Các dạng toán ôn tập thi vào lớp 10

Các dạng tốn ơn tập thi vào lớp 10

Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình

DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC
Phần 1: Kiến thức cần nhớ
1. Điều kiện để căn thức có nghĩa
A Có nghĩa khi A ≥ 0
2. Các cơng thức biến đổi căn thức
a.
b.

A
=
B

d.

A2 B = A B

A
B

A B = A2 B
A 1
=
B B

C
C ( A m B)
=

A − B2
A±B

m.

C
C( A m B )
=
A − B2
A± B

)= 2−

a

⎡2 − a ≥ 1
⎡ a ≤1
⎡a ≤ 1
⇔⎢
⇔⎢
M ≥1⇔ 2− a ≥1⇔ ⎢
⎣a ≥ 9
⎣ a − 2 ≥1
⎣ a ≥3
⎡0 ≤ a ≤ 1
Vậy M ≥ 1 ⇔ ⎢
⎣ a≥9

( AB ≥ 0; B ≠ 0)

k.

(

( a + 3) 2 − a

b) Để

( A < 0; B ≥ 0)

A
A B
=
B
B

a +3

=

a +3
Vậy với a ≥ 0 thì M = 2 - a

( B ≥ 0)

i.

3+ a

−a− a +6

M=

( A ≥ 0; B ≥ 0)

AB

− a −a+6

a) Rút gọn M
b) Tìm a để M ≥ 1
c) Tìm giá trị lớn nhất của M
Giải
a) ĐK: a ≥ 0

( A ≥ 0; B > 0)

A B = − A2 B

f.

Ví dụ 1: Cho M =

⎧ A, A ≥ 0
A2 = A = ⎨
⎩− A, A < 0
AB = A. B ( A ≥ 0; B ≥ 0)

c.

e.

Phần 2: Một số ví dụ và bài tập:

c) M = 2 - a ≤ 2 Vậy Max M = 2 ⇔ a = 0
Ví dụ 2: Cho biểu thức

( B > 0)

⎛ a − 25a
⎞ ⎛ 25 − a
a −5
a + 2⎞
⎟ ⎜
⎟
M= ⎜
⎜ a − 25 − 1⎟ : ⎜ a + 3 a − 10 − 2 − a − a + 5 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị của a để M < 1
c) Tìm giá trị lớn nhất của M
Giải
a) ĐK: a ≥ 0; a ≠ 4; a ≠ 25

( A ≥ 0; A ≠ B 2 )
( A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B )

⎡

M= ⎢
⎣

(

a

(

a −5

)(

)

⎤ ⎡
− 1⎥ : ⎢
a +5
⎦ ⎣

a −5

)

(

25 − a
a +5

)(

a −2

)

+

a −5
a −2

−

a + 2⎤
⎥
a + 5⎦

1


Các dạng tốn ơn tập thi vào lớp 10

M=
M=

−5
a +5

⎡ 25 − a + a − 25 − a + 4 ⎤
⎥

a +5 a −2
⎣
⎦
a +5 a −2 ⎞
5
⎟=
⎟
4−a
a +2
⎠

:⎢

⎛
.⎜
a +5 ⎜
⎝
−5

(

Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình

(

)(

)(

)

)

Vậy với a ≥ 0; a ≠ 4; a ≠ 25 thì M =
b)Để M < 1 ⇔

5

a +2
5
5− a −2
5
<1 ⇔
<0
−1 < 0 ⇔
a +2
a +2
a +2
⇔ 3− a < 0
(Vì a + 2 > 0 )
⇔ a >3⇔ a >9

Vậy với a > 9; a ≠ 25 Thì M < 1
c)Để M đạt giá trị lớn nhất ⇔
nhất

5
a +2

lớn nhất ⇔ a + 2 nhỏ

⇔ a =0

Vậy với a = 0 thì M đạt giá trị lớn nhất
Bài 3: Rút gọn biểu thức
P=

x +1
x −1
2
−
−
( x ≥ 0; x ≠ 0)
2 x −2 2 x +2
x −1

Bài 4: Cho biểu thức
15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
P=
+
−
x +3
x + 2 x − 3 1- x
a) Rút gọn P

1
b)Tìm các giá trị của x sao cho P =
2
2
c) Chứng minh P ≤

3
2

Bài 5: Cho biểu thức
3a + 9a − 3
a +1
a −2
−
+
P=
a+ a −2
a + 2 1− a
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên.
Bài 6: Cho biểu thức
M=

x +1− 2 x x + x
+
x −1
x +1

a) Tìm x để biểu thức M có nghĩa. Rút gọn M

c) Với giá trị nào của x thì M < 1
Bài 7: Cho biểu thức
⎛
a
1 ⎞ ⎛ 1
2 ⎞

⎟:⎜
⎟
−
+
P= ⎜
⎜
⎟
⎜ a −1 a − a ⎟
⎝ a +1 a −1⎠
⎝
⎠
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2
c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.
Bài 8: Cho biểu thức
⎛ 4 x
8x ⎞ ⎛ x − 1
2 ⎞
⎟
⎟:⎜
+
−
P= ⎜
⎜2+ x 4−x⎟ ⎜ x −2 x
x⎟
⎠
⎠ ⎝
⎝
a) Rút gọn P.
b) Tính x để P = -1

c)T ìm m để với mọi giá trị x >9 ta có m( x - 3)P > x + 1.




Các dạng tốn ơn tập thi vào lớp 10

Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình

Bài 9: Cho biểu thức
⎛
y + xy ⎞ ⎛ x
y
x+ y⎞
⎟:⎜
⎟
P= ⎜ x+
+
−
⎜
⎟ ⎜ xy + y
xy + x
xy ⎟
x+ y⎠ ⎝
⎝
⎠
a) Tìm x, y để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.
c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 - 2 3
Bài 10: Cho biểu thức :

Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
2x
5 x +1
x + 10
P=
+
+
x+3 x +2 x+4 x +3 x+5 x +6
Không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 14: Cho biểu thức
⎛ x x +1 x −1 ⎞ ⎛
x ⎞
⎟:⎜ x +
⎟ với x>0 vàx≠1
−
A= ⎜
⎜ x −1
x −1⎟ ⎜
x −1⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠

a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị của x để A = 3
a) Rút gọn A.
b) Tìm x có giá trị ngun để A nhận giá trị nguyên.
Bài 11: Cho biểu thức
P=

x+2
x +1
x +1
+
x −1
x x −1 x + x + 1

1
với x ≥ 0 v
3

⎡ a+ b
a − b ⎤ ⎡ a + b + 2ab ⎤
+
⎥ : 1+
1 − ab ⎥
1 − ab
1 + ab ⎦ ⎢
⎣
⎦
⎣

M= ⎢

a) Rút gọn M
b) Tính giá trị của M với a =

a) Rút gọn P
b) Chứng minh: P <

Bài 15: Cho biểu thức

x ≠ 1.

Bài 12: Cho biểu thức
2
⎛ x −2
x + 2 ⎞ ⎛1 − x ⎞
⎜
⎟.⎜
⎟
−
P= ⎜
x −1 x + 2 x + 1⎟ ⎜ 2 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm GTLN của P.

2
2− 3

c) Tìm giá trị lớn nhất của M
Bài 16: Cho biểu thức
2

P= x −

x+

x
2x + x 2(x − 1)
−
+
x +1
x
x −1

a) Rút gọn P.
b) Tìm GTNN của P

c) Tìm x để biểu thức Q =
nguyên.

2 x nhận giá trị là số
P

3


Các dạng tốn ơn tập thi vào lớp 10

Bài 17:

Cho biểu thức
⎛ 2x x + x − x x + x ⎞

x −1
x
⎟⋅
−
+
P= ⎜
⎜
⎟ 2x + x − 1 2 x − 1
x −1 ⎠
x x −1
⎝
a) Tìm x để P có nghĩa
b) Rút gọn P.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm
GTNN đó.
Bài 18: Rút gọn biểu thức
3+ 5
3− 5
P=
−
10 + 3 + 5
10 + 3 − 5
Bài 19: Rút gọn biểu thức
a) A =

4+ 7 − 4− 7

b) B =

4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5

c) C = 4 + 15 + 4 − 15 − 2 3 − 5
Bài 20: Tính giá trị biểu thức
x + 24 + 7 2 x − 1 + x + 4 − 3 2 x − 1
1
Với ≤ x ≤ 5.
2
Bài21:Chobiểuthức

P=

⎛

x −1
−
⎝ x+3 x −4

P= ⎜
⎜

x +1⎞ x + 2 x +1
⎟:
+1
x −1
x −1⎟
⎠

a) Rút gọn P

Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình

Bài 22: Cho biểu thức
A=(

1
x −1

+

1
x +1

)2.

x2 −1
− 1− x2
2

a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức A
c) Giải phương trình theo x khi A = -2
Bài 23: Cho biểu thức
A=(

2 x+x
x x −1

−

⎛

x +2 ⎞
⎟
):⎜
x −1 ⎜ x + x +1⎟
⎝
⎠
1

a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A khi x = 4 + 2 3
Bài 24: Cho biểu thức
A=

x +1

:

1

x x +x+ x x − x
2

a) Rút gọn biểu thức A
b) Coi A là hàm số của biến x, vẽ đồ thị hàm số A
Bài 25: Cho biểu thức
1 ⎞ ⎛ 1
1 ⎞
1
⎛ 1
+

−
A= ⎜
⎟:⎜
⎟+
⎝ 1- x 1 + x ⎠ ⎝ 1 − x 1 + x ⎠ 1 − x

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất

b) Tìm giá trị lớn nhất của P
4




Các dạng tốn ơn tập thi vào lớp 10

Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình

Bài 26: Cho biểu thức
⎛ a a −1 a a +1 ⎞ a + 2
−
⎟:
a+ a ⎟ a−2
⎝ a− a
⎠

M= ⎜
⎜

a) Với giá trị nào của a thì M xác định
b) Rút gọn M
c) Với giá trị ngun nào của a thì M có giá trị nguyên
Bài 27: Cho biểu thức
P=

Cho biểu thức
1
3
2
−
+
P=
x +1 x x +1 x − x +1
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1.
Bài 32:
Cho biểu thức
2 a −9
a + 3 2 a +1
−
−
P=
a −5 a +6
a − 2 3− a
a) Rút gọn P.
b) a = ? thì P < 1
c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên.
Bài 31:

1+ 1− a
1− 1+ a
1
+
+
1− a + 1− a 1+ a − 1+ a
1+ a

a) Rút gọn biểu thức P
b) Chứng minh rằng biểu thức P luôn dương với mọi a
Bài 28:Cho biểu thức
⎛ a +1
⎞⎛
1 ⎞
a −1
⎟
A= ⎜
⎜ a − 1 − a + 1 + 4 a ⎟⎜ a − a ⎟
⎝
⎠

Phần 3: Hướng dẫn – Lời giải – Đáp số

a) Rút gọn A.

Bài 3: Rút gọn biểu thức

⎝

⎠

b) Tính A với a=(4 + 15 )( 10 - 6 ) 4 − 15
Bài 29: Cho biểu thức

P=

a +3
a −1 4 a − 4
−
+
4−a
a −2
a +2

(a > 0 ; a

≠ 4)

a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P khi A = 9
Bài 30:
Cho biểu thức
P=

1+ 1− x
1− 1+ x
1
+
+

1− x + 1− x 1+ x + 1+ x
1+ x

a) Rút gọn P.
b) So sánh P với

P=

x +1
x −1
2
−
−
( x ≥ 0; x ≠ 0)
x −1
2 x −2 2 x +2

(
P=

) (
2

x +1 −

) (
2

)

x −1 − 2 x +1
2( x − 1)

(

)

2 x −1
x + 2 x +1− x + 2 x −1− 2 x − 2
=
2( x − 1)
2( x − 1)
1
P=
( với x ≥ 0; x ≠ 1 )
x −1

P=

2
.
2

5


Các dạng tốn ơn tập thi vào lớp 10

Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình

Bài 4: Cho biểu thức
15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
P=
+
−
x +3
x + 2 x − 3 1- x
a) Đk : x ≥ 0; x ≠ 1

(

)(

) (
)( )

Vậy P ≤

)(

)

P=

15 x − 11 − 3 x − 2 x + 3 − 2 x + 3
x −1 x + 3

P=

15 x − 11 − 3 x − 9 x + 2 x + 6 − 2 x + 2 x − 3 x + 3

x −1 x + 3

(

x −1

( )( )
− 5 x + 7 x − 2 ( x − 1)(2 − 5 x )
2−5 x
=
P=
=
( x − 1)( x + 3) ( x − 1)( x + 3)
x +3
Vậy P =

2−5 x
x +3

P=

3a + 3 a − 3 −

(

(

(

(

) (

a−3 a +2
=
a −1 a + 2

)(

)(

b)

1
2−5 x 1
⇔
= ⇔ 4 − 10 x =
2
x +3 2
1
⇔ 11 x = 1 ⇔ x =
121
2
c) Chứng minh rằng P ≤
3
2
2
2−5 x
Để P ≤ ⇔
≤
3

3
x +3
17
x +3

P=

x +3

a −2
=1a +2

) (
)

a +1 a −1 −
a + 2 a −1

)(

)(
)(

a −1
a −1

Vậy với a ≥ 0; a ≠ 1 thì P =

Với x ≥ 0; x ≠ 1 Để P =

6

(đpcm)

Bài 5: Cho biểu thức
3a + 9a − 3
a +1
a −2
+
−
P=
a+ a −2
a + 2 1− a
-Ga) Đk : a ≥ 0; a ≠ 1

Với x ≥ 0; x ≠ 1

2−5 x
− 5 x − 15 + 17
=
= −5 +
x +3
x +3

2
3

P=

1

b)Tìm các giá trị của x sao cho P =
2

Ta có :

17 2
17
≤ −5 +
=
3 3
x +3

Vì x ≥⇒ x + 3 ≥ 3 ⇒ −5 +

a −2

)
)

a −2
=
a +2

)(

)

a +1

a −2

a +2

a −2
a +2

4
a +2

4
∈ Z ⇒ 4M a + 2
a +2
a +2 = 4 ⇒ a = 4
a + 2 = -4 (loại)
a +2 = 2 ⇒ a =0
a + 2 = -2 (loại)
a + 2 = -1 (loại)
a + 2 = 1 ⇒ a = −1 (loại)

Để P ∈ Z ⇒

⇒




Các dạng tốn ơn tập thi vào lớp 10

Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình

Vậy Với a = 0 hoặc a = 4 thì P ∈ Z

Bài 6: Cho biểu thức
M=

x +1− 2 x x + x
+
x −1
x +1

a) Tìm x để biểu thức M có nghĩa;

b) Rút gọn M

-Ga) Với x ≥ 0; x ≠ 1 thì M có nghĩa

(

a −1
⎝ a a −1

(

)

1
a +1
a −1
=
:
a

a −1
a

a −1
3 + 2 2 − 1 2(1 + 2 )
=
=
=2
a
2 +1
2 +1
Vậy với a = 3 + 2 2 thì P = 2
a −1
p 0 ⇒ a −1 < 0 ⇒ a < 1
c) Để P < 0 ⇔
a

P=

c) Với giá trị nào của x thì M < 1

)

x x +1
( x − 1) 2
+
= 2 x −1
x −1
x +1
Vậy với x ≥ 0; x ≠ 1 thì M = 2 x − 1

b) M =

⎞ ⎛ a −1+ 2 ⎞
⎟
⎟:⎜
⎟ ⎜ a −1 ⎟ =
⎠ ⎝
⎠
a −1
Vậy với a > 0; a ≠ 1 thì P =
a
b)Khi a = 3 + 2 2 ⇒ a = 2 + 1
⎛

P= ⎜
⎜

c)Với x ≥ 0; x ≠ 1 để M < 1 ⇔ 2 x − 1 < 1
⇔ x <1

Bài 7: Cho biểu thức
⎛
2 ⎞
a
1 ⎞ ⎛ 1
⎟:⎜
⎟
−
+

P= ⎜
⎜ a −1 a − a ⎟ ⎜ a +1 a −1⎟
⎠
⎝
⎠ ⎝
a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2
c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.
-Ga)Đk: a > 0; a ≠ 1

Vậy với 0 < a < 1 thì P< 0
CHUYÊN ĐỀ II: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
I. Hàm số bậc nhất :
1. Dạng tổng quát: y = ax + b
(a ≠ 0 )
2. Tính chất :
+ Đồng biến nếu a > 0
+ Nghịch biến nếu a < 0
3. Đồ thị : Là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có
tung độ bằng b, cắt trục hồnh tại điểm có hoàng độ bằng
-b⁄a.
4. Sự tương giao của hai đồ thị hàm số bậc nhất:
Cho hai hàm số : y = ax + b (d)
y = a’x + b’ (d’)
(d) cắt (d’)
+ Nếu a ≠ a’
(d) // (d’)
+ Nếu a = a’; b ≠ b’
+ Nếu a = a’; b = b’ (d) ≡ (d’)

(d) ⊥ (d’)
+ Nếu a.a’ = -1
7


Các dạng tốn ơn tập thi vào lớp 10
2

(a≠0)
II. Hàm số y = ax
1. Tính chất :
+ Với a > 0 : - Hàm số đồng biến nếu x > 0
- Hàm số nghịch biến nếu x < 0
+ Với a < 0 : - Hàm số đồng biến nếu x < 0
- Hàm số nghịch biến nếu x > 0
2. Đồ thị : Là một đường cong (Parabol) nhận trục tung là
trục đối xứng, tiếp xúc với trục hoành tại gốc toạ độ.
+ Nằm phía trên trục hồnh nếu a > 0
+ Nằm phía dưới trục hồnh nếu a < 0

3. Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (d)
với đồ thị hàm số y = a’x2 (P):
a’x2 = ax+b
+Nếu (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
có hai nghiệm phân biệt
a’x2 = ax + b có nghiệm kép
+ Nếu (d) Tiếp xúc (P)
a’x2 = ax+b
+ Nếu (d) và (P) khơng có điểm chung
vơ nghiệm

III. Các bài tốn về lập phương trình đường thẳng:
1.Bài tốn 1: Lập phương trình đường thẳng có hệ số
góc k cho trước và đi qua điểm M (x0; y0):
Cách giải:
- Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b
- Thay a = k và toạ độ điểm M (x0; y0) vào phương
trình đường thẳng để tìm b
Phương trình đường thẳng cần lập
8

Lê Việt Tùng - THCS n Bình

Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng đi qua M (2;-3) và song
song với đường thẳng y = 4x
-GiảiGiả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng
y = ax + b ,
song song với đường thẳng y = 4x a = 4.
Đi qua M( 2;-3) nên ta có : -3 = 4.2 + b b = -11
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 4x – 11
2.Bài tốn 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai
điểm A(x1;y1)và B (x2 ; y2 ):
Cách giải:
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b
+ Thay toạ độ điểm A và B vào phương trình đường

thẳng :

⎧ y1 = ax1 + b
⎨
⎩ y2 = ax2 + b

+ Giải hệ phương trình tìm a và b
Phương trình đường thẳng cần lập
Ví dụ : Lập phương trình đường thảng đi qua A (2; 1) và
B(-3; - 4).
- GiảiGiả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:
y = ax + b
Đi qua A (2; 1) nên : 1 = a.2 + b
(1)
Đi qua B (-3; -4) nên : -4 = a.(-3) + b (2)
1 – 2a = 3a – 4
5a = 5
a = 1.
Thay a = 1 vào (1) b = -1
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = x -1



Các dạng tốn ơn tập thi vào lớp 10

3.Bài tốn 3: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k
và tiếp xúc với đường cong y = a’x2 (P)
Cách giải :
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d)
+ Theo bài ra a = k
+ Vì (d) tiếp xúc với (P) nên phương trình:
Δ = 0 (*)
a’x2 = kx + b có nghiệm kép
Giải (*) tìm b
Thay vào (d) ta được phương trình đường thẳng cần lập

Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng song song với đường
thẳng y = 2x + 1 và tiếp xúc với parabol y = -x2
- Giải –
Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:
y = ax + b. song song với đường thẳng y = 2x + 1 a = 2.
Tiếp xúc với parabol y = -x2 nên phương trình :
-x2 = 2x + b có nghiệm kép
x2 + 2x +b = 0 có nghiệm kép
Δ’ = 1 – b ; Δ = 0
1–b=0 b=1
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 2x + 1
4.Bài tốn 4: Lập phương trình đường thẳng đi qua một
điểm M(x0; y0) và tiếp xúc với đường cong y = a’x2 (P)
Cách giải:
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d)
+ Đi qua M (x0; y0) nên y0 = a.x0 + b (1)
+ Tiếp xúc với y = a’x2 nên phương trình :
Δ = 0 (2)
a’x2 = ax + b có nghiệm kép
Giải hệ hai phương trình (1) và (2) tìm a, b
phương trình đường thẳng cần lập

Lê Việt Tùng - THCS n Bình

Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-1; 2) và tiếp
xúc với parabol y = 2x2.
-GiảiGiả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:
y = ax + b. Đi qua M (-1; 2) nên ta có: 2 = -a + b (1)
Tiếp xúc với đường cong y = 2x2 nên phương trình :
2x2 = ax + b có nghiệm kép

2x2 – ax – b = 0 có nghiệm kép
Δ = a2 + 8b . Δ = 0
a2 + 8b = 0 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ: -a + b = 2 (1)
a2 + 8b = 0 (2)
Từ (1) b = 2 + a (*) thay vào (2) ta được :
(a + 4)2 = 0
a = -4
a2 + 8a + 16 = 0
Thay a = -4 vào (*) ta được b = -2
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = -4x – 2
IV. Các bài tập về hàm số :
Bài tập 1 : Cho hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2
a) CMR hàm số nghịch biến trong (-∞; 0), đồng biến
(0; +∞) với mọi m.
b) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua (1; 5)
Bài tập 2: Cho hàm số y = ax2 (P)
a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua (-4; 8). Vẽ đồ thị
trong trường hợp đó
b) Xác định a để đường thẳng y = 2x – 3 cắt (P) tại hai
điểm phân biệt
Bài 3: Cho hàm số y = 2x2
(P)
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ
9


Các dạng tốn ơn tập thi vào lớp 10

c) Tuỳ theo m, hãy xác định số giao điểm của (P) với
đường thẳn (d) có phương trình: y = mx – 1
d) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc (P) và đi
qua A(0; -2)
1
2

Bài 4: Cho parabol y = x2

(P)

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(-1; 3) và
B(2; 6)
b) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB với (P)
Bài 5: Cho đường thẳng có phương trình :
2(m - 1)x + (m - 2)y = 2
(d)
a) Xác định m để đường thẳng cắt parabol y = x2 tại hai
điểm phân biệt
b) CMR đường thẳng đã cho luôn đi qua một điểm cố định
với mọi m
Bài 6: Cho parabol y =

1 2
x
2

(P)

a) Vẽ đồ thị hàm số

b) Xác định m để đường thẳng y = x – m cắt (P) tại hai
điểm phân biệt. Tìm toạ độ giao điểm với m = -2
c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và đi
qua A (2; -1)
Bầi 7: Cho hàm số y = (m - 2)x + n
(d)
a) Tìm các giá trị của m và n để đường thẳng (d) đi qua
hai điểm A (-1; 2) và B (3; -4)
b) Xác định m và n để đồ thị hàm số cắt trục tung tại
điểm có tung độ 1 - √2 và cắt trục hồnh tại điểm có
hồnh độ là 2 + √2
Bài 8: Cho parabol y = ax2 (P)
10

Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình

a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua A(-2; 8)
b) Tìm các giá trị của a để đường thẳng y = -x + 2 tiếp
xúc với (P)
Bài 9: Cho parabol y = x2 – 4x + 3
(P)
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A (2; 1) và có
hệ số góc k
b) CMR đường thẳng vừa lập luôn cắt (P) tại hai điểm
phân biệt với mọi giá trị của k.
Bài 10: Cho parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = mx -1 d)
Hãy tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P).
Khi đó hãy tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 11: Cho hàm số y = (m2 + 1)x – 1
a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến? vì sao?

b) Chứng tỏ rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua
một điểm cố đinh với mọi giá trị của m
c) Biết rằng điểm (1; 1) thuộc đồ thị hàm số. Xác định
m và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m vừa tìm được
Bài 12: Cho hàm số y =

1 2
x và y = 2x – 2
2

a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng mặt phẳng toạ độ
b) Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị
Bài 13: Cho hàm số y = -2x2 (P)
a) Vẽ đồ thị hàm số trên
b) Một đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm (0; -4),
cắt trục hồnh tại điểm (2; 0). Viết phương trình
đường thẳng (d)
c) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P)
Bài 14: Cho hàm số y =

1 2
x
2

(P)



Các dạng tốn ơn tập thi vào lớp 10

Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình

a) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = -x + m cắt
(P) tại hai điểm phân biệt
b) Xác định toạ độ giao điểm trong trường hợp m =

3
2

c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và đi
qua A (1; -4). Tìm toạ độ tiếp điểm
Bài 15: Cho hàm số y = 2x2
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm các giá trị của x để 2x2 -3x + 5 < -x + 17

Ví dụ 1 : Giải các hệ phương trình sau :
⎧2 x + 3 y = 6
⎩ x+ y =3

(1)

a) ⎨

(2)

Từ phương trình (2) ta có: x = 3 – y (*)
Thay x = 3 – y vào phương trình (1) ta được :
2(3 - y) + 3y = 6
6 – 2y + 3y = 6 ⇒ y = 0
Thay y = 0 vào phương trình (*) ta được : x = 3

⎧x = 3
⎩y = 0

Vậy nghiệm của hệ là: ⎨
CHUYÊN ĐỀ III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I. Hệ phương trình bậc nhất một ẩn:
⎧ ax + by = c
⎩a ' x + b ' y = c '

Dạng tổng quát : ⎨

Số các nghiệm của hệ:
a b
≠ ⇔ Hệ có nghiệm duy nhất
a ' b'
a b c
+ Nếu = ≠ ⇔ Hệ vô nghiệm
a ' b' c '
a b c
+ Nếu = = ⇔ Hệ có vô số nghiệm
a ' b' c '

+ Nếu

Các phương pháp giải hệ phương trình:
1. Phương pháp thế:
- Từ một phương trình của hệ biểu thị một ẩn
(chẳng hạn ẩn x) theo ẩn kia
- Thay biểu thức của x vào phương trình cịn lại để tìm y

- Thay y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm x
KL : Nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được

⎧ 2x + y = 5
⎩4 x − 5 y = 3

(1)
(2)

b) ⎨

Từ phương trình (1) ta có : y = 5 – 2x (*)
Thay y = 5 – 2x vào phương trình (2) ta được :
4x – 5 (5 – 2x) = 3
4x -25 + 10x = 3
14x = 28 ⇒ x = 2
Thay x = 2 vào (*) ta được : y = 5 – 2.2 ⇒ y = 1
⎧x = 2
⎩y =1

Vậy nghiệm của hệ là : ⎨
2. Phương pháp cộng :

- Biến đổi các hệ số của cùng một ẩn sao cho có giá trị
tuyệt đối bằng nhau
- Cộng hoặc trừ từng vế của hệ để khử đi một ẩn
- Giải phương trình tìm ẩn chưa khử
- Thay giá trị vào một phương trình của hệ để tìm ẩn
cịn lại
11

Các dạng tốn ơn tập thi vào lớp 10

Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình

KL : nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau :
⎧ x + 2 y = 14

(1)

a) ⎨
⎩− x + 3 y = −9 (2)
Cộng từng vế của hệ ta được : 5y = 5 ⇒ y = 1
Thay y = 1 vào phương trình (1) ta được :
x + 2.1 = 14 ⇒ x = 12
Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (12; 1)

⎧4 x + 3 y = −1

(1)

a) ⎨
(2)
⎩3x − 2 y = 12
Nhân phương trình (1) với 2, nhân phương trình (2) với 3
⎧8 x + 6 y = −2

ta được : ⎨
⎩9 x − 6 y = 36
Cộng từng vế của hệ ta được : 17x = 34 ⇒ x = 2
Thay x = 2 vào phương trình (1) ta được :
4.2 + 3y = -1
⇒ 3 y = −9 ⇒ y = −3

⎧− 3x + 4 y = 11

(1)

b) ⎨
(2)
⎩ 5x + 4 y = 3
Trừ từng vế của hệ ta được : -8x = 8 ⇒ x = −1
Thay x = -1 vào phương trình (2) ta được:
5.(-1) + 4y = 3 ⇔ 4y = 8 ⇒ y = 2
⎧ x = −1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là : ⎨
⎩y=2
3. Chú ý :
⎧ ax + by = c

Với hệ phương trình ⎨
⎩a ' x + b ' y = c '
+Nếu a = a’ hoặc b = b’ ta nên sử dụng phép cộng từng vế
+Nếu a = -a’ hoặc b = -b’ ta nên sử dụng phép trừ
+Nếu các hệ số a; a’; b; b’ bằng 1 hoặc -1 thì ta nên dùng
phương pháp thế

+ Nếu các hệ số a; a’; b; b’ khác ± 1 và khơng có giá trị
tuyệt đối bằng nhau thì ta đi tìm BCNN (a;a’) hoặc
BCNN (b; b’)
Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau :
12

⎧x=2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là : ⎨
⎩ y = −3
⎧5 x − 4 y = −6

(1)

b) ⎨
(2)
⎩3x − 2 y = −4
Nhân phương trình (2) với 2 ta được :
⎧5 x − 4 y = −6
⎨
⎩6 x − 4 y = −8

Trừ từng vế của hệ ta được : -x = 2 ⇒ x = −2
Thay x = -2 vào phương trình (1) ta được:
5.(-2) – 4y = -6
- 4y = 4 ⇒ y = −1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (-2; -1)
4.MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
⎧2 x + 3 y = 8

⎩ 3x − y = 1

a) ⎨

⎧ 7 x − 5 y = 17
⎩6 x + 5 y = −4

b) ⎨

⎧12 x + 7 y = −5
⎩9 x − 5 y = −14

c) ⎨




Các dạng tốn ơn tập thi vào lớp 10

Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình

Chú ý : Với bài tập dạng tìm điều kiện của tham số để
nghiệm của hệ thoả mãn một điều kiện α nào đó ta làm
như sau:
+ Coi tham số như số đã biết
+ Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y).Nghiệm (x; y)
phụ thuộc vào tham số
+ Giải các phương trình (Bất phương trình) của biểu
thức chứa tham số
Ví dụ: Cho hệ phương trình:

⎧ x − 2y = 0
⎨
⎩mx − 3 y = 2

(1)
(2)

⎧ x − 2y = 0
⎩− 2 x − 3 y = 2

(1)
(3)

2
4
thay vào (*) ⇒ x = −
7
7
4
⎧
⎪x = − 7
Vậy nghiệm của hệ là : ⎨
2
⎪y = −
7
⎩

-2.2y – 3y = 2 ⇒ y = −

b)Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào phương trình (2) ta được:

Thay vào (*) ta được : x =

4
2m − 3

3
2
3
Vậy với m > thì hệ phương trình có nghiệm dương
2

⇒ m>

Bài 2: Cho hệ phương trình
⎧2 x + 3 y = a
⎨
⎩ 5x − y = 1

⎧ 4x − 3 y = 6
⎨
⎩− 5 x + ay = 8

Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào (3) ta được:

m.2y – 3y = 2 ⇔ y (2m − 3) = 2 ⇒ y =

⎧ 4
⎪ 2m − 3 > 0
⇒ 2m – 3 > 0

⎨ 2
⎪
>0
⎩ 2m − 3

a) Giải hệ phương trình với a = 2
b) Giải hệ với a bất kỳ
c) Tìm a để hệ có nghiệm dương
Bài 3: Cho hệ phương trình

a) Giải hệ với m = -2
b) Tìm m để hệ có nghiệm dương
- Giải a) Với m = -2 ta có hệ : ⎨

⎧x > 0
Để hệ có nghiệm ⎨
⇔
⎩y > 0

2
2m − 3

a) Giải hệ phương trình với a = 3
b) Tìm giá trị của a để hệ co nghiệm âm duy nhất
Bài 4: Cho hệ phương trình
⎧ mx − y = 2
⎨
⎩3x + my = 5

Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x = 1; y = 3 − 1

Bài 5: Cho hệ phương trình
⎧ 3 x + (m − 1) y = 12
⎨
⎩(m − 1) x + 12 y = 24

a) Giải và biện luận hệ phương trình
b) Tìm m để hệ có một nghiệm sao cho x < y
13


Các dạng tốn ơn tập thi vào lớp 10

Lê Việt Tùng - THCS Yên Bình

Bài 6: Cho hệ phương trình
⎧(a + 1) x − y = 3
⎨
⎩ ax + y = a

a) Giải hệ với a = 2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm x + y > 0
Bài 7: Cho hệ phương trình
⎧ 2 x + (m − 4) y = 16
⎨
⎩(4 − m) x − 50 y = 80

a) Giải và biện luận hệ phương trình
b) Tìm m để hệ có một nghiệm x +y >1
Bài 8 : Cho hệ phương trình
⎧ mx + my = −3

⎨
⎩(1 − m) x + y = 0

a) Giải hệ với m = 2
b) Tìm m để hệ có nghiệm âm
Bài 9: Cho hệ phương trình
⎧ ( a + b) x + ( a − b) y = 1
⎨
⎩(2a − b) x + (2a + b) y + 2

a) Giải hệ với a = 2 và b = 1
b) Tìm tất cả các cặp giá trị nguyên của a và b để hệ có
nghiệm nguyên
Bài 10:

14