Giả thuyết giá trị trung bình smale và động học phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC




NGUYỄN THỊ NGA




GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE
VÀ ĐỘNG HỌC PHỨC




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC








THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ NGA






GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE
VÀ ĐỘNG HỌC PHỨC



Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12


LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG




THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

i

LỜI CẢM ƠN
Trước tiên tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các Thầy Cô giáo trường
Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, các Thầy Cô giáo dạy cao học chuyên
ngành Toán ứng dụng đã cho tôi những kiến thức toán học căn bản.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Thái Nguyên dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phượng. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới PGS. TS.
Tạ Duy Phượng, người đã hướng dẫn nghiêm túc về chuyên môn trong suốt thời
gian qua để tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, bạn bè và người thân đã động
viên khuyến khích và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, ngày 25 tháng 7 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Nga


ii

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU 1
Chương 1 ĐỘNG HỌC PHỨC VÀ THUẬT TOÁN NEWTON 3
1.1 Một số khái niệm cơ bản của giải tích phức 3
1.1.1 Số phức 3
1.1.2 Dãy số phức 5
1.1.3 Hàm phức 6
1.1.4 Đa thức phức 7
1.1.5 Hàm phân thức phức 8
1.1.3 Liên hợp phức 9

1.2 Động học phức 11
1.2.1 Dẫn tới khái niệm tập Fatou và tập Julia 11
1.2.2 Tập Fatou và tập Julia 15
1.2.3 Một số ví dụ tập Fatou và tập Julia 16
1.2.4 Định lí cánh hoa 22
1.3 Thuật toán Newton cho đa thức phức 23
1.3.1 Phương pháp lặp Newton 23
1.3.2 Tính hội tụ của phương pháp Newton 25
Chương 2 GIẢ THUYẾT GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH SMALE VÀ ĐỘNG
HỌC PHỨC 29
2.1 Giả thuyết giá trị trung bình Smale 29
2.2 Động học phức với giả thuyết giá trị trung bình Smale 33
2.3 Trường hợp đa thức bậc hai 35
2.4 Trường hợp đa thức bậc ba 36
2.5 Phát triển giả thuyết Smale 41
KẾT LUẬN 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….44
1

LỜI MỞ ĐẦU
Khi nghiên cứu độ phức tạp tính toán và tính hiệu quả của thuật toán Newton
giải phương trình đa thức phức, Smale đã chứng minh một bất đẳng thức, sau
này được gọi là bng thc Smale. Từ bất đẳng thức này, Ông đã đưa ra một
giả thuyết, sau này được gọi là gi thuyt giá tr trung bình Smale.
Từ giả thuyết giá trị trung bình Smale (ngắn gọn: Giả thuyết Smale), nhiều vấn
đề và giả thuyết mới nảy sinh: Chứng minh và mở rộng Giả thuyết Smale, Quan
hệ giữa Giả thuyết Smale với động học phức, Quan hệ giữa Giả thuyết Smale
với các vấn đề của toán học tính toán,…
Động học phức (complex dynamics) nghiên cứu dáng điệu và đặc biệt là tính hội
tụ của một dãy giá trị của hàm phức

()fz
xuất phát từ một điểm ban đầu
0
z
qua
phép lặp
1
00
( ) ( ( )).
kk
f z f f z


Dãy các điểm
 
0
()
k
fz
được gọi là o của
hàm
f
xuất phát từ điểm ban đầu
0
.z

Xuất phát từ giá trị ban đầu
0
,z
ánh xạ Newton

()
()
()
P
Pz
N z z
Pz


với
()Pz
là
đa thức, cho một dãy các giá trị
 
0
( ) ,
k
P
Nz
trong đó
 
1
00
( ) ( ) .
kk
PP
N z N N z


Như

vậy, dãy các giá trị
 
0
()
k
P
Nz
tạo thành một quĩ đạo xuất phát từ
0
.z
Một câu hỏi
tự nhiên đặt ra là: Xuất phát từ điểm
0
z
nào thì thuật toán Newton hội tụ?
Như vậy, ta thấy động học phức liên quan chặt chẽ với thuật toán Newton và có
thể giúp soi sáng hơn giả thuyết giá trị trung bình Smale. Nghiên cứu mối quan
hệ giữa động học phức với thuật toán Newton và giả thuyết Smale là một vấn đề
thời sự và thú vị của toán lý thuyết, giải tích số và toán ứng dụng.
Luận văn Gi thuyt giá tr ng hc phc trình bày mối
quan hệ giữa động học phức với sự hội tụ của thuật toán Newton và giả thuyết
giá trị trung bình của Smale, dựa theo cuốn sách [4] và các bài báo [6], [7].
Nội dung của luận văn gồm 2 chương:
2

Chương 1: Trình bày một số kiến thức của giải tích phức (đa thức phức, ánh xạ
phân thức và ánh xạ chỉnh hình, ánh xạ Mobius và hàm liên hợp,…). Nghiên
cứu động lực học trên mặt phẳng phức (tập Fatou và tập Julia), trình bày Thuật
toán Newton cho đa thức, Phương pháp lặp Newton, tính hội tụ của phương
pháp Newton.

Chương 2: Trình bày giả thuyết giá trị trung bình Smale, mối quan hệ giữa động
lực học phức với giả thuyết giá trị trung bình Smale và sự phát triển giả thuyết
Smale.
















3

Chương 1
ĐỘNG HỌC PHỨC VÀ THUẬT TOÁN NEWTON
1.1 Một số khái niệm cơ bản của giải tích phức
1.1.1 Số phức
Kí hiệu
1 i
được gọi là  o. S phc là các số dạng
,z x iy
trong

đó
x
và
y
là hai số thực. Tập tất cả các số phức được kí hiệu là
.

Số
22
z x y
được gọi là  của số phức
.z x iy

Mặt phẳng phức Mỗi số phức
z x iy
cho tương ứng với một điểm
M
có
tọa độ
 
,xy
trong mặt phẳng Eclid hai chiều và môđun của số phức
z
chính là
độ dài của vectơ
,OM
tức là
22
.z x y OM  
Ngược lại, mọi điểm

 
,M x y
trên mặt phẳng Eclid hai chiều tương ứng với số phức
.z x iy
Do
đó ta có tương ứng một-một giữa tập hợp số phức với mặt phẳng Eclid hai
chiều. Mặt phẳng này được gọi là mt phng phc.
Mặt cầu Riemann Ðể hiểu rõ bản chất của điểm vô cùng trên mặt phẳng phức,
cũng như sử dụng trong nghiên cứu dáng điệu của hàm số tại vô cùng, Riemann
đã biểu diễn tập hợp các số phức theo cách sau.
Định nghĩa 1.1.1 Mt cu Riemann
S
là mặt cầu trong không gian Euclid ba
chiều với hệ tọa độ Descartes vuông góc
0xy

có tâm là điểm
1
(0,0, ),
2
I
bán
kính
1
2
r 
và phương trình
2 2 2
,
   

  
hay
2
22
11
.
24
  

   



Kí hiệu
 
0,0,1N
là điểm cực bắc của mặt cầu,
1
zS
là một điểm bất kì nào đó
khác
N
trên mặt cầu. Đường thẳng
1
Nz
cắt mặt phẳng
0xy
tại
.z
Ngược lại,

lấy
0,z xy
nối
Nz
cắt
S

tại
1
.z
Như vậy, ta có một tương ứng một-một giữa
4

mặt cầu Riemann và mặt phẳng phức. Phép tương ứng trên được gọi là phép
chiu ni và
1
z
đuợc gọi là m Riemann của số phức
.z
Khi
1
z
dần đến điểm
cực bắc
,N
tia
1
Nz
tiến dần tới tia song song với mặt phẳng
0.xy

Do đó, ta có
thể xem điểm
NS
ứng với điểm
z 
và mặt cầu Riemann tương ứng với
mặt phẳng phức mở rộng gồm tất cả các điểm trên mặt phẳng phức bổ sung
thêm điểm
.z 


Trên đây ta mới thiết lập sự tương ứng giữa các điểm của mặt cầu S với mặt
phẳng phức thông qua hình học. Ta cũng có thể thiết lập sự tương ứng giữa
chúng bằng các hệ thức đại số. Theo giả thiết ba điểm
(0,0,1),N
1
( , , )z
  
và
( , ,0)z x y
thẳng hàng. Do đó, ta có biểu thức:
1
.
1xy
  




Suy ra

,
1
x




.
1
y





Vậy
.
1
i
z x iy



  


Mặt khác, vì
1
( , , )z
  

nằm trên mặt cầu S nên
2 2 2
.
   
  
Từ đó suy ra
5

2 2 2
2
22
22
.
(1 ) (1 ) 1
z x y
    
  

    
  

Vậy ta được
2
,
1
x
z




2
,
1
y
z



2
2
.
1
z
z




Công thức trên cho thấy sự tương ứng một-một giữa tập hợp các số phức và tập
hợp các điểm trên mặt cầu
,S
và điểm
N
tương ứng với điểm
z 
của mặt
phẳng phức mở rộng
.

1.1.2 Dãy số phức

Định nghĩa 1.1.2 Dãy số
 
n
z
được gọi là hi t đến điểm
z 
nếu với mỗi
0


tồn tại một số tự nhiên
N
sao cho
n
zz


với mọi
n
mà
.nN

Nếu
 
n
z

hội tụ đến
z
thì ta viết:

lim
n
n
zz


hay
0
.
n
zz


1.1.3 Hàm phức
Một ánh xạ
:f 
cho tương ứng mỗi số phức một giá trị phức được gọi là
hàm s ca bin s phc, hay hàm phc.
Định nghĩa 1.1.3 Điểm


được gọi là nghim (hoặc m) của hàm
()fz
nếu
( ) 0.f



Điểm
z 

được gọi là điểm bất động của ánh xạ
f
nếu ta có
( ) .f z z

Nhận xét rằng điểm bất động của hàm
f
cũng chính là nghiệm của phương
trình
( ) ( ) 0.F z f z z  

Giả sử
,,D U V
là các tập nào đó trong mặt phẳng phức
.
Hai hàm
:,f D U

:g U V

cho trước. Hàm hp của hai hàm và là hàm
:DV


được xác
định bởi công thức sau
    
( ) ( ) .z f g z f g z



Đôi khi ta cũng viết
.fg


Nói chung
.fg gf


6

Giả sử
D
là một tập mở trong tập số phức
.

Định nghĩa 1.1.4 Hàm số
:fD
được gọi là có gii hn
M
khi
z
tiến tới
điểm
0
zD
nếu với mỗi dãy
0n
zz

ta có dãy
 
.
n
f z M

Định nghĩa trên tương đương với: Hàm số
:fD
được gọi là có gii hn
M
khi
z
tiến tới điểm
0
zD
nếu với mỗi
0


tồn tại một số
0


sao cho
()f z M


với mọi
zD
mà

0
.zz



Khi hàm số có giới hạn
,M
ta viết
0
lim ( ) .
zz
f z M



Định nghĩa 1.1.5 Hàm số
:fD
được gọi là liên tc tại điểm
0
xD
nếu
với mỗi
0


tồn tại một số
0


sao cho

0
( ) ( )f z f z


với mọi
zD
mà
0
.zz



Nếu
f
liên tục tại mọi điểm của
D
thì
f
được gọi là liên tc trên
.D

Định nghĩa 1.1.6 Hàm số
:fD
được gọi là kh vi phc tại điểm
0
zD

nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính
:



sao cho

0
00
( ) ( ) ( )
lim 0.
zz
f z z f z z
z


  


Định nghĩa trên tương đương với: Nếu
0
00
( ) ( )
lim
zz
f z z f z
z


tồn tại thì ta nói
hàm số
:fD
được gọi là kh vi (o hàm) tại điểm
0

.zD

Kí hiệu đạo hàm của hàm số
:fD
tại điểm
0
zD

là
0
( ).fz

Ta có
0
00
0
( ) ( )
( ) lim .
zz
f z z f z
fz
z





Định nghĩa 1.1.7 Điểm



được gọi là m ti hn của
()fz

nếu
( ) 0f



.
Giá trị
()f



với ξ là điểm tới hạn của
,f
được gọi là giá tr ti hn của
.f

Trong nhiều trường hợp, hàm khả vi tại một điểm
0
zD

là chưa đủ để nghiên
cứu các tính chất của hàm phức. Vì vậy ta cần định nghĩa sau.


7

Định nghĩa 1.1.8 (Ánh xạ chỉnh hình – holomorphic mapping) Hàm

:fD

được gọi là hàm chnh hình tại
0
zD
nếu tồn tại một lân cận mở
UD
của
0
z
sao cho
()fz
là khả vi với mọi
.zU

Hàm
:fD
được gọi là hàm chnh hình trên
D
nếu
f
là hàm chỉnh hình
tại mọi điểm thuộc
.D

Định nghĩa 1.1.9 (Ánh xạ phân hình – meromorphic mapping) Hàm
:fD

được gọi là hàm phân hình trên tại
D

nếu tại mỗi điểm
0
zD
tồn tại một lân
cận mở
UD
của
0
z
sao cho với mọi
zU
thì
()fz
hoặc
1
()fz
là hàm
chỉnh hình.
Hàm
:fD
được gọi là hàm phân hình trên
D
nếu
f
là hàm phân hình
tại mọi điểm thuộc
.D

Định nghĩa 1.1.10 (Hàm giải tích– analytic mapping) Hàm
:fD

được gọi
là hàm gii tích trên
D
nếu nó là hàm chỉnh hình hoặc phân hình tại mỗi điểm
.zD

Hàm giải tích tại điểm
0
zD

có đạo hàm mọi cấp tại điểm ấy và có thể phân
tích thành chuỗi Taylor trong lân cận tại điểm
0
.zD

1.1.4 Đa thức phức
Định nghĩa 1.1.11 Một c phc (hay c vi h s phc)
 
Pz
có bậc
deg( )Pn
là hàm phức dạng
1
1 1 0
( ) ,
nn
nn
P z a z a z a z a



    

với
i
a
là các số phức,
0, ,in
0.
n
a 

Nếu
0n 
thì
()Pz
là hàm hng hay c hng.
Nếu
1n 
thì
()Pz
được gọi là c bc nht.
Nếu
2n 
thì
()Pz
được gọi chung là đa thức phức.
8

1.1.5 Hàm phân thức phức
Định nghĩa 1.1.12 Hàm

()
( ) ,
()
Pz
Rz
Qz

trong đó
()Pz
và
()Qz
là hai đa thức
phức được gọi là hàm phân thc phc.
Bậc của hàm phân thức
()
()
()
Pz
Rz
Qz

kí hiệu là
deg( )R
và được định nghĩa là:
 
deg( ) max deg( ),deg( ) ,R P Q

với
deg( )P
deg( )Q

là bậc của đa thức
()Px
và
( ).Qx

Định nghĩa 1.1.13 (Ánh xạ Möbius – Mobius mapping) Cho

là một hàm
phân thức dạng
( ) ,
az b
z
cz d




với
0.ad bc
Khi ấy,

là một hàm phân thức
bậc nhất và

được gọi là ánh x Möbius hoặc phép bii song tuyn tính.
Hàm tuyến tính
()P z az b
là trường hợp đặc biệt của hàm phân thức tuyến
tính, khi mẫu số đồng nhất bằng 1.

Ánh xạ Möbius là ánh xạ 1 − 1 của mặt phẳng phức lên chính nó. Thật vậy, đặt
,
az b
u
cz d



ta có:
 
.
az b du b
u czu du az b cu a z b du z
cz d cu a
  
          


Do đó, hàm ngược của
()
az b
z
cz d




tồn tại và được kí hiệu là
1
( ) .

du b
u
cu a






Hợp của hai ánh xạ Möbius là ánh xạ Möbius. Thật vậy, giả sử
()
az b
z
cz d





và
11
11
()
a t b
t
c z d





là hai ánh xạ Mobius. Ta có
9

11
1 1 1 1
11
11
1 1 1 1
11
()
( ( )) ( )
()
a t b
ab
aa bc t ab bd At B
c t d
tz
a t b
ca dc t cb dd Ct D
cd
c t d
  


   

   

   




cũng là ánh xạ Möbius.

1.1.6 Liên hợp phức
Để chứng minh một số kết quả, ta cần khái niệm liên hp sau đây
.
Định nghĩa 1.1.14 ([4], trang 11)
Cho hai hàm phức
()fz
và
( ).gz

Nếu tồn
tại một
phép biến đổi phân thức tuyến tính dạng
()
az b
z
cz d





sao cho
fg



hay
   
1
( ) ( )f z g z



với mọi
,z

thì hai hàm
()gz
và
()fz

được gọi
là liên hp với nhau
.
Khi biết
( ),fz

ta có thể tìm
()gz
theo công thức
1
.gf




Ví dụ 1.1.1 Xét hàm
2
()f z z z

và biến đổi tuyến tính
( ) .zz
  


Ta kiểm tra xem liệu
2
()f z z z

có liên hợp với dạng đơn giản hơn
2
()g w w c

hay không, trong đó c là hằng số.
Để xem hai đa thức trên có liên hợp hay không, ta kiểm tra sơ đồ sau:
2
2
z z z
w w c





Làm theo sơ đồ trên, ta được

2
( ) ( )f z z z

  
22
( ) .z z z z
    
    

2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 2 .g z g z z c z z c
       
        

Để
fg



thì các hệ số tương ứng phải bằng nhau, tức là:
10

2
2

2,
,
,c

 











hay
13
1, , .
24
c

    

Vậy hai đa thức
2
()f z z z
liên hợp với
2
3
( ) .
4
g w w


Ví dụ 1.1.2 Hai đa thức

2
2
( )
n
n
P z z a z a z   
và
2
2
1
11
( )
n
n
n
Q z z a z a z


   

là liên hp vi nhau bi
( ) , 0.zz
  

a, nu
c
m ti hn
ca
()Pz
thì

xc


m ti hn ca
( ).Qz

Thật vậy, vì
()zz


nên
2
2
( ) .
n
n
P z z a z a z
   
   

Giả sử
()Qz
có dạng
2
12
( ) .
n
n
Q z b z b z b z   
Ta có

 
22
12
( ) .
nn
n
Q z Q z b z b z b z
    
    

Theo lược đồ
()
()
z P z
w Q z



hay
( ) ( )Q z P z


ta có
 
2 2 2
1 2 2
( ) ( ) .
n n n
nn
Q z Q z b z b z b z P z z a z a z

        
         

Suy ra,
2
12
1
1, , ,
n
n
n
aa
b b b


  

hay
11

2
2
1
11
( ) .
n
n
n
Q z z a z a z



   

Ta có
1
2
( ) 1 2 .
n
n
P z a z na z


   
Giả sử
c
là điểm tới hạn của đa thức
( ),Pz
tức là
1
2
( ) 1 2 0.
n
n
P c a c na c


    
Vì
1
2

1
11
( ) 1 2
n
n
n
Q z a z na z




   

nên
 
1
2
1
1
2
11
( ) ( ) 1 2
1 2 ( ) 0
n
n
n
n
n
Q x Q c a c na c
a c na c P c

  





    

     

hay
xc


là điểm tới hạn của
( ).Qz

1.2 Động học phức
Một trong những bài toán của động học phức là nghiên cứu dáng điệu của dãy
giá trị của hàm phức dưới phép lặp. Động học phức đặc biệt quan tâm tới một số
điểm đặc biệt trong mặt phẳng phức hội tụ tới gốc hoặc vô cực.
1.2.1 Dẫn đến khái niệm tập Fatou và tập Julia
Trước tiên chúng ta xét một số thí dụ đơn giản, nhằm mô tả các tư tưởng cơ bản
nhất của động học phức.
Cho ánh xạ
:.f 
Chọn điểm xuất phát
0
z 
và lặp ánh xạ

,f
ta được
dãy các điểm
0
,z

10
( ),z f z

2
2 1 0 0 0
( ) ( ( )) ( ), , ( ).
n
n
z f z f f z f z z f z   

Dãy
 
n
z
được gọi là o của ánh xạ
f
xuất phát từ
0
.z

Rất nhiều câu hỏi tự nhiên xuất hiện ở đây, thí dụ:
1) Dãy
 
n

z
có hội tụ hay không? Tốt hơn nữa, với giá trị nào của
0
z
thì dãy
 
n
z
hội tụ?
2) Nếu dãy
 
n
z
không hội tụ, thì ta có thể nói gì về dáng điệu của dãy
 
?
n
z

12

3) Có thể nói gì về “độ nhạy” (robust) hoặc tính ổn định (stability) của quĩ đạo?-
Tức là, nếu
0
z
thay đổi nhỏ thành
0
,z
thì khoảng cách giữa hai điểm
n

z
và
n
z

của hai quĩ đạo cũng thay đổi nhỏ hay ngày càng xa nhau?
4) Thay vì xét “tương lai” (future) xuất phát từ
0
,z
ta có thể xét “quá khứ” hay
“lịch sử” (history) của
0
,z
tức là dãy
2 1 0
, , , , .
n
z z z z
  
Lưu ý rằng có thể có hai
hoặc nhiều giá trị
1
z

cùng đi tới
0
,z
tức là có thể có
1
z


và
1
z

sao cho
1 1 0
( ) ( ) .f z f z z



Giả sử
f
là hàm liên tục trên và dãy
 
n
z
xuất phát từ
0
z
hội tụ tới
.z
Khi
ấy do tính liên tục của hàm
f
ta có
 
 
 
1

lim lim lim .
n n n
n n n
z z f z f z f z

  
   

Chứng tỏ
z
chính là m bng của ánh xạ
.f

Giả sử
z
là điểm bất động của ánh xạ
f
và
f
là hàm khả vi trên
.
Khi ấy
đạo hàm
()fz

tại
z
được xác định. Ta nói rằng:
1) Điểm
z

là điểm bất động hút (attracting fixed point) nếu
( ) 1.fz



2) Điểm
z
là điểm bất động đẩy (repelling fixed point) nếu
( ) 1.fz



3) Điểm
z
là điểm bất động không phân bit (trung tính, trung lập, indifferent
fixed point) nếu
( ) 1.fz



Ta có thể giải thích các tên gọi này như sau.
Giả sử
z
đủ gần điểm bất động
.z
Khi ấy, theo định lí Lagrange (cho hàm
phức), tồn tại điểm


đủ gần

z
sao cho:
   
( ) ( ) .f z z f z f z f z z


    

Nếu
( ) 1fz


thì ta cũng có
( ) 1f



khi

đủ gần
.z
Vì vậy có thể coi
( ) 1fK



với mọi
(0, ),Br



trong đó
r
là một số dương đủ nhỏ nào đó.
Chọn
0
(0, ),z B r
ta suy ra
13

   
1 0 0 0 0
( ) ( ) .z z f z z f z f z f z z K z z


        

Chứng minh bằng qui nạp, ta được
0
.
n
n
z z K z z  

Vì
1K 
nên
n
zz
hay
z

là điểm hút.
Nếu
0
z
đủ gần, nhưng không trùng với điểm đẩy
,z
thì ban đầu nó có thể bị đẩy
khỏi
z
(khoảng cách
10
z z z z  
). Tuy nhiên, có thể nó quay trở lại gần tới
,z
hoặc thậm chí trùng với chính
z
tại bước tiếp theo. Thật vậy, chỉ có một
cách duy nhất để
n
z
có thể hội tụ tới điểm bất động đẩy
z
là ta phải có
n
zz

với mọi
0
nn
với

0
n
nào đó. Giả sử rằng
n
zz
với
n
zz
với mọi
.n
Vì
z

là điểm bất động đẩy, nên ta có thể chọn số
K
sao cho
( ) 1.f z K


Do
f
là
khả vi nên tồn tại một lân cận của
U
của
z
sao cho với mọi
()z U z
ta có
   

( ) .f z z f z f z K z z    

Vì
n
zz
nên với
n
đủ lớn (
0
nn
) ta phải có
( ).
n
z U z
Đặt
n
zz
ta suy ra
0
0
1
( ) ( ) .
nn
n n n n
z z f z f z K z z K z z


         

Mâu thuẫn với

z
là điểm bất động đẩy.
Ví dụ 1.2.1 Xét hàm
22
( ) 4 6 ( 2) 2.f z z z z     
Để tìm điểm bất động của
ánh xạ này, ta phải giải phương trình
( ) ,f z z
tức là
22
12
4 6 5 6 0 2, 3.z z z z z z z         

Vì
()f   
nên hàm
f
có ba điểm bất động là 

 

  và
3
.z 

Do
( ) 2 4 2( 2)f z z z

   
nên

(2) 0 1f


và
(3) 2 1f


nên điểm bất
động 

  là hút, còn điểm bất động 

  là đẩy. Như vậy, nếu
,
n
zz

thì
z
chỉ có thể bằng
2
hoặc
,
hoặc
3
n
z 
với
0
nn

nào đó. Nếu
3
n
z 
với
0
nn
thì do
3z 
là điểm bất động nên
3
n
z 
với mọi
0
.nn
Điều này xảy ra,
thí dụ, khi
0
1z 
(thì
1
3z 
và
3
n
z 
với mọi
1n 
).

14

Ta dễ dàng tìm được lân cận
(2),U
thí dụ,
   
(2) 1,3 2 , 1 1 ,Uz

      

mà tất cả các điểm
0
z
trong
(2)U
bị hút về 

  Thật vậy, nếu
0
2z


với
11

  
thì
 
2
2

1 0 0
( ) 2 2 2;z f z z

     

 
2
4
2 1 1
( ) 2 2 2;z f z z

     

…,
 
2
2
11
( ) 2 2 2 2
n
n
z f z z

      
khi
.n 

Dưới đây ta cố gắng mô tả những ý tưởng cơ bản của lí thuyết lặp (iteration
theory). Ta bắt đầu từ hai điểm
0

z
và
0
w
và xây dựng dãy lặp
1
()
nn
z f z


và
1
()
nn
w f w


như trên. Ta muốn xét xem khi
0
z
và
0
w
đủ gần nhau, thì liệu
n
z

và
n

w
có đủ gần nhau khi
?n 
Thí dụ, chọn
0
2z 
và nghiên cứu dáng
điệu của quĩ đạo
 
.
n
z
Liệu điều này có giúp ích gì cho nghiên cứu dáng điệu
của quĩ đạo
 
n
w
xuất phát từ
0
1,414?w 
-Câu trả lời hiển nhiên phụ thuộc vào
cách chọn
0
.z
Vì vậy ta chia mặt phẳng phức thành tập
F
chứa tất cả các điểm
0
z
mà câu trả lời là “có” (thí dụ, khi hai dãy

 
n
z
và
 
n
w
hội tụ đến cùng một
điểm
),z
và tập
J
chứa tất cả các điểm mà câu trả lời là “không” (thí dụ, khi
dãy
 
n
z
và
 
n
w
dao động mạnh và độc lập). Tác động của
n
f
trên tập
F

dẫn đến bảo tồn trạng thái gần nhau của các điểm, trong khi đó tác động của
f

trên
J
dẫn tới việc chia các điểm vào các tập
F

và
f

một lần nữa. Như vậy,
phân chia mt phng thành các tp
F
và
J
là mt vic làm quan trng khi
nghiên cng hc phc.
Các tư tưởng cơ bản làm cơ sở cho các nghiên cứu động học phức đã được các
nhà toán học Pháp Pierre Fatou và Gaston Julia phát biểu vào khoảng năm 1918.
Đặc biệt, Julia đã công bố khá nhiều công trình về vấn đề này. Julia đã được trao
15

giải thưởng của Viện Hàn lâm Khoa học Paris năm 1918 cho những đóng góp
của Ông.
Gần đây, nhờ khả năng đồ họa của máy tính (mà thời Fatou và Julia chưa có) đã
được rất nhiều nhà toán học quan tâm và phát hiện nhiều điều thú vị trong động
học phức cũng như quan hệ của động học phức với các bài toán khác.
1.2.2 Tập Fatou và tập Julia
Để xây dựng tập Fatou và tập Julia, trước tiên ta nhắc lại và phát triển khái niệm
liên tục đã nêu trong Định nghĩa 1.1.5.
Hàm số
:fD

được gọi là liên tc tại điểm
0
xD
nếu với mỗi
0


tồn
tại một số
0


sao cho
0
( ) ( )f z f z


với mọi
zD
mà
0
.zz



Nếu
f
liên tục tại mọi điểm của
D
thì

f
được gọi là liên tc trên
.D

Rõ ràng, đại lượng

nói chung phụ thuộc không chỉ vào

và
0
,z
mà còn phụ
thuộc vào chính hàm
.f
Khi

không phụ thuộc vào
f

thì ta có khái niệm liên
tng bc (equicontinuous) sau đây.
Định nghĩa 1.2.1 Họ

các hàm
:fD

được gọi là liên tng bc tại
điểm
0
xD

nếu với mỗi số dương

tồn tại số dương

sao cho với mọi
f 
ta có
0
( ) ( )f z f z



với mọi
zD
mà
0
.zz



Nếu

liên tục đồng bậc tại mọi điểm của
D
thì

được gọi là liên tc ng
bc trên
.D

Nếu họ

liên tục đồng bậc trên mỗi tập con
,D


thì nó cũng tự động liên
tục đồng bậc trên
.D


Chọn họ
 
D

là tập tất cả các tập mở của mà


liên tục đồng bậc trên đó. Điều này dẫn ta tới nguyên lí tổng quát sau đây.
Định lí 1.2.1 Gi s

là h các hàm
:.f 
n ti tp con m
ln nht ca
,
 các phép lp
 
n
f

là liên tng bc.
Định lí này dẫn đến định nghĩa hình thức tập Fatou và tập Julia của ánh xạ phân
thức như sau.
16

Định nghĩa 1.2.3 (Điểm Fatou, [4] trang 50) Cho
R
là một hàm phân thức có
bậc tối thiểu là 2. Tp Fatou của
R
là tập con mở lớn nhất trong

trên đó
n
R
là
liên tục đồng bậc.
Tp Julia của
R
là phần bù của tập Fatou trong .
Ta sẽ kí hiệu tập Fatou của hàm phân thức
R
bởi
()FR
hoặc
.F

Tập Julia của hàm phân thức
R
được kí hiệu

()JR
bởi hoặc
.J

Ta nhận xét rằng, theo định nghĩa,
()FR
là tập mở, còn
()JR
là tập compact.
Trong Mục 1.1.13 ta đã biết, mọi ánh xạ Möbius
()
az b
gz
cz d



đều có ánh xạ
ngược. Hai ánh xạ
R
và
1
S gRg


là liên hợp phức với nhau.
Dưới đây là hai tính chất đơn giản nhưng quan trọng của tập Fatou và tập Julia.
Định lí 1.2.2 (Theorem 3.1.4, [4], p. 50) Gi s
R
là ánh x phân thc không

phi là ánh x hng,
g
là ánh x Möbius và
1
.S gRg


Khi y
( ) ( ( ))F S g F R

và
( ) ( ( )).J S g J R

Định lí 1.2.3 (Theorem 3.1.5, [4], p. 51) Vi mi ánh x phân thc
R
không
phi là ánh x hng và mi s  
,p
ta có
( ) ( )
p
F R F R
và
( ) ( ).
p
J R J R

1.2.3 Một số ví dụ tập Fatou và tập Julia
Tập Fatou và tập Julia của ánh xạ phân thức có cấu trúc khá phức tạp, nhưng có
thể phân loại được (xem [4]). Động học phức, trong đó có tập Fatou và tập Julia,

liên quan tới nhiều vấn đề thú vị của toán học, ví dụ: Fractal, tập Mandelbrot và
số chiều Hausdorf (Hausdorf dimension), tập Cantor, đường cong Jordan,…
(xem [4]). Mục này trình bày một số ví dụ tập Fatou và tập Julia của một số ánh
xạ phân thức đã được lập trình và vẽ trên máy tính. Tập Julia là các phần tô đậm,
phần còn lại của mặt phẳng phức là tập Fatou. Các ví dụ chủ yếu được lấy từ
[10].
17

Ví dụ 1.2.2 Ánh xạ
2
( ) 1P z z


Hình 1 Tập Julia của ánh xạ
2
( ) 1P z z

Ví dụ 1.2.3 Ánh xạ
2
( ) 1.75488 P z z


Hình 2 Tập Julia của
2
1.75488 zz

Ví dụ 1.2.4 Ánh xạ
2
()P z z i

Hình 3 Một"dạng nhánh cây", tập Julia cho
2
()P z z i

18

Ví dụ 1.2.5 Ánh xạ
2
( ) ( .765 .12 ).P z z i   


Hình 4 Một tập Julia hoàn toàn gián đoạn,
2
( ) ( .765 .12 ).P z z i   

Ví dụ 1.2.6 Ánh xạ
2
( ) ,P z z c

tập Mandelbrot

Hình 5 Tập Mandelbrot
19

Ví dụ 1.2.7 Ánh xạ
2
()P z z z

Hình 6 Tập Julia của ánh xạ
2
( ) .P z z z

Ví dụ 1.2.8 Ánh xạ
2
( ) (.99 .14 ) .P z z i z  


Hình 7 Một đường cong kín, tập Julia của ánh xạ
2
( ) (.99 .14 ) .P z z i z  

20

Ví dụ 1.2.9 Ánh xạ
2
2
3
()
i
P z e z z




Hình 8 Tập Julia của ánh xạ
2
2
3

( ) .
i
P z e z z



Ví dụ 1.2.10 Ánh xạ
2
()P z z z



với
 
 
exp 5 1i




Hình 9 Tập Julia của ánh xạ
2
()P z z z



với
 
 
exp 5 1 .i




21

Ví dụ 1.2.11 Ánh xạ
3
( ) 1P z z


Hình 10 Tập Fatou và tập Julia của
3
( ) 1.P z z

Ví dụ 1.2.12 Ánh xạ
4
1zz


Hình 11 Tập Fatou và tập Julia của
4
( ) 1.P z z