Báo cáo thuyết trình MÃ HÓA KÊNH

chương 8
MÃ HÓA KÊNH
Nhóm sinh viên thực hiện: Mai Xuân Duy
Đào Trọng Hoàng
Trần Văn Quyền
Vũ Thị Thu
Nguyễn Thị Đảng
chương 8: MÃ HÓA KÊNH
Sơ đồ khối một hệ thống truyền thông số điển hình
chương 8: MÃ HÓA KÊNH

8.1. Mã Reed – Solomon

8.2. Mã đan xen và mã kết nối

8.3. Mã hóa đan xen áp dụng cho đĩa compact và hệ
thống âm thanh số

8.4. Mã Turbo

8.1 mã reed-solomon

Mã Reed-Solomon không phải là mã nhị phân tuần hoàn
với các kí hiệu tạo thành chuỗi m bit, trong đó m là một số
nguyên dương lớn hơn 2

Mã R-S (n, k), với n,k thỏa mãn:
k là số các ký hiệu dữ liệu được mã hóa, n là tổng số các ký
hiệu mã trong khối mã hóa
0 2 2
m

k n
< < < +
8.1 mã reed-solomon

Đối với hầu hết mã RS (n,k) thông thường thì:

Trong đó t là khả năng sửa lỗi của mã, là số kí
hiệu chẵn lẻ

Khoảng cách mã nhỏ nhất được xác định bởi:
Bộ mã này có khả năng sửa được nhiều nhất t lỗi
( , ) (2 1,2 1 2 )
m
m
n k t
= − − −
min
1d n k
= − +
min
1
2 2
d
n k
t
−
−
   
= =
 

 
  
2n k t− =
8.1 mã reed-solomon

Khả năng xóa-sửa lỗi của bộ mã là

Đồng thời khả năng sửa lỗi và xoá-sửa lỗi có thể được xác
định bởi điều kiện sau:
Trong đó là số mẫu lỗi kí hiệu có thể sửa
min
1d n k
ρ
= − = −
min
2 d n k
α γ
+ < < −
min
d
8.1 mã reed-solomon
8.1.1 Xác suất lỗi R-S

R-S được giải mã với xác suất lỗi kí hiệu

Trong đó t là khả năng sửa lỗi kí hiệu của mã, và mỗi kí
hiệu được tạo thành từ m bit

Điều chế MFSK có thì mối quan hệ giữa Pb và Pe
như sau:

2 1
2
1
1 2 1
( ) (1 )
2 1
m
m
m
j t j
E
m
j t
P j p p
j
−
− −
= +
−
= −
−
∑
1
2
2 1
m
B
m
E
P

P
−
=
−
8.1 mã reed-solomon
8.1.2 Tại sao mã R-S lại tốt cho việc chống nhiễu
Xét mã R-S (n,k)=(255,247) mỗi kí hiệu được mã hóa bởi
m=8 bit (mỗi kí hiệu thường được gọi là byte)

Vì n-k=8 => mã này có thể sửa được 4 lỗi kí hiệu

Giả sử một tín hiệu nhiễu đó kéo dài trong khoảng thời gian
25 bit và làm xáo trộn 4 kí hiệu.

Giải mã R-S (255,247) thì sẽ sửa được bất kì 4 lỗi kí hiệu
nào. Nói cách khác, khi bộ mã sửa 1 byte nó sẽ thay thế
byte sai bằng byte đúng cho dù lỗi đó do 1 bit hỏng hay cả
8 bit cùng hỏng.
8.1 mã reed-solomon
8.1.3 Hiệu năng, dư thừa và tốc độ mã hóa.
Đối với một mã chống nhiễu tốt, thời gian nhiễu phải
chiếm một phần trăm tương đối nhỏ của các từ mã

Tín hiệu nhiễu nhận được sẽ được lấy trung bình trên
suốt chu kì của nó và làm giảm các tác động đột ngột
hoặc bất thường.

Để việc sửa lỗi có hiệu quả hơn ta tăng kích thước khối
mã, làm cho mã R-S trở thành sự lựa chọn tối ưu với bất
cứ chiều dài nào ta mong muốn.

8.1 mã reed-solomon
8.1.3 Hiệu năng, dư thừa và
tốc độ mã hóa
Tốc độ mã hóa là 7/8. Kích
thước của khối tăng từ n=32
kí hiệu (5 bit cho 1 kí hiệu)
đến n=256 kí hiệu (8 bit cho
một kí hiệu). Do đó kích
thước của tăng từ 160 bit lên
tới 2048 bit.
8.1 mã reed-solomon
8.1.3 Hiệu năng, dư thừa và
tốc độ mã hóa.
Bộ mã có chiều dài n=64
và số kí hiệu dữ liệu giảm từ
k=60 xuống k=4 ( dư thừa
tăng từ 4 đến 60 kí tự).
8.1 mã reed-solomon
8.1.4 Trường xác định

Với bất kì một số nguyên tố p tồn tại một trường xác định
kí hiệu là GF(p)

Mở rộng trường GF(p) thành một trường có phần tử,
được gọi là trường mở rộng của GF(p), và được kí hiệu là
GF( )

Trường nhị phân GF(2) là một trường con của trường

GF( ), trường số thực là trường con của trường số phức

m
p
2
m
m
p
Chương 8: MÃ HÓA KÊNH
8.1 MÃ REED - SOLOMON
8.1.4 Trường xác định

Bên cạnh số 0 và 1, có thêm phần tử mới trong trường mở
rộng nó được biểu thị bởi 1 kí hiệu mới là α
Các phần tử của trường GF( )được xác định bởi:
{ } { }
2 3 0 1 2 3
0,1, , , , , 0, , , , , ,
j j
F
α α α α α α α α α
= =
2
m
{ }
2 2 2
(2 ) 0,1, , , ,
m
m
GF
α α α
−

=
8.1. mã reed-solomon
8.1.4.1 Phép cộng trong trường mở rộng

Mỗi phần tử trong phần tử của trường có thể
được biểu diễn như một đa thức bậc m-1 hoặc nhỏ hơn

Việc cộng 2 phần tử của trường thì ta cộng 2 hệ số của 2 đa
thức mà chúng có chung bậc
(2 )
m
GF
2
m
(2 )
m
GF
2 1
0 1 2 1
( ) . . .
i m
i m
a X a a X a X a X
α
−
−
= = + + + +
1
,0 ,0 ,1 ,1 , 1 , 1
( ) ( ) ( )

i j m
i j i j i m j m
a a a a X a a X
α α
−
− −
+ = + + + + + +
8.1 mã reed-solomon
8.1.4.2.Đa thức gốc được sử dụng để xác định trường
hữu hạn.
Điều kiện cần và đủ để đảm bảo rằng một đa thức là đa
thức gốc:
Một đa thức bất khả quy bậc m được gọi là gốc,
nếu là số nguyên dương nhỏ nhất mà chia
hết cho
( )f X
2 1
m
n
= −
1
+
n
X
( )f X
8.1 mã reed-solomon
8.1.4.3. Trường mở rộng
Đa thức gốc nó xác định một trường
Có phần tử trong trường được xác định bởi

=
3
(2 )GF
3
( ) 1f X X X= + +
(2 )
m
GF
3
2 2 8
m
= =
( )f X
{ }
0 1 2 3 4 5 6
0, , , , , , ,
α α α α α α α
8.1 mã reed-solomon
8.1.4.4. Phép kiểm tra đơn giản để xác định một đa thức là
đa thức gốc.

Để một đa thức bất khả quy là một đa thức gốc khi ít nhất
một nghiệm của nó phải là một phần tử gốc

Một phần tử gốc là một phần tử khi mà số mũ tăng lên thì
sẽ cho tất cả các phần tử khác không trong trường.
8.1 mã reed-solomon
8.1.5. Mã hóa Reed-Solomon

Mã Reed-Solomon (R-S) với các thông số n, k, t

và bất kì số nguyên dương m>2.
Trong đó n-k=2t là số kí hiệu chẵn lẻ, t là kí
hiệu lỗi có khả năng sửa đúng của mã

Đa thức cho một mã R-S có dạng dưới đây:
( , ) (2 1,2 1 2 )
m m
n k t= − − −
2 2 1 2
0 1 2 2 1 2
( )
t t
t t
g X g g X g X g X g X
−
−
= + + + + +
8.1 mã reed-solomon
8.1.5.1 Mã hóa trong hệ thống mẫu

Mã R-S là mã tuần hoàn nên mã hóa trong hệ thống mẫu
tương tự như mã hóa nhị phân

Nhân đa thức chuyển với sau đó chia cho đa
thức sinh ta được:
trong đó là đa thức thương và là đa thức dư

Ta cũng có thể viết:
( )m X
n k

X
−
( )g X
( ) ( ) ( ) ( )
n k
X m X q X g X p X
−
= +
( )q X
( )p X
( ) ( )mod ( )
n k
p X X m X g X
−
=
( ) ( ) ( )
n k
U X p X X m X
−
= +
8.1 mã reed-solomon
8.1.5.2 Hệ thống mã hóa với thanh ghi dịch (n-k) đoạn

Sử dụng hệ thống để mã hóa 3 kí hiệu liên tiếp với mã R-S
(7,3)

Các ký tự điều khiển không phải mã nhị phân nó mang 2 giá trị
0 và 1, nghĩa là có hoặc không có kết nối trong LFSR.

Sơ đồ hoạt động:

8.1 mã reed-solomon
8.1.5.2 Hệ thống mã hóa với thanh ghi dịch (n-k) đoạn

Cổng 1 đóng trong suốt k nhịp xung đồng hồ đầu tiên cho phép dịch
từng kí hiệu vào trong các thanh ghi dịch (n-k) đoạn.

Cổng 2 ở vị trí bên dưới trong k nhịp đầu tiên, đồng thời tín hiệu chuyển
vào thanh ghi.

Sau k nhịp đầu tiên, cổng 1 mở và cổng 2 chuyển lên vị trí trên.

Trong (n-k) nhịp còn lại sẽ xóa tín hiệu trong các thanh ghi dịch bằng
cách dịch các bit ở trong thanh ghi.

Nội dung đầu ra thanh ghi là đa thức từ mã p(X)+Xn-km(X)
8.1 mã reed-solomon
8.1.5.2 Hệ thống mã hóa với thanh ghi dịch (n-k) đoạn
Sau 3 nhịp, nội dung các thanh ghi như bảng trên, α 0
α 2 α 4 α 6 . Sau đó cổng 1 mở, cổng 2 ở vị trí bên trên, và nội
dung các thanh ghi sẽ được dịch dần ra đầu ra.
8.1 mã reed-solomon
8.1.6 Giải mã Reed-Solomon

Giả sử trong quá trình truyền từ mã bị lỗi. Ví dụ cho 7 ký
hiệu từ mã, kiểu lỗi có thể được viết theo dạng sau:

Nói cách khác, một tín hiệu bình thường sẽ bị lỗi 1 bít, và
một tín hiệu dữ liệu lỗi thì 3 bit lỗi, r(X) là từ mã lỗi của
máy thu được biểu diễn như sau:
r(X)= U(X)+e(X)

8.1. mã reed-solomon
8.1.6.1 Phương pháp Syndrome

Cho mã R-S (7,3) có 4 ký hiệu ứng với mỗi véc-tơ S. Giá
trị của chúng có thể được tính toán từ đa thức r(X).
Với U(X)= m(X)g(X)
r(X)= U(X)+e(X)
=>nếu r(X) là từ mã thích hợp thì S sẽ là 0
8.1 mã reed-solomon
8.1.6.2 Vị trí lỗi
Giả thiết ở đây có v lỗi trong các từ mã ở những vị trí
Xj1.Xj2,….,Xjv. Phương trình lỗi có thể được viết như
sau:
Chỉ số 1, 2,… v ứng với lỗi thứ 1, 2 ,…v và chỉ số j
biểu thị vị trí lỗi