Một số bài tập BDT cơ bản

Bổ trợ kiến thức Toán 10CB “Tài liệu tặng miễn phí cho học sinh” Feb|2011
Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – www.gvhieu.wordpress.com – 0939239628 – Phiên bản 1.0
1
B
B
ổ
ổ


t
t
r
r
ợ
ợ


k
k
i
i
ế
ế
n
n


t
t
h
h

ứ
ứ
c
c
,
,


c
c
h
h
ủ
ủ


đ
đ
ề
ề
:
:


B
B
Ấ
Ấ
T
T

Đ
Đ
Ẳ
Ẳ
N
N
G
G


T
T
H
H
Ứ
Ứ
C
C




I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
1. Dùng định nghĩa:
Để chứng minh BĐT
AB
<
ta chứng minh BĐT tương đương

0
AB
-<

Tóm lại:
0
ABAB
<Û-<

Ví dụ: Chứng minh rằng nếu 2 số a, b thỏa điều kiện ab>0 thì
2
ab
ba
+³

2. Dùng phép biến đổi tương đương
Để chứng minh BĐT
11
AB
<
ta có thể dùng phép biến đổi tương đương:
112233

nn
ABABABAB
<Û<Û<ÛÛ<

Trong đó BĐT thức sau cùng
nn
AB

<
đúng, thì BĐT
11
AB
<
được chứng minh.
Ví dụ: Cho
,,0
acbcc
>>>
chứng minh BĐT ()()
caccbcab
-+-£
3. Phương pháp phản chứng
Xem lại cách chứng minh bằng phương pháp phản chứng (đã gửi lần trước)
Ví dụ: Chứng minh rằng với
,,,
abcd
là các số không âm thì:
()()
acbdabcd
++³+
4. Phương pháp quy nạp toán học (sẽ học năm lớp 11)

BÀI TẬP
1. Chứng minh các BĐT sau:
a)
2
4
1

,
12
a
a
a
£"
+

b) Nếu
0,0,0
abab
+³¹¹
thì
22
11
ab
baab
+³+

c)
111
2
abc
bccaababc
æö
++³+-
ç÷
èø
với mọi a,b,c dương.
d)

222
33
abcabc
++++
£ với a,b,c là các số không âm.
5. Sử dụng tính chất của tỉ số
Cho a, b, c là các số dương. Khi đó, ta có các tính chất sau:
· Nếu
1
a
b
<
thì
aac
bbc
+
<
+

· Nếu
1
a
b
>
thì
aac
bbc
+
>
+

· Nếu
ac
bd
£
thì
aacc
bbdd
+
££
+

6. Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai


Thuật ngữ:
B
ất Đẳng Thức

Trong tiếng Anh là inequality
ɔ
Bổ trợ kiến thức Toán 10CB “Tài liệu tặng miễn phí cho học sinh” Feb|2011
Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – www.gvhieu.wordpress.com – 0939239628 – Phiên bản 1.0
2

II. SỬ DỤNG MỘT SỐ BĐT THÔNG DỤNG
1. Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy)
BĐT Cauchy chỉ áp dụng cho những số không âm.
Cho hai số:
2

ab
ab
+
³ dấu “=” xảy ra khi a=b
Cho ba số:
3
3
abc
abc
++
³ dấu “=” xảy ra khi a=b=c
Tổng quá cho n số:
12
12


n
n
n
aaa
aaa
n
+++
³ dấu “=” xảy ra khi
12

n
aaa
===

Ví dụ: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
111
()9
abc
abc
æö
++++³
ç÷
èø

2. Bất đẳng thức Bunhiacopski:
Bất đẳng thức Bunhiacopski có thể áp dụng cho mọi số thực.
Cho 2 cặp số tùy ý
1122
,;,
abab
:
22222
11221212
()()()
ababaabb
+£++
Dấu “=” xảy ra khi
12
12
aa
bb
=
Cho 3 cặp số tùy ý
112233

,;,;,
ababab
:
2222222
112233123123
()()()
abababaaabbb
++£++++
Dấu “=” xảy ra khi
3
12
123
a
aa
bbb
==

Tổng quát cho n cặp số tùy ý
1122
,;,; ;,
nn
ababab
:
2222222
11221212
( )( )( )
nnnn
abababaaabbb
+++£++++++
Dấu “=’ xảy ra khi

12
12

n
n
a
aa
bbb
===

Ví dụ: Cho 2 số a, b thỏa mãn 3a+4b=7. Chứng minh rằng:
22
347
ab
+³


BÀI TẬP
1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
4
1
ab
ab
ab
+³
+
với a, b là hai số dương
b) 11
abbaab

-+-£
với
1,1
ab
³³

c)
111
1164
a
abc
æöæöæö
+++³
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
với a,b,c là các số dương thỏa a+b+c=1
d)
333222
abcabcbaccab
++³++ với a,b,c là các số dương.
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
(12)
Axx
=-
với
1
0
2
x
££

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
3
2
Bx
x
=+
-
với
2
x
>

4. Với
03,01
xy
££££
hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

(3)(1)(47)
Cxyxy
= +