Luận văn thạc sỹ khoa học toán học ánh xạ co điểm tiệm cận (chuyên ngành toán giải tích)

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH THANH HÓA
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC
NGUYỄN THỊ NGA
ÁNH XẠ CO ĐIỂM TIỆM CẬN
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Thanh Hà
THANH HÓA, NĂM 2014
MỤC LỤC
Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i
Lời cảm ơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ii
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
Chương 1. Ánh xạ co điểm tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Ánh xạ co điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Chương 2. Ánh xạ co điểm trong không gian metric . . . . . . . . . . .11
2.1. Kiến thức bổ trợ 11
2.2. Ánh xạ co điểm tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Ánh xạ co điểm tiệm cận không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
Chương 3.Ánh xạ co điểm tiệm cận kiểu Meir–Keeler . . . . . . . . .24
3.1. Định nghĩa ánh xạ co điểm tiệm cận kiểu Meir–Keeler . . . . . . 24
3.2. Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa
luận, luận văn, luận án và các công trình khoa học đã công bố.
Người cam đoan
Nguyễn Thị Nga

ii
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS.
Nguyễn Thị Thanh Hà đã nhiệt tình hướng dẫn và động viên cổ vũ tác
giả trong suốt quá trình làm luận văn.
Đồng thời, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trực
tiếp giảng dạy lớp thạc sĩ Toán khóa 4 của trường Đại học Hồng Đức,
cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường và Ban chủ nhiệm khoa Khoa học Tự
Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi
cho tác giả hoàn thành luận văn này.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và tổ Toán
trường THPT Đào Duy Từ đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong
suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Cuối cùng, tác giả xin dành tặng luận văn này cho gia đình, bạn
bè, những người luôn ở bên cạnh động viên, khích lệ tác giả và là chỗ
dựa tinh thần vững chắc cho tác giả trong cuộc sống, trong học tập, và
trong nghiên cứu.
1
MỞ ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động là một nhánh của toán học nói chung
và giải tích hiện đại nói riêng, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối ưu,
lí thuyết trò chơi, các bao hàm thức vi phân, lí thuyết phương trình vi
phân, đạo hàm riêng, giải tích phi tuyến và nhiều ứng dụng khác trong
vật lí. Một số kết quả về tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện
từ đầu thế kỷ XX, trong đó phải kể đến điểm bất động Brouwer (1912),
nguyên lí ánh xạ co Banach (1922). Chúng được xem như là những kết
quả kinh điển đánh dấu sự ra đời của một hướng toán học mới thu hút
sự quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng thế giới. Các kết quả này
đã và đang được mở rộng ra nhiều lớp ánh xạ và không gian khác nhau
trong đó không gian mêtric được lấy làm nền tảng.

Trong các kết quả mở rộng ấy chúng ta không thể không nhắc đến
các vấn đề về điểm bất động của ánh xạ co. Mục đích của luận văn này
là trình bày một cách chi tiết hơn về ánh xạ co điểm tiệm cận.
Bố cục của luận văn bao gồm ba chương với những nội dung chính
sau:
Chương 1: Nhắc lại một số lý thuyết về ánh xạ co điểm tiệm cận.
Chương 2: Nghiên cứu về ánh xạ co điểm tiệm cận và ánh xạ co
điểm tiệm cận không giãn trong không gian metric.
Chương 3: Nghiên cứu về ánh xạ co điểm tiệm cận kiểu Meir–Keeler.
Nội dung chính của luận văn chủ yếu dựa vào các bài báo [1], [2],
[3] ở mục tài liệu tham khảo.
Do thời gian và kinh nghiệm cũng như năng lực còn nhiều hạn chế
nên luận văn chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót ngoài ý muốn, vì vậy
2
tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến và phê bình của thầy
cô, bạn bè, đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn cả về mặt nội
dung và hình thức. Tác giả xin chân thành cảm ơn!
3
Chương 1
ÁNH XẠ CO ĐIỂM TIỆM CẬN
1.1. Ánh xạ co điểm
Định nghĩa 1.1.1. Cho (M, d) là không gian metric. Ánh xạ T : M →
M được gọi là ánh xạ co điểm tiệm cận nếu tồn tại ánh xạ α : M → [0, 1)
sao cho
d(T x, T y) ≤ α(x)d(x, y) với mỗi y ∈ M.
Định lí 1.1.2. Cho K là tập con lồi compact yếu của không gian Banach
và giả sử T : K → K là ánh xạ co điểm. Khi đó, T có duy nhất điểm
bất động ¯x và {T
n
(x)} hội tụ đến ¯x với mỗi x ∈ M.

Chú ý rằng nếu T là ánh xạ co điểm, thì nó liên tục. Hơn nữa, nếu
α(x) = 0 với một số x ∈ M, thì T là ánh xạ hằng. Ánh xạ co tiệm cận
được định nghĩa như sau. Cho Φ là họ tất cả các ánh xạ φ : R
+
→ R
+
thỏa mãn
(i) φ liên tục,
1. 0 ≤ φ(t) < t với mọi t ∈ R
+
\{0}, φ(0) = 0.
Định nghĩa 1.1.3. Cho (M, d) là không gian metric. Ánh xạ T : M →
M là ánh xạ co tiệm cận nếu
d(T
n
x, T
n
y) ≤ φ
n
(d(x, y)) với mọi x, y ∈ M, (1.1)
ở đây, φ
n
→ φ ∈ Φ đều trong phạm vi của d.
4
Kết quả điểm bất động của ánh xạ co tiệm cận được thể hiện ở định lí
sau.
Định lí 1.1.4. Giả sử (X, d) là không gian metric đóng và giả sử rằng
T : M → M là ánh xạ co tiệm cận liên tục mà ánh xạ φ
n
trong (1.1)

liên tục. Ta cũng giả sử thêm rằng một số quỹ đạo của T bị chặn. Khi
đó, T có một điểm bất động z ∈ M, và hơn nữa, dãy lặp Picard {T
n
(x)}
hội tụ tới z với mỗi x ∈ M.
Trước khi chuyển sang kết quả chính, chúng tôi đưa ra cái nhìn sâu
hơn về ánh xạ co điểm, bắt đầu với việc chứng minh Định lý 1.1.2.
Định lý 1.1.2. Giả sử K là tập T-bất biến lồi, compact yếu, rất nhỏ,
khác rỗng; giả sử d := diam(K) > 0. Kết quả của [4] đủ để chứng minh
rằng K chứa một điểm không xuyên tâm. Chọn m ∈ K. Khi đó, nếu
u ∈ K, T m − T u ≤ α(m)m − u. Do vậy T (K) ⊆ B(T m; α(m)d). Vì
thế
conv(T (K)) ⊆ B(T m; α(m)d).
Nhưng K = covn(T (K)). Do vậy, với mỗi z ∈ K, z − T (m) ≤ α(m)d,
chứng minh rằng T m là điểm không xuyên tâm của K. Vì vậy T có một
điểm bất động z ∈ K. Rõ ràng các điểm bất động là duy nhất, và từ
z − T
n
x ≤ [α(z)]
n
z − T x hội tụ của dãy lặp Picard.
Đối với phần tồn tại của Định lý 1.1.2, giả thiết rằng α(x) < 1 với
mỗi x ∈ K mạnh hơn cần thiết. Nó cũng đủ, ví dụ, giả sử với mỗi tập
con T -bất biến, lồi, đóng, khác rỗng H của K, α(x) ≡ 1 với x ∈ H ⇒ H
compact. Ngoài ra, nó cũng làm suy giảm các giả thiết theo cách khác.
Nó đủ để giả thiết rằng T : K → K( K lồi, đóng, bị chặn) thỏa mãn,
5
với mỗi x ∈ K và d > 0,
sup


T x − T y
x − y
: y ∈ K, x − y ≥ d

:= α
d
(x) < 1.
Để chỉ ra giả sử này là đủ, ta giả sử diam(K) = d > 0 và chọn 0 <
d

< d. Cố định m ∈ K. Khi đó, nếu u ∈ K có hai thay thế. Hoặc
T m − T u ≤ d

, hoặc T m − T u ≤ α
d

(m)m − u ≤ α
d

(m)d. Cho
ρ = max{d

, α
d

(m)d}, ρ < d và T (K) ⊆ B(T m; ρ). Điều này một lần
nữa đi đến kết luận rằng T m là điểm không xuyên tâm của K với K bất
biến tối thiểu.
1.2. Định lý điểm bất động
Cho X là không gian Banach, C là một tập con của X, và {x

n
} là
dãy bị chặn trong X. Tiệm cận chính của {x
n
} tương đối trong C, định
nghĩa A
C
(x
n
) là tập các cực tiểu trong C (nếu mỗi) của hàm f cho bởi
f(x) = lim sup
n→∞
x
n
− x.
Tức là
A
C
(x
n
) = {x ∈ C : f(x) = inf
C
f}.
Điều đó dễ dàng suy ra rằng nếu X lồi đều và nếu C là đóng và lồi, thì
A
C
(x
n
) gồm chính xác một điểm.
1.2.1. Ánh xạ co điểm tiệm cận

Kết quả chính của ta là mở rộng của Định lý 1.1.2.
Định lí 1.2.1. Cho K là tập con lồi compact yếu của không gian Banach
X và cho T : K → K là ánh xạ co điểm tiệm cận. Khi đó, T có duy nhất
6
một điểm bất động z ∈ K, và với mỗi x ∈ K, dãy lặp Picard {T
n
x}, hội
tụ theo chuẩn đến z.
Chứng minh. Cố định x ∈ K và định nghĩa hàm f bởi
f(u) = lim sup
n→∞
T
n
x − u, u ∈ K. (1.2)
Do K là tập lồi, compact yếu nên tiệm cận trung tâm của dãy {T
n
x}
tương ứng với K
A
K
(T
n
x) ≤ α
m
(u)f(u), u ∈ K.
Thật vậy, ta có
f(T
m
u) = lim sup
n→∞

T
n
x − T
m
u
= lim sup
n→∞
T
m+n
x − T
m
u
≤ lim sup
n→∞
α
m
(u)T
n
x − u
= α
m
(u)f(u).
Bây giờ, lấy u ∈ A
K
(T
n
x) và từ T
m
u ∈ K, ta được, với mọi m ≥ 1,
f(u) ≤ f(T

m
u) ≤ α
m
(u)f(u). (1.3)
Từ α
m
(u) → α(u) < 1, giới hạn trong (1.3) khi m → ∞, ta được
f(u) ≤ α(u)f(u).
Do đó f(u) = 0. Điều này cùng với (1.3) suy ra rằng f(T
m
u) = 0 với
mọi m ≥ 1. Trong trường hợp riêng, f(T u) = 0. Do vậy, ta có T
n
x → u
và T
n
x → T u, cả hai theo chuẩn. Vì thế, Tu = u; có nghĩa là, u là điểm
bất động của T . Khi đó, với mọi n ≥ 1,
u − v = T
n
u − T
n
v ≤ α
n
(u)u − v.
7
Cho n → ∞, ta được
u − v ≤ α(u)u − v.
Nhưng α(u) < 1, ngay lập tức ta nhận được u = v.
1.2.2. Ánh xạ co điểm tiệm cận không mở rộng

Kết hợp với các khái niệm về ánh xạ co điểm tiệm cận, ta đưa ra các
khái niệm sau.
Định nghĩa 1.2.2. Ánh xạ T : K → K được gọi là ánh xạ co điểm tiệm
cận không mở rộng nếu, với mỗi sô nguyên n ≥ 1,
T
n
x − T
n
y ≤ α
n
(x)x − y với mỗi x, y ∈ K, (1.4)
khi α
n
→ 1 co điểm trên K.
Chú ý 1.2.3. (i) Không khó để chỉ ra rằng nếu K bị chặn thì ánh xạ
co điểm tiệm cận không mở rộng T là loại tiệm cận không mở rộng
kiểu [6], tức là, T thỏa mãn điều kiện
lim sup
n→∞
sup
y∈K
(T
n
x − T
n
y − x − y) ≤ 0 (1.5)
với mọi x ∈ K.
(ii) Gọi ánh xạ T : K → K là tiệm cận không mở rộng nếu có dãy {k
n
}

các số dương với k
n
→ 1 khi n → ∞ và sao cho
T
n
x − T
n
y ≤ k
n
x − y
với mọi n và x, y ∈ K. Điều này ngay lập tức suy ra rằng một ánh
xạ tiệm cận không mở rộng là co điểm tiệm cận không mở rộng.
8
Mệnh đề 1.2.4 ([9]). Một không gian Banach X được gọi là lồi đều
nếu và chỉ nếu với mỗi số cố định r > 0, tồn tại một hàm liên tục
ϕ : [0, ∞) → [0, ∞), ϕ(t) = 0 ⇒ t = 0, sao cho
λx + (1 − λ)y
2
≤ λx
2
+ (1 − λ)y
2
− λ(1 − λ)ϕ(x − y)
với mọi λ ∈ [0, 1] và mọi x, y ∈ X sao cho x ≤ r và y ≤ r.
Định lí 1.2.5. Giả sử X là không gian Banach lồi đều và K là tập
con lồi đóng, bị chặn của X. Khi đó, mọi ánh xạ co điểm tiệm cận
T : K → K có một điểm bất động. Hơn nữa, tập các điểm bất động của
T là lồi đóng.
Chứng minh. Cố định một x ∈ K và định nghĩa hàm f(y) bởi
f(y) = lim sup

n→∞
T
n
x − y
2
, y ∈ K. (1.6)
Do X lồi đều và K là compact yếu nên f có duy nhất cực tiểu trên K;
tức là, ta có duy nhất điểm bất động z ∈ K thỏa mãn
f(z) = min
y∈K
f(y).
Bây giờ, ta chứng minh rằng {T
n
z} hội tụ theo chuẩn. Thật vậy, từ
Mệnh đề 1.2.4 (chọn r = diam(K)), ta có, với mọi số nguyên l, m ≥ 1


T
l+m+n
x −
1
2
(T
l
z + T
m
z)


2

≤
1
2
T
l+m+n
x − T
l
z
2
+
1
2
T
l+m+n
x − T
m
z
2
−
1
4
ϕ(T
l
z − T
m
z)
≤
1
2
α

l
(z)
2
T
m+n
x − z
2
+
1
2
α
m
(z)
2
T
l+n
x − z
2
−
1
4
ϕ(T
l
z − T
m
z).
Cho n → ∞, ta được
f

T

l
z + T
m
z
2

≤
1
2
(α
l
(z)
2
+ α
m
(z)
2
)f(z) −
1
4
ϕ(T
l
z − T
m
z). (1.7)
9
Tuy nhiên,
f(z) ≤ f

T

l
z + T
m
z
2

với mọi l, m. Vì vậy, ta có từ (1.7) (với α
n
(z) → 1 khi n → ∞)
ϕ(T
l
z − T
m
z) ≤ 4

1
2
(α
l
(z)
2
+ α
m
(z)
2
)f(z) − f(z)

→ 0
khi l, m → ∞. Do vậy, {T
l

z} là chuẩn-Cauchy. Cho
v = lim
n→∞
T
n
z.
Ta sẽ chứng minh rằng v là điểm bất động của T . Thật vậy, do T là ánh
xạ co điểm tiệm cận không mở rộng., ta có, với mọi n,
T v − T
n+1
z ≤ α
l
(v)v − T
n
z.
Cho n → ∞ suy ra T v − v ≤ 0; tức là, Tv = v. Tiếp theo, cho F là
tập các điểm bất động của T . Để chứng minh rằng F là đóng, giả sử
{v
n
} ⊂ F và v
n
→ v
∞
theo chuẩn. Khi đó, ta có, với mọi m, n ≥ 1,
T v
∞
− v
∞
 ≤ v
n

− v
∞
 + T v
∞
− v
n

= v
n
− v
∞
 + T v
∞
− T
m+1
v
n

≤ v
n
− v
∞
 + α
1
(v
∞
)v
∞
− T
m

v
n

= [1 + α
1
(v
∞
)]v
n
− v
∞
 → 0.
Do vậy, v
∞
∈ F và F đóng. Để chứng minh tính lồi của F, ta cần chứng
minh rằng (u + v)/2 ∈ F bất kể khi nào u, v ∈ F . Đặt w = (u + v)/2.
Khi đó
T
n
w − u = T
n
w − T
n
u ≤ α
n
(w)w − u =
1
2
α
n

(w)u − v.
T
n
w − v = T
n
w − T
n
v ≤ α
n
(w)w − v =
1
2
α
n
(w)u − v.
10
Nhắc lại rằng modul của tính lồi của X định nghĩa bởi
δ
X
(ε) = inf

1 −
1
2
x + y : x = y = 1, x − y = ε

,
với ε ∈ (0, 2]. Ta cũng nhắc lại rằng X là lồi đều nếu δ
X
(ε) > 0 với

ε ∈ (0, 2]. Có nghĩa là δ
X
(2) = 1 với một không gian Banach X lồi
nghiêm ngặt. Sau đó ta có
T
n
w − w ≤
1
2
α
n
(w)u − v

1 − δ
X

2
α
n
(w)

. (1.8)
Do α
n
(w) → 1, từ (1.8), cho n → ∞, ta được T
n
w → w theo chuẩn.
Điểu này đủ để suy ra T w = w, và vì thế, F lồi.
11
Chương 2

ÁNH XẠ CO ĐIỂM TRONG
KHÔNG GIAN METRIC
2.1. Kiến thức bổ trợ
Cho M là không gian metric và F là họ các tập con của M. Khi đó,
ta có thể nói rằng F định nghĩa một cấu trúc lồi trên M nếu nó chứa
hình cầu đóng và ổn định bởi sự giao nhau. Ví dụ A(M), lớp các tập
con của M, định nghĩa một cấu trúc lồi trên không gian metric bất kỳ.
Nhắc lại rằng tập con của M là thừa nhận nếu nó là giao khác rỗng của
các hình cầu đóng.
Bây giờ, ta sẽ nhắc lại một số kiến thức dùng trong luận văn này.
Với A là tập con của không gian metric M, đặt
r
x
(A) = sup{d(x, y) : y ∈ A}, x ∈ M;
R(A) = inf{r
x
(A) : x ∈ A};
diam(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A};
C
A
(A) = {x ∈ A : r
x
(A) = R(A)};
cov(A) = ∩{B : B là hình cầu và B ⊇ A}
diam(A) là diameter của A, R(A) là bán kính Chebyshev của A, C
A
(A)
là tâm Chebyshev của A, và cov(A) là bao của A.
Định nghĩa 2.1.1. Cho F là tập lồi trong M.
(i) Ta nói rằng F là compact nếu với mọi họ (A

α
)
α∈Γ
các phần tử của
F có giao khác rỗng thuộc ∪
α∈F
A
α
= với mỗi tập con hữu hạn F ∩Γ.
12
(ii) Ta nói rằng F là tập thông thường nếu với mỗi A ∈ F, không giảm
đến một điểm ta có R(A) < diam(A).
(iii) Ta nói rằng F là tập thông thường không đổi nếu tồn tại c ∈ (0, 1)
sao cho với mỗi A ∈ F, không giảm đến một điểm, ta có R(A) ≤
cdiam(A). Ta dễ dàng kiểm tra được c ≥ 1/2.
Ví dụ 2.1.1. Một không gian metric M được gọi là siêu lồi nếu thỏa
mãn với mọi họ {x
α
} các điểm của M và với mỗi họ {r
α
} của các số
thực không âm thỏa mãn
d(x
α
, x
β
) ≤ r
α
+ r
β

đó là trường hợp mà ∩
α
B(x
α
; r
α
) = 0. Nếu M là siêu lồi thì A(M)
compact và là tập thông thường không đổi với
R(A) =
1
2
diam(A) với mỗi A ∈ A(M).
Kết quả chính của [7, 5] được thể hiện trong không gian metric như
sau
Định lí 2.1.2. Cho M là không gian metric bị chặn. Giả sử cấu trúc lồi
A(M) compact. Cho T : M → M là ánh xạ co điểm thì T có duy nhất
điểm bất động x
0
. Hơn nữa, dãy {T
n
(x)} hội tụ về x
0
với mỗi x ∈ M.
Chứng minh. Do A(M) compact nên tồn tại tập tối thiểu khác rỗng K ∈
A(M) sao cho T (K) ⊂ K. Ta dễ dàng kiểm tra được cov(T (K)) = K.
Cho a ∈ K, thì K ⊂ B(a, r
a
(K)). Do T là ánh xạ co điểm nên tồn tại
ánh xạ α : M → [0, 1) sao cho
d(T (x), T (y)) ≤ α(x)d(x, y) với mỗi y ∈ M.

13
Đặc biệt, ta có T (K) ⊂ B(T (a), α(a)r
a
(K)), điều đó có nghĩa cov(T (K)) ⊂
B(T (a), α(a)r
a
(K)). Vì thế r
T (a)
(K) ≤ α(a)r
a
(K). Điều này buộc diam(K) =
0. Thật vậy, cho a ∈ K và định nghĩa
K
a
= {x ∈ K : r
x
(K) ≤ r
a
(K)}.
Rõ ràng K
a
khác rỗng. Hơn nữa, ta có
K
a
=

x∈K
B(x, r
a
(K)) ∩ K ∈ A(M).

Và từ r
T (a)
(K) ≤ α(a)r
a
(K), ta nhận được T (K
a
) ⊂ K
a
. Từ dáng điệu
rất nhỏ của K suy ra K
a
= K. Đặc biệt, ta có r
x
(K) = r
a
(K) với mọi
x ∈ K. Do vậy diam(K) = r
a
(K), với mỗi a ∈ K, tức là K có giảm
xuỗng một điểm bất động của T . Vì vậy, tập điểm bất động của T khác
rỗng. Kết luận còn lại của định lý được suy ra từ tính chất chung của
ánh xạ co điểm.
Trong các kết quả ta có được [8], nếu M là siêu lồi thì A(M) com-
pact, do vậy ta được kết quả sau:
Hệ quả 2.1.3. Cho M là không gian metric siêu lồi bị chặn. Cho T :
M → M là ánh xạ co điểm. Khi đó, T có duy nhất điểm bất động x
0
.
Hơn nữa, dãy {T
n

(x)} hội tụ đến x
0
với mỗi x ∈ M.
2.2. Ánh xạ co điểm tiệm cận
Cho M là không gian metric và F là một cấu trúc lồi. Ta nói rằng
hàm Φ : M → [0, ∞) là F-lồi nếu {x; Φ(x) ≤ r} ∈ F với mỗi r > 0.
Ngoài ra, ta cũng định nghĩa một kiểu hàm Φ : M → [0, ∞) cho bởi
Φ(u) = lim sup
n→
d(x
n
, u)
14
với (x
n
) là dãy bị chặn trong M. Ta có bổ đề sau
Bổ đề 2.2.1. Cho M là không gian metric và F là một cấu trúc lồi
compact. trên M mà T -ổn định. Khi đó, với mỗi kiểu Φ, tồn tại x
0
∈ M
sao cho
Φ(x
0
) = inf{Φ(x) : x ∈ M}.
Định lí 2.2.2. Cho M là không gian metric bị chặn. Giả sử cấu trúc
lồi A(M) compact. Cho T : M → M là ánh xạ co điểm tiệm cận mạnh.
Khi đó, T có duy nhất điểm bất động x
0
. Hơn nữa, dãy {T
n

(n)} hội tụ
đến x
0
với mỗi x ∈ M.
Chứng minh. Đầu tiên, giả sử rằng T có ít nhất một điểm bất động.
Thật vậy, cho a, b ∈ M là hai điểm bất động của T . Khi đó ta có
d(a, b) = d(T
n
(a), T
n
(b)) ≤ α
n
(a)d(a, b).
Nếu ta cho n → ∞ thì d(a, b) ≤ kd(a, b) với mỗi k ∈ (0, 1). Điều này
dẫn đến d(a, b) = 0. Tiếp theo, cho x ∈ M và định nghĩa
Φ(u) = lim sup
n→∞
d(T
n
(x), u), với mỗi u ∈ M.
Do A(M) compact nên
Ω(x) =

n≥1
cov({T
k
(x); k ≥ n}) = .
Cho ω ∈ Ω(x), ta được
d(T
m+n+h

(x), T
m+h
(x)) ≤ α
h
(T
m
(x))d(T
n
(x), T
m
(x)).
Cho n → ∞, ta được
Φ(T
m+h
(x)) ≤ α
h
(T
m
(x))Φ(T
m
(x)).
15
Tiếp theo, cho h → ∞ ta được
lim sup
n→∞
Φ(T
n
(x))
với một số k ∈ (0, 1), điều này dễ dàng suy ra được lim sup
n→∞

Φ(T
n
(x)) =
0.
Tiếp theo, ta chứng minh
Φ(ω) ≤ lim sup
n→∞
Φ(T
n
(x)) = 0.
Thật vậy, cho u ∈ M, khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại n
0
≥ 1 sao cho với
mỗi n ≥ n
0
d(T
n
(x), u) ≤ Φ(u) + ε.
Trong trường hợp đặc biệt, ta có T
n
(x) ∈ B(u, Φ(u)+ ε) với mỗi n ≥ n
0
.
Vì vậy
Ω(x) ⊂ cov

{T
n
(x); n ≥ n
0

}

⊂ B(u, Φ(u) + ε).
điều đó có nghĩa ω ∈ B(u, Φ(u) + ε). Điều này đúng với mỗi ε > 0. Do
vậy, với mọi u ∈ M ta có d(ω, u) ≤ Φ(u). Nên
Φ(ω) lim sup
n→∞
d(T
n
(x), ω) ≤ lim sup
n→∞
Φ(T
n
(x)).
Do vậy, ta có Φ(ω) = 0, có nghĩa là {T
n
(x)} hội tụ về ω. Điều này sẽ
buộc ω là điểm bất động của T . Do T có ít nhất một điểm bất động nên
T có điểm bất động x
0
và dãy hội tụ về x
0
.
Nếu M là siêu lồi thì A(M) compact, do đó ta có
Hệ quả 2.2.3. Cho M là không gian metric siêu lồi bị chặn. Cho T :
M → M là ánh xạ co điểm tiệm cận mạnh. Khi đó, T có duy nhất điểm
bất động, x
0
. Hơn nữa, dãy {T
n

(x)} hội tụ đến x
0
với mỗi x ∈ M.
16
Tiếp theo, chúng ta mở rộng dáng điệu của T nhưng giả sử kiểu lồi
để được kết quả sau
Định lí 2.2.4. Cho M là không gian metric bị chặn. Giả sử tồn tại
cấu trúc lồi F compact và T-ổn định. Cho T : M → M là ánh xạ co
điểm tiệm cận. Khi đó, T có duy nhất điểm bất động, x
0
. hơn nữa, dãy
{T
n
(x)} hội tụ về x
0
với mỗi x ∈ M.
Chứng minh. Một cách tương tụ có thể dễ dàng suy ra T có ít nhất một
điểm bất động. Như ta đã làm trong chứng minh kết quả trước, cho
x ∈ M và định nghĩa kiểu
Φ(u) = lim sup
n→∞
d(T
n
(x), u), với mỗi u ∈ M.
Từ F compact và T -ổn định, tồn tại x
0
∈ M sao cho
Φ(x
0
) = inf{Φ(u); u ∈ M}.

Ta sẽ chứng minh rằng Φ(x
0
) = 0. Thật vậy, ta có
d(T
m+n
(x), T
m
(x
0
)) ≤ α
m
(x
0
)d(T
n
(x), x
0
),
với mỗi n, m ≥ 1. Nếu cho n → ∞, ta được
Φ(T
m
(x
0
)) ≤ α
m
(x
0
)Φ(x
0
)

có nghĩa là
Φ(x
0
) = inf{Φ(u); u ∈ M} ≤ Φ(T
m
(x
0
)) ≤ α
m
(x
0
)Φ(x
0
).
Nếu cho m → ∞ ta sẽ được Φ(x
0
) ≤ α(x
0
)Φ(x
0
). Từ α(x
0
) < 1, ta được
Φ(x
0
) = 0, có nghĩa là {T
n
(x)} hội tụ đến x
0
. Điều này chứng tỏ x

0
là
điểm bất động của T . Do T có ít nhất một điểm bất động nên T có điểm
bất động x
0
và dãy hội tụ đến x
0
.
17
2.3. Ánh xạ co điểm tiệm cận không giãn
Chúng ta lưu ý rằng với mỗi kết quả về ánh xạ co điểm tiệm cận
không giãn trong không gian metric nên mở rộng những gì được biết
đến về ánh xạ tiệm cận không giãn trong không gian metric. Một
không gian metric (X, d) được gọi là không gian độ dài nếu hai điểm
của X được nối bởi phần khắc phục (tức là một phần của chiều dài hữu
hạn) và khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của X được lấy từ giá trị nhỏ
nhất của độ dài của tất cả phần khắc phục. Trong trường hợp này, d
được gọi là một metric độ dài. Trong trường hợp không có phần khắc
phục nối lại của không gian khoảng cách giữa chúng là vô cùng.
Một đường đo đạc nối x ∈ X với y ∈ X (hay, hơn một thời gian
ngắn, đo đạc từ x đến y) là một ánh xạ c từ khoảng thời gian đóng
[0, l] ⊂ R đến X sao cho c(0) = x, c(l) = y và d(c(t), c(t

)) = |t − t

| với
mọi t, t

∈ [0, l]. Đặc biệt, c là một phép đẳng cự và d(x, y) = l. Hình
ảnh α của c được gọi là một trắc địa (hay metric) đoạn thẳng nối x và

y. (X, d) được gọi là không gian trắc địa nếu mọi hai điểm của X được
nối bằng trắc địa. X được gọi là trắc địa đều nếu có một trắc địa chính
xác nối x và y với mỗi x, y ∈ X, ta sẽ biểu thị bằng[x, y] gọi là đoạn
thẳng nối x và y.
Một tam giác trắc địa ∆(x
1
, x
2
, x
3
) trong không gian metric trắc
địa (X, d) bao gồm ba điểm trong X (đỉnh của ∆) và một đoạn thẳng
giữa mỗi cặp đỉnh (cạnh của ∆). Một tam giác so sánh cho tam giác
∆(x
1
, x
2
, x
3
) trong (X, d) là tam giác
¯
∆(x
1
, x
2
, x
3
) := ∆( ¯x
1
, ¯x

2
, ¯x
3
) trong
M
2
K
sao cho d
R
2
( ¯x
i
, ¯x
j
) = d(x
i
, x
j
) với i, j ∈ {1, 2, 3}. Nếu K > 0 nó được
giả định là chu vi của ∆(x
1
, x
2
, x
3
) ít hơn 2D
K
, với D
K
là đường kính

18
của M
2
K
. Một tam giác như vậy luôn tồn tại.
Một không gian metric trắc địa được cho là một không gian CAT
(K)
nếu mọi tam giác trắc địa của kích thước thích hợp thỏa mãn tiên đề so
sánh CAT
K
sau đây.
CAT
K
: Cho ∆ là tam giác trắc địa trong X và cho
¯
∆ ⊂ M
2
K
là tam
giác so sánh cho ∆. Khi đó, ∆ được cho là thỏa mãn bất đẳng thức
CAT
K
nếu với mọi x, y ∈ ∆ và mọi điểm so sánh ¯x, ¯y ∈
¯
∆,
d(x, y) ≤ d(¯x, ¯y).
Các không gian CAT (0) đầy đủ thường được gọi là các không gian
Hadamard. Các không gian này là trường hợp đặc biệt liên quan đến vấn
đề nghiên cứu. Cuối cùng, chúng tôi nhận thấy rằng nếu x, y
1

, y
2
là các
điểm của không gian CAT(0) và nếu y
0
là trung điểm của đoạn thẳng
[y
1
, y
2
] mà ta sẽ ký hiệu là
y
1
⊕ y
2
2
, thì bất đẳng thức CAT(0) có nghĩa
là
d

x,
y
1
⊕ y
2
2

2
≤
1

2
d(x, y
1
)
2
+
1
2
d(x, y
2
)
2
−
1
4
d(y
1
, y
2
)
2
(2.1)
vì phương trình thỏa mãn trong metric Euclidean. Thực ra, một không
gian metric trắc địa là một không gian CAT (0) nếu và chỉ nếu nó thỏa
mãn bất đẳng thức (2.1). Hơn nữa, nếu M là không gian metric CAT(0)
và x, y ∈ M thì với mọi α ∈ [0, 1], tồn tại duy nhất điểm αx⊕ (1 − α)y ∈
[x, y] sao cho
d

z, αx ⊕ (1 − α)y


≤ αd(z, x) + (1 − α)d(z, y) với mọi z ∈ M, (2.2)
và [x, y] = {αx ⊕ (1 − α)y, α ∈ [0, 1]}.
Cho M là không gian CAT(0) đủ. Một tập con C ⊂ M là lồi nếu với
mỗi x, y ∈ C ta có [x, y] ⊂ C. Ký hiệu C(M) là họ các tập con lồi đóng
của M. Khi đó C(M) định nghĩa một cấu trúc lồi compact và thường
19
đều. Chú ý rằng với mỗi kiểu hàm lồi, tức là C(M) là T -lồi. Kiến thức
sau dễ dàng suy ra từ bất đẳng thức (2.2). Một ý nghĩa trực tiếp của
tính chất này là bất kỳ kiểu hàm nàođạt giá trị nhỏ nhất của nó, tức là
với mọi dãy con bị chặn {x
n
} trong không gian CAT(0) M, đều tồn tại
ω ∈ M sao cho Φ(ω) = inf{Φ(x); x ∈ M}, với
Φ(x) = lim sup
n→∞
d(x
n
, x).
Định lí 2.3.1. Cho M là không gian metric CAT(0) đủ. Cho C là tạp
con lồi, khác rỗng, đóng và bị chặn của M. Khi đó, với mỗi T : C → C
co điểm tiệm cận không mở rộng có một điểm bất động. Tạp hợp điểm
bất động F ix(T ) lồi và đóng, tức là Fix(T ) ∈ C(M).
Chứng minh. Trước tiên, cho x ∈ C và định nghĩa
Φ(u) = lim sup
n→∞
d(T
n
(x), u), với mỗi u ∈ C.
Lấy ω ∈ C sao cho Φ(ω) = inf{Φ(u); u ∈ C} = Φ

0
. Chúng ta đã thấy
rằng Φ(T
n
(ω)) ≤ α
n
(ω)Φ(ω) = α
n
(ω)Φ
0
, với mỗi n ≥ 1. Ta có
d

T
n
(x),
T
m
(ω) ⊕ T
h
(ω)
2

2
≤
1
2
d(T
n
(x), T

m
(ω))
2
+
1
2
d(T
n
(x), T
h
(ω))
2
−
1
4
d(T
m
(ω), T
h
(ω))
2
.
Nếu ta cho n → ∞, ta được
Φ
2
0
< Φ

T
m

(ω) ⊕ T
h
(ω)
2

<
1
2
Φ(T
m
(ω))
2
+
1
2
Φ(T
h
(ω))
2
−
1
4
d(T
m
(ω), T
h
(ω))
2
.
Điều đó có nghĩa là

d(T
m
(ω), T
h
(ω))
2
≤ Φ
2
0
(2α
m
(ω)
2
+ 2α
2
h
(ω) − 4).
Từ T là ánh xạ co điểm tiệm cận không giãn, ta được
lim sup
m,h→∞
(T
m
(ω), T
h
(ω))
2
≤ 0,
20
có nghĩa là {T
n

(ω)} là dãy Cauchy. Cho v = lim
n→∞
T
n
(ω). Do T liên
tục, nên T (v) = v, tức là, v là điểm bất động của T . Điều này chứng
tỏ F ix(T) khác rỗng. Cũng từ T liên tục nên F ix(T ) đóng. Để chứng
minh F ix(T ) lồi, ta chỉ cần chứng minh
x ⊕ y
2
∈ F ix(T), bất cứ khi nào
x, y ∈ Fix(T ). Thật vậy, đặt ω =
x ⊕ y
2
. Ta có
d(T
n
(ω), ω)
2
≤
1
2
d(x, T
n
(ω))
2
+
1
2
d(y, T

n
(ω))
2
−
1
4
d(x, y)
2
,
với mọi n ≥ 1. Từ
d(x, T
n
(ω))
2
= d(T
n
(x), T
n
(ω))
2
≤ α
2
n
(ω)d(ω, x)
2
=
α
2
n
(ω)d(x, y)

2
4
,
và
d(y, T
n
(ω))
2
= d(T
n
(y), T
n
(ω))
2
≤ α
2
n
(ω)d(ω, y)
2
=
α
2
n
(ω)d(x, y)
2
4
,
ta được
d(T
n

(ω), ω)
2
≤
(α
2
n
(ω) − 1)d(x, y)
2
4
,
với mỗi n ≥ 1. Do T là ánh xạ co điểm tiệm cận không giãn, nên
lim
n→∞
T
n
(ω), có nghĩa là T (ω) = ω, tức là ω ∈ Fix(T ).
Nếu U, V là các tập con bị chặn của không gian metric X, cho H là
metric Hausdorff, được xác định bởi
H(U, V ) = inf{ε > 0 : U ⊂ N
ε
(V ) và V ⊂ N
ε
(U)},
với N
ε
(V ) = {y ∈ X : d(y, V ) < ε}. Cho E là tập con của không
gian metric X. Một ánh xạ T : E → 2
X
với giá trị giới hạn khác rỗng là
H(T (x), T (y)) ≤ d(x, y) với mọi x, y ∈ E. Cho t : E → E và T : E → 2

X
với T (x) ∩ E = với x ∈ E. Khi đó, t và T được cho là ánh xạ giao hoán
nếu t(y) ∈ T (t(x)) ∩ E với mọi y ∈ T (x) ∩ E và với mọi x ∈ E. Một
21
điểm z ∈ X được gọi là tâm của ánh xạ t : E → X nếu với mỗi
x ∈ E, d(z, t(x)) ≤ d(z, x). Tập Z(t) biểu thị tập tất cả tâm của ánh xạ
t.
Như một ứng dụng của Định lý 2.3.1, ta có Định lý sau
Định lí 2.3.2. Cho M là không gian CAT(0) đủ và C là tập con lồi,đóng,
bị chặn của M. Giả sử t : C → C là ánh xạ co điểm tiệm cận không giãn
và T : C → 2
C
là ánh xạ không giãn với T (x) là tập con lồi compact của
C với mỗi x ∈ C. Nếu ánh xạ t và T giao hoán và thỏa mãn
T (x) ∩ F ix(t) ⊂ Z(t) với mỗi x ∈ F ix(t)
thì có z ∈ C sao cho z = t(z) ∈ T(z).
Chứng minh. Do Định lý 2.3.1, một ánh xạ co điểm tiệm cận t của tập
con lồi, đóng, bị chặn có tập điểm bất động khác rỗng A là tập con lồi,
đóng của M. Từ t và T giao hoán, t(y) ∈ T (t(x)) = T (x) với y ∈ T (x)
và x ∈ A, và vì thế, T (y) bất biến dưới t với mỗi x ∈ A. Do T (x) là
tập con lồi, đóng, bị chặn của không gian CAT (0), nên t có một điểm
bất động trong T (x) và T (x) ∩ A = với x ∈ A. Bây giờ, ta xét ánh xạ
T (·) ∩ A : A → tập con lồi, compact của A. Ta chứng minh rằng ánh
xạ này không giãn. Thật vậy, nếu u ∈ T(x) ∩ A với mỗi x ∈ A, cho v là
điểm bất động gần nhất duy nhất của T (y) đến u với mỗi y ∈ A. Khi
đó, d(u, v) ≤ inf{d(u, w); w ∈ T (y)}.
Tuy nhiên, từ u ∈ Z(t), d(u, t(v)) ≤ d(u, v), mâu thuẫn với tính duy
nhất của v là điểm gần nhất đến u. Vì vậy, v = t(v), tức là v ∈ T(y) ∩ A.
Suy ra
H(T (x) ∩ A, T(y) ∩ A) ≤ H(T (x), T (y)) ≤ d(x, y) với x, y ∈ A.