Chuyên đề lượng giác tổng hợp

TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC

1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 1


MỤC LỤC

Trang

Các công thức lượng giác 2
Phương trình lượng giác cơ bản 10
Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác 17
Phương trình bậc nhất theo sin và cos 20
Phương trình ñẳng cấp ñối với sin và cos 23
Phương trình ñối xứng 25
Hướng dẫn giải … 30


TRUNG TM LUYN THI OLYMPIA TI LIU LUYN THI I HC

1137 - 1179 - Ngụ Quyn - Q. Sn Tr - Nng - T: 0511 3987 7272 - Biờn son: Ths. Nguyn Vn By Trang 2


CC CễNG THC LNG GIC

A. TểM TT Lí THUYT:
I. Caùc cung lión quan:
1. Cung õọỳi nhau: 2. Cung phuỷ nhau 3. Cung buỡ nhau
sin() = sin sin
2

= cos sin(



) = sin
cos() = cos cos
2





= sin cos(



) = cos
tan() = tan tan
2





= cot tan(

) = tan
cot() = cot cot
2





= tan cot(



) = cot
II. Caùc hũng õúng thổùc lổồỹng giaùc:
1. Caùc hũng õúớng thổùc 2. Caùc tờnh chỏỳt
sin
2

+ cos
2

= 1
xkx sin)2sin(
=
+


tan

.cot

= 1
xkx cos)2cos(
=
+





2
2
tan1
cos
1
+=

xkx tan)tan(
=
+





2
2
cot1

sin
1
+=

xkx cot)cot(
=
+

(k Z)
III. Caùc cọng thổùc lổồỹng giaùc:
1. Cọng thổùc cọỹng:
bababa sinsincoscos)cos(

=
+

bababa sinsincoscos)cos(
+
=


abbaba cossincossin)sin(
+
=
+

abbaba cossincossin)sin(

=

ba
ba
ba
tan.tan1
tantan
)tan(


=

2. Cọng thổùc nhỏn õọi:
aaa
22
sincos2cos =
1cos2
2
= a
a
2
sin21=

aaa cossin22sin
=

TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC

1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 3

a
a
a
2
tan
1
tan2
2tan
−
=

3. Cäng thæïc nhán ba
aaa cos3cos43cos
3
−=

aaa
3
sin4sin33sin −=

4. Cäng thæïc haû báûc:
2
2cos1
cos
2
a
a
+
=

2
2cos1
sin
2
a
a
−
=

5. Cäng thæïc biãún âäøi täøng thaình têch
2
cos
2
cos2coscos
baba
ba
−
+
=+

2
sin
2
sin2coscos
baba
ba
−
+
−=−

2
cos
2
sin2sinsin
baba
ba
−
+
=+

2
sin
2
cos2sinsin
baba
ba
−
+
=−


HQ: sinx + cosx =
2
cos







−
4
π
x
=
2
sin






+
4
π
x

sinx
–
cosx =
2
sin
2
4 4
x cos x
π π
   
− = − +
   

   


6. Cäng thæïc biãún âäøi têch thaình täøng:
[ ]
)cos()cos(
2
1
coscos bababa ++−=

[ ]
)cos()cos(
2
1
sinsin bababa +−−=

[ ]
)sin()sin(
2
1
cossin bababa ++−=

7. Một số công thức giúp hạ bậc các biểu thức lượng giác:

•
)2sin
2
1
1)(cos(sin)cossin1)(cos(sincossin
33

xxxxxxxxx −+=−+=+

TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC

1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 4


•
3 3
1
sin x cos x (sin x cosx)(1 sin xcosx) (sin x cosx)(
1 sin2x)
2
− = − + = − +

•
4 4 2 2 2 2 2 2
1
sin x cos x (sin x c x) 2sin xcos x 1 sin 2x
2
os+ = + − = −


•
6 6 2 2 4 4 2 2
sin x cos x (sin x c x)(sin x cos x sin xcos x)
os
+ = + + −

2

3
1 sin 2x
4
= −

8. Bảng giá trị lượng giác các cung có số ño từ 0 ñến
π
:


0
0

0(rad)

30
0

6
π

45
0

4
π

60
0

3
π

90
0

2
π

120
0

3
2
π

135
0

4
3
π

150
0

6
5
π

180
0

π

sin 0
2
1

2
2

2
3

1
2
3

2
2

2
1

0
cos 1
2
3

2
2

2
1

0
2
1

2
2

2
3

1
tan 0
3
1

1
3
||
3
1
3
1

0

cot ||
3
1
3
1

0
3
1

1
3
||

B. MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG:
1. Chứng minh ñẳng thức:
Ví dụ 1. Chứng minh rằng
a
a
a
cot
2
cot
sin
1
−=

Giải

2

cot
2
cos
2
sin2
2
cos2
sin
cos1
sin
cos
sin
1
cot
sin
1
2
a
aa
a
a
a
a
a
a
a
a
==
+
=+=+

2. Rút gọn biểu thức:
Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức
4 8
A cosa cos(a ) cos(a )
3 3
π π
= + + + +

Giải
TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC

1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 5


0cos)
2
1
.(2cos
3
4
cos)2cos(2cos
2
)
3
8
(
3
4
cos

2
3
8
3
4
cos2cos
)
3
8
cos()
3
4
cos(cos
=−+=
++=
+−++++
+=
++++=
aa
aa
aaaa
a
aaaA
π
π
ππππ
π
π

3. Biến ñổi thành tích:

Ví dụ 3. Biến ñổi thành tích:
A = sin2x + sin4x + sin6x + sin8x

Giải
Ta có A = (sin8x + sin2x) + (sin6x + sin4x)
= 2sin5xcos3x + 2sin5xcosx
= 2sin5x(cos3x + cosx)
= 4sin5xcos2xcosx


Ví dụ 4. Biến ñổi thành tích:
B = 1 + cos2x + sin3x+ sinx

Giải
B = (1 + cos2x) + (sin3x+ sinx)
= 2cos
2
x + 2sin2xcosx
= 2cosx(sin2x + cosx)
=






−+ )
2
sin(2sincos2 xxx

π


)
2
3
4
cos()
2
4
sin(cos2
xx
x +−+=
π
π

4. Nhận dạng tam giác:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nhọn và thỏa mãn hệ thức:
tanA + tanB tanC =
33

Chứng minh rằng tam giác ABC ñều.
Giải
TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC

1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 6


Ta có:

A B C tan(A B) tan( C)
tanA tanB
tanC
1 tanAtanB
tanA tanB tanC(1 tanAtanB)
tanA tanB tanC tanAtanBtanC
+ = π− ⇒ + = π −
+
⇔ = −
−
⇔ + = − −
⇔ + + =

Áp dụng bất ñẳng thức Côsi, ta có:

33tantantan
27)tantan(tan
tantantan3tantantan
tantantan3tantantan
2
3
3
≥++⇒
≥++⇒
++≥++⇒
≥++
CBA
CBA
CBACBA

CBACBA

ðẳng thức xảy ra ⇔ tanA = tanB = tanC ⇔ A = B = C
Vậy tam giác ABC ñều.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có ba góc A, B và C thỏa mãn hệ thức:
sin(A + B) + sin(B + C) + cosA =
2
3
(1)
Chứng minh rằng tam giác ABC cân. Tìm số ño các góc A, B và C.
Giải
Do A + B + C =
π
nên áp dụng công thức về hai góc bù nhau ta có:

2
3
1
2
cos2
2
cos
2
sin2
2
3
cossinsin)1(
2
=







−−
−+
⇔
=−+⇔
ACBCB
ABC


0
2
sin
2
cos
2
cos2
01
2
cos
2
cos
2
cos
2
sin4

2
cos4
01
2
cos
2
sin4
2
cos4
01
2
cos
2
sin4
2
cos4
2
2
222
2
2
=
−
+







−
−⇔
=+
−
−
−
+
−
−⇔
=+
−
−⇔
=+
−+
−⇔
CBCBA
CBCBCBAA
CBAA
CBCBA

TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC

1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 7



A B C
A B C
2cos cos 0
2cos cos 0

2 2
2 2
B C
B C 0
sin 0
2
−

−
− =


− =
 
⇔ ⇔
 
−
 
− =
=











=−
=
⇔
0
2
1
2
cos
CB
A






==
=
⇔
0
0
30
120
CB
A

⇒ Tam giác ABC cân tại A và A = 120
0
, B = C = 30
0

.

Ví dụ 3. Chon tam giác ABC có ba góc A, B và C theo thứ tự ñó lập
thành một cấp số cộng và thỏa mãn hệ thức:

2
33
sinsinsin
+
=++ CBA
(1)
Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
Giải
Ba góc A, B và C theo thứ tự ñó tạo thành một cấp số cộng thì
A + C = 2B mà A + B + C = 180
0
⇒ 3B = 180
0
⇒ B = 60
0

Do ñó:

0
0
0
0
3 3 3 3
1
2 2 2

3
2
2 2 2
3
2
2 2 2
3 3
2
2 2 2
3
2 2
30
60 2
2
60 3
30
2
( ) sin A sinC sin A sinC
A C A C
sin .cos
B A C
cos .cos
A C
. cos
A C
cos
A C
A C ( )
A C
A C ( )

+
⇔ + + = ⇔ + =
+ −
⇔ =
−
⇔ =
−
⇔ =
−
⇔ =
−

=


− =
⇔ ⇔


−
− = −


= −



(2) không thỏa mãn vì A < C.
TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC

1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 8


Do ñó ta có:





=
=
⇔





−=−
==+
0
0
0
0
90
30
60
1202
C
A
CA

BCA

Vậy, tam giác ABC vuông tại C.

C. BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1. Rút gọn biểu thức:
2 2
2 2 2
1 1
4 2
( tan x )
A
tan x sin xcos x
−
= −

)cossin21(2cos
cossin
22
88
xxx
xx
B
−
−
=

C = 2(sin
6
x + cos

6
x) – 3(sin
4
x + cos
4
x)
8 8
2 2
2 1 2
sin x cos x
D
cos x( sin xcos x )
−
=
−

2 2
3 3
E cos x cos x cos x
π π
   
= + − + +
   
   

2 2
2 2
1 1
2 1 2 1
sin x cos x

F
( sin x ) ( cos x )
+ +
= +
− −

Bài 2. Chứng minh rằng:
a)
x
x
x
x
2
sin
1
sin21
2
cos
1
tan
2
−
−
=+

b) tanx = cotx – 2cot2x
c)
3 3 2 2
5 5 10
sin x cos x sin x

sin x cos x sin x
− = −
Bài 3. Biến ñổi thành tích:
A = sinx + sin2x + sin3x
B = sin3x + cos4x – sin5x
C = 1 + cosx + cos2x + cos3x
D = 1 + cos2x + sin3x + sin5x
E = cos2x + cos4x + cos6x + cos8x
F = cosx - cos4x + cos6x - cos8x
G = cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x – 2
Bài 4. Biến ñổi thành tích:
A = cos
3
x – sin
3
x – cosxsin
2
x + sinx
TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC

1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 9

B = 3cos
4
x + 4sin
2
xcos
2
x + sin
4
x
4 4
C sin x cos x sin4x 1
= + + −

Bài 5: Biến ñổi thành tích:
a) sin4x + 2sin2x + 2cos
2
x
b) cos2x + sin2x + 1
c) cos4x + sin5x + sinx + 1
d) cos3x – cosx + sin4x
e) cos3x + sin2x + 3cosx
f) sin3x + cos2x + 4sin
3
x – 1
Bài 6. Biến ñổi thành tích
a)
2
4 4
sin x cos x cos x

π π
   
− + + +
   
   

b)
3
4
2 2
sin x .cos x sin x
π π
   
− + +
   
   

c)
5
2 3 4
2
cos x sin xcos x sin x
π
 
− + +
 
 


TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC

1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 10


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Trong các ñề thi tuyển sinh ðại học, cao ñẳng, câu hỏi phương trình lượng
giác luôn có mặt và chiếm tỷ trọng1/10 tổng số ñiểm của bài thi. Những bài
phương trình lượng giác thường gây không ít khó khăn ñối với nhiều em học học
sinh. Có lẽ lí do mà các em thường cảm thấy khó khăn khi giải các phương trình
lượng giác là có quá nhiều công thức biến ñổi lượng giác nên không biết sử dụng
công thức nào ñể biến ñổi và ñưa phương trình ñã cho về dạng thường gặp. Sau
ñây là một vài kinh nghiệm nhỏ giúp các em học sinh tự tin hơn khi giải một
phương trình LG, hướng tới kì thi tuyển sinh ðại học sắp ñến.
ðể giải ñược một phương trình lượng giác các em cần:
1) Nắm vững các công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản.
2) Nhận dạng và giải ñược các phương trình lượng giác thường gặp:
+Phương trình bậc nhất theo sin và cos.
+ Phương trình bậc hai theo một hàm số LG.
+ Phương trình ñẳng cấp ñối với sin và cos
+ Phương trình ñối xứng.
3) Thuộc các công thức lượng giác.
4) Khi tiến hành giải một phương trình lượng giác các em nên:
+ Tìm cách ñưa về các phương trình LG thường gặp.
+ Nếu các cung khác nhau thì tìm cách ñưa về cùng một cung.
+ Nếu cung có dạng







±
2
π
kx
hoặc






±
4
π
kx
thì tìm cách làm mất phần






±
2
π
k
và







±
4
π
k
này.
+ Dùng các công thức hạ bậc và hằng ñẳng thức sin
2
a + cos
2
a = 1 khi trong
ñề có lũy thừa chẵn hoặc có biểu thức ñối xứng của sin
2n
x và cos
2n
x .
+ Dùng các công thức biến ñổi ñưa phương trình về dạng tích.

Sau ñây là các ví dụ minh họa:
TRUNG TM LUYN THI OLYMPIA TI LIU LUYN THI I HC

1137 - 1179 - Ngụ Quyn - Q. Sn Tr - Nng - T: 0511 3987 7272 - Biờn son: Ths. Nguyn Vn By Trang 11



PHNG TRèNH LNG GIC CN BN

A. TOẽM TếT Lí THUYT:
1. Caùc phổồng trỗnh LG cồ baớn:



+=
+=
=


2
2
sinsin
kax
kax
ax




+=
+=
=


2
2
coscos
kax

kax
ax


kaxax
=
=

=
tantan


kaxax
+
=

=
cotcot


2. Caùc phổồng trỗnh õỷc bióỷt:


2
2
1sin kxx +==


21cos kxx
=

=


kxx
=

=
0sin



kxx +==
2
0cos



2
2
1sin kxx +==



21cos kxx
+
=


=

Chỳ ý: Nu m khụng phi l giỏ tr lng giỏc ca cung ủc bit thỡ ta
cú th s dng cụng thc sau ủ biu bin nghim ca phng trỡnh
lng giỏc.
x arcsinm k2
sin x m ( 1 m 1)
x arcsinm k2
= +

= < <

= +



x arccosm k2
cosx m ( 1 m 1)
x arccosm k2
= +

= < <

= +


tgx m x arctanm k
= = +

cotgx m x arccot m k
= = +

TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC

1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 12


B. BAÌI TÁÛP MINH HỌA:
Ví dụ 1: Giaûi phöông trình:




8 8
1
sin cos cos4 0
8
x x x
+ + =

Giải :
Ta coù:
2
8 8 4 4 2 4 4 2 4
2 4
1 1
sin cos (sin cos ) 2sin .cos 1 sin 2 sin 2
2 8
1
1 sin 2 sin 2
8

 
+ = + − = − −
 
 
= − +
x x x x x x x x
x x

Do ñoù:
2 4 2 4 2
2
4 2
2
1 1
(1) 1 sin 2 sin 2 cos4 0 8 8sin 2 sin 2 (1 2sin 2 ) 0
8 8
sin 2 1
sin 2 10sin 2 9 0 sin2 1 2
2
sin 2 9 ( )
⇔ − + + = ⇔ − + + − =

=
⇔ − + = ⇔ ⇔ =± ⇔ = +

=

x x x x x x
x
x x x x k

x
π
π
loaïi

( )
4 2
x k k
π π
⇔ = + ∈
ℤ


Ví dụ 2:
Giaûi phöông trình:
2 2 2
sin sin 2 sin 3 2
x x x
+ + =


Giải

1 cos2 1 cos4 1 cos6
2 2 2
sin sin 2 sin 3 2 2
2 2 2
2
1 cos4 cos6 cos2 0 2cos 2 2cos4 .cos2 0
2cos2 (cos4 cos2 ) 0 4cos2 .cos3 .cos 0

x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
− − −
+ + = ⇔ + + =
⇔ + + + = ⇔ + =
⇔ + = ⇔ =


2
cos 0
cos2 0 2
2
cos3 0
3
2
x k
x
x x k
x
x k
π
π
π
π
π
π

= +


=




⇔ = ⇔ = +



=



= +


⇔
2
( )
4 2
6 3
x k
k
x k Z
k
x
π
π
π π

π π

= +



= + ∈



= +



TRUNG TM LUYN THI OLYMPIA TI LIU LUYN THI I HC

1137 - 1179 - Ngụ Quyn - Q. Sn Tr - Nng - T: 0511 3987 7272 - Biờn son: Ths. Nguyn Vn By Trang 13



Vớ d 3: Giaỷi phửụng trỡnh:
sinx + sin2x + sin3x = 0

Gii
Ta coự phửụng trỡnh

2sin 2 cos sin 2 0 sin 2 (2cos 1) 0
2
sin 2 0
2

( )
2
1
2
2
cos
2
3
2
3
x x x x x
k
x k
x
x
k
x k
x
x k






+ = + =

=
=
=

= +
=

= +








Vớ d 4: thi tuyn sinh ủi hc khi D nm 2004
Gii phng trỡnh: (2cosx 1)(2sinx + cosx) = sin2x sinx

Gii:
(2cosx 1)(2sinx + cosx) = sin2x sinx
(2cosx 1)(2sinx + cosx) = 2sinx.cosx sinx
(2cosx 1)(2sinx + cosx) = (2cosx 1)sinx
(2cosx 1)(2sinx + cosx) (2cosx 1)sinx = 0
(2cosx 1)[(2sinx + cosx) sinx] = 0

(2cosx 1)(sinx + cosx) = 0
cosx =
2
1
cosx = sinx
cosx = cos
3

cotx = 1
x =


3

+ k2 cotx = cot(
4


)
x =


3

+ k2 x =
4


+ k (k

Z)

C. BAèI TP T LUYN:
Baỡi 1. Giaới caùc phổồng trỗnh:
1) sin2x + cosx = 0 2) sin6x sin3x = 0
TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC

1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 14


3)
3
sin2x + 2cos
2
x = 2 4)
3
sin2x + 2sin
2
x = 2
5) sin
2
x + sin4x = cos
2
x 6) cos2x + sin
2
x = sin2x
7) sin
2
x – sin
2

2x =
4 4
2
sin x cos x
+

8) sinx(sinx – cosx) = cosx(cosx – 3 sinx)
9) sinx(sinx + cosx) + cosx(cosx + sinx) = sin4x + 1
10) sin
3
x + cos
3
x =(sinx + cosx)
2
– 3sinxcosx
12) sinx – sin2x + sin3x = 0
13) sin2x + cos3x – sin4x = 0
14)
3 0
sin x cosx cos x
+ − =

15)
3 5 7 0
sin x sin x sin x sin x
+ + + =

16)
03cos2coscos1
=

+
+
+
xxx

17)
04cos3cos2coscos
=
+
+
+
xxxx

Baìi 2. Giaíi caïc phæång trçnh:
1)
06cos4cos5sin3sin
=
−
xxxx

2)
2 2 2 2
2 3 4 2
sin x sin x sin x sin x
+ + + =

3)
xxxxxx 3cos2coscos3sin2sinsin
+
+

=
+
+

4)
7
2 4
4 4
sin x cos x cos x
π π
   
+ + =
   
   

5)
cosx sin xsin2x
tan x
4 cosx
π −
 
− =
 
 

6)
2
1 1 2
1 2 2
sin x sin x

cos x sin x
+ +
=
−

7)
1 1 2
2 2 2
cos x cos x
sin x cos x sin x
+
− =

8)
1 4 2
4
sinx cos x
t anx cot x
sin x
− +
+ =

Baìi 3: Giaíi phæång trçnh:
1)
1
3sin x cosx
cosx
+ =
2)
1 2

2 1
(cos x sin x )
tan x cot x cot x
−
=
+ −

TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC

1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 15


3)
2 2
1 2 1 2
sin x cos x
cos x sin x
− −
=
− −

4)
2 2 2
3
sin x sin 2x sin 3x
2
+ + =

5)
xxx 2cossincos

24
=−

6)
2cos x tanx(cot x sin2x)
4
π
 
− = −
 
 

7)
1 sin x cosx tan x 0
+ + + =

8)
1
2tan x cot2x 2sin2x
sin 2x
+ = +
9)
2 2 2
sin x cos 2x cos 3x
= +

10)
2 2 2 2
3
cos x cos 2x cos 3x cos 4x

2
+ + + =

11)
1
2 4 8
16
cos xcos xcos xcos x
=

Bài 4. Xác ñịnh m ñể phương trình sau có nghiệm:
1)
032coscossin
44
=−+++ mxxx

2)
2
2 1
2 2
1
m
sin x sin x
m
−
+ =
+

Bài 5. Giải các phương trình:
a)

2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
− = −
x x x x
(KHỐI A – 2002)
b)cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0 trên ñoạn [0; 14]. (KHỐI D – 2002)
c)
2 2 2
sin ( )tan cos 0
2 4 2
− − =
x x
x
π
(KHỐI D – 2003)
d)
(2cos 1)(2sin cos ) sin2 sin
− + = −
x x x x x
(KHỐI D– 2004)
e)
1 sin cos sin2 cos2 0
+ + + + =
x x x x
(KHỐI B – 2005)

Bài 6. Giải phương trình:
a)
cot sin (1 tan .tan ) 4
2

+ + =
x
x x x (KHỐI B – 2006)
b) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 (KHỐI D – 2006)

c) (1+ sin
2
x)cosx + (1 + cos
2
x)sinx = 1+ sin2x (KHỐI B – 2007)
d) 2sin
2
2x + sin7x = sinx (KHỐI D – 2007)

TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC

1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 16


Bài 7. Giải phương trình:
a)
1 1 7
4sin
2
sin 4
sin
3
x
x
x

π
π
 
+ = −
 
 
 
−
 
 
(KHỐI A – 2008)
b)
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin cos
− = −
x x x x x x
(KHỐI B – 2008)
c) 2sinx (1 + cos2x) + sin2x = 1 + cos2x (KHỐI D – 2008)
d)
sin2 cos2 3sin cos 1 0
− + − − =
x x x x
(KHỐI D – 2010)

TRUNG TM LUYN THI OLYMPIA TI LIU LUYN THI I HC

1137 - 1179 - Ngụ Quyn - Q. Sn Tr - Nng - T: 0511 3987 7272 - Biờn son: Ths. Nguyn Vn By Trang 17


PHNG TRèNH BC HAI THEO MT

HM S LNG GIC

A. TOẽM TếT Lí THUYT:
Daỷng:
0 c bsinx x asin
2
=++

ỷt t = sinx (

1

t

1)

0 c bcosx x acos
2
=++

ỷt t = cosx (

1

t

1)

2
atan x btanx c 0

+ + =

ỷt t = tanx

0 c bcotx x acot
2
=++

ỷt t = cotx
Khi õoù phổồng trỗnh trồớ thaỡnh: at
2
+ bt +c = 0.
B. BAèI TP MINH HA:


Vớ d 1 : Gii phng trỡnh :
2
sin
2
2x (2 +
3
)sin2x +
3
= 0


Nhn xột: õy l phng trỡnh bc hai theo hm s sin2x
Gii :
t t = sin2x, | t |

1. Ta cú phng trỡnh :
2t
2
(2 +
3
)t +
3
= 0 t = 1 t =
2
3

+ Vi t = 1, ta cú: sin2x = 1 2x =
2

+ k2 x =
4

+ k
+ Vi t =
2
3
, ta cú sin2x =
2
3
sin2x = sin
3


6
3

x k
( k Z )
x k





= +




= +





Vớ d 2: Gii phng trỡnh: 4cosx + cos2x 5 = 0

Nhn xột: Phng trỡnh ny cha cú dng phng trỡnh bc hai theo
mt hm s lng giỏc. Tuy nhiờn, nu thay cos2x bi 2cos
2
x 1 thỡ
phng trỡnh ủó cho tr thnh phng trỡnh bc hai theo hm s cosx.
Gii:
Ta cú:
TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC

1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 18


4cosx + cos2x – 5 = 0
⇔ 4cosx + (2cos
2
x – 1) – 5 = 0
⇔ 2cos
2
x + 4cosx – 6 = 0
ðặt t = cosx, | t |
≤
1. Ta có phương trình :
2t
2
+ 4t
–
6 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t =
–
3(loại)
Với t = 1, ta có : cosx = 1 ⇔ x = k2π (k
∈
Z).


Ví dụ 3 : ðề thi tuyển sinh ñại học khối A – năm 2005 :
Giải phương trình :
2 2
cos 3xcos2x cos x 0
− =

Nhận xét: Trong phương trình có chứa cos
2
3x và cos
2
x. Ta hạ bậc hai
biểu thức này sau ñó dùng công thức biến ñổi tích thành tổng.
Giải
)(
2
24
)(
2
3
4cos
14cos
034cos4cos2024cos8cos
1)4cos8(cos
2
1
012cos6cos
0
2
2cos1
2
2cos)6cos1(
0cos2cos3cos
2
22

Zk
k
xkx
VNx
x
xxxx
xxxx
xxx
xxx
∈=⇔=⇔




−=
=
⇔
=−+⇔=−+⇔
−+⇔=−⇔
=
−
−
−
⇔=−
π
π

C. BAÌI TÁÛP TỰ LUYỆN:
Baìi 1. Giaíi caïc phæång trçnh:
1)

01sinsin2
2
=−+ xx

2) 2sin5xcosx + 1 = 2sin
2
2x + sin6x
3)
032cossinsin3
2
=−++ xxx

4)
036cos3cos3cos
2
=−++ xxx

5) sin3x + 2sin3xcos2x = sin5x
6)
2
3 2 2 3
4
sin x sin x cos x cos x
π
 
+ + + = +
 
 

7)

2
2 5 3 1 10 2 2
cos x cos x sin xsinx cos x
− + = −

8) cos2x + 4sin
2
x = sin3x + 4sin
3
x
TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC

1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 19


9) sin
4
x + cos
4
x + sin3xcosx =
2
1
sin4x
Baìi 2: Giaíi các phæång trçnh:
1)
)1sin2(sincos43
2
+=− xxx

2) cos3x + 1 = cos2x + cosx

3)
xxxx 2cossin212cos3sin
+
=
+

4) cos3x + 1 = sin
2
x
5)
2
cot tan 4sin2
sin2
x x x
x
− + =

6)
2
1 2sin 3 2sin sin2
1
2sin .cos 1
x x x
x x
+ − +
=
−

Bài 3: Xác ñịnh m ñể phương trình sau:
1) sin

2
x – sinx + cos2x + 2 – 3m = 0 có nghiệm trên






−
2
;
6
ππ
.
2)
6 6 2 2
1
sin x cos x cos2xsin 2x cos 2x 3 2m 0
4
− + + + − =
có nghiệm.
Bài 4. Giải các phương trình:
a)
cos3 sin3
5 sin cos2 3
1 2sin2
+
 
+ = +
 

+
 
x x
x x
x
(KHỐI A – 2002)
b)
2
cot tan 4sin2
sin2
− + =x x x
x
(KHỐI B – 2003)
c)
2
5sin 2 3(1 sin )tan
− = −
x x x
(KHỐI B – 2004)
d)
2 2
cos 3 cos2 cos 0
− =
x x x
(KHỐI A – 2005)
Bài 5. Giải các phương trình:
a)
4 4
3
cos sin cos( )sin 3 0

4 4 2
 
+ + − − − =
 
 
x x x x
π π
(KHỐI D – 2005)
b)
6 6
2(cos x sin x) sin xcosx
0
2 2sin x
+ −
=
−
(KHỐI A – 2006)
c)
(1 sin x cos2x)sin x
1
4
cosx
1 tanx
2
π
 
+ + +
 
 
=

+
(KHỐI A – 2010)
d)
(sin2 cos2 )cos 2cos2 sin 0
+ + − =
x x x x x
(KHỐI B – 2010)

TRUNG TM LUYN THI OLYMPIA TI LIU LUYN THI I HC

1137 - 1179 - Ngụ Quyn - Q. Sn Tr - Nng - T: 0511 3987 7272 - Biờn son: Ths. Nguyn Vn By Trang 20


PHNG TRèNH BC NHT

THEO SIN V COS

A. TOẽM TếT Lí THUYT:
Daỷng: Asinx + Bcosx + C = 0 ( A
2
+ B
2


0) (*)
Phổồng phaùp giaới
: Chia hai vóỳ cho
22
BA +
. ổa phổồng trỗnh vóử

daỷng:

22
2
2
22
cossin
BA
C
x
BA
B
x
BA
A
+
=
+
+
+
(1)
ỷt:
2 2
A
cos
A B

=
+

2 2
B
sin
A B

=
+

Khi õoù (1) trồớ thaỡnh:
2 2 2 2
C C
sin xcos sin cos x sin( x )
A B A B

+ = + =
+ +

(2)

Phổồng trỗnh (2) õaợ bióỳt caùch giaới.
** Chuù yù:

+ Nóỳu giaù trở cuớa
22
BA
A
+
laỡ:
1

2
,
3
2
,
2
2
thỗ cos

lỏửn lổồỹt laỡ
cos
3

, cos
6

vaỡ cos
4

hoỹc sinh khọng õổồỹc õỷt
2 2
A
c
A B
os
=
+
.
+ ióửu kióỷn(*) coù nghióỷm laỡ :
222

CBA +



Vớ d 1 : Gii phng trỡnh :
sin2x 3cos2x 2
+ =
(1)

Gii:
Ta cú:
(1)
1 3 2 2
sin 2x cos2x sin2x.cos cos2xsin
2 2 2 3 3 2

+ = + =

TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC

1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 21








++=+

+−=+
⇔−=+⇔−=+⇔
π
π
π
π
π
ππ
πππ
2
43
2
2
43
2
)
4
sin()
3
2sin(
2
2
)
3
2sin(
kx
kx
xx
)(
24

11
24
7
Zk
kx
kx
∈






+=
+−=
⇔
π
π
π
π




Ví dụ 2 : Giải phương trình :
xxx cos22cos2sin3 −=−
(1)

Giải:
Phương trình (1)

⇔
xxxxxx cos
6
sin2cos
6
cos.2sincos2cos
2
1
2sin
2
3
−=−⇔−=−
ππ

)(
3
2
26
2
26
)
2
sin()
6
sin()
2
sin()
6
sin(cos)
6

sin(
Zkkx
kxx
kxx
xxxxxx
∈+−=⇔






+++=−
+−−=−
⇔
−−=−⇔+−=−⇔−=−⇔
π
π
π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
π
π

C. BAÌI TÁÛP TỰ LUYỆN:
Baìi 1. Giaíi caïc phæång trçnh:
1)
13cos3sin3 =+ xx

2)
2
3
cos3
3
sin −=−
xx

3)
3 3
2 2
sin x cos x sin x
+ = −

4)
3 3 3 3
sin x cos x sin x cos x
+ = −
5)
2
1 2
3
2
sin x cos x
sin x cos x

+ +
=
−

Baìi 2: Giaíi phæång trçnh:
TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC

1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 22


1)
1
2 2 2 2 0
tan x sin x cos x ( cos x )
cos x
− − + − =

2)
3
1
sin
cos
2
cossin2cos
2
=
−
+
−
x

x
xxx

3)
2
1 2
1 2
2
cos x
cot x
sin x
−
+ =

4)
3
3 4 2 4 5 1
1 2
2
sin x sin x cos xcos x cos x
cos x
cos x
− + −
=
+

( )
( )
2
6 6 2

5) s (1 2 3cos ) 1 2 sin sin cos
2 2
1
6) 3 tan cot2 4
cos2
7)8 cos sin 6cos2 2cos 2 sin2
8) 2sin3 cos cos4 1 2sin2
x x
x x
x x
x
x x x x x
x x x x
 
+ + = +
 
 
+ + =
− − =
+ = +
inx

Bài 3. Giải phương trình:
a)
2
cos2 1
cot 1 sin sin2
1 tan 2
− = + −
+

x
x x x
x
(KHỐI A – 2003)
b)
(1 2sin )cos
3
(1 2sin )(1 sin )
−
=
+ −
x x
x x
(KHỐI A – 2009)
c)
3
sin cos sin2 3cos3 2(cos4 sin )
+ + = +
x x x x x x
(KHỐI B – 2009)
d)
3cos5 2sin3 cos2 sin 0
− − =
x x x x
(KHỐI D – 2009)

TRUNG TM LUYN THI OLYMPIA TI LIU LUYN THI I HC

1137 - 1179 - Ngụ Quyn - Q. Sn Tr - Nng - T: 0511 3987 7272 - Biờn son: Ths. Nguyn Vn By Trang 23

PHNG TRèNH NG CP
THEO SIN V COS

A. TOẽM TếT Lí THUYT:

1. Phng trỡnh ủng cp bc hai:
D x Ccos Bsinxcosx x Asin
22
=++
(
0
222
++ CBA
) (1)
Phổồng phaùp giaới:
+ Kim tra xem x =
2

+ k

cú tho pt (1) hay khụng, nu tho món
thỡ nhn nghim ny.
+ Xột x


2

+ k

. Chia hai vóỳ (1) cho cos
2
x ta õổồỹc ptrỗnh tổồng
õổồng:
0 C Btgx x Atg
2
=++

Phổồng trỗnh naỡy õaợ bióỳt caùch giaới.
2. Phng trỡnh ủng cp bc ba:

A.sin
3
x + Bsin
2
x.cosx + C.sinx.cos
2
x + D cos
3
x + E sinx + Fcosx = 0.

Cỏch gii phng trỡnh ny tng t nh cỏch gii phng trỡnh ủng
cp bc hai.

B. BAèI TP MINH HA:

Vớ d 1 : Gii phng trỡnh :

0coscossin)31(sin3
22

= xxxx
(1)

Gii
Ta cú x =
2

+ k khụng tho phng trỡnh (1). Chia hai v phng trỡnh
(1) cho cos
2
x ta ủc phng trỡnh tng ủng:
TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC

1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 24



)(
6
4
6
tantan
)
4
tan(tan
3
1
tan
1tan
01tan)31(tan3

2
Zk
kx
kx
x
x
x
x
xx
∈






+=
+−=
⇔






=
−=
⇔






=
−=
⇔=−−−
π
π
π
π
π
π



Ví dụ 2 : Giải phương trình :

3cos)32(2sinsin3
22
=−−− xxx
(1)



(1)

⇔

2 2 2 2
3sin x sin2x (2 3)cos x 3(sin x cos x)

− − − = +


0cos2cossin20cos22sin
22
=−−⇔=−−⇔ xxxxx

⇔ – 2cosx(sinx + cosx) = 0
⇔ cosx = 0 ∨ sinx + cosx = 0
⇔ cosx = 0 ∨ tanx = – 1
⇔ x =
2
π
+ kπ ∨ x = –
4
π
+ kπ (k
∈
Z).




Ví dụ 3 : Giải phương trình : cos
3
x – 4sin
3
x – 3cossin
2
x + sinx = 0 (1

)

Giải
Ta có: x =
2
π
+ kπ không thoả phương trình (1). Chia hai vế phương
trình (1) cho cos
3
x ta ñược phương trình tương ñương:
1 – 4tan
3
x – 3tan
2
x + tanx.
x
2
cos
1
= 0
⇔ 1 – 4tan
3
x – 3tan
2
x + tanx( 1 + tan
2
x) = 0
⇔ 3tan
3
x + 3tan

2
x – tanx – 1 = 0
TRUNG TÂM LUYỆN THI OLYMPIA TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC

1137 - 1179 - Ngô Quyền - Q. Sơn Trà - ðà Nẵng - ðT: 0511 3987 7272 - Biên soạn: Ths. Nguyễn Văn Bảy Trang 25


⇔ (tanx + 1)(3tan
2
–1) = 0
⇔ tanx = –1 ∨ tanx =
±
1/
3

⇔ tanx = tan(–
4
π
) ∨ tanx = tan(–
6
π
) ∨ tanx = tan
3
π

⇔ x = –
4
π
+ kπ ∨ x = –
6

π
+ kπ ∨ x =
3
π
+ kπ (k
∈
Z)

C. BAÌI TÁÛP TỰ LUYỆN:
Baìi 1. Giaíi caïc phæång trçnh:
1)
03cos3cos3sin)31(3sin3
22
=−−+ xxxx

2)
033cos3sin3sin3
2
=−+ xxx

3) cos
3
x – 4 sin
3
x – 3cosxsin
2
x + sinx = 0
4)
3 3
2

sin x 2cos x
cosx
cos x sin2x
+
=
+


Bài 2. Giải các phương trình
1) 3cos
4
x – sin
2
2x + sin
3
x(2sin3xcos2x – sin5x) = 0
2)
0sincos3cos3cossin33cos
32
=+−+− xxxxxx

3)
0cossin3sincos
23
=−+ xxxx

Bài 3. Giải các phương trình
1)
( )
2

9
2
4 4
sin x cos x cos x cosx sinx
π π
   
+ + + = +
   
   

2) 2sin3xsin2x – cos5x =sin
3
x – cosx + 2cos
3
x
3)
2 2 2
2 2 2 2 3
4
sin x cos x cos x sin x
π
 
− = + −
 
 