Hiệu chỉnh phương trình Hammerstein với nhiễu không đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ THẮM
HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH
HAMMERSTEIN VỚI NHIỄU
KHÔNG ĐƠN ĐIỆU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ THẮM
HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH
HAMMERSTEIN VỚI NHIỄU
KHÔNG ĐƠN ĐIỆU
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Giáo viên hướng dẫn:
GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG
Thái Nguyên - 2014
Mục lục
Lời cảm ơn 2
Mở đầu 3
Một số kí hiệu và chữ viết tắt 5
1 Một số khái niệm cơ bản 6
1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Phương trình toán tử loại Hammerstein . . . . . . . . . . 22
2 Hiệu chỉnh phương trình Hammerstein với nhiễu không
đơn điệu 25

2.1 Hiệu chỉnh trong không gian Banach vô hạn chiều . . . . 25
2.2 Phương pháp hiệu chỉnh kết hợp với xấp xỉ hữu hạn chiều 33
Kết luận 38
Tài liệu tham khảo 39
1
Lời cảm ơn
Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn
tận tình của thầy giáo GS.TS. Nguyễn Bường - Viện Công nghệ Thông
tin, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và kính chúc thầy luôn luôn mạnh khỏe.
Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến cô giáo TS. Nguyễn Thị
Thu Thủy cùng các thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa cao học 2012
- 2014, những người đã đem tâm huyết và sự nhiệt tình để giảng dạy,
trang bị cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và cuộc sống.
Tôi cũng muốn bày tỏ lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp
đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và
nghiên cứu.
Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và trình độ còn hạn
chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận
được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô cùng toàn thể bạn đọc để luận
văn được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 22 tháng 10 năm 2014.
Người thực hiện
Nguyễn Thị Thắm
2
Mở đầu
Nhiều bài toán trong khoa học, kỹ thuật đề cập đến vấn đề tìm nghiệm
x(t) của phương trình tích phân
x(t) +

b

a
K(t, s)G(x(s))ds = f(t),
trong đó K(t, s) và f(t) là các hàm cho trước. Nếu ta ký hiệu
(F
2
y)(t) =
b

a
K(t, s)y(s)ds, (F
1
x)(t) = G(x(t)),
thì ta có phương trình toán tử x + F
2
F
1
(x) = f. Phương trình này được
nhà toán học Đức A. Hammerstein đề xuất. Sau đó một lý thuyết chung
về tồn tại cũng như duy nhất nghiệm cho phương trình toán tử trên
được chứng minh bởi H. Amann, H. Bresiz, F.Browder, D. Defigueiredo,
C. Gupta, W. Petryshyn và L. Tartar · · · (xem [7]).
Phương trình x + F
2
F
1
(x) = f đóng vai trò quan trọng trong việc
nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính, bài toán điều
khiển tối ưu, cơ học và đặc biệt trong việc nghiên cứu các bài toán nảy

sinh từ kỹ thuật. Do nhiều bài toán thực tế trong lý thuyết hệ thống có
rơle phi tuyến hoặc lý thuyết hệ thống với cấu trúc thay đổi · · · dẫn đến
việc giải phương trình vi tích phân với phần phi tuyến gián đoạn, cho nên
bài toán này hiện nay vẫn được các nhà toán học trong và ngoài nước
quan tâm nghiên cứu ở nhiều khía cạnh tồn tại và duy nhất nghiệm.
Nội dung chính của luận văn trình bày các kết quả nghiên cứu mới
đây của GS.TS. Nguyễn Bường về hiệu chỉnh phương trình Hammer-
stein với nhiễu không đơn điệu. Kết quả này được trình bày trong bài
3
báo "Solution of the Hammerstein equations under non-monotone per-
turbations". Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và
danh mục các tài liệu tham khảo.
Chương một trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian Banach,
toán tử đơn điệu, bài toán đặt không chỉnh và một số vấn đề liên quan
đến hiệu chỉnh phương trình Hammerstein.
Chương hai trình bày phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm của phương
trình Hammerstein x + F
2
F
1
(x) = f khi các toán tử F
i
, i = 1, 2 được
cho xấp xỉ bởi các toán tử F
h
i
không có tính đơn điệu.
4
Một số kí hiệu và chữ viết tắt
E

n
Không gian Euclide n chiều
D(A) Miền xác định của toán tử A
R(A) Miền giá trị của toán tử A
H Không gian Hilbert thực
C Tập con lồi đóng của H
I Ánh xạ đơn vị
P
C
Phép chiếu mêtrix H lên tập con lồi đóng C của H
x
n
→ x Dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới x
x
n
 x Dãy {x
n
} hội tụ yếu tới x
5
Chương 1
Một số khái niệm cơ bản
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số vấn đề cơ bản như khái
niệm về không gian Banach, toán tử đơn điệu, bài toán đặt không chỉnh
và khái niệm về phương trình toán tử loại Hammerstein. Nội dung của
chương này chủ yếu được hình thành từ các tài liệu [1], [2], [3] và [4].
1.1 Không gian Banach
Định nghĩa 1.1. Không gian tuyến tính X được gọi là không gian định
chuẩn nếu ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số gọi là chuẩn của x

và được kí hiệu bởi x, thỏa mãn các điều kiện sau:
1) x > 0, ∀x = 0, x = 0, ⇔ x = 0;
2) x + y ≤ x + y, ∀x, y ∈ X;
3) αx = |α|.x, ∀x ∈ X, α ∈ R;
Không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach.
Ví dụ 1.2. Ví dụ về không gian Banach
1) Không gian E
n
với x = (x
1
, x
2
, , x
n
) và chuẩn
x
p
=

n

i=1
|x
i
|
p

1/p
,
trong đó p là một số thực bất kỳ thỏa mãn 1 ≤ p < +∞. Khi p = 2, E

n
gọi là không gian Euclid n chiều.
6
2) Không gian các dãy số l
p
với phần tử x = (x
1
, x
2
, , x
n
, ) và
x
p
=

∞

i=1
|x
i
|
p

1/p
< +∞.
3) Không gian các hàm L
p
[a, b] trong đó mỗi phần tử là hàm đo được
x(s) có x

p
(s) khả tích với chuẩn được xác định như sau
x
L
p
=



b

a
|x(s)|
p
ds



1/p
< +∞.
4) Giả sử K là một trường số thực. Ký hiệu C [a, b] là không gian các
hàm liên tục trên đoạn hữu hạn [a, b]. Bởi vì mọi hàm liên tục trên một
đoạn là bị chặn nên ta có thể xác định
f = sup {|f(x)| : x ∈ [a, b] , f ∈ C [a, b]} .
Dễ thấy rằng hàm f → f xác định như trên là một chuẩn trên không
gian C [a, b]. Như vậy C [a, b] là một không gian định chuẩn. Sự hội tụ
trong C [a, b] đối với chuẩn này chính là sự hội tụ đều. Ta sẽ kiểm tra
C [a, b] là một không gian Banach nghĩa là mọi dãy Cauchy trong đó đều
hội tụ.
Thật vậy, cho {f

n
} là một dãy Cauchy trong C [a, b]. Khi đó với mọi
ε > 0, tồn tại n
0
, với mọi m, n > n
0
, với mọi x ∈ [a, b],
|f
n
(x) − f
m
(x)| ≤ ε. (1.1)
Như vậy, với mỗi ε cố định dãy số là một dãy Cauchy trên trường K.
Do K đầy đủ nên tồn tại
f(x) = lim
x→∞
f
n
(x), ∀x ∈ [a, b] .
Ta sẽ chỉ ra rằng f ∈ C [a, b] nghĩa là f liên tục trên [a, b] và f
n
→ f
trong C [a, b]. Trong (1.1) bằng cách cố định x ∈ [a, b] và n ≥ n
0
, cho
m → ∞ ta được
|f
n
(x) − f(x)| ≤ ε, ∀x ∈ [a, b] , n ≥ n
0

. (1.2)
7
Vì f
n
0
liên tục tại x
0
nên tồn tại δ > 0 sao cho
|f
n
0
(x) − f
n
0
(x
0
)| ≤ ε, ∀ |x − x
0
| < δ, ∀x ∈ [a, b] .
Từ (1.2) suy ra bất đẳng thức
|f(x) − f(x
0
)| ≤ |f(x) − f
n
0
(x)| + |f
n
0
(x) − f
n

0
(x
0
)|
+ |f
n
0
(x
0
) − f(x
0
)| ≤ 3ε,
xảy ra với mọi x ∈ [a, b], |x − x
0
| < δ. Vậy từ (1.2) suy ra dãy {f
n
(x)}
∞
n=1
hội tụ đến f trong C [a, b].
5) Không gian Sobolev
Cho Ω là một miền giới nội trong E
n
và x ∈ C
l
(Ω) là hàm khả vi liên
tục đến cấp l. Vì Ω là compact nên với mỗi l = 0, 1, 2, · · · , C
l
(Ω) ⊆ L
p

(Ω).
Do đó, ta có thể xác định được
x
W
l
p
(Ω)
=




|α|≤l
D
α
x
p
L
p
(Ω)



1/p
,
cho mỗi x ∈ C
l
(Ω), p ≥ 1.
Không gian Sobolev w
l

p
(Ω) là một không gian tạo bởi C
l
(Ω) được làm
đủ bằng chuẩn trên. Ta thấy với mọi x ∈ C
l
(Ω) : x
L
p
(Ω)
≤ x
W
l
p
(Ω)
.
Trường hợp đặc biệt của không gian Banach không gian Hilbert
Định nghĩa 1.3. Cặp (H, , ) trong đó H là một không gian tuyến tính
và
,  : H × H → R
(x, y) → x, y
thỏa mãn các điều kiện sau:
1) x, x ≥ 0, ∀x ∈ H, x, x = 0 ⇔ x = 0;
2) x, y = y, x , ∀x, y ∈ H;
3) λx, y = λ x, y , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H;
4) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H,
được gọi là không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được
gọi là không gian Hilbert.
8
Ví dụ 1.4. L

2
[a,b]
là không gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b]
với f ∈ L
2
[a,b]
sao cho
b

a
f
2
(x)dx < +∞ là một không gian Hilbert với
tích vô hướng
f, g =
b

a
f(x)g(x)dx,
và chuẩn
f
L
2
[a,b]
=


b

a

f
2
(x)dx


1/2
.
Không gian Hilbert là không gian Banach với chuẩn x = x, x
1/2
.
1.2 Toán tử đơn điệu
Cho X là không gian Banach phản xạ với không gian đỗi ngẫu của
nó là X
∗
. Cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là . và giá trị của một
phiếm hàm tuyến tính liên tục x
∗
∈ X
∗
tại điểm x ∈ X, được kí hiệu bởi
x
∗
, x. Cho toán tử A với miền xác định là D(A) ⊆ X hay D(A) ≡ X
và miền ảnh R(A) nằm trong X
∗
.
Định nghĩa 1.5. Toán tử A được gọi là:
a) Đơn điệu, nếu A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);
b) Đơn điệu chặt, nếu dấu bằng xảy ra khi x = y;
c) Đơn điệu đều, nếu tồn tại một hàm không âm δ(t), không giảm với

t ≥ 0 , δ(0) = 0 và
A(x) − A(y), x − y ≥ δ (x − y), ∀x, y ∈ D(A).
Nếu δ(t) = c
A
t
2
với c
A
là một hằng số dương thì A là một toán tử đơn
điệu mạnh.
d) Toán tử bức, nếu:
lim
x→+∞
A(x),x
x
= +∞.
Khái niệm về toán tử đơn điệu cũng có thể được mô tả dựa trên đồ
thị Gr(A) của toán tử A trong không gian tích X × X
∗
.
9
Định nghĩa 1.6. Toán tử đa trị A là đơn điệu nếu
x
∗
− y
∗
, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X, ∀x
∗
∈ A(x), ∀y
∗

∈ A(y).
Tập Gr(A) được gọi là đơn điệu nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức trên.
Cho G là một tập đơn điệu trong X × X
∗
. Có thể tồn tại một tập đơn
điệu G

khác trong X × X
∗
chứa G. Nếu Gr(A) không chứa trong một
tập đơn điệu nào khác trong X × X
∗
, thì toán tử A được gọi là toán tử
đơn điệu cực đại.
Định nghĩa 1.7. Ánh xạ U
s
, s ≥ 2 được gọi là một ánh xạ đối ngẫu
tổng quát của X, tức là U
s
là một ánh xạ từ X lên X
∗
thỏa mãn điều
kiện
U
s
(x), x = U
s
(x)
s−1
x = x

s
, s ≥ 2.
Một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu là ánh xạ đối ngẫu tổng
quát U
s
, s ≥ 2. Ánh xạ này tồn tại trong mọi không gian Banach X.
Khi s = 2 thì U
s
thông thường được viết là U và được gọi là ánh xạ đối
ngẫu chuẩn tắc của không gian X.
Đối với không gian l
p
, 1 < p < +∞, U(x) = x
2−p
l
p
z, ở đây x =
(x
1
, x
2
, , x
n
, ) và z = (|x
1
|
p−2
x
1,
|x

2
|
p−2
x
2,
) ∈ l
p/(p−1)
. Còn đối với
không gian L
p
(Ω), với Ω là một tập đo được của không gian R
n
và chuẩn
.
L
p
(Ω)
, 1 < p < +∞, ánh xạ U có dạng
U(ϕ) = ϕ
2−p
L
p
(Ω)
|ϕ(t)|
p−2
ϕ(t), t ∈ Ω.
Dễ dàng kiểm tra thấy U
s
hoặc U là một toán tử đơn điệu chặt và
có tính chất bức. Trong một số trường hợp không gian L

p
(Ω), U
s
còn có
tính chất đơn điệu đều và liên tục theo Holder, vì:
U
s
(x) − U
s
(y), x − y ≥ m
U
x − y
s
, m
U
> 0,
U
s
(x) − U
s
(y), x − y ≤ c(r)x − y
ϑ
, 0 < ϑ ≤ 1,
ở đây c(r) là một hàm dương tăng dần của r = max {x , y}. Nếu
X = L
2
(Ω) là một không gian Hilbert thì U
s
= I, s = 2, m
U

= 1 và
c(r) = 1.
Với p = 2 thì đối với các không gian l
p
, L
p
, W
m
p
, p > 1, ta có
1 < p < 2 : s = 2, m
U
= p − 1, c(ρ) = p
2
2p−1
e
p
L
p−1
,
10
e = max {2
p
, 2ρ} , 1 < L < 3.18, ϑ = p − 1;
2 < p : s = p, m
U
= 2
2−p
/p, c(ρ) = 2
p

ρ
p−2
{p[p − 1
+ max{ρ, L}]}
−1
, ϑ = 1.
Trong không gian H ánh xạ đối ngẫu chính là toán tử đơn vị I.
Định nghĩa 1.8. a) Miền hữu hiệu của hàm ϕ kí hiệu là domϕ và được
định nghĩa như sau
domϕ = {x ∈ D : ϕ(x) < +∞} .
b) Hàm ϕ được gọi là chính thường nếu domϕ = ∅ và ϕ(x) > −∞, với
mọi x ∈ D.
c) Hàm chính thường ϕ : X → R được gọi là khả vi Fréchet (khả vi
mạnh) với mọi x ∈ X, nếu tồn tại toán tử tuyến tính A : X → X
∗
sao
cho
ϕ(x + y) − ϕ(x) = A(x), y + ω(x, y),
và
lim
y→0
ω(x, y)
y
= 0,
trong đó x, y ∈ X. Khi đó A(x), y được gọi là vi phân Fréchet và
A(x) = ϕ

(x) được gọi là đạo hàm Fréchet của hàm ϕ tại x.
Định nghĩa 1.9. Phiếm hàm ϕ(x) với x ∈ X được gọi là lồi, nếu
ϕ


x + y
2

≤
1
2
[ϕ(x) + ϕ(y)] , x, y ∈ X.
Phiếm hàm ϕ(x) với x ∈ X được gọi là lồi đều, nếu tồn tại một hàm
δ(t) với tính chất ở trên sao cho
ϕ

x + y
2

≤
1
2
[ϕ(x) + ϕ(y)] −
1
4
δ (x − y) , x, y ∈ X.
Định nghĩa 1.10. a) Tập D ⊂ X được gọi là tập lồi nếu với mọi
x, y ∈ D và mọi số thực λ ∈ [0, 1] ta đều có
λx + (1 − λ)y ∈ D.
b) Hàm ϕ được gọi là:
11
(i) lồi trên D nếu với mọi x, y ∈ D, với mọi λ ∈ [0, 1] ta có
ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y);
(ii) lồi chặt trên D nếu với mọi x, y ∈ D, với mọi λ ∈ (0, 1), x = y ta

có
ϕ(λx + (1 − λ)y) < λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y);
(iii) lồi mạnh trên D nếu với mọi x, y ∈ D, với mọi λ ∈ (0, 1), x = y
tồn tại τ ∈ R, τ > 0 ta có
ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y) −
1
2
λ(1 − λ)τx − y
2
.
Định nghĩa 1.11. Toán tử A được gọi là:
1) h-liên tục (hemicontinous) trên X nếu A(x + ty) hội tụ yếu đến
Ax khi t → 0, ∀x, y ∈ X;
2) d-liên tục (demicontinous) trên X nếu từ x
n
→ x suy ra Ax
n
hội
tụ yếu đến Ax khi n → ∞;
3) liên tục Lipschitz nếu:
∃C > 0 : A(x) − A(y) ≤ C x − y , ∀x, y ∈ X,
4) liên tục mạnh nếu x
n
hội tụ yếu đến x
0
thì Ax
n
→ Ax
0
;

5) hoàn toàn liên tục trên tập X nếu nó compact trên X.
Ví dụ 1.12. Hàm hai biến ϕ(x, y) = xy
2
(x
2
+ y
4
)
−1
không liên tục
nhưng liên tục theo từng biến tại (0, 0) do đó h-liên tục.
Định nghĩa 1.13. Giả sử A : X → Y là một toán tử từ không gian
Banach X vào không gian Banach Y . Toán tử A được gọi là khả vi
Fréchet tại x ∈ X nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục T : X → Y
sao cho
A(x + h) = A(x) + T.h + ω(h),
ω(h)
h
→ 0 khi h → 0,
với mọi h thuộc lân cận của điểm không. Nếu T tồn tại thì nó được gọi
là đạo hàm Fréchet của A tại x và kí hiệu là
A

(x) = T.
12
Đặc biệt nếu A là hàm F tức là F : X → R định nghĩa tương tự, hàm
F được gọi là khả vi Fréchet tại x
0
∈ X nếu tồn tại ξ ∈ X
∗

sao cho
F (x
0
+ h) = F (x
0
) + ξ.h + ω(h),
ω(h)
h
→ 0 khi h → 0,
ξ = F

(x
0
).
Ví dụ 1.14. Tìm đạo hàm Fréchet của
F (x) =
1
3
Ax, x , ∀x ∈ H,
ở đây A : H → H là toán tử tuyến tính, liên tục, tự liên hợp.
Giải:
F : H → R
F (x + h) − F (x) =
1
3
A(x + h), x + h −
1
3
Ax, x
=

1
3
Ah, h +
1
3
Ax, h +
1
3
Ah, x
=
1
3
Ax, h +
1
3
h, Ax +
1
3
Ah, h
=
2
3
Ax, h +
1
3
Ah, h
⇒ F

(x) =
2

3
Ax.
Định nghĩa 1.15. Giả sử ϕ là hàm lồi trên X. Phiếm hàm x
∗
∈ X
∗
được gọi là dưới gradient của hàm ϕ tại x ∈ X nếu
ϕ(x) − ϕ(y) ≤ x
∗
, x − y , ∀y ∈ X.
Tập các dưới gradient của ϕ tại x được gọi là dưới vi phân của ϕ tại x,
kí hiệu là ∂ϕ(x), tức là
∂ϕ(x) = {x
∗
∈ X
∗
: ϕ(y) − ϕ(x) ≥ x
∗
, y − x , ∀y ∈ X} .
Hàm ϕ được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂ϕ(x) = ∅.
Ta có mối liên quan chặt chẽ giữa tính lồi đều của một phiếm hàm
và tính đơn điệu đều của dưới vi phân của nó như sau:
13
Nếu ϕ là một phiếm hàm lồi đều xác định trên không gian Banach
phản xạ X thì ∂ϕ là một toán tử đơn điệu đều. Nếu D(ϕ) ≡ X thì ∂ϕ
còn gọi là toán tử h-liên tục tại mọi điểm x ∈ X, tức là
lim
t→0
∂ϕ(x + ty) = ∂ϕ(x), ∀x, y ∈ X.
Đây cũng là khái niệm về tính h - liên tục (hemi - liên tục, liên tục theo

mọi tia) cho một toán tử A bất kỳ.
Định nghĩa 1.16. Phiếm hàm ϕ(x) xác định trên X được gọi là nửa
liên tục dưới yếu tại điểm x
0
, nếu với mọi {x
n
} : x
n
hội tụ yếu đến x
0
⇒ ϕ(x
0
) ≤ lim inf ϕ(x
n
). Phiếm hàm ϕ(x) được gọi là nửa liên tục dưới
yếu, nếu nó nửa liên tục dưới yếu tại mọi điểm bất kỳ trong miền xác
định.
Trong không gian Hilbert H chuẩn của H cũng được kí hiệu là .,
phiếm hàm ϕ(x) = x
p
, p ≥ 2, là một phiếm hàm lồi đều với δ(r) =
2
2−p
r
p
và toán tử J
p
(x) = x
p−2
x là một toán tử đơn điệu đều với

δ(r) = (2
2−p
/p)r
p
. Trong không gian L
p
(Ω) ta có phiếm hàm f(x) =
x
β
L
p
(Ω)
là lồi đều với δ(r) = 2
2−β
r
β
, nếu: β ≥ p ≥ 2, p ∈ (1, 2) và
β ≥
p
(p−1)
. Khi đó ∂f(x) là một toán tử đơn điệu đều.
Cho không gian Sobolev
W
1
p
(Ω) = {υ ∈ L
p
(Ω) : D
α
υ ∈ L

p
(Ω), 0 ≤ |α| ≤ 1},
với chuẩn được xác định bởi
υ
1,p
=



Ω

|υ|
2
+ |D
α
υ|
2

p/2
dΩ


1/p
.
Ta xây dựng toán tử
Lυ = Grad v, υ ∈ W
1
p
(Ω),
và phiếm hàm

F (y) = Grad y
p
, y ∈ W
1
p
(Ω).
ở đây Grad v, Grad y là các Gradient tương ứng của v và y. Khi đó,
phiếm hàm H(υ) = F(Lυ), υ ∈ W
1
p
(Ω), là lồi đều và Gradient H

∈
(W
1
p
(Ω) → (W
1
p
(Ω))
∗
) là đơn điệu đều, trong đó
H

(υ) = L
∗
F

(Lυ), L
∗

= −Div,
14
với δ(r) = (2
2−p
/(p
β/p
))r
β
, β ≥ p ≥ 2.
Một dạng khá quan trọng của toán tử đơn điệu đều là toán tử tuyến
tính đơn điệu mạnh được dùng trong việc hiệu chỉnh phương trình với
toán tử đơn điệu trong phần sau.
Bổ đề 1.17. (Bổ đề Minty)
Nếu tồn tại phần tử x
0
∈ X thỏa mãn bất đẳng thức
A(x) − f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X,
ở đây A là một toán tử h-liên tục từ X vào X
∗
còn f là một phần tử
của X
∗
, thì x
0
là nghiệm của phương trình A(x) = f.
Nếu A là một toán tử đơn điệu, thì điều kiện trên tương đương với
A(x
0

) − f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X.
Chứng minh. Giả sử A(x
0
) = f. Khi đó, theo định nghĩa về chuẩn tồn
tại một véctơ z = 0 của X sao cho
A(x
0
) − f, z >
1
2
z A(x
0
) − f > 0.
Mặt khác, do A là h - liên tục nên t khá nhỏ ta có
|A(x
0
− tz) − A(x
0
), z| ≤
1
3
z A(x
0
) − f . (1.3)
Nhưng, từ điều kiện của bổ đề này ta có thể viết
A(x
0
− tz) − f, (x

0
− tz) − x
0
 ≥ 0,
hay
A(x
0
− tz) − A(x
0
), −tz + A(x
0
) − f, −tz ≥ 0,
hoặc
A(x
0
− tz) − A(x
0
), −z ≥ A(x
0
) − f, z .
Do đó
|A(x
0
− tz) − A(x
0
), z| >
1
2
z A(x
0

) − f > 0.
Bất đẳng thức cuối cùng này trái với (1.3). Vậy bổ đề được chứng minh.
15
Định lý 1.18. Nếu B là toán tử đơn điệu cực đại từ X vào X
∗
và A là
toán tử đơn điệu, giới nội và h-liên tục với D(A) = X thì A + B cũng
là một toán tử đơn điệu cực đại từ X vào X
∗
.
Định lý 1.19. Nếu A là toán tử đơn điệu cực đại và bức từ D(A) ⊆ X
vào X
∗
thì R(A) = X
∗
.
Chú ý 1.20. Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính thì tính đơn
điệu tương đương với tính không âm của toán tử.
Ví dụ 1.21. Toán tử tuyến tính A : R
M
→ R
M
được xác định bởi
A = B
T
B với B là một ma trận vuông cấp M, là một toán tử đơn điệu.
1.3 Bài toán đặt không chỉnh
Định nghĩa 1.22. Cho A là một toán tử từ không gian metric X vào
không gian metric Y . Bài toán ở dạng phương trình toán tử
A(x) = f (1.4)

được gọi là bài toán đặt chỉnh (well-posed) nếu:
1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ;
2) nghiệm này là duy nhất;
3) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán
(1.4) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed) ứng với cặp không
gian X và Y .
Chú ý 1.23. Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện ban đầu f,
có nghĩa là x = R(f) được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y )
nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ(ε) > 0 sao cho từ ρ
Y
(f
1
, f
2
) ≤ δ(ε) cho ta
ρ
X
(x
1
, x
2
) ≤ ε, ở đây
x
i
= R(f
i
), x
i
∈ X, f

i
∈ Y, i = 1, 2.
Chú ý 1.24. Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian này
nhưng lại không đặt chỉnh trên cặp không gian khác.
16
Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.4) dữ kiện
ban đầu ở đây chính là toán tử A và vế phải f. Giả sử toán tử A được
cho chính xác, còn vế phải f (có được do đo đạc) cho bởi f
δ
thỏa mãn
ρ
Y
(f, f
δ
) ≤ δ. Như vậy, với (f
δ
, δ) ta cần phải tìm một phần tử x
δ
∈ X
hội tụ đến nghiệm chính xác x
0
của (1.4) khi δ → 0. Phần tử x
δ
có tính
chất như vậy gọi là nghiệm xấp xỉ của bài toán không chỉnh trên.
Ví dụ 1.25. Xét chuỗi Fourier
f
1
(t) =
∞


n=0
a
n
cos(nt),
với hệ số (a
0
, a
1
, · · · , a
n
, · · · ) ∈ l
2
được cho xấp xỉ bởi c
n
= a
n
+
ε
n
, n ≥ 1
và c
0
= a
n
. Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng
f
2
(t) =
∞


n=0
c
n
cos(nt),
cũng có hệ số (c
0
, c
1
, · · · , c
n
, · · · ) ∈ l
2
. Khoảng cách giữa chúng là
ε
1
=

∞

n=0
(c
n
− a
n
)
2

1/2
= ε


∞

n=1
1
n
2

1/2
= ε

π
2
6
.
Do đó, khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ tùy ý. Trong
khi đó
f
2
(t) − f
1
(t) = ε
∞

n=1
1
n
cos(nt),
có thể làm lớn bao nhiêu cũng được, chẳng hạn tại t = 0 chuỗi trên phân
kỳ. Điều đó nói lên rằng nếu khoảng cách giữa hai hàm f

1
và f
2
được xét
trong không gian các hàm với độ đo đều, thì bài toán tính tổng chuỗi
Fourier là không ổn định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ.
Tuy nhiên, nếu xét trong không gian L
2
[0, π] thì

π

0
[f
2
(t) − f
1
(t)]
2
dt

1/2
=

π

0





∞

n=0
(c
n
− a
n
)cos(nt)




2
dt

1/2
=

∞

n=1
π
2
(c
n
− a
n
)
2


1/2
= ε
1

π
2
.
17
Như vậy, bài toán lại ổn định, tức là khi dữ kiện ban đầu a
n
cho xấp
xỉ bởi c
n
với sai số khá nhỏ thì các chuỗi Fourier tương ứng ở trên cũng
sai khác nhau không nhiều trong L
2
[0, π].
Chú ý 1.26. Gọi x
δ
là nghiệm của (1.4) với f thay bởi f
δ
(giả thiết rằng
nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì f
δ
→ f nhưng với bài toán đặt không
chỉnh thì x
δ
nói chung không hội tụ đến x.
Ví dụ 1.27. Nếu A là toán tử liên tục mạnh thì bài toán (1.4) (vô hạn

chiều) là bài toán đặt không chỉnh. Thật vậy, giả sử dãy {x
n
} chỉ hội
tụ yếu, không hội tụ mạnh đến x và y
n
= A(x
n
), y = A(x). Khi đó, do
tính liên tục mạnh của A suy ra y
n
→ y và nghiệm của phương trình
A(x) = f không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Tuy nhiên, cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình
toán tử với toán tử liên tục mạnh. Chẳng hạn, nếu miền xác D(A) của
toán tử A là hữu hạn chiều thì mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh,
do đó chứng minh trên không áp dụng được. Và nếu ta xét một toán tử
tuyến tính compact với miền ảnh R(A) hữu hạn chiều thì toán tử ngược
A
−1
là liên tục và khi đó bài toán giải phương trình A(x) = f là bài
toán đặt chỉnh.
Ví dụ 1.28. Xét phương trình tích phân Fredholm loại I
b

a
K(x, s)ϕ(s)ds = f
0
(x), x ∈ [a, b] , (1.5)
ở đây nghiệm là một hàm ϕ(x), vế phải f
0

(x) là một hàm cho trước,
K(x, s) là hạch của tích phân. Giả thiết hạch K(x, s) cùng với
∂K(x,s)
∂x
liên tục trên hình vuông [a, b] × [a, b]. Ta xét hai trường hợp sau
Trường hợp 1
A : C [a, b] → L
2
[a, b]
ϕ(x) → f
0
(x) =
b

a
K(x, s)ϕ(s)ds.
Sự thay đổi của vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian L
2
[a, b],
18
tức là khoảng cách giữa hai hàm f
0
(x), f
1
(x) trong L
2
[a, b] được cho bởi
ρ
L
2

[a,b]
(f
0
, f
1
) =


b

a
|f
0
(x) − f
1
(x)|
2
dx


1/2
.
Giả sử phương trình (1.5) có nghiệm là ϕ
0
(x). Khi đó với vế phải
f
1
(x) = f
0
(x) + N

b

a
K(x, s) sin(ωs)ds,
thì phương trình này có nghiệm
ϕ
1
(x) = ϕ
0
(x) + N sin(ωx).
Với N bất kỳ và ω đủ lớn thì khoảng cách giữa hai hàm f
0
và f
1
trong
không gian L
2
[a, b] là
ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
) = |N|




b

a


b

a
K(x, s) sin(ωs)ds


2
dx



1/2
,
có thể làm nhỏ tùy ý. Thật vậy, đặt
K
max
= max
x∈[a,b], s∈[a,b]
|K(x, s)| ,
ta tính được
ρ
L
2
[a,b]
(f

0
, f
1
) ≤ |N|



K
max
1
ω
cos(ωs)


b
a

2
dx

1/2
≤
|N| K
max
c
0
ω
,
ở đây c
0

là một hằng số dương. Ta chọn N và ω đủ lớn tùy ý nhưng
N
ω
lại nhỏ. Trong khi đó
ρ
C[a,b]
(ϕ
0
, ϕ
1
) = max
x∈[a,b]
|ϕ
0
(x) − ϕ
1
(x)| = |N| ,
có thể lớn bất kỳ.
Trường hợp 2
A : L
2
[a, b] → L
2
[a, b]
19
ϕ(x) → f
0
(x) =
b


a
K(x, s)ϕ(s)ds.
Tương tự, ta cũng chỉ ra khoảng cách giữa hai nghiệm ϕ
0
, ϕ
1
trong không
gian L
2
[a, b] có thể lớn bất kỳ. Thật vậy
ρ
L
2
[a,b]
(ϕ
0
, ϕ
1
) =


b

a
|ϕ
0
(x) − ϕ
1
(x)|
2

dx


1/2
= |N|


b

a
sin
2
(ωx)dx


1/2
= |N|

b − a
2
−
1
2ω
sin(ω(b − a))cos(ω(b + a)).
Dễ dàng nhận thấy rằng hai số N và ω có thể chọn sao cho ρ
L
2
[a,b]
(f
0

, f
1
)
rất nhỏ nhưng ρ
L
2
[a,b]
(ϕ
0
, ϕ
1
) lại rất lớn.
Ví dụ 1.29. Xét bài toán cực tiểu hàm ϕ(y) = y trên đoạn thẳng
y = λ
0
x + y
0
nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng 0xy. Ở
đây λ
0
và y
0
là những số cho trước và y
0
> 0. Giả sử λ
0
= 0 thay cho λ
0
ta có λ
δ

: |λ
δ
− λ
0
| < δ. Ta xét các trường hợp:
Trường hợp 1 : λ
δ
> 0.
Ta có: λ
δ
= λ
1
= λ
0
+
δ
2
. Trong trường hợp này, thay cho đường thẳng
y = y
0
ta có đường thẳng d
1
: y = λ
1
x + y
0
. Giá trị cực tiểu của phiếm
hàm ϕ(y) trên một phần của d
1
nằm trong vùng {x ≥ 0, y ≥ 0} đạt được

tại điểm (0, y
0
). Điều đó có nghĩa là khi x = 0 thì ϕ(0) = y
0
.
Trường hợp 2 : λ
δ
< 0.
Ta có: λ
δ
= λ
2
= λ
0
−
δ
2
. Trong trường hợp này, thay cho đường thẳng
y = y
0
ta có đường thẳng d
2
: y = λ
2
x + y
0
. Do λ
δ
< 0 cho nên đường
thẳng d

2
cắt trục 0x tại một điểm x
2
(δ) nào đó. Giá trị cực tiểu của
phiếm hàm ϕ(y) trên một phần của d
2
nằm trong vùng {x ≥ 0, y ≥ 0}
đạt được tại điểm x
2
(δ), 0 tức là tại x = x
2
(δ) ta có ϕ(x
2
(δ)) = 0.
Như vậy với |λ
1
− λ
2
| < δ ta có




min
λ
1
ϕ(y) − min
λ
2
ϕ(y)





= |y
0
− 0| = y
0
> 0,
ở đây y
0
có thể lớn tùy ý, bài toán này không ổn định.
Ví dụ 1.30. Xét phương trình toán tử A(x) = f với A là một ma trận
vuông cấp M = 5 được xác định bởi
20








1 1 1 1 1
1 1.0001 1 1 1
1 1 1.0001 1 1
1 1 1 1.0001 1
1 1 1 1 1.0001









và vế phải
f =

5 5.0001 5.0001 5.0001 5.0001

T
∈ R
5
.
Khi đó phương trình có duy nhất nghiệm
x =

1 1 1 1 1

T
∈ R
5
Nếu
A = A
h
1
=









1 1 1 1 1
1 1.0001 1 1 1
1 1 1.0001 1 1
1 1 1 1.0001 1
1 1 1 1 1








và
f =

5 5.0001 5.0001 5.0001 5

T
∈ R
5
thì phương trình có vô số nghiệm.
Nếu
A = A

h
2
=








1 1 1 1 1
1 1.0001 1 1 1
1 1 1.0001 1 1
1 1 1 1.0001 1
1 1 1 1 1








và
f =

5.0001 5.0001 5.0001 5.0001 5.0001

T

∈ R
5
21
thì phương trình vô nghiệm.
Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số trong phương trình ban đầu đã
kéo theo những thay đổi đáng kể của nghiệm.
Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán A(x) = f, nên người
ta thấy có một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm x
0
có x
∗
- chuẩn
nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm x
0
∈ X thỏa mãn
A (x
0
) = f,
và
x
0
− x
∗
 = min {x − x
∗
 : A(x) = f} .
Bằng cách chọn x
∗
, ta có thể có được nghiệm mà ta muốn xấp xỉ.
1.4 Phương trình toán tử loại Hammerstein

Xét phương trình tích phân loại Hammerstein. Tìm nghiệm x(t) sao
cho
x(t) +
b

a
K(t, s)G(x(s))ds = f(t),
ở đây các hàm K và f liên tục tương ứng trên [a, b] × [a, b] và R, và thỏa
mãn điều kiện toán tử F
2
được xác định bởi
(F
2
y)(t) =
b

a
K(t, s)y(s)ds
là không âm, F
2
tác động từ L
q
[a, b] vào L
p
[a, b] và
X = L
p
[a, b],
F
1

: X → X
∗
= L
q
[a, b],
1
p
+
1
q
= 1,
được xác định bởi
(F
1
x)(t) = G(x(t)), ∀x(t) ∈ L
p
[a, b]
nếu G(t) thỏa mãn điều kiện sau:
22
1) G(t) là một hàm liên tục và không giảm theo t.
2) |G(t)| ≤ a
1
+ b
1
|t|
p−1
, ∀t ∈ R
1
, a
1

+ b
1
> 0, a
1
≥ 0, b
1
≥ 0.
thì F
1
là một toán tử đơn điệu, liên tục từ L
p
[a, b] vào L
q
[a, b].
Ta có phương trình toán tử loại Hammerstein
x + F
2
F
1
(x) = f, f ∈ X. (1.6)
Bài toán: Xét một hệ thống phi tuyến có mối quan hệ ngược được mô
tả bởi hình vẽ sau:
ở đây u
i
là dữ liệu vào, y
i
là dữ liệu ra còn A
i
là các toán tử phi tuyến
(có thể đa trị) trong không gian Hilbert H. Một hệ thống có mối quan

hệ ngược như vậy thường được xác định bởi một cặp toán tử A
i
, i = 1, 2
nên ta thường gọi là hệ thống có mối quan hệ [A
1
, A
2
].
Định nghĩa 1.31. Một cặp (e
1
, e
2
) được gọi là nghiệm của hệ thống có
mối quan hệ ngược [A
1
, A
2
], nếu tồn tại y
1
∈ A
1
e
1
và y
2
∈ A
2
e
2
sao cho

e
1
= u
1
− y
2
, e
2
= u
2
+ y
1
.
Hệ thống có mối quan hệ thường được gọi là:
i) Giải được, nếu với mỗi cặp (u
1
, u
2
) ∈ H
2
= H × H tồn tại ít nhất
một cặp đôi (e
1
, e
2
) ∈ H
2
ứng với (u
1
, u

2
);
ii) Không đa trị, nếu mỗi nghiệm được xác định một cách duy nhất;
iii) Một hệ thống chuẩn, nếu [A
1
, A
2
] giải được và không đa trị.
Để tìm hiểu tính giải được cũng như tính không đa trị, người ta đưa
vào một ánh xạ: với mỗi a ∈ H, ta xác định được một ánh xạ
M
a
(x) = x + A
2
(a + A
1
(x)).
23