Tim m doi voi phuong trinh,bat phuong trinh va he bang pp don dieu va gtnn , gt

SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ
A). Phương Pháp:
Với phương trình có dạng :
)()( mgxf
=
Chúng ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1: Xem đó là phương trình hoành độ giao điểm của
)(xf
và
)(mg
.Do đó
số nghiệm của phương trình là số giao điểm của 2 hàm số
Bước 2: Xét hàm số
)(xfy
=
• Tìm tập xác định
D
• Tính đạo hàm
'y
, rồi giải phương trình
0'
=
y
• Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 3: Kết luận:
• Phương trình có nghiệm
)(max)()(min xfmgxf
≤≤⇔
• Phương trình có k nghiệm phân biệt
⇔

dựa vào bảng biến thiên xem
)(mg
cắt
)(xf
tại k điểm .Suy ra giá trị cần tìm
• Phương trình vô nghiệm
⇔
hai hàm số không cắt nhau
Với bất phương trình có dạng :
)()( mgxf
≤
Chúng ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1: Xét hàm số
)(xfy
=
• Tìm tập xác định
D
• Tính đạo hàm
'y
, rồi giải phương trình
0'
=
y
• Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 2: Kết luận:
• Bất phương trình có nghiệm
D
∈
)(min mgy
≤⇔

• Bất phương trình nghiệm đúng
Dx
∈∀
)(max mgy
≤⇔
Chú ý : Nếu
)()( mgxf
≥
thì:
• Bất phương trình có nghiệm
D
∈
)(min mgy
≥⇔
• Bất phương trình nghiệm đúng
Dx
∈∀
)(max mgy
≥⇔
Chú ý chung :
Nếu có đặt ẩn phụ
)(xht
=
. Từ điều kiện của
x
chuyển thành điều kiện của
t
.Có 3
hướng để tìm điều kiện :
• Sử dụng BĐT Cô si cho các số không âm

• Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
• Sử dụng đạo hàm để tim min và max ( lúc đó t sẽ thuộc min và max )
B).Bài Tập Ứng Dụng :
Loại 1: Bài toán tìm m đối với phương trình
Bài 1.Tìm m để phương trình sau có nghiệm : a)
mxxxx
=+−−++
11
22
b)
)45(12 xxmxxx
−+−=++
c)
mxxxx
++−=−+
99
2
d)
mxx
=−+
4
2
1
e)
0113
4
4
=−++−
xmxx
f)

4
2
4
2
422)422(
−=+−−+−
xxxxm
g)
03)cot(tancottan
22
=++++
xxmxx
Bài làm :
a)
mxxxx
=+−−++
11
22
Xét hàm số
11
22
+−−++=
xxxxy
• Miền xác định :
RD
=
• Đạo hàm :
12
12
12

12
'
22
+−
−
−
++
+
=
xx
x
xx
x
y
1)12(1)12(0'
22
+−+=++−⇔=
xxxxxxy




+−+=++−
>+−
⇔
)1()12()1()12(
0)12)(12(
2222
xxxxxx
xx

⇔
vô nghiệm
Mà
01)0('
>=
y
nên hàm số đồng biến trên R
• Giới hạn :

1
11
2
lim)11(limlim
22
22
=
+−+++
=+−−++=
+∞→+∞→+∞→
xxxx
x
xxxxy
xxx

1
11
2
limlim

22
−=
+−+++
=
−∞→−∞→
xxxx
x
y
xx
• Bảng biến thiên :

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
11
<<−
m
b)
)45(12 xxmxxx
−+−=++
Điều kiện :
x
∞−

∞+
'y
+
y
1
-1
40
04

05
012
0
≤≤⇔







≥−
≥−
≥+
≥
x
x
x
x
x
(*)
Viết phương trình về dạng :
mxxxxx
=−−−++
)45)(12(
(1)
Xét hàm số :
)45)(12( xxxxxy
−−−++=
• Miền xác định :

[ ]
4,0
=
D
• Nhận xét rằng :
- Hàm
)12()(
++=
xxxxh
là hàm đồng biến trên
D
- Hàm
xxxg
−−−=
45)(
có :
Dx
xx
xx
xg
∈∀>
−−
−−−
=
0
452
45
)('
.Suy ra đồng
biến

)().( xgxhy
=⇒
là hàm đồng biến trên
D
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi :
)4()0( fmf
≤≤
12)25(12
≤≤−⇔
m
c)
mxxxx
++−=−+
99
2
Điều kiện :

90
09
0
≤≤⇔



≥−
≥
x
x
x

Biến đổi phương trình :
mxxxx
++−=−+
9)9(29
2
mxxxx
=+−+−−⇔
9299
22
Xét hàm số
xxxxy 9299
22
+−++−=
• Miền xác định :
[ ]
9,0
=
D
• Đạo hàm :

xx
x
xy
9
)92(
92'
2
+−
+−
−−=

0
9
1
1)92(0'
2
=






+−
+−⇔=
xx
xy

2
9
=⇔
x
• Bảng biến thiên :
Vậy phương trình có nghiệm khi :
9
4
9
≤≤−
m
d)

mxx
=−+
4
2
1
Điều kiện :
0
≥
x
Xét hàm số :
xxy
−+=
4
2
1
• Miền xác định :
[
)
+∞=
,0D
• Đạo hàm :

x
x
x
y
2
1
)1(2
'

4
32
−
+
=

4
32
)1(0'
+=⇔=
xxxy

326
)1(
+=⇔
xx

1
22
+=⇔
xx
(vô nghiệm)
Suy ra
)(' xy
không đổi dấu trên
D
, mà
0
2
1

82
1
)1('
4
<−=
y
Do đó
Dxxy
∈∀<
0)('
⇔
hàm số đồng biến
• Giới hạn:
0
)1)(1(
1
lim)1(limlim
2
4
2
4
2
=
++++
=−+=
+∞→+∞→+∞→
xxxx
xxy
xxx
• Bảng biến thiên:

x
0

2
9

9
'y
– 0 +
y
9 9

4
9
−

x
0

∞+
'y
–
y
1
0
Vậy phương trình có nghiệm khi :
10
≤<
m
e)

0113
4
4
=−++−
xmxx
Biến đổi phương trinh :
xmxx
−=+−
113
4
4




−=+−
≥−
⇔
44
)1(13
01
xmxx
x




=+−−
≤
⇔

mxxx
x
13)1(
1
44
Xét hàm số
xxxy 13)1(
44
+−−=
• Miền xác định :
(
]
1,
∞−=
D
• Đạo hàm :

91212134)1(4'
233
++−=+−−−=
xxxxy

0912120'
2
=++−⇔=
xxy






−=
=
⇔
)(
2
1
)(
2
3
nx
lx

• Giới hạn :

[ ]
+∞=+−−=
−∞→−∞→
xxxy
xx
13)1(limlim
44
• Bảng biến thiên:
Vậy để phương trình có nghiệm khi :
2
3
−≥
m
x
∞−

2
1
−

1
'y
— 0 +
y

∞+

12

2
3
−

f)
4
2
4
2
422)422(
−=+−−+−
xxxxm
Điều kiện :
2
≥
x

Khi
2
=
x
:
VPVT
VP
VT
≠⇔



=
−=
0
2
(loại)
Khi
:2
>
x
Chia 2 vế cho
4
2
4
−
x
ta được :

2

2
2
2
2
2
44
=
−
+
−








+
+
−
x
x
x
x
m
(*)
Đặt
4
2

2
−
+
=
x
x
t
Tìm điều kiện cho
t
Cách 1: Xét hàm số
2
2
2
)(
4
>∀
−
+
=
x
x
x
xf
Đạo hàm :
( )
0
2
2
2
1

2
2
4
1
2
2
)('
4
3
2
4
3
'
<






−
+
−
−
=







−
+






−
+
=
x
x
x
x
x
x
x
xf
Suy ra hàm số
)(xf
nghịch biến
2
>∀
x
1)(lim)(
>⇔>⇔
+∞→
txfxf

x
Cách 2: Ta có
2
>
x
.
Mà
4
2
2
−
+
=
x
x
t
2
2
4
−
+
=⇔
x
x
t
1
)1(2
2)2(
4
4

4
−
+
=⇔
+=−⇔
t
t
x
xxt
Do đó:




>
−<
⇔



−<
>
⇔>−⇔
>
−
⇔>
−
+
1
1

1
1
01
0
1
4
2
1
)1(2
2
2
4
44
4
t
t
t
t
t
tt
t
Mặc khác
10
>⇒>
tt
Lúc đó : (*)
)()(
12
2
22

1
2
tfmg
t
tt
mt
t
m
=⇔
+
+
=⇔=−






+⇒
Xét hàm số
12
2
)(
2
+
+
=
t
tt
tf

• Miền xác định :
( )
+∞=
,1D
• Đạo hàm :
( )
⇒>
+
++
=
0
12
222
)('
2
2
t
tt
tf
hàm số đồng biến
• Giới hạn :
+∞=
+∞→
)(lim tf
t
• Bảng biến thiên:
Vậy để phương trình có nghiệm :
11)(
>⇔>
mmg

g)
03)cot(tancottan
22
=++++
xxmxx
Đặt
xxt cottan
+=
2cottan
222
++=⇒
xxt
Tìm điều kiện cho t :
2cot.tan2cottancottan
≥⇔≥+=+=
txxxxxxt
(vì
)1cot.tan
=
xx
Lúc đó :
)()(
1
01
2
2
tfmg
t
t
mmtt

=⇔
+
=−⇔=++
Xét hàm số
t
t
tf
1
)(
2
+
=
• Miền xác định:
),2()2,(
+∞∨−−∞=
D
• Đạo hàm :
Dx
t
t
tf
∈∀>
−
=
0
1
)('
2
2
• Giới hạn :

±∞=
+
=
±∞→±∞→
t
t
tf
tt
1
lim)(lim
2
• Bảng biến thiên :
x
1

∞+
'y
+
y

∞+

1
x
∞−

2
−

2

∞+

'y
+ +
y

2
5
−

∞+

∞−

2
5

Vậy để phương trình có nghiệm:





>
−<
2
5
2
5

m
m
Bài 2.Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt
a)
mxxxx
=−+−++
626222
44
b)
6164164
4
3434
=++−+++−
mxxxmxxx
Bài làm :
a)
mxxxx
=−+−++
626222
44
(1)
Điều kiện :
60
06
02
≤≤⇔



≥−

≥
x
x
x
Xét hàm số
xxxxy
−+−++=
626222
44
• Miền xác định:
[ ]
6,0
=
D
• Đạo hàm
x
x
x
x
y
−
−
−
−+=
6
1
)6(2
1
2
1

)2(2
1
'
4
3
4
3
0
6
1
2
1
)6(2
1
)2(2
1
0'
4
3
4
3
=
−
−+
−
−⇔=
xx
xx
y

0
6
1
2
1
)6(2
1
6
1
2
1
2
1
6
1
2
1
44
4
44
=








−

++








−
+
−
+








−
−⇔
xxxxxxxx
44
6
1
2
1
xx

−
=⇔
xx
−=⇔
62
2=⇔ x
• Bảng biến thiên:
x
0

2

6
'y
+ 0 —
y

)44(3
4
+


)66(2
4
+

1212
4
+