Tuyệt đỉnh công phu, thần chú hình học phẳng Oxy

Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


êPHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC (Oxy)




6) Trong mp Oxy cho ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là
!
"
#
$
%&'(')*+, ptrình đường cao BH:
)&,('-*+./cạnh AB đi qua M
!
-0,-
$
1 Tìm phương trình AC. ĐS: &')('2*+1
7) Cho ABC có điểm A!)03$, trọng tâm G(2;0). Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên 2 đthẳng "
#
%&'('4*+ và "
5
%&')(,
2*+. Viết p trình đường tròn có tâm C tiếp xúc với đường thẳng BG. ĐS:6
!
,-0,7
$
.8

!
40-
$
.
!
8
$
%
!
&,4
$
5
'
!
(,-
$
5
*
9#
5:
1
8) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là ;!/,/-0/-$1 Gọi N là trung điểm cạnh AC.
Biết phương trình đường trung tuyến BN là &/,/<(/,/3/*/+ và đường cao AH là 7&/=/(/=/-/*/+. Hãy viết phương trình các
cạnh của tam giác ABC. ĐS:AB là: x – y + 2 = 0. AC là 3x + 2y – 9 = 0.
9) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao >>
#
%)&,('-*+. đường trung tuyến 6;%('3*
+. đường trung trực cạnh AB là "%/&/'/(/'/)/*/+. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC. ĐS: ?
!
,-0,-

$
1
10) Cho tam giác cân có cạnh bên và một cạnh đáy có phương trình: AB: &')(,-*+0/68%3&,('4*+1/Lập phương trình
cạnh bên còn lại biết nó đi qua điểm ;
!
-0,3
$
1/ Giải: Phương trình AC: @
!
&,-
$
'A
!
('3
$
*+B@&'A('3A,@*+.
!@
5
'A
5
C+$. >68 cân tại A nên DEF!>6068$*DEF!>8068$G
H
I1#J#15
H
K
I
L
M#
L
1

K
#
L
M5
L
*
H
I1NJ#1O
H
K
I
L
M#
L
1
K
N
L
MO
L
G4
!
3@,A
$
5
*@
5
'A
5
G

)A
5
,-4@A'))@
5
*+1 Nếu @*+PA*+/(loại). Nếu @C+ thì )Q
O
N
R
5
,-4Q
O
N
R'))*+GS
A*
##
5
@
A*)@
/
. Trường hợp 1:
A*
##
5
@ chọn @*)0A* /ta được phương trình AC: )&' ('3-*+. Trường hợp 2: A*)@ chọn @*-0A*)/ta được
phương trình AC: &')('4*+/(loại do song song với AB)1N Từ đó có thể làm các bài:
11) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: &,)('-*+1/ Ptrình BD: &,2('
-7*+./đường thẳng//>8/đi qua/;!)0-$. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. ĐS: >
!
30)
$

.6Q
5#
:
0
#I
:
R.8
!
703
$
TQ
#U
:
0
#5
:
R1
12) Cho hình vuông ABCD có đỉnh >
!
,704
$
và một đường chéo có phương trình: 2&,('V*+1 Lập phương trình các cạnh và
đường chéo thứ 2 của hình vuông ABCD. ĐS: 7&'3('-*+03&,7('3)*+03&,7('2*+07&'3(,)7*+1
13) Cho tam giác ABC có diện tích W*
I
5
.>
!
)0,3
$

.6
!
30,)
$
1 Trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng (d):/3&,(,V*+1
Tìm tọa độ đỉnh C. Giải: >6
X
X
X
X
X
Y
*
!
-0-
$
P/Z
[\
X
X
X
X
X
X
Y
*
!
-0,-
$
.>6*

]
). Phương trình AB: -
!
&,)
$
,-
!
('3
$
*+G&,(,4*
+1 ^_
!
"
$
/nên ^
!
`03`,V
$
1 Do G là trọng tâm nên ta có:a
&
[
'&
\
'&
b
*31&
c
(
[
'(

\
'(
b
*31(
c
/
Ga
&
b
*31`,4
(
b
*d`,-d
/
P8
!
3`,40d`,-d
$
1
Mà: W*
#
5
>61"
!
80>6
$
*
I
5
G"

!
80>6
$
*
I
]
5
G
H
IeJ:J
!
feJ#f
$
J:
H
]
5
*
I
]
5
G
H
3,)`
H
*-Gg
`*-P8!,)0,-+$
`*)P8!-0,-$
/
.

14) Cho hai đường thẳng "
#
%/&,(*+ và "
5
%/)&'(,-*+. Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh >_ "
#
,
đỉnh C _"
5
và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. ĐS: >
!
-0-
$
.6
!
+0+
$
.8
!
-0,-
$
0T
!
)0+
$
h@(/>
!
-0-
$
.6

!
)0+
$
.8
!
-0,-
$
0T
!
+0+
$
.
15) Trong mặt phẳng Oxy cho >!+0)$ và đường thẳng d: &,)(')*+1/Tìm trên đường thẳng d hai điểm B,C sao cho tam giác
ABC vuông ở B và >6*)68.
16) *Viết p trình 4 cạnh hình vuông biết 4 cạnh lần lượt qua bốn điểm I(0 ; 2) , J(5 ; - 3) , K(- 2 ; - 2) và L(2 ; - 4). Giải:
(
d
)
L
C
A
B
C
H
M
G
1) Cho

%
@&

'
A(
*
i
P

#
/
qua
;
!
&
j
0
(
j
$
k
l
/

#
o

/
i
p
/
r`
%

@
!
&
,
&
j
$
'
A
!
(
,
(
j
$
*
+
/
!

#
$
1

Nếu

5
/
qua
;

!
&
j
0
(
j
$
k
l
/

5
s

/
i
p
/
r`
%
A
!
&
,
&
j
$
,
@
!

(
,
(
j
$
*
+
/
!

5
$
.
2) Nếu giả thiết cho phương trình đường cao AH thì ta chỉ sử dụng được 1 điều kiện (1 phương
trình) đó là 68s>?, nếu biết thêm BC đi qua 1 điểm có tọa độ thì ta có thể viết phương trình
đường thẳng BC. (68s>?BZ
\b
X
X
X
X
X
X
X
Y
sZ
[t
X
X
X

X
X
X
X
Y
)
3) Nếu giả thiết cho phương trình trung tuyến BM thì ta chỉ sử dụng được 1 điều kiện (1
phương trình) đó là trung điểm M của AC thuộc BM.
4) Nếu giả thiết cho phương trình phân giác u
b
thì thông thường ta gọi điểm đối xứng với điểm
cho trước thuộc cạnh AC hoặc thuộc cạnh BC. Điểm thuộc AC lấy đối xứng qua u
b
sẽ nằm trên
BC và ngược lại. Nếu đề cho phương trình AC, phương trình u
b
thì ta suy ra tọa độ điểm C và
viết được phương trình BC nhờ công thức DEF!680u
b
$*DEF!u
b
0>8$.
5) Nếu giả thiết cho phương trình trung trực (d) của AC thì ta chỉ sử dụng được 2 điều kiện (2
phương trình) đó là trung điểm M của AC thuộc (d) và >8s!"$.
6) Nếu giả thiết cho tọa độ trọng tâm G, trực tâm, trung điểm hoặc trọng tâm G thuộc đường
thẳng nào đó có phương trình thì ta thu được 2 điều kiện (2 ptrình):
a
&
[
'

&
\
'
&
b
*
3
1
&
c
(
[
'
(
\
'
(
b
*
3
1
(
c
/
1


(
d
)

(
d'
)
(loại do // AB).
A
B
C
M
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version
Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321


P t AB qua I : ax + by – 2b = 0,pt CD qua K : ax + by + 2a + 2b= 0,pt BC qua J : bx – ay – 5b – 3a =0, Pt AD qua L : bx – ay – 2b
– 4a = 0. Ta có "
!
v.8T
$
*"
!
w.>T
$
G
H
UOM5N
H
K
N
L

MO
L
*
H
IOJN
H
K
O
L
MN
L
Gg
A*,3@%ihọZ/@*-0A*,3
@*,2A%ihọZ/@*20A*,-
/
1 ĐS% AB:x-3y+6=0, , hay AB:,
17) ABC có >6*>8, 6>8
x
*d+
j
. ;!-0,-$ là trung điểm BC và ^Q
5
I
0+R là trọng tâm. Tìm A, B, C. ĐS:B(4;0), C(-2;-2)1
18) Trong mặt phẳng Oxy cho >68 có >6%&,)('<*+.>8%&')(')*+. tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là
v
!
)0-
$
1 Viết phương trình cạnh BC biết BC song song với đường thẳng d: )&,('-*+1 ĐS: lưư ý "

!
v.68
$
*"
!
v.>6
$
và
/>.v//cùng phía với BC, nếu A, I trái phía với BC thì I là tâm đường tròn bàn tiếp của tam giác ABC. pt BC: )&,(,d*+1





3) Viết phương trình đường thẳng ! $ đi qua M (3;0) và cắt đường tròn (C):&
5
'(
5
')&,7(,)+*+/theo/một dây cung AB
có độ dài: a) Lớn nhất, b) Nhỏ nhất. Giải: (C) có tâm v
!
,-0)
$
kl/y*4. a) AB lớn nhất khi AB là đường kính của (C). Do đó
! $ là đường thẳng đi qua 2 điểm M, I. Phương trình của đường thẳng ! $:
zJz
{
z
|
Jz

{
*
}J}
{
}
|
J}
{
G
zJI
J#JI
*
}
5
G&')(,3*+1 Có thể
viết bằng cách ;v
X
X
X
X
X
Y
*
!
,70)
$
PZ
~•
X
X

X
X
X
X
Y
*
!
-0)
$
Pr`/;v%&')(,3*+1/b) ẽ/v?s>6. Dây AB nhỏ nhất khi IH lớn nhất. Ta có
:v?!v;*)
]
4/(đường vuông góc luôn bé hơn đường xiên)Pv?
"Nz
*)
]
4 khi ? #; , suy ra đi đường thẳng ! $sv; tại M
hay đường thẳng
!

$
đi qua M có VTPT: Z

X
X
X
X
Y
*;v
X

X
X
X
X
Y
. Phương trình ! $: ,7
!
&,3
$
')
!
(,+
$
*+G)&,(,<*+1
4) Viết phương trình đường thẳng ! $ đi qua ;/!,-0,3$ và cắt đường tròn (C):/&
5
'(
5
,)&'7(,7*+/, có tâm I tại 2
điểm phân biệt A và B sao cho tam giác AIB có diện tích lớn nhất. Giải: (C) có tâm v
!
-0,)
$
kl/y*3. Phương trình đường thẳng
! $ :@
!
&'-
$
'A
!

('3
$
*+G@&'A('@'3A*+/
!
@
5
'A
5
C+
$
. Diện tích >68% W*
#
5
v>1v61F$%>v6/
x
*
f
5
1F$%>v6/
x
!
f
5
1PW
"Nz
*
f
5
GF$%>v6/
x

*-G >6v/vuông cân/tại I. ẽ/v?s>6 /Pv?*
&
]
5
G"
!
v0
$
*
I
]
5
G
H
N1#MO
!
J5
$
MNMIO
H
K
N
L
MO
L
*
I
]
5
G

2A
5
,V@A'@
5
*+1/ Nếu @*+ thì A*+/
!
'(ạ)
$
1/Nếu @C+ thì 2Q
O
N
R
5
,VQ
O
N
R'-*+G*
O
N
*-0ihọZ/@* A*-
O
N
*2%ihọZ/@* A*2
/
. Vậy có 2
đường thẳng cần tìm:
!

#
$

%&'('7*+.
!

5
$
%2&'('-+*+1
* Lưu ý*:a) Đường thẳng qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A, B sao cho tam giác AIB vuông cân G+
!
,.
$
*
-
]
.
G/
b) Đường thẳng qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A, B sao cho tam giác AIB đều G+
!
,.
$
*,0*
,1
]
2
.
*
-
]
2
.
G/

c) Đường thẳng qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A, B sao cho 13*4G+
!
,.
$
*,0*
5
-
.
,Q
4
.
R
.
1
d)Đường thẳng qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A, B sao cho +6
!
1,3
$
*7P89:1,3
x
P/;<81,3
x
/P;<81,0
x
P,01
ê TIẾP TUYẾN:
Dạng 1: Tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước. Ex: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) :
&
5
'

!
(,-
$
5
*)4 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x – 4y = 0 ( hoặc song song với đường thẳng 4x+3y=0). Lúc đó
R
B
A
I
H
êSỰ PHỐI HỢP GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.
[é“Thần chú”: Để viết đường thẳng /tạo (hoặc cắt hoặc tiếp xúc) với đường tròn một tam giác
hay thỏa bất cứ điều kiện nào thì chỉ cần biết khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng là xong é[

1) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3;1) và chắn trên đường thẳng ! $ :&,)('7*+ một
dây cung có độ dài bằng 4. Giải: Kẽ v?s>6P? là trung điểm của AB. P?>*).v?*"
!
v.
$
*
]
4Py*
]
v?
5
'?>
5
*3Pr`/
!
8

$
%
!
&,3
$
5
'
!
(,-
$
5
*d1/
2) Viết phương trình đường thẳng ! $ đi qua gốc O và cắt đường tròn (C):
!
&,-
$
5
'
!
('3
$
5
*)4
theo/một dây cung có độ dài bằng 8. Giải: (C) có tâm v
!
-0,3
$
kl/y*4. Phương trình đường thẳng
! $ đi qua gốc O : @
!

&,+
$
'A
!
(,+
$
*+G@&'A(*+/
!
@
5
'A
5
C+
$
1/ ẽ/v?s>6P
?/=l/>?@%A/B$ểC/Dủm/DE1P?>*7.v?*"
!
v.
$
*
]
y
5
,?>
5
*3G
H
NJIO
H
K

N
L
MO
L
*3G7@
5
'3@A*
+
G
S
@
*
+
%
i
h
ọ
Z
/
A
*
-
@
*
,
I
U
A
%
i

h
ọ
Z
/
A
*
7
0
@
*
,
3
/
1
/
Vậy có 2 đường thẳng cần tìm
%
/

#
%
(
*
+
0

5
%
3
&

,
7
(
*
+
1
/


B
A
B
A
I
M
H
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version