Một số bài tập HHKG có thể giải được bằng PP tọa độ hóa

Một số bài toán hình học không gian mà cách giải có thể vận dụng
phương pháp tọa độ hóa
Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO
vuông góc với đáy. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm SA và BC. Biết rằng góc giữa
MN và (ABCD) bằng
0
60
.
a) Tính MN và SO.
b) Tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).
Bài toán 2: Cho hình Chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA
vuông góc với đáy. Biết rằng số đo góc nhị diện (B,SC,D) bằng
0
120
.
a) Tính độ dài đoạn SA.
b) Tính khoảng cách từ tâm O của hình vuông ABCD đến mặt phẳng (SBC).
c) Tính diện tích ∆SBD.
d) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD).
Bài toán 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB=a,
SA a 2=
và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AB. Tính độ dài đoạn vuông
góc chung của SM và BC.
Bài toán 4: Cho tứ diện SABC có
SC CA AB a 2= = =
, SC vuông góc với mặt
phẳng (ABC), ∆ABC vuông tại A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho
AM CN t(0 t 2a)= = < <
.
a) Tính độ dài đoạn MN. Tìm giá trị của t để đoạn MN ngắn nhất.
b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của

BC và SA.
Bài toán 5: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho
a 6
SD
2
=
. Chứng minh
rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.
Bài toán 6: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), ∆ABC
vuông đỉnh B, AB=a, AC=2a, mặt (SBC) hợp với (ABC) góc
0
60
.
a) Tìm trên đoạn BC điểm M cách đều hai mặt phẳng (SAB) và (SAC).
b) Tìm trên đoạn SA điểm N cách đều hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). Tính
khoảng cách đó.
c) Tìm trên đoạn AB điểm P cách đều hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). Tính
khoảng cách đó.
Bài toán 7: Cho hình lập phương ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa A
1

B và B
1
D.
b) Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm các cạnh BB
1
, CD, A
1
D. Tính góc
giữa MP và C
1
N.
Bài toán 8: Cho hình lập phương ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
cạnh bằng a. Gọi M, N theo thứ tự
là trung điểm các cạnh AD, CD. Lấy điểm P trên BB
1
sao cho BP=3PB
1
. Tính diện
tích thiết diện do (MNP) cắt hình lập phương.
Bài toán 9: Cho hình lập phương ABCDA
1
B
1

C
1
D
1
cạnh bằng a.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng A
1
B và AC
1
.
b) Gọi K là trung điểm DD
1
. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng
CK và A
1
D.
c) Mặt phẳng (P) qua BB
1
và hợp với hai đường thẳng BC
1
, B
1
D hai góc
bằng nhau. Tính các góc này.
Bài toán 10: Cho hình lập phương ABCDA
1
B
1
C
1

D
1
cạnh bằng a. Chứng minh rằng
khoảng cách từ một điểm bất kì trong không gian đến một trong các đường thẳng
AA
1
, B
1
C
1
, CD không thể đồng thời nhỏ hơn
a
2
.
Bài toán 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
có AB=a, AD=2a, AA
1
=
a 2
. Trên cạnh
AD lấy điểm M, gọi K là trung điểm B
1
M.

a) Đặt AM=m
(0 m 2a)≤ ≤
. Tính thể tích khối tứ diện A
1
KID theo a và m, trong đó I
là tâm hình hộp. Tìm vị trí của điểm M để thể tích đó đạt giá trị lớn nhất.
b) Khi M là trung điểm AD.
1) Hỏi thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (B
1
CK) là hình gì?
Tính diện tích thiết diện đó theo a.
2) Chứng minh rằng đường thẳng B
1
M tiếp xúc với mặt cầu đường kính
AA
1
.
Bài toán 12: Cho hình lập phương ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
cạnh bằng a. Gọi M, N là trung
điểm BC và DD
1
.
a) Chứng minh rằng AC

1
vuông góc với mặt phẳng (A
1
BD).
b) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (A
1
BD).
c) Tính khoảng cách giữa BD và NM theo a.
Bài toán 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
có ba kích thước AB=a, AD=b,
AA
1
=c với
0 a b c< < <
. Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm AB, C
1
D
1
. Các điểm M,
N thỏa mãn
1
AM kAD, BN kBB víi 0 k 1= = ≤ ≤
uuuur uuur uuur uuuur

.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A
1
BD).
b) Chứng minh rằng M, N, I, J đồng phẳng và tìm giá trị của k để MN
vuông góc với IJ.
c) Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABDA
1
và xác
định tâm H của đường tròn là giao của mặt cầu (S) với mặt phẳng
(A
1
BD).
Bài toán 14: Cho hình lập phương ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
cạnh bằng a. Xác định vị trí của
điểm M trên cạnh AD sao cho diện tích của thiết diện tạo bởi hình lập phương với
mặt phẳng (A
1
CM) bằng
2
a 26
4
.

Bài toán 15: Cho hình lập phương ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
cạnh bằng a. Tìm quĩ tích các
điểm trong không gian sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến các cặp mặt đối
của ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
là bằng nhau.
Bài toán 16: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, đường cao h. Mặt phẳng
(A
1

BD) hợp với mặt bên (ABB
1
A
1
) một góc
α
. Tính thể tích và diện tích xung
quanh hình lăng trụ.
Bài toán 17: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA
1
B
1
C
1
có các cạnh bằng a. Tính
góc giữa hai mặt phẳng (ABC
1
) và (BCA
1
).
Bài toán 18: Cho lăng trụ ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh
bằng a, góc

µ
0
A 60=
. B
1
O vuông góc với đáy ABCD, cho BB
1
=a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
b) Tính khoảng cách từ B, B
1
đến mặt phẳng (ACD
1
).
Bài toán 19: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
cạnh đáy dài gấp đôi
chiều cao. Điểm M trên cạnh AB, tìm giá trị lớn nhất của góc A
1
MC
1
.
Bài toán 20: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCDA
1

B
1
C
1
D
1
cạnh đáy bằng 1 và chiều
cao bằng x. Tìm x để góc tạo bởi đường thẳng B
1
D và mặt phẳng (B
1
D
1
C) đạt giá trị
lớn nhất.
Bài toán 21: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA
1
B
1
C
1
và ABC là tam giác vuông cân
tại A và AB=AC=AA
1
=a. Lấy E, F theo thứ tự thuộc BC
1
và A
1
C. Sao cho EF//
(ABB

1
A
1
). Tìm giá trị nhỏ nhất của đội dài đoạn EF.
Bài toán 22: Cho hình lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có đáy ABC vuông cân tại đỉnh A,
BC=2a. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (AB
1
C) và (BB
1
C) có số đo bằng
α
.
Chứng minh rằng:
2ac
1
os
AA
cos( -2 )
α
=
π α
.
Bài toán 23: Cho hình lăng trụ ABCA
1

B
1
C
1
có đáy là tam giác đều cạnh bằng a,
AA
1
=h và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết rằng khoảng cách giữa A
1
B
1
và BC
1
bằng d. Chứng minh rằng:
2 2
2dh
a
3(h d )
=
−
.
Bài toán 24: Cho hình lăng đứng ABCA
1
B
1
C
1
có đáy ABC vuông cân với AB=AC=a
và AA
1

=h. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và A
1
C
1
. Tìm trên đoạn DE điểm
I cách đều hai mặt phẳng (ABC) và (ACC
1
A
1
). Tính khoảng cách đó.