2
− 1 = y ⇔ y = x − 1.
Vậy họ đường cong (dm) luôn tiếp xúc với đường thẳng y = x − 1.
Bước 2: Xây dựng mô hình bài toán:
Ta dùng phần phần mềm Geometry Cabri xây dựng mô hình của bài toán
bằng cách sử dụng các chức năng công cụ của Geometry Cabri như sau:
- Chọn Show Axes: Để cho hiện hệ trục toạ độ Oxy.
- Chọn P oint on Object: Lấy các điểm X(x; 0), M(m; 0) bất kỳ trên trục Ox.

- Chọn Equation and Coordinates: Cho hiện tọa độ của hai điểm X, M ra màn
hình.
- Chọn Calculate: Tính giá trị của hàm số trong đó x là hoành độ điểm X, m
là hoành độ của điểm M.
- Chọn Measurement T ransfer: Lần lượt bấm chọn giá trị vừa tính sau đó
chỉ vào trục tung Oy. Ta xác định được điểm Y thuộc Oy.
- Chọn P erpendicularLine: Lần lượt dựng các đường vuông góc với trục Ox
tại điểm X, vuông góc với Oy tại điểm Y .
11
- Chọn IntersectionP oints: Xác giao điểm N của hai đường thẳng vuông góc
vừa dựng. N sẽ là điểm có tọa độ (x; f(x)).
- Chọn Locus: Lần lượt chỉ vào điểm N và điểm X để Cabri Geometry đưa ra
đồ thị của hàm số.
Bước 3: Minh họa kết quả bài toán
- Chọn TraceOn/Off rồi bấm vào đồ thị để đặt thuộc tính để lại vết cho đồ
thị.
- Chọn P ointer: Cho di chuyển điểm M trên trục hoành. Kết quả trực quan
cho thấy: (dm) luôn tiếp xúc với đường thẳng y = x −1.
Hình 1.7: Hình vẽ minh họa.
Với sự hỗ trợ của mô hình động, học sinh có thể nghiên cứu bài toán mở
rộng bằng cách đưa ra các câu hỏi và đi tìm câu trả lời, cụ thể:
Câu hỏi 1: Với a là một số thực bất kỳ a = 1 thì tính chất
(P m) : y = ax
2
+ (2m + 1)x + m
2
− 1 luôn tiếp xúc với đường thẳng có được
bảo toàn?
Ta có thể khai khác mô hình bài toán để minh họa câu trả lời bằng cách:
Vẽ đồ thị của họ Parabol (P m) với giá trị a cụ thể, chẳng hạn với a = 2. Sau

đó cho m thay đổi và quan sát hình ảnh đồ thị hàm số (P m) trên màn hình.
Hình ảnh trực quan cho thấy họ các đường cong tương ứng với giá trị a = 2
12
không còn luôn tiếp xúc với đường thẳng y = x −1 nữa.
Câu hỏi 2: Với trường hợp cụ thể a = 2, hình ảnh trực quan cho thấy rõ
tính chất luôn tiếp xúc với đường thẳng của họ (P m) không còn đúng nữa,
nhưng liệu (P m) có thể luôn tiếp xúc với một đường nào khác không?
Tiếp tục thử nghiệm với một vài giá trị khác của a = 1. Kết quả trực
quan vẫn cho thấy "hình như" họ các đường cong này luôn tiếp xúc với
một Parabol. Đến đây học sinh đưa ra "dự đoán" đồ thị của họ Parabol
(P m) : y = ax
2
+ (2m + 1)x + m
2
− 1 với a là một số thực bất kỳ a = 1 luôn
tiếp xúc với một Parabol.
Xuất phát từ giả thuyết (P m) luôn tiếp xúc với parabol, dẫn đến bài
toán mở rộng: Tìm điều kiện của các hệ số b, c, d để parabol có phương trình
y = bx
2
+ cx + d luôn tiếp xúc với (Pm).
Việc đi xác định các hệ số dẫn đến việc giải hệ phương trình và kết quả
đã chỉ ra được trong trường hợp a = 1, (P m) luôn tiếp xúc với một parabol
cố định có phương trình là y = (a −1)x
2
+ x −1(1) và hình ảnh trực quan một
lần nữa minh họa cho kết quả của bài toán một cách sinh động.
- Khi a > 2: Họ (P m) luôn ở "tiếp xúc bên trong".
Hình 1.8: Hình vẽ minh họa.
Tiếp tục khai thác tính trực quan của Geometry Cabri, ta sẽ thu được

13
những kết quả thú vị:
- Khi a < 2: Họ (P m) luôn ở "tiếp xúc bên ngoài".
Hình 1.9: Hình vẽ minh họa.
14
Chương 2
MINH HỌA KẾT QUẢ MỘT SỐ
BÀI TOÁN CÓ YẾU TỐ THAY
ĐỔI TRONG CHƯƠNG TRÌNH
THPT
Trong chương này chúng tôi trích dẫn một số bài toán có yếu tố thay đổi
thường gặp trong chương trình THPT, với mỗi dạng chúng tôi trình bày cách
giải chi tiết, minh họa kết quả lời giải bằng các phần mềm "Vi thế giới".
2.1 Bài toán về tính tiếp xúc
2.1.1 Bài toán
i. Điều kiện để họ hai đường tiếp xúc.
Bài toán: Cho hai họ đường cong (hay họ đồ thị): (C
m
) : y
1
= f(x, m) và
(L
m
) : y
2
= g(x, m), với m là tham số:
Xác định các giá trị của m để (C
m
) tiếp xúc với (L
m

).
ii. Định hướng giải quyết bài toán
Phương pháp 1: Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và (L
m
)
f(x, m) = g(x, m) ⇔ f(x, m) − g(x, m) = 0(1)
(C
m
) tiếp xúc với (L
m
) ⇔ (1) có nghiệm bội.
Chú ý:
a) Phương pháp 1: Phương trình f(x) = 0 (f(x) là đa thức bậc  2) gọi
là nghiệm α bội k nếu f(x) = (x − α)
k
.q(x) với q(α) = 0, k  2
15
Khi k = 2 gọi là nghiệm kép.
Các trường hợp đặc biệt của phương pháp 1:
(1) là phương trình bậc hai: (1) có nghiệm kép ⇔= 0, (

= 0)
(1) có nghiệm x
0
: (1) ⇔ (x − x
0
)g(x) = 0.
(1) có nghiệm kép

⇔

g(x
0
) = 0
g(x) = 0
(trong đó: x
0
là nghiệm của g(x) = 0,phương trình g(x) = 0 có nghiệm kép).
b) Phương pháp 2: Xét hệ phương trình:
(I)

f(x, m) = g(x, m)
f

(x, m) = g

(x, m)
(C
m
) tiếp xúc với (L
m
) ⇔ (I) có nghiệm ⇔ chúng có nghiệm chung và tại điểm
chung đó chúng có chung tiếp tuyến.
* Dạng đặc biệt trong chương trình THPT để giảm độ khó thì bài toán
được đưa ra ở dạng sau:
Bài toán: Cho họ đồ thị (C
m
) : y
1

= f(x, m), m là tham số và đồ thị (L):
y
2
= g(x)
Chứng minh rằng (C
m
) luôn tiếp xúc với một đồ thị cố định (L). Viết phương
trình của (L).
Phương pháp thường dùng:
a)Trường hợp 1: Biết dạng (L) viết phương trình của (L) trong dạng
mẫu mực.
(L): y
2
= g(x)
Ví dụ (L) là đường thẳng, (C) là đường Parabol có trục song song với trục
tung Oy.
Phương pháp 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm (C
m
) và (L)
f(x, m) = g(x) (1)
(C
m
) tiếp xúc với (L), (∀m) ⇔ (1) có nghiệm kép (∀m).
Khai thác điều kiện có nghiệm kép với mọi m của phương trình (1) dưới
hình thức đồng nhất thức đa thức theo m để tìm g(x).
16
Phương pháp 2: Phân tích f(x, m) = g(x) + ϕ(x, m).
Ở đây là hàm số có đồ thị (C) được mô tả;
ϕ(x, m) = 0 có nghiệm kép ∀m;
⇔ (C

m
) tiếp xúc với (C), (∀m).
Thật vậy: Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và (C): f(x, m) = g(x);
⇔ g(x) + ϕ(x, m) = g(x) ⇔ ϕ(x, m) = 0
Vì ϕ(x, m) = 0 có nghiệm kép (∀m);⇔ (C
m
) tiếp xúc với (C) : y = g(x) (∀m).
b) Trường hợp 2: Chưa biết dạng của (C):
Phương pháp 1: Phân tích f(x, m) = g(x) + ϕ(x, m); sao cho g(x) không
chứa tham số m, ϕ(x, m) = 0 có nghiệm kép (∀m) (Để phân tích f(x, m) theo
dạng trên ta thường dùng kỹ thuật: Tính đạo hàm của y = f(x, m) theo m:
df(x,m)
dm
= 0;
Giải
df(x,m)
dm
= 0, giả sử được m = α(x);
Thay m = α(x) vào y = f (x, m) ta có y = g(x).
Phương pháp 2: Phương pháp tìm đường biên của một hình lồi.
- Tìm tập hợp điểm M(x; y) mà không có đường cong nào của (Cm) đi qua.
Giả sử tập hợp các điểm này có đường biên là (L) : y = g(x)
- Chứng minh f(x; m) = g(x) có nghiệm kép từ đó suy ra C(m) luôn tiếp xúc
với (L).
2.1.2 Một số ví dụ
Ví dụ 2.1. Chứng tỏ rằng các Parabol trong họ Parabol (P
m
) cho dưới

đây vừa tiếp xúc với nhau, vừa tiếp xúc với một đường thẳng cố định:
y = mx
2
+ 2(2m + 1)x + 4m + 3, (m = 0).
Giải:
Xét Parabol tùy ý trong các họ đường cong đã cho: (P
m
) và (P
n
) với
m = 0, n = 0 và m = n. Ta sẽ chứng tỏ rằng hai Parabol này tiếp xúc với
nhau tại một điểm cố định. Lập phương trình tương giao của (P
m
) và (P
n
):
mx
2
+ 2(2m + 1)x + 4m + 3 = nx
2
+ 2(2n + 1)x + 4n + 3
⇔ (m − n)x
2
+ 4(m − n)x + 4(m − n) = 0
⇔ (m − n)(x + 2)
2
= 0
17
Phương trình này luôn có một nghiệm kép x = −2. Điều đó chứng tỏ rằng
tất cả các Parabol thuộc họ đã cho đều tiếp xúc với nhau tại điểm A có hoành

độ là x = −2. Tung độ của điểm A chính là giá trị của hàm số tại x = −2. Dễ
dàng tính được y = −1. Vậy tọa độ của tiếp điểm chung A của các Parabol
đã cho là A(−2; −1).
Từ kết quả trên, ta thấy rằng tiếp tuyến (d) của một Parabol tùy ý trong
họ tại điểm A cũng chính là tiếp tuyến chung cho tất cả các Parabol trong
họ (P
m
). Do đó ta chỉ cần xét Parabol (P
−1
) ứng với m = −1. Parabol này có
phương trình y = f(x) = −x
2
− 2x − 1. Đường thẳng (d) đi qua A(−2; −1) và
có hệ số góc k có phương trình là y = k(x + 2) − 1. Phương trình tương giao
của (P
−1
) và (d) là:
−x
2
− 2x −1 = k(x + 2) − 1
⇔ x
2
+ (k + 2)x + 2k = 0
Điều kiện để (d) tiếp xúc với (P
−1
) là phương trình này có nghiệm kép, tức
là ∆ = (k + 2)
2
−4k = (k −2)
2

= 0, hay k = 2. Vậy phương trình tiếp tuyến cố
định của họ Parabol đã cho là y = 2x + 3.
Kết quả lời giải thể hiện qua đồ họa máy tính
Hình 2.1: Hình vẽ minh họa.
18
Ví dụ 2.2. Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng thuộc họ (d
m
) cho
bởi phương trình y = 2mx −m
2
+ 2m đều tiếp xúc với một Parabol cố định có
trục đối xứng song song với trục tung.
Giải:
Vì Parabol cần tìm có trục đối xứng song song với trục tung nên ta chỉ
cần tìm trong số các Parabol có phương trình dạng y = ax
2
+ bx + c với a, b, c
là các hằng số và a = 0. Gọi Parabol này là (P ).
Phương trình tương giao của (d
m
) và (P) là:
ax
2
+ bx + c = 2mx −m
2
+ 2m
⇔ ax
2
+ (b − 2m)x + m
2

− 2m + c = 0
Điều kiện để (P ) và (d
m
) tiếp xúc với nhau là:
 = (b −2m)
2
−4a(m
2
−2m + c) = 0 ⇔ 4(1 −a)m
2
+ 4(2a −b)m + b
2
−4ac = 0(1)
Muốn cho tất cả các họ đường thẳng (d
m
) tiếp xúc với (P ) thì điều kiện là
đẳng thức (1) phải xảy ra với mọi m, nghĩa là:







4(1 −a) = 0
4(2a −b) = 0
b
2
− 4ac = 0
⇔








a = 1
b = 2
c = 1
Vậy phương trình của Parabol cần tìm là: y = x
2
+ 2x + 1
(Hình ảnh minh họa kết quả lời giải).
19
Hình 2.2: Hình vẽ minh họa.
Ví dụ 2.3:
Cho hai đường cong: y = mx
3
+(1−2m)x
2
+2mx và y = 3mx
2
+3(1−2m)x+
4m − 2. Tìm m để hai đường tiếp xúc với nhau.
Giải:
Hai đường cong đã cho tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi phương trình sau
có nghiệm bội:
mx
3

+ (1 − 2m)x
2
+ 2mx = 3mx
2
+ 3(1 − 2m)x + 4m − 2 (1)
Dễ thấy (1) ⇔ mx
3
+ x
2
− 2mx −3mx
2
+ 6mx − 3x − 4m + 2 = 0
⇔ mx(x
2
− 3x + 2) −2m(x
2
− 3x + 2) + x
2
− 3x + 2 = 0
⇔ (x
2
− 3x + 2)(mx −2m + 1) = 0 (2)
Hình 2.3: Hình vẽ minh họa.
20
Phương trình (1) có nghiệm bội ⇔ phương trình (2) có nghiệm bội khi và
chỉ khi hoặc là x = 1 là nghiệm của phương trình mx − 2m + 1 = 0 hoặc là
x = 2 là nghiệm của phương trình mx −2m + 1 = 0. Như vậy phương trình (1)
có nghiệm bội khi và chỉ khi m = 1
Tóm lại: Để hai đường cong tiếp xúc nhau, điều kiện cần và đủ là m = 1
Ví dụ 2.4. Cho hàm số y = x

3
− 2x
2
+ mx +
1−m
2
4
có đồ thị (C
m
).
Chứng minh rằng (C
m
) luôn tiếp xúc với một đồ thị (C) cố định. Viết phương
trình của (C)
Giải:
Cách 1: Phân tích hàm số thành dạng:
y = (−
m
2
4
+ mx − x
2
) + x
3
− x
2
+
1
4
= −(x −

m
2
)
2
+ x
3
− x
2
+
1
4
ϕ(x, m) = −(x −
m
2
)
2
và ϕ(x, m) = 0 luôn có nghiệm kép ∀m.
Vậy (C
m
) luôn tiếp xúc với (C): y = x
3
− x
2
+
1
4
.
Hình ảnh minh họa
Hình 2.4: Hình vẽ minh họa.
Cách 2: Lấy đạo hàm theo m cả hai vế của phương trình (C

m
):
−
m
2
+ x = 0 ⇔ m = 2x
21
Thay m = 2x vào phương trình của (C
m
) ta nhận được: y = x
3
− x
2
+
1
4
.
Kiểm tra (C
m
) tiếp xúc với (C):y = x
3
− x
2
+
1
4
. Bằng cách lập phương trình
hoành độ giao điểm của (C
m
) với (C) và nhận được (C

m
) tiếp xúc với (C), ∀m.
Cách 3: Tìm tập hợp điểm mà (C
m
) không đi qua.
Giả sử M(x
0
; y
0
) /∈ (C
m
), ∀m
⇔ y
0
= x
3
0
− 2x
2
0
+ mx
0
+
1−m
2
4
vô nghiệm ∀m
⇔ −
m
2

4
+ mx + x
3
− 2x
2
+
1
4
− y = 0 vô nghiệm ∀m
⇔  = x
3
− x
2
+
1
4
− y < 0.
Dự đoán phương trình của (C): y = x
3
− x
2
+
1
4
Dùng phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) với (C):y = x
3
− x
2

+
1
4
;
suy ra (C
m
) tiếp xúc với (C), ∀m.
Ví dụ 2.5. Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đường cong:
y = x
4
− x
3
− 3x
2
+ 4mx + 1 − m
2
luôn tiếp xúc với một đường cong cố định.
Giải
Viết lại đường cong đã cho dưới dạng:
y = x
4
− x
3
− 3x
2
+ 1 − (4x
2
− 4mx + m
2
) = x

4
− x
3
+ x
2
+ 1 − (2x − m)
2
Xét đường cong cố định y = x
4
− x
3
+ x
2
+ 1
Để ý rằng phương trình: x
4
− x
3
+ x
2
+ 1 − (2x − m)
2
= x
4
− x
3
+ x
2
+ 1 (1)
⇔ (2x −m)

2
= 0 (2)
Do (2) có nghiệm kép ∀m nên (1) có nghiệm kép ∀m.
Hình 2.5: Hình vẽ minh họa.
22