đạo hàm(LT+BT)

PHẦN 1 : ĐẠO HÀM
A.LÝ THUYẾT:
1.Cách tìm đạo hàm bằng đònh nghóa
tại x
0
● Cho x
0
số gia
∆
x
● Tính
∆
y = f( x
0
+
∆
x) – f(x
0
)
● Tính giới hạn
0
lim
x
y
x
∆ →
∆
∆
, kết luận
●Chú ý :Đạo hàm điểm là trường hợp
riêng của đạo hàm trên một khoảng.

3.Đạo hàm cấp cao:
y
n
=f
n
(x) = [f
(n-1)
(x)]
/
( n
≥
2)
2.Các qui tắc tính đạo hàm:
● (k.u)
/
= k.u
/
● (u + v)
/
= u
/
+v
/
→
(u
±
v
±
w
±

)
/
=u
/

±
v
/

±
w
/

±

● (u.v)
/
=u
/
v +uv
/

→
(u.v.w)
/
=u
/
vw +uv
/
w+uvw

/
●
/
u
v
 
 ÷
 
=
/ /
2
u v uv
v
−
→
/
1
v
 
 ÷
 
=
/
2
v
v
−
4.Vi phân:
dy = y
/

dx hoặc df(x) = f
/
(x)dx
 Bảng các đạo hàm:
Hàm số thường gặp Hàm hợp
(x
n
)
/
= n.x
n-1
/
2
1 1
x x
 
= −
 ÷
 
( )
/
1
2
x
x
=
( sinx)
/
= cosx
(cosx)

/
= - sinx
(tanx)
/
=
2
2
1
1 tan
cos
x
x
= +
(cotx)
/
=
2
2
1
(1 )
sin
cot x
x
− = − +
(u
n
)
/
= n.u
/

.u
n -1
/
/
2
1 u
u u
 
= −
 ÷
 
( )
/
/
2
u
u
u
=
( sinu)
/
= u
/
cosu
(cosu)
/
= -u
/
sinu
(tanu)

/
=
/
/ 2
2
(1 tan )
cos
u
u u
u
= +
(cotu)
/
=
/
/ 2
2
(1 )
sin
u
u cot u
u
− = − +
 Một số công thức bổ sung:
1)
( )
2
sin ' sin 2x x=
; 3)
( )

2
cos ' sin 2x x= −
2)
( )
/
2
ax b ad bc
cx d
cx d
+ −
 
=
 ÷
+
 
+
;
4)
( )
/
2 2
2
2ax bx c adx aex be cd
dx e
dx e
 
+ + + + −
=
 ÷
+

+
 
 Ý nghóa hình học của đạo hàm:
1.Hệ số góc tiếp tuyến:
pt đường thẳng có hệ số góc k = f
/
(x
0
)
2.Pt tiếp tuyến tại tiếp điểm M(x
0
; y
0
)
có dạng:y = k(x –x
0
) + y
0
Chú ý: Cho đường thẳng (D): y = ax +
b
* Tiếp tuyến (
∆
) // (D)
⇒
f
/
(x
0
) = a
* Tiếp tuyến (

∆
)
⊥
(D)
⇒
f
/
(x
0
) = -
1
a

Phương pháp chung:Viết PTTT
1) Xác đònh M
0
( x
0
; f(x
0
))
2) Tính f
/
(x
0
)
3)Áp dụng công thức:
y = f
/
(x

0
)(x –x
0
) + y
0
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
 Dạng 1 :Tìm đạo hàm bằng công thức: Cần chú ý
- Xác đònh đúng dạng hàm cần tính đạo hàm.
- Chọn công thức thích hợp, chú ý nếu biến đổi được thì tránh dạng u.v và
u
v
- Sau đó tuần tự lấy đạo hàm từ ngoài vào trong cho tới khi gặp biến số (hết “dấu phết” )
- Đối với các hàm phức tạp nên có bước tính chuẩn bò từng phần trước.
- Cần nhớ cách tính đạo hàm của hai hàm hữu tỷ: bậc 1/ bậc 1 và bậc 2/ bậc 1.
 Dạng 2 : Chứng minh đẳng thức đạo hàm:
- Tính đạo hàm các cấp theo yêu cầu của đề.
- Sử dụng 1 trong các cách chứng minh đẳng thức sau đây :
. Biến đổi tương đương.
. Biến đổi V.TRÁI
→
V.PHẢI hoặc ngược lại.

 Dạng 3 : Giải PT – BPT chứa đạo hàm :
- Tính đạo hàm các cấp theo yêu cầu của đề.
- Thay vào và rút gọn về các dạng phương trình đại số, mũ, logarit hay lượng giác đã
học
 Dạng 4 : Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm
 Loại 1 : Biết tọa độ tiếp điểm: (hay tiếp tuyến tại điểm M
∈
đồ thị hàm số)

 Loại 2 : Biết hệ số góc tiếp tuyến (tiếp tuyến song song hoặc vng góc với một đường
thẳng nào đó)
 Loại 3: Biết tiếp tuyến đi qua điểm M(x
o
, y
o
) ( thuộc hoặc khơng thuộc đồ thị)
+ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc k:
(d): y = k(x – x
o
) + y
o

+ (d) là tiếp tuyến của đồ thi hàm số y = f(x) nên hệ phương trình sau có nghiệm
( ) ( )
( )
( )
' ( )
o o
f x k x x y I
f x k II

= − +


=


+ Giải hệ phương trình trên tìm k sau đó thế vào phương trình của đường trình (d)
*** Chú ý: để giải hệ phương trình trên ta thế (II) vào (I) sau đó giải phương trình tìm x

⇒ k
+ Gọi x
0
là hoành độ tiếp điểm
+ Giải phương trình y’(x
0
) = k tìm được x
0
, suy ra y
0
= f(x
0
)
Từ đó viết được phương trình (
∆
)
* Chú ý: Cho đường thẳng (D): y = ax + b
Tiếp tuyến (
∆
) // (D)
⇒
f
/
(x
0
) = a
Tiếp tuyến (
∆
)
⊥

(D)
⇒
f
/
(x
0
) = -
1
a

+ xác đònh hoành độ tiếp điểm x
0
và y
0
=f(x
0
)
+ Tìn f’(x
0
)
+ Từ đó viết được PTTT y = f
/
(x
0
)(x –x
0
) + y
0
B. BÀI TẬP:
Bài 1: Tính đạo hàm các hàm số.

a) y = x
3
- 3x +1 tại x
0
= 1
b) y =
1
1
x
x
+
−
tại x
0
= 0
c) y =
2
1 x−
với x
∈
(-1; 1)
Bài 2 : Cho hàm số
a) y = x
3
- 3x
2
–1. Tìm x để y
/
>0; y
//

< 0
b) y =
4 3 2
1 1
2 4 2009
4 3
a a a a− − + −
. Tìm a để y
/
< 0; y
//
> 0
Bài 4: cho hàm số y=2cos
2
x+4sinx-1.
a) Tính f
/
(x) từ đó suy ra f
/
(0)
b) Giải phương trình f
/
(x) = 0
Bài 5: cho hàm số y=sinx+ cosx + x.
a) Tính f
/
(x) từ đó suy ra f
/
(π)
b) Giải phương trình f

/
(x) = 0
Bài 10: cho hàm số y=(x+1)
2
cos
2
x
a) Tính f
/
(x) từ đó suy ra f
/
(2π)
b) Tìm tất cả giá trò của x thỏa mãn phương trình 2f(x)-(x+1)f
/
(x)=0
Bài 13: Cho hàm số f(x)= asinx + bcosx + 1 với x
∈
[-
π
;
π
]
Tìm a và b sao cho
/
4
0f
π
 
−
 ÷

 
=
và f
/
(0)
=1
Bài 14 Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn hệ thức:
( )
/
2
/ //
2 3 //
/ //
5
) 3 ta co xy 3
3
) ta co 2 y ( 1)
4
) 2 ta co y . 1
) sin ta co xy-2(y sin ) 0
a y y
x
x
b y y y
x
c y x x y
e y x x x xy
= + + =
−
= = −

+
= − = −
= − + =
Bài 15 Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn hệ thức
2 //
// /
/ //
2 // / 2
) cos 3x ta có 18(2y-1) y 0
) sin 2 ta có xy 4 2( sin 2 )
) cos ta có xy-2(y cos ) 0
) sin ta có xy -y xy-3x c
a y
b y x x xy y x
d y x x x xy
c y x x
= + =
= + = −
= − + =
= +
2
/
2
( )
4
4
osx 0
cos
) ta có f 3 3
1 sin

x
e y f
x
π
π
 
 ÷
 
=
= − =
+
Bài 16: Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn hệ thức
( )
2 // 2 2
4 4 / /
( )
) tan ta co x y -2(x )(1 ) 0
1
) ( ) sin x cos x va g(x) cos4x ta co f
4
x
x
d y x x y y
e f x g
= + + =
= + = =
Bài 17: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y =
1
3
x

3
– x
2
biết
a) hoành độ tiếp điểm bằng 1
b) hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
c) tiếp tuyến song song với trục hoành
d) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 4x + 5y – 5 = 0
e) tiếp tuyến tạo với trục hoành góc 45
0
Bài 18: Cho hai hàm số y =
1
2x
và y =
2
2
x
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò các
hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tìm góc giữa hai tiếp tuyến.
Bài 19: viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
a) y=
2
2 7 5
2
x x
x
− +
−
biết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số song song đường thẳng
x – y + 4 = 0

b) y = x +1 +
1
2x +
biết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số vuông góc đường thẳng
x – 3y - 6 = 0
Bài 20: viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y = 2x -
2
2 1x +
có đồ thò (C) tại giao điểm
của (C) với hai trục tọa độ.
Bài 21: Cho hàm số y =
3 1
( 2) 4
x m
m x m
+ −
+ +
(với m
≠
{-2;-1;
2
3
}) có đồ thò (C
m
)
a)Khi m = 0 viết phương trình tiếp tuyến với đồ thi (C
0
) tại tiếp điểm (-1; 1)
b)Gọi A(-1; 1) và B( 4;
3

8
) là hai điểm nằm trên (C
m
). Đònh m để hai tiếp tuyến tại A; B
song song nhau
Bài 22: Cho hàm số y =
2
2
2
x x
x
− −
+
có đồ thò (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thi (C) tại giao điểm của (C) với trục Ox
b) Tìm những điểm nằm trên (C) mà tại những điểm đó tiếp tuyến song song với đường
thẳng y = 2- 3x
C. BÀI TẬP CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT:
Bài 2: (Năm học 1994- 1995) Cho hàm số y= 2x
2
+16cosx-cos2x
a) Tìm f
/
(x) và f
//
(x) từ đó suy ra f
/
(0) và f
//
(

π
)
b) Giải phương trình f
//
(x) = 0
Bài 4: (1điểm) (Năm học 1999-2000) Cho hàm số f(x) =
1
2
x −
cos
2
x
a) Hãy tính đạo hàm f
/
(x)
b) Giải phương trình f(x) –(x-1)f
/
(x) = 0
Bài 18: ( 4,5 điểm) (TN 1994-1995) Cho hàm số y =
2
1
x x
x
− +
+
có đồ thò (C)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) tại giao điểm của đồ thò (C) với trục hoành.
Bài 21: (TN 2002-2003)
1. Khảo sát hàm số y =
2

4 5
2
x x
x
− + −
−
(C)
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) và trục tung
BÀI TẬP KHÁC
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây bằng đònh nghóa:
1)
2
4 3y x x= − +
tại x
0
= 1, 4)
1y x= −
tại x
0
= - 2;
2) y = - x
3
tại x
0
= -1; 5)
2 3
1
x
y
x

−
=
−
tại x
0
= 3
3)
1
x
y
x
=
+
tại x
0
= 0; 6)
2
sin
khi x 0
0 khi x= 0
x
y
x

≠

=




tại x
0
= 0
Bài 2: Cho hàm số f xác đònh bởi: f(x) =
2
2
khi x 1
khi x>1
x
x bx c

≤


− + +


. Xác đònh b và c để f có đạo
hàm tại x = 1.
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1)
3 2
3 3 1y x x x= − + − −
2)
3 2 2
3y x x m x m= + + +
3)
3 2
3( 1) 3 ( 2) 1y x a x a a x= − − + − +
4)

3 2
1
1
3
y x mx x m= − − + +
5)
4 2
5 4y x x= − + −
6)
2
3
tan 2
4
y x
π
 
= −
 ÷
 
7)
( )
2
cot 1y x= +
8)
sin
1 sin
x
y
x
=

−
9)
1
cos2
y
x
=
10)
3 2
cot 1y x= +
11)
4 2 2
( 10) 9y x m x= − + +
12)
3( 1)
2
x
y
x
+
=
−
13)
2
1
x
y
x
−
=

−
14)
2
5
2
x x
y
x
+ −
=
−
15)
2
5 6y x x= − +
16)
2
1
x
y
x
=
−
17)
2 3 2
( 1) 2 ( 2)m x mx m m
y
x m
+ − − − +
=
−

18)
3 2
cos 2 sin 3y x x= −
19)
2 2
3sin cos3y x x= −
20)
2
2
tan
2
1 tan
2
x
y
x
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
−
 
Bài 7: Tính:
1)
"
6
f
π
 

 ÷
 
biết
( )
sin 2f x x=
.
2)
( )
'f
π
biết
( )
sin cos
cos sin
x x x
f x
x x x
−
=
−
.
Bài 9: Tính đạo hàm của hàm số
2
cos 1 siny x x= +
(Đề thi thử Môn Toán của BGD 1996 –1997 _ Dùng tham khảo cho việc ra đề kiểm tra cuối năm)
Bài 10: Cho hàm số:
3 3
sin cos
1 sin cos
x x

y
x x
+
=
−
. Chứng minh rằng y’’ = - y.
(Đề thi TN THPT Kì I 1997-1998 _ Đề dự bò)
Bài 14: Chứng minh rằng hàm số
6 6 2 2
sin cos 3sin cosy x x x x= + +
có đạo hàm không phụ
thuộc x.
Bài 17: Tính đạo hàm cấp n của mỗi hàm số sau:
1)
1
1
y
x
=
+
; 3)
2
cosy x=

Bài 18: Cho các hàm số: y = F(x); y = f(x); y = g(x) và có F(x) = f(x)g(x); f’(x)g’(x) = k
(hằng số). Chứng minh rằng:
1)
" " " 2F f g k
F f g fg
= + +

. 2)
'" '" '"F f g
F f g
= +
Bài 19: Cho các hàm số: y = f(x); u(x) =
( )
1
'f x
và v(x) =
( )
( )
'
f x
f x
. Chứng minh rằng:
" "u v
u v
=
.
Bài 20: Cho parabol (P): y = x
2
. Lập phương trình tiếp tuyến của (P) biết:
1) Hoành độ tiếp điểm bằng 1.
2) Tung độ tiếp điểm bằng 1.
3) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng –3.
4) Tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai.
5) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
1
2003
2

y x= +
.
6) Tiếp tuyến ấy tạo với trục hoành một góc 60
0
.
7) Tiếp tuyến ấy đi qua điểm M(2;0).
Bài 22: Tìm b và c sao cho đồ thò của hàm số
2
y x bx c= + +
tiếp xúc với đường thẳng y = x
tại điểm (1;1) (tức là đường thẳng y = x là tiếp tuyến của parabol
2
y x bx c= + +
tại
điểm (1;1).
Bài 1: Cho hàm số
( )
2
1
2
x
y x= −
. Giải phương trình
0y xy
′
+ =
.
Bài 3: Cho hàm số
2
cos

2
x
y =
. Chứng minh đẳng thức:
cos siny x y x y
′
− =
.
Bài 5: Cho hàm số
( )
2
1 cosy x x= −
.
Hãy tìm các giá trị của
x
sao cho:
( ) ( )
1 0x y y y
′′ ′
− + − =
Bài 6: Cho hàm số
4 4
cos siny x x= −
.
a. Chứng minh rằng:
2sin 2 0y x
′
+ =
.
b. Giải phương trình

2 0y y
′
+ =
.
Bài 11: Cho hai hàm số:
( )
2
cos2 cosf x x x=
;
( )
2 2
1
sin 2 sin
2
g x x x= +
.
a. Tính
( )
f x
′
,
( )
g x
′
.
b. Chứng minh rằng:
( ) ( )
0f x g x
′ ′
+ =

.
Bài 12: Cho hàm số
( )
tan3 .tan 2 .tany f x x x x= =
.
Chứng minh rằng:
( )
2 2 2
3tan 3 2 tan 2 tanf x x x x
′
= − −
.
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến với (C):
2
2
1
2
x x
y
x x
+ +
=
− −
tai điểm B trên (C) có hoành độ là
1.
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến với (C):
3 2
1y x x x= + + +
, biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng y = x

Ví dụ: Viết pt tiếp tuyến với (C):
2
2
x
y
x
+
=
−
, biết tiếp tuyến vuông góc đthẳng y = x + 2
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến với (C):
2
4
4 2
x x
y
x
−
=
+
, biết tiếp tuyến qua điểm
M(-2;4)
Ví dụ: Cho hàm số
3
3 1 ( )y x x C= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại điểm trên (C) có hoành độ là 3
b/ Biết tiếp tuyến song song đường thẳng y = 9x + 2
c/ Biết tiếp tuyến qua A(
2

; 1)
3
−
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến với (C):
3
2
x
y
x
−
=
−
tai điểm trên (C) có hoành độ là 1
Bàiï 2: Viết pt tiếp tuyến với (C):
3 2
3 1y x x= + +
biết rằng tiếp tuyến này qua gốc toạ độ
Bài 3 : Viết phương trình tiếp tuyến với (C):
3 2
3 1y x x= − +
biết tiếp tuyến này vuông góc với
đường thẳng 3x – 8y = 0
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò hàm số
2 1
1
x
y
x
−
=

−
, biết tiếp tuyến song song
đường thẳng y = -
4
x
Bài 5: Cho hàm số
2
2 3 ( )y x x C= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại điểm trên (C) có hoành độ là 1
b/ Biết tiếp tuyến song song đường thẳng 4x - 2y +5 = 0
c/ Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng x + 4y = 0
d/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất của trục toạ độ
Bài 6ï: Viết pt tiếp tuyến với (C):
4 3
1
x
y
x
−
=
−
, biết tiếp tuyến hợp với trục Ox một góc
0
45

Bài tập2
Bài 1: Cho hàm số
2
5 4 ( )y x x C= − +

. Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại điểm mà (C) cắt trục Ox,Oy
b/ Biết tiếp tuyến song song đường thẳng 2x + y = 0. Chỉ rõ tiếp điểm
c/ Biết tiếp tuyến đi qua M(2;-3)
Bài 2: Cho hàm số
3 2
1
2 3 2
3
y x x x= + + +
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại điểm uốn
b/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 3
c/ Biết tiếp tuyến đi qua A(-3;2)
Bài3: Cho hàm số
2
3 3
2
x x
y
x
− +
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại điểm trên (C) có hoành độ là 4
b/ Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng x -3y = 0. Chỉ rõ tiếp điểm.
d/ Biết tiếp tuyến đi qua B(0;3). Chỉ rõ tiếp điểm
Bài 4: Cho hàm số
3 6

1
x
y
x
−
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại điểm trên (C) có tung độ là 4
b/ Biết tiếp tuyến song song đường phân giác thứ nhất của hệ trục toạ độ
c/ Biết tiếp tuyến qua điểm A(-2;0)
Bài 5: Cho hàm số
3
3 ( )y x x C= −
. Đònh m để từ điểm M(m;0) ta vẽ được 3 đường thẳng
phân biệt tiếp xúc với (C)
VÝ dơ 1: Cho hµm sè y=x
3
-3x cã ®å thÞ (C).
a) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa ®å thÞ (C) t¹i ®iĨm M cã hoµnh ®é x=2
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm N(2;2)
Ví dụ 2: Cho hàm số y=x
4
-2x
2
+2 có đồ thị (C)
a) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(0;2)
b) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A(0;2)
Ví dụ 3: Cho hàm số
2x-1

y=
x+2
có đồ thị (H). Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (H) biết tiếp
tuyến song song với đờng thẳng (d) có phơng tình y=5x+2008
Ví dụ 4: Cho hàm số
2
x -2x+5
y=
x-1
có đồ thị (H). Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (H) biết
tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng (d) có phơng trình
4
y=- x+2007
3
Bài1: Dựa vào định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm x
0
đã chỉ ra:
a) y = x
2
+ x x
0
= 2
b) y =
1
x
x
0
= 2
c) y =
1

1
x
x

+
x
0
= 0
Bài2: Dựa vào định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau đây (tại điểm x R)
a) y =
x
- x b) y = x
3
- x + 2
c) y = x
3
+ 2x c) y =
2 1
1
x
x


Bài3: Tính f'(8) biết f(x) =
3
x
Bài4: Cho đờng cong y = x
3
. Viết phơng trình tiếp tuyến với đờng cong đó, biết:
a) Tiếp điểm là A(-1; -1).

b) Hoành độ tiếp điểm bằng 2.
c) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 3x + 5.
d) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = -
12
x
+ 1
Bài5: Cho f(x) = x(x + 1)(x + 2) (x + 2004).
Dùng định nghĩa đạo hàm tính đạo hàm f'(-1000)
II) các phép tính đạo hàm:
Bài1: Tính các đạo hàm của các hàm số sau:
1) y =
( )
2
3 4x x +
( )
3 2
2 5 3x x x +
2) y =
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 3 2 4 3 5 4x x x x+ + + +
3) y =
( )
( )
2
3
3 2
3 3 1 2 1x x x x + +
4) y =
( ) ( )
( )

3
4 4
2
2 1 3 2 4 3x x x x+ + + +
5) y =
( ) ( ) ( )
2 3 4
1 2 3x x x+ + +
6) y =
2
2 5 6
3 4
x x
x
+
+
7) y =
3
3
1
x x
x x

+ +
8) y =
( )
3
2
1
1

x
x x
+
+
9) y =
4 4
2 1 1
1 1
x x
x x
+ +

+
ữ ữ


10) y =
2 2
2 2
1 1
1 1
x x x x
x x x x
+ + +
+
+ + +

11) y =
( )
2 3 3

1 2 3x x x+ + +
12) y =
3
3
1
1
x
x
+

13) y =
3 5
6
4
1 3
2 6
x x
x x


14) y =
sin cos
sin cos
x x
x x

+
15) y =
( )
sin sin sin x

16) y =
( )
2
2
1
1
sin cos
2 2
x
x
x
x x e


+





IV) đạo hàm cấp cao:
Bài1: Cho f(x) =
2
2
3 2
2 1
x x
x x

+
+
. Tính: f
(n)
(x)
Bài2: Cho f(x) =
2
3 2
3 4 8
6 11 6
x x
x x x
+
+
. Tính: f
(n)
(x)
Bài3: Cho f(x) =
3 2
4 2
2 4 9
7 10
x x x
x x
+
+
. Tính: f
(n)
(x)
Bài4: Cho f(x) =

2
4 2
3 5 11
9 18
x x
x x

+
. Tính: f
(n)
(x)
Bài5: Cho f(x) = cosx. Tính: f
(n)
(x)
Bài6: Cho f(x) = cos(ax + b). Tính: f
(n)
(x)
VII) tiếp tuyến:
1) Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
Bài1: Cho hàm số: y = x
3
- 1 - k(x - 1) (1)
1) Tìm k để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành;
2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (1) tại giao điểm của nó với trục tung. Tìm k để
tiếp tuyến đó chắn trên các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 5
Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): y =
2
2 4 cosx x x+ + +
tại giao điểm của đờng cong
với trục tung.

Bài3: Cho (C
m
): y = f(x) = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1
a) Tìm m để (C
m
) cắt đờng thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E.
b) Tìm m để các tiếp tuyến của (C
m
) tại D và E vuông góc với nhau.
Bài4: Cho 2 đồ thị
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
( ) : 1 1
( ) : 2
C y f x x x
P y g x x m

= = +


= = +


1) Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc với nhau.

2) Viết phơng trình tiếp tuyến chung tại các tiếp điểm chung của (C) với (P).
Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) =
1
2
x
4
- 3x
2
+
5
2
1) Gọi t là tiếp tuyến của (C) tại M có x
M
= a. CMR: hoành độ các giao điểm của t với
(C) là nghiệm của phơng trình:
( )
( )
2
2 2
2 3 6 0x a x ax a + + =
2) Tìm a để t cắt (C) tại P và Q phân biệt khác M. Tìm quỹ tích trung điểm K của PQ.
Bài6: Tìm m để tại giao điểm của (C): y =
( )
2
3 1m x m m
x m
+ +
+
với trục Ox tiếp tuyến của (C)
song song với (): y = x - 10. Viết phơng trình tiếp tuyến đó.

Bài7: Cho (C) : y =
2 1
1
x
x


và M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. tiếp
tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.
1) CMR: M là trung điểm của A và B.
2) CMR: S

IAB
không đổi
3) Tìm m để chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài8: Cho (C): y =
2
2 3x x m
x m
+

(m 0, 1)
Chứng minh rằng tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Oy cắt tiệm cận đứng tại điểm có
tung độ bằng 1
Bài9: Cho (C): y =
2
3 4
4
x mx
x m

+ +
+
Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với tiệm cận của đồ thị (C).
Bài10: Cho đồ thị (C): y =
2
2 2
1
x x
x
+ +
+
1) Điểm M (C) với x
M
= m. Viết phơng trình tiếp tuyến (t
m
) tại M.
2) Tìm m để (t
m
) qua B(1; 0). CMR: có hai giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán và
hai tiếp tuyến tơng ứng vuông góc với nhau.
3) Gọi I là giao điểm của hai đờng tiệm cận. Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đờng tiệm
cận tại A và B. CMR: M là trung điểm của AB và diện tích IAB không phụ thuộc vào vị trí
điểm M trên (C).
2) Phơng trình tiếp tuyến có hệ số góc cho trớc
Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x
3
- 3x
2
biết tiếp tuyến vuông góc với đ-
ờng thẳng: y =

1
3
x.
Bài2: Cho hàm số (C): y = f(x) =
4
2
x
- x
3
- 3x
2
+ 7
Tìm m để đồ thị (C) luôn có ít nhất hai tiếp tuyến song song với đt: y = mx
Bài3: Cho (C): y =
2
3 3
2
x x
x
+ +
+
. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đờng thẳng
(): 3y - x + 6 = 0
Bài4: Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): y =
2
2 3 1
4 3
x x
x

+
vuông góc với đờng thẳng: y = -
3
x

+ 2
Bài5: Cho đồ thị (C): y =
2
2 1
1
x x
x
+

Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với tiệm cận xiên của nó. Chứng minh
rằng tiếp điểm là trung điểm của đoạn tiếp tuyến bị chắn bởi hai tiệm cận.
Bài6: Cho (C
m
): y = x
4
+ mx
2
- m - 1
Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đờng thẳng y = 2x với A là điểm cố
định của (C
m
) có hoành độ dơng.
Bài7: Cho đồ thị (C
a
): y =

2
3
1
x x a
x
+ +
+
Tìm a để (C
a
) có tiếp tuyến vuông góc với đờng phân giác của góc phần t thứ nhất của hệ
toạ độ.
Bài8: Cho (C): y =
2
2 1
1
x x
x
+
+
. CMR: trên đờng thẳng y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó
có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 45
0
.
3) Phơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trớc đến đồ thị
Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A
19
;4
12

ữ

đến đồ thị (C): y = f(x) = 2x
3
+ 3x
2
+ 5
Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(0; -1) đến (C): y = 2x
3
+ 3(m - 1)x
2
+ 6(m - 2)x - 1
Bài3: Cho hàm số (C): y = f(x) = x
3
+ 3x
2
+ 2
1) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A
23
; 2
9


ữ

đến (C).
2) Tìm trên đờng thẳng y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài4: Cho (C): y = -x
3
+ 3x + 2
Tìm trên trục hoành các điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x
4
- x
2
+ 1
Tìm các điểm A Oy kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Bài6: Tìm trên đờng thẳng x = 3 các điểm kẻ đợc tiếp tuyến đến (C): y =
2 1
1
x
x
+
+

Bi 8: Tỡm o hm ca cỏc hm s sau:
a. f(x) =
cot 3
4
x x



ữ

; b. g(x) = cos
2
x + cos
2
2
2 2

cos
3 3
x x


+ +
ữ ữ

c. h(x) = sin(cos
2
x).cos(sin
2
x)
Sau khi tỡm g(x) cú nhn xột gỡ v hm g(x)
p dng cụng thc: y
x
= y
u
. u
x

Gii:
a. f(x) =
( )'cot 3 cot 3
4 4
x x x x



+

ữ ữ ữ


=
2
1 3
cot 3
4
2
sin 3
4
x
x
x
x




ữ



ữ

b. Tng t g(x) = - 2cosxsinx 2cos
2 2 2 2
sin 2cos sin
3 3 3 3
x x x x

+ + +
ữ ữ ữ ữ

= - sin2x -sin
4 4
2 sin 2
3 3
x x


+ +
ữ ữ

= - sin2x + 2cos
4
3
π
sin(-2x) = -sin2x + sin2x = 0
c. h’(x) = -2cos(cos
2
x)cosxsinxcos(sin
2
x) – 2sin(cos
2
x)sin(sin
2
x)sinxcosx
= -sin2xcos(cos

2
x)cos(sin
2
x) – sin2xsin(cos
2
x)sin(sin
2
x)
= -sin2x [cos(cos
2
x)cos(sin
2
x) + sin(cos
2
x)sin(sin
2
x)]
= -sin2xcos(cos
2
x – sin
2
x)
= -sin2xcos(cos2x)
Vì g’(x) = 0 nên g(x) là một hàm bằng. Bằng cách chọn x = 0, ta thấy g(0) =
3
2
Vậy g(x) =
3
2
với mọi x.

Bài 9: Tìm
a. d(tanx)
2
x k
π
π
 
≠ +
 ÷
 
;
b. dy với y =
2
2 5
1
x x
x
+ +
−
(x ≠ 1)
* Áp dụng công thức: df(x) = f’(x)dx
Giải:
a. d(tanx) = (tanx)’dx =
2
cos
dx
x
b. Với y =
2
2 5

1
x x
x
+ +
−
ta có:
y’ =
2 2
2
( 2 5)'( 1) ( 2 5)( 1)'
( 1)
x x x x x x
x
+ + − − + + −
−
=
2 2 2 2
2 2 2
(2 2)( 1) ( 2 5) 2( 1) 2 5 2 7
( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x x x x x
x x x
+ − − + + − − − − − −
= =
− − −
Vậy dy =
2
2
2 7
( 1)

x x
dx
x
− −
−
Bài 10: Không dùng máy tính và bảng số hãy tính gần đúng sin29
0

* Áp dụng công thức f(x
0
+
∆
x)
≈
f(x
0
) + f’(x
0
)
∆
x
Giải:
Vì 29
0
= 30
0
– 1
0
=
6 180

π π
 
−
 ÷
 
nên
sin29
0
= sin
6 180
π π
 
−
 ÷
 
≈ sin
cos 0,4849
6 6 180
π π π
  
+ − ≈
 ÷ ÷
  
Bài 11: Tìm y
(n)
biết
1
2
y
x

=
−
* Dùng phương pháp quy nạp toán học.
Giải:
Ta có:
' '' '''
2 3 4
1 1 1 1.2 1 1.2.3
(1); ;
2 ( 2) 2 ( 2) 2 ( 2)x x x x x x
     
= − = =
 ÷  ÷  ÷
− − − − − −
     
Ta dự đoán y
(n)
= (-1)
n

1
!
( 2)
n
n
x
+
−
(*). Ta chứng minh (*) bằng quy nạp.
Từ (1) suy ra (*)đúng khi n = 1

Giả sử (*)đúng với n = k, ta có
( )
1
1 !
( 1) (2)
2 ( 2)
k
k
k
k
x x
+
 
= −
 ÷
− −
 
Ta chứng minh (*)đúng với n = k+1
Lấy đạm hàm hai vế của (2) ta đượC:
( 1)
1
1 1
2 2 2 2
1 ![( 2) ]' !( 1)( 2)
( 1) ( 1)
2 ( 2) ( 2)
k
k k
k k
k k

k x k k x
x x x
+
+
+ +
+ +
− + −
 
= − = −
 ÷
− − −
 
=
1
2
( 1)!
( 1)
( 2)
k
k
k
x
+
+
+
−
−
Vậy với mọi n ∈ *, ta có:
( )
1

1 !
( 1)
2 ( 2)
n
n
n
n
x x
+
 
= −
 ÷
− −
 
BÀI TẬP sgk
Bài 1. Tìm các nghiệm của phương trình sau (làm tròn kết quả nghiệm gần đúng đến
hàng phần nghìn)
a/.
/
( ) 0f x =
với
3
2
( ) 2 6 1
3
x
f x x x= − − −
b/.
/
( ) 5f x = −

với
4 2
3
3
( ) 3
4 2
x x
f x x= − − −
Giải
a)
/ 2
4 6y x x= − −
,
/
0y =
2
4 6 0x x⇔ − − =
⇔
5,162
1,162
x
x
≈


≈ −

b) y’ = x
3
– 3x

2
– 3x,
/
5y = −
⇔ x
3
– 3x
2
– 3x = - 5
Bài 2: tính đạo hàm của các hàm số sau:
a/.
2
2 3
5 5
x
y
x x
+
=
− +
b/.
( )
5
2
1
1
y
x x
=
− +

c/.
2
1y x x x= + +
d/.
( ) ( ) ( )
2 3
1 2 3y x x x= + + +
e/.
2
1x
y
x
+
=
Giải
a) Dạng
/
U
V
 
 ÷
 
( )
( )
( )
( )
( )
/
/
2 2

/
2
2
2 3 5 5 2 3 5 5
5 5
x x x x x x
y
x x
+ − + − + − +
=
− +
( )
2
/
2
2
2 6 25
5 5
x x
y
x x
− − +
⇔ =
− +
b) Dạng
/
U
V
 
 ÷

 
( )
(
)
( )
/
5
2
/
10
2
1
1
x x
y
x x
− − +
=
− +
( )
/
6
2
5(2 1)
1
x
y
x x
− −
⇔ =

− +
( )
/
1
,2 .
n n
x nx n N
−
= ≤ ∈

3
2
N∉
c) (u.v)
/
= u’v + uv’. Vận dụng công thức tính được:
/
3
2
2
y x x= +
d) (uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw’. Áp dụng công thức được
y’ = 2(x + 2)(x + 3)
2
(3x
2
+ 11x + 9)
e)
2
/

3 2
1
2 ( 1)
x
y
x x
−
=
+
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số
1
1
x
y
x
−
=
+
tại điểm có hoành độ x
0
= 0.
Giải:
y – y
0
= k(x – x
0
) (k = f’(x
0
) )
có

( )
/
2
2
( )
1
y x
x
=
+
ta được K = 2
với x = 0, ta được y = -1
phương trình tiếp tuyến:
y + 1 = 2x
2 1.y x⇔ = −
Bài 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y =
1
5 2
x
x
−
−
b)
2 3
7 3
x
y
x
+

=
−
c) y =
2
2 3
3 4
x x
x
+ +
−
d) y =
2
2
7 3
3
x x
x x
+ +
−
Giải:
a) y’ =
2
3
(5 2)x −
b) y’ =
( )
2
23
7 3x−
c) y’ =

( )
2
2
4 6 18
3 4
x x
x
− + +
−
d) y’ =
( )
2
2
2
10 6 9
3
x x
x x
− − +
−
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a) y’ < 0 với y =
2
2
1
x x
x
+ +
−
b) y’ ≥ 0 với y =

2
3
1
x
x
+
+
c) y’ > 0 với y =
2
2 1
4
x
x x
−
+ +
Giải
a) Ta có: y’ =
2
2
2 3
( 1)
x x
x
− −
−
, y’ < 0 ⇔
2
2
2 3
( 1)

x x
x
− −
−
< 0 ⇔
1 3
1
x
x
− < <


≠

b) Ta có: y’ =
2
2
2 3
( 1)
x x
x
+ −
+
, y’ ≥ 0 ⇔
2
2
2 3
( 1)
x x
x

+ −
+
≥ 0 ⇔ x ≤ - 3 hoặc x ≥ 1
c) Ta có: y’ =
2
2 2
2 2 9
( 4)
x x
x x
− + +
+ +
, y’ > 0 ⇔
2
2 2
2 2 9
( 4)
x x
x x
− + +
+ +
> 0 ⇔
1 19
2
−
< x <
1 19
2
+
Bài 3: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = 5sin x – 3cos x b) y =
sin cos
sin cos
x x
x x
+
−
c) y = x.cot x d) y =
sin
sin
x x
x x
+
e) y =
1 2tan x+
f) y = sin
2
1 x+
Giải
a) y’ = 5cosx + 3.sinx
b) Ta có: y =
1 cot
1 cot
x
x
+
−
⇒ y’ =
2
(cot )'(1 cot ) (1 cot )(cot )'

(1 cot )
x x x x
x
− + +
−
= … =
2
2
(sin cos )x x
−
−
c) y’ = cotx –
2
sin
x
x
d) y’ =
2
.cos sinx x x
x
−
+
2
sin .cos
sin
x x x
x
−
e) Ta có: y’ =
2

1
cos . 1 2tanx x+
f) Ta có:
y’ =
2 2
( 1)'.cos 1x x+ +
=
2
2
.cos 1
1
x x
x
+
+
Bài 4: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = (9 – 2x)(2x
3
– 9x
2
+ 1); b) y = (
2
1
6 x
x
−
)(7x – 3) c) y = cos
1
x
x+

d) y = tan
2
x – cot
2
x e) y = (x – 2)
2
1x +
Giải
a) Ta có: y’ = -2(2x
3
– 9x
2
+ 1) + (9 – 2x)(6x
2
– 18x) = -16x
3
+108x
2
– 162x
Bài 5, Dùng công thức, hãy tính đạo hàm của các hàm số sau:
( )
( )
2
2 2
5 2 2
1 3
) 1 ; ) 2 3;
) sin . os 2 1; ) 2 1 1.
x
a y x b y x x

x
c y x c x d y x x x
−
= + = − +
= + = + + +
Bài tập 2:
a)Cho hàm số:
2
2 2
2
x x
y
+ +
=
Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’
2
b)Cho hàm số y = x
3
+ 2x
2
+ x – 5. Giải bất phương trình y’ < 0.
*Áp dụng:
Cho hàm số y = cos
2
2x.
a) Tính y”, y”’.
b) Tính giá trị của biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – 8.
Bài tập: Cho hàm số:
2
1y x x= + +

.
a) Tìm hệ thức giữa y’ và y;
b) Tìm hệ thức giữa y’’, y’ và y.
HD:
a) Tính y’
2
2 ' 1 0y x y⇒ + − =
b)Tính y”
( )
2
4 '' 1 4 ' 0y x xy y⇒ + + − =
*Bài tập 1:
Tính vi phân của các hàm số sau:
2 2
2
1
) 1; ) 1; ) os2 ; ) cot .
1
a y x b y x x c y c x d y
x
= + = + + = =
+
Bài tập 2: Tính vi phân của các hàm số sau:
( )
2
2 2
1 1
) sin cos ; ) 1 ; ) tan sin 2 3 ; ) .t an
3 2
a y x x b y x c y x x d y x

x x
= + = + + = + + = −
+