Đề thi và đáp án toán 2002-2014

ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
NĂM 2002-2014









NĂM HỌC: 2014 - 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014
−−−
−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối B
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Câu 1 ( 2 ,0 điểm). Cho hàm số y = x
3
− 3mx + 1 (1), với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hà m số (1) khi m = 1.

b) Cho điểm A(2; 3). Tìm m để đồ thò hàm so á (1) có hai điểm cực trò B và C sao cho
tam giác ABC cân tại A.
Câu 2 ( 1 ,0 điểm). Giải phương trình
√
2(sin x − 2
cos x)
=
2 −sin 2x.
Câu 3 ( 1 ,0 điểm). Tính tích phân I =
2

1
x
2
+ 3x + 1
x
2
+ x
dx
.
Câ
u
4 ( 1 ,0 điểm).
a) Cho số phức z thỏ a m ã n điều kiện 2z + 3(1 − i)
z = 1 − 9i. Tính
môđun của z .
b) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã gửi đến bo ä phận
kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm
chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp s ư õ a được chọn
có cả 3 loại.

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; −1) và đường
thẳng d :
x − 1
2
=
y + 1
2
=
z
−1
. Vie
át phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d.
Tìm t o ï a độ hình chiếu vuông góc của A trên d.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho lăng trụ ABC.A

B

C

có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của A

trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường
thẳng A

C và mặt đáy bằng 60
◦
. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A

B


C

và
khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC

A

).
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD. Điểm
M(−3; 0) là trung điểm của cạnh AB, điểm H(0; −1) là hình chiếu vuông góc của B trên
AD và điểm G

4
3
; 3

là
trọng tâm của tam giác BCD. Tìm tọa độ các điểm B và D.
Câu 8 ( 1 ,0 điểm). Giải hệ phương trình

(1 − y)
√
x − y + x = 2 +
(x − y − 1)
√
y
2y
2
− 3x + 6y + 1 =

2
√
x − 2y −
√
4x − 5y − 3
(x, y ∈ R).
Câ
u 9 (1,0 điểm). Cho các số thực a, b, c không âm và thỏa mãn điều kiện (a + b)c > 0.
Tìm gi á trò nhỏ nhất của biểu thức
P =

a
b + c
+

b
a + c
+
c
2(a + b)
.
−−−
−−−Hết−−−−−−
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thíc h gì thêm.
Họ và tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; Số báo danh: . . . . . . . . . .
WWW.ToanCapBa.Net
1
WWW.ToanCapBa.Net
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP
ÁN - THANG ĐIỂM

−−−−−−−−−− ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối B
(Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Câu
Đáp án
Điểm
1
a) (1,0 điểm)
(2,0đ)
Với m =
1,
hà
m số trở thà nh: y = x
3
− 3x + 1.
• Tập xác đònh: D = R.
• Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y

= 3x
2
− 3; y

= 0 ⇔ x = ±1.
0,25
Các khoảng đồng biến: (−
∞; −1
) và (
1; +∞); khoảng nghòch biến: (−1; 1).

- Cực trò: Hàm số đạt cực đại t ạ i x = −1, y
CĐ
= 3; đạt cực tiểu tại x = 1, y
CT
= −1.
- Giới hạn tại vô cực: lim
x→−∞
y = −∞; lim
x→+∞
y = +∞.
0,25
- Bảng biến thiên:
x −∞ −1 1 +∞
y

+ 0 − 0
+
y
3 +∞
−∞ −1
✏
✏
✏
✏
✏
✏✶
P
P
P
P

P
Pq
✏
✏
✏
✏
✏
✏✶
0,25
• Đồ thò:
x
y
3
−1
−1
1
O
1
0,25
b) (1,0 điểm)
Ta có y

= 3x
2
− 3m.
Đo
à thò hàm số (1) có hai điểm cực trò ⇔ phương trình y

= 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m > 0.
0,25

Tọa độ các điểm cực trò B, C l
à B(−
√
m; 2
√
m
3
+ 1), C(
√
m; −2
√
m
3
+ 1).
Su
y ra
−−→
BC = (2
√
m; −4
√
m
3
).
0,25
Gọi I là trung đie å m của BC,
suy ra I(0; 1). Ta có tam giác ABC cân tại A ⇔
−→
AI.
−−→

BC = 0
0,25
⇔ −4
√
m + 8
√
m
3
= 0 ⇔ m = 0 ho
ặc m =
1
2
.
Đố
i chiếu điều kiện tồn tại cực trò, ta được giá trò m cần tìm là m =
1
2
.
0,25
1
WWW.ToanCapBa.Net
2
WWW.ToanCapBa.Net
Câu
Đáp án
Điểm
2
Phương trình đã cho tươ ng đương với 2 si
n x cos x −2
√

2 cos x +
√
2 sin x −2 = 0.
0,25
(1,0đ)
⇔ (sin x −
√
2)(2 cos x +
√
2) = 0. 0,25
• sin x −
√
2 = 0: phương trình vô nghiệm. 0,25
• 2 cos x +
√
2 = 0 ⇔ x = ±
3π
4
+ k2π (k ∈ Z).
Nghiệ
m của phương trình đã cho là: x = ±
3π
4
+ k2π (k ∈ Z).
0,25
3
(1,0đ
)
Ta có I =
2


1
x
2
+
3x +
1
x
2
+ x
d
x =
2

1
d
x +
2

1
2x +
1
x
2
+ x
d
x. 0,25
•
2


1
d
x =
1. 0,25
•
2

1
2x + 1
x
2
+ x
dx = l
n |x
2
+ x|



2
1
0,25
= ln 3. Do đó I = 1
+ ln 3.
0,25
4
(1,0đ)
a) Đặt z = a + bi (a
, b ∈ R). Từ giả thiết suy ra


5a −3b = 1
3a + b = 9
0,25
⇔ a = 2, b =
3. Do đó mô đ u n của z bằng
√
13. 0,25
b) Số phần tử của không gian mẫu là: C
3
12
=
220.
0,25
Số cách chọn 3 hộ p sữa có đủ 3 lo ạ i là 5.4.3 = 6
0. Do đó xác suất cần tính là p =
60
220
=
3
11
. 0,25
5
Vectơ chỉ phương của d là
−→
u =
(2; 2; −1).
0,25
(1,0đ)
Mặt phẳng (P ) cần vi
ết phương trình là mặt phẳng qua A và nhận

−→
u làm vectơ pháp tuyến,
nên (P) : 2(x − 1) + 2(y − 0) − (z + 1) = 0, nghóa là (P) : 2x + 2y − z −3 = 0.
0,25
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A t re
ân d, suy ra H(1 + 2t; −1 + 2t; −t).
0,25
Ta có H ∈ (P ), suy
ra 2(1 +2t)+2( −1 +2t)−(−t)−3 = 0 ⇔ t =
1
3
. Do đo
ù H

5
3
; −
1
3
; −
1
3

. 0,25
6
(1,0đ)
Gọi H là trung điểm của AB,
suy ra A

H ⊥ (ABC)

và

A

CH = 60
◦
. Do đó A

H = CH. tan

A

CH =
3a
2
.
0,25
Thể tích khối lăng trụ là V
ABC
.A

B

C

= A

H.S
∆ABC
=

3
√
3 a
3
8
.
0,25
Gọi I là hình chiếu vuông góc của H tre
ân AC; K là hình chiếu
vuông góc của H trê n A

I. Suy ra HK = d(H, (ACC

A

)).
0,25
Ta có HI = AH
. sin

IAH =
√
3 a
4
,
1
HK
2
=
1

HI
2
+
1
HA
2
=
52
9a
2
, suy
ra HK =
3
√
13 a
26
.
0,25
A
B
A

H
C
B

C

I
K

Do đó d(B, (AC
C

A

)) = 2d(H, (ACC

A

)) = 2HK =
3
√
13 a
13
.
2
WWW.ToanCapBa.Net
3
WWW.ToanCapBa.Net
Câu
Đáp án
Điểm
7
(1,0đ)
Gọi E và F lần
lượt là giao điểm củ a HM và HG
với BC. Suy ra
−−→
HM =
−−→

ME và
−−→
HG = 2
−−→
GF ,
Do đó E(−6; 1) và F(2; 5).
0,25
A
B
C
DH
M I
G
E
F
Đường thẳng BC đi
qua E và nhận
−−→
EF làm vectơ
chỉ phương, ne â n BC : x − 2y + 8 = 0. Đường thẳng
BH đi qua H và nhận
−−→
EF làm vectơ pháp tuyến, nên
BH: 2x + y + 1 = 0. Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ
phương trình

x − 2y + 8 = 0
2x + y + 1 = 0.
Suy ra B(−2; 3).
0,25

Do M l
à trung điểm cu û a A
B ne
ân A(−4; −3).
Gọi I là giao điểm của AC và BD, suy ra
−→
GA = 4
−→
GI. Do đó I

0;
3
2

.
0,25
Do I l
à trung điểm của đoạn B
D,
nên D(2; 0).
0,25
8
(1,0đ
)

(
1 − y)
√
x − y + x =
2

+
(x −y − 1)
√
y (
1)
2y
2
− 3x +
6y +
1 = 2
√
x − 2y −
√
4x −5y −3 (2
).
Điều kiện:



y ≥ 0
x ≥ 2y
4x ≥ 5y + 3
(∗).
Ta có (1) ⇔ (1 −y)(
√
x −y −1) + (x −y − 1 )
(1 −
√
y) = 0
⇔ (1 −y)

(x −y −1)

1
√
x − y + 1
+
1
1 +
√
y

= 0 (
3).
0,25
Do
1
√
x − y + 1
+
1
1 +
√
y
> 0 nên (
3) ⇔

y = 1
y = x −1.
• Với y = 1, phương trình (2) trở thành 9 −3x = 0 ⇔ x = 3.
0,25

• Với y = x −1, đ
iều kiện (∗) trở thành 1 ≤ x ≤ 2. Phương trình (2) trở thành
2x
2
−x −3 =
√
2 −x ⇔ 2(x
2
−x −1)
+ (x − 1 −
√
2 −x) = 0
⇔ (x
2
−x −1
)

2 +
1
x − 1 +
√
2 −x

= 0
0,25
⇔ x
2
−x −1 = 0 ⇔ x =
1 ±
√

5
2
. Đo
ái chiếu điều kiện (∗) và kết hợp trường hợp trên, ta được
nghiệm (x; y) của hệ đã cho là (3; 1) và

1 +
√
5
2
;
−1 +
√
5
2

.
0,25
9
(1,0đ)
Ta có a + b + c ≥ 2

a(b + c). Suy ra

a
b + c
≥
2a
a + b + c
. 0,25

Tương tự,

b
a + c
≥
2b
a + b + c
.
Do đo
ù P ≥
2(a + b)
a + b + c
+
c
2(a + b)
=

2(a + b)
a + b + c
+
a + b + c
2(a + b)

−
1
2
0,25
≥ 2 −
1
2

=
3
2
. 0,25
Khi a = 0, b = c
, b > 0 thì P =
3
2
. Do đ
ó giá trò nhỏ nhất của P là
3
2
.
0,25
−−−−−−Hết−−−−−−
3
WWW.ToanCapBa.Net
4
WWW.ToanCapBa.Net
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014
−−−
−−−−−−− Môn: TOÁN; Khố i D
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, khôn g kể thời gian phát đề
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Câu 1 ( 2 ,0 điểm). Cho hàm số y = x
3
− 3x − 2 (1).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc bằng 9.
Câu 2 (1,0 điể m). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3z −

z)
(1 + i) − 5z =
8i − 1.
Tính
môđun của z.
Câu 3 ( 1 ,0 điểm). Tính tích phân I =
π
4

0
(x + 1) sin 2x dx
.
Câu 4 ( 1 ,0 điểm).
a) Giải phương trình log
2
(x − 1) − 2 log
4
(3x − 2) + 2 = 0.
b) Cho một đa giác đều n đỉnh, n ∈ N và n ≥ 3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 27
đường chéo.
Câu 5 ( 1 ,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
(P ) : 6x + 3y − 2z − 1 = 0 và mặt cầu (S) : x
2
+y
2
+z
2
−6x−4y −2z −11 = 0.
Chứng
minh mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Tìm tọa

độ tâm của (C).
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đ á y ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt
bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳ ng (SBC) vuông góc với mặ t đ á y . Tính
theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân
đường phân giác trong của góc A là điểm D(1; −1). Đường thẳng AB có phương trình
3x + 2y −9 = 0, tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phươ ng
trình x + 2y − 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải bất phương trình (x + 1)
√
x + 2 + (x + 6
)
√
x + 7 ≥ x
2
+ 7x +
12.
Câu 9 ( 1 ,0 đie å m). Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 1 ≤ x ≤ 2; 1 ≤ y ≤ 2.
Tìm gi á trò nhỏ nhất của biểu thức
P =
x + 2y
x
2
+ 3y + 5
+
y +
2x
y
2
+ 3x + 5

+
1
4(x + y − 1)
.
−−
−−−−Hết−−−−−−
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; S o á báo danh: . . . . . . . . . .
WWW.ToanCapBa.Net
5
WWW.ToanCapBa.Net
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP
ÁN - THANG ĐIỂM
−−−−−−−−−− ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối D
(Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Câu
Đáp án
Điểm
1
a) (1,0 điểm)
(2,0đ) • Tậ
p xác đònh D = R.
• S
ư
ï biến thiên:
- Chiều biến thiên: y

= 3x

2
− 3; y

= 0 ⇔ x = ±1.
0,25
Các khoảng đồng biến: (−
∞; −1
) và (
1; +∞); khoảng nghòch biến: (−1; 1).
- Cực trò: Hàm số đạt cực đại t ạ i x = −1, y
CĐ
= 0; đạt cực tiểu tại x = 1, y
CT
= −4.
- Giới hạn tại vô cực: lim
x→−∞
y = −∞; lim
x→+∞
y = +∞.
0,25
- Bảng biến thiên:
x −
∞ −1 1 +∞
y

+
0 − 0
+
y
0 +∞

−∞ −4
✏
✏
✏
✏
✏
✏✶
P
P
P
P
P
Pq
✏
✏
✏
✏
✏
✏✶
0,25
• Đồ thò:
x
y
−1
−4
1
O
−2
0,25
b) (1,0 điểm)

M ∈ (C) ⇒ M (a; a
3
−3a −2). 0,25
Hệ số góc của t i e á p tuyến tại M bằng 9 ⇔ y

(a) =
9
0,25
⇔ 3a
2
−3 = 9 ⇔ a = ±2. 0,25
Tọa độ điểm M thỏ
a mãn yêu cầu bài toán là M(2; 0) hoặc M(−2; −4).
0,25
2
Đặt z = a +bi (a,
b ∈ R). Từ giả thiết ta được [3( a +bi) −(a −bi)](1 +i) −5(a + bi) = 8i −1
0,25
(1,0đ)
⇔

3a + 4b = 1
2a −b =
8
0,25
⇔

a = 3
b = −2.
0,25

Do đó môđun của z là

3
2
+ (−2)
2
=
√
13. 0,25
1
WWW.ToanCapBa.Net
6
WWW.ToanCapBa.Net
Câu
Đáp án
Điểm
3
(1,0đ)
I =
π
4

0
(x + 1)
sin 2x dx. Đặt u = x + 1 và dv = sin2xdx, suy ra du = dx và v = −
1
2
cos
2x.
0,25

Ta có I = −
1
2
(x + 1)
cos 2x



π
4
0
+
1
2
π
4

0
cos
2xdx
0,25
= −
1
2
(x + 1)
cos 2x



π

4
0
+
1
4
sin
2x



π
4
0
0,25
=
3
4
.
0,25
4
(1,0đ
)
a) Đ
iều kiện: x
> 1.
Phương trình đã cho tương đương với log
2
x − 1
3x −2
= −2

0,25
⇔
x − 1
3x −2
=
1
4
⇔ x =
2.
Đ
o
ái chiếu điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.
0,25
b) Số đường ché o của đa giác đều n đỉnh
là C
2
n
−n =
n(n − 3)
2
. 0,25
Từ giả thiết ta có phương trình
n(n −3)
2
= 27 ⇔

n =
9
n = −6.
Do n ∈ N và n ≥ 3 nên ta được giá trò n cần tìm là n = 9.

0,25
5
Mặt cầu (S) có t
âm I(3; 2; 1) và bán kính R = 5.
0,25
(1,0đ)
Ta có khoảng cách từ I đế
n (P) l à d(I, (P )) =
|6.3 + 3.2 − 2.1 −1|

6
2
+ 3
2
+ (−2
)
2
= 3 < R.
Do đó (P ) cắt (S) theo giao tu y e á n là một đường tròn (C).
0,25
Tâm của (C) là hình
chiếu vuông góc H củ a I trên (P ). Đường thẳng ∆ qua I và vuông góc
với (P ) có phương trình là
x − 3
6
=
y − 2
3
=
z − 1

−2
. Do H ∈ ∆ ne â
n H(3 + 6t; 2 + 3t; 1 −2t).
0,25
Ta có H ∈ (P) , suy
ra 6(3+6t)+3(2+3t)−2(1−2t)−1 = 0 ⇔ t = −
3
7
. Do đo
ù H

3
7
;
5
7
;
13
7

. 0,25
6
(1,0đ)
Gọi H là trung điểm của BC,
suy ra AH =
BC
2
=
a
2

,
SH ⊥ (AB
C), SH =
√
3 a
2
và S
∆ABC
=
1
2
BC.
AH =
a
2
4
.
0,25
Thể tích khối chóp là V
S.A
BC
=
1
3
.SH
.S
∆ABC
=
√
3 a

3
24
.
0,25
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H tre
ân SA, suy ra
HK ⊥ SA. Ta có BC ⊥ (SAH) nên BC ⊥ HK.
Do đó HK là đường vuông góc chung của BC và SA.
0,25
A
B
C
S
H
K
Ta có
1
HK
2
=
1
SH
2
+
1
AH
2
=
16
3a

2
.
Do đo
ù d(BC, SA) = HK =
√
3 a
4
.
0,25
2
WWW.ToanCapBa.Net
7
WWW.ToanCapBa.Net
Câu
Đáp án
Điểm
7
(1,0đ)
Tọa độ điểm A thỏ
a mãn hệ phương trình

3x + 2y −9 = 0
x + 2y − 7 = 0.
Suy ra A(1 ; 3).
0,25
B
C
A
D
E

Gọi ∆ là tiếp tuyến tại A củ
a đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC và E là giao điểm của ∆ với đường thẳng BC (do AD
không vuông góc với ∆ nên E luôn tồn tại và ta có thể giả sử
EB < EC). Ta có

EAB =

ACB và

BAD =

DAC, suy ra

EAD =

EAB +

BAD =

ACB +

DAC =

ADE.
Do đó, tam giác ADE cân tại E.
0,25
E l
à giao điểm của ∆ vơ
ù

i đường trung trực của đoạn AD, nên
tọa độ điểm E thỏa mãn hệ phương trình

x + 2y − 7 = 0
y −1 = 0.
Suy ra E(5; 1).
0,25
Đường thẳng B
C đ
i
qua E và nhận
−−→
DE = (4; 2) làm vectơ
chỉ phương, nên BC : x − 2y −3 = 0.
0,25
8
(1,0đ)
Điều kiện: x ≥ −2. B
ất phương trình đã cho tương đương với
(x + 1)(
√
x + 2 − 2) + (x +
6)(
√
x + 7 − 3) −(x
2
+
2x −8) ≥ 0
0,25
⇔ (x −2)


x + 1
√
x + 2 + 2
+
x + 6
√
x + 7 + 3
−x −4

≥ 0 (
1).
0,25
Do x ≥ −2 nê
n x + 2 ≥ 0 và x + 6 > 0. Suy ra
x + 1
√
x + 2 + 2
+
x + 6
√
x + 7 + 3
−x −4 =

x +
2
√
x + 2 + 2
−
x + 2

2

+

x + 6
√
x + 7 + 3
−
x + 6
2

−
1
√
x + 2 + 2
< 0.
Do đ
ó (1) ⇔ x ≤ 2.
0,25
Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là: −2 ≤ x ≤ 2. 0,25
9
(1,0đ)
Do 1 ≤ x ≤ 2 nên (x −1
)(x − 2) ≤ 0, nghóa là x
2
+ 2 ≤ 3x. Tương tự, y
2
+ 2 ≤ 3y.
Suy ra P ≥
x + 2y

3x + 3y + 3
+
y +
2x
3y + 3x + 3
+
1
4(x + y −1)
=
x + y
x + y + 1
+
1
4(x + y − 1)
.
0,25
Đặt t = x + y, su
y ra 2 ≤ t ≤ 4. Xét f (t) =
t
t + 1
+
1
4(t −1)
, vơ
ùi 2 ≤ t ≤ 4.
Ta có f

(t) =
1
(t + 1)

2
−
1
4(t −1)
2
. S
uy ra f

(t) = 0 ⇔ t = 3.
0,25
Mà f(2) =
11
12
; f(3)
=
7
8
; f(4)
=
53
60
nên f(t) ≥ f(
3) =
7
8
. Do đ
ó P ≥
7
8
. 0,25

Khi x = 1, y =
2 thì P =
7
8
. Vậy
giá trò nhỏ nhất của P là
7
8
. 0,25
−−−−−−Hết−−−−−−
3
WWW.ToanCapBa.Net
8
WWW.ToanCapBa.Net
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2 0 1 4
−−−
−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối A và Khối A1
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đ ề
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y =
x + 2
x − 1
(
1
)
.
a) Khảo sá t sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộ c (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x bằng
√
2.

Câ
u
2
(1,0 điểm). Giải phương trình sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x.
Câu 3 (1,0 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đươ ø ng co ng y = x
2
−x + 3 và đường
thẳng y = 2x + 1.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (2 + i)
z = 3 + 5i. Tìm
phần t hư ï c và phần ảo cu û a z.
b) Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suất
để 4 thẻ được chọn đe à u được đánh số chẵn.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 2x+y−2z −1 = 0
và đư ơ ø ng thẳng d :
x − 2
1
=
y
−2
=
z + 3
3
. Tìm to
ïa đo ä giao điểm của d và (P). Viết phương
trình m ặ t phẳ ng chứa d và vuông go ù c với (P ).
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD =
3a
2

,
hình chie
áu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a
thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
Câu 7 ( 1 ,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M
là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương
trình đ ư ơ ø ng thẳng CD, biết rằng M(1; 2) và N(2; −1).
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

x
√
12 − y +

y(12 − x
2
) = 12
x
3
− 8x − 1
= 2
√
y −2
(x,
y ∈ R).
Câu 9 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2

= 2.
Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức
P =
x
2
x
2
+ yz + x + 1
+
y + z
x + y + z + 1
−
1 + y
z
9
.
−−−
−−−Hết−−−−−−
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . .
WWW.ToanCapBa.Net
9
WWW.ToanCapBa.Net
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP
ÁN - THANG ĐIỂM
−−−−−−−−−− ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối A và Khối A1
(Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Câu

Đáp án
Điểm
1
a) (1,0 điểm)
(2,0đ) • Tậ
p xác đònh D = R \
{1}.
• S
ự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y

= −
3
(x − 1
)
2
; y

< 0, ∀x ∈ D.
Hà
m
số nghòch biến trên t ư ø ng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).
0,25
- Giới hạn và tiệm cận: l
i
m
x→
−∞
y = lim
x→+∞

y = 1; tiệm cận ngang: y = 1.
lim
x→1
−
y = −∞; li m
x→1
+
y = +∞; tiệm cận đứng: x = 1.
0,25
- Bảng biến thiên:
x −
∞ 1
+∞
y

− −
y
1 +∞
−
∞ 1
P
P
P
P
P
P
Pq
P
P
P

P
P
P
Pq
0,25
• Đồ thò:
y
x
O
−2
−2
1
1
0,25
b) (1,0 điểm)
M ∈ (C) ⇒ M

a;
a + 2
a − 1

, a = 1. 0,25
Khoảng cách từ M đế
n đường thẳng y = −x là d =



a +
a + 2
a − 1




√
2
. 0,25
d =
√
2 ⇔ |a
2
+ 2| =
2|a − 1| ⇔

a
2
−2a + 4 = 0
a
2
+ 2a = 0.
0,25
• a
2
− 2a + 4 =
0: phương trình vô nghiệm.
• a
2
+ 2a = 0 ⇔

a = 0
a = −2.

Suy ra tọa độ điểm M cần tìm là: M (0; −2) hoặc M(−2; 0).
0,25
1
WWW.ToanCapBa.Net
10
WWW.ToanCapBa.Net
Câu
Đáp án
Điểm
2
Phương trình đã cho tươ ng đương với sin x +
4 cos x = 2 + 2 sin x cos x
0,25
(1,0đ) ⇔ (sin x −2)
(2 cos x − 1) = 0.
0,25
• sin x − 2 = 0:
phương trình vô nghiệm.
0,25
• 2 cos x −1 =
0 ⇔ x = ±
π
3
+ k2π (k ∈ Z).
Nghiệ
m của phương trình đã cho là: x = ±
π
3
+ k2π (k ∈ Z).
0,25

3
(1,0đ
)
Phương trình hoành độ gi ao điểm của đường cong y = x
2
− x +
3 và
đ
ường thẳng
y = 2x + 1 là x
2
−x + 3 = 2x + 1 ⇔

x = 1
x = 2.
0,25
Diện tích hình phẳng cần tìm là S =
2

1
|x
2
− 3x +
2|d
x 0,25
=



2


1
(x
2
−3x +
2
)d
x



=






x
3
3
−
3x
2
2
+
2x





2
1





0,25
=
1
6
. 0,25
4
(1,0đ)
a) Đặt z = a + bi (a
, b ∈ R). Từ giả thiết suy ra

3a + b = 3
a − b = 5
0,25
⇔ a = 2, b = −3. Do
đó số phức z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng −3.
0,25
b) Số phần tử của không gian mẫu là: C
4
16
=
1820.
0,25

Số kết quả thuận lợi cho biến cố “4 the
û được đánh số chẵn” là: C
4
8
= 70.
Xác suất cần tính là p =
70
1820
=
1
26
.
0,25
5
Gọi M là giao điểm của d và (P), s
uy ra M (2 + t; −2t; −3 + 3t).
0,25
(1,0đ)
M ∈ (P) suy ra 2(
2 + t) + (−2t) −2(−3 + 3t) − 1 = 0 ⇔ t =
3
2
. Do đ
ó M

7
2
; −3;
3
2


. 0,25
d có vectơ chỉ phương
−→
u =
(1; −2; 3), (P) có vectơ pháp tuyến
−→
n = (2; 1; −2).
Mặt phẳng (α) cần viết phương trình có vectơ pháp tuyến [
−→
u ,
−→
n ] = (1; 8; 5).
0,25
Ta có A(2; 0; −3) ∈ d ne
ân A ∈ (α). Do đó (α) : (x −2) + 8(y −0) + 5(z + 3) = 0,
nghóa là (α) : x + 8y + 5z + 13 = 0.
0,25
6
(1,0đ)
Gọi H là trung điểm của AB,
suy ra SH ⊥ (ABCD).
Do đó SH ⊥ HD. Ta có SH =
√
SD
2
− DH
2
=


SD
2
−(AH
2
+ AD
2
)
= a.
0,25
Suy ra V
S.A
BCD
=
1
3
.SH
.S
ABCD
=
a
3
3
.
0,25
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H t re
ân BD và
E là hình chiếu vuông góc của H trên SK. Ta có
BD ⊥ HK và BD ⊥ SH, nên BD ⊥ (SHK).
Suy ra BD ⊥ HE. Mà HE ⊥ SK,
do đó HE ⊥ (SBD).

0,25
Ta có HK = HB
. sin

KBH =
a
√
2
4
.
Suy
ra HE =
HS.HK
√
HS
2
+ HK
2
=
a
3
.
0,25
A
B
C
D
H
S
K

E
Do đo ù d( A, (SB
D)) = 2d(H, (SBD)) = 2HE =
2a
3
.
2
WWW.ToanCapBa.Net
11
WWW.ToanCapBa.Net
Câu
Đáp án
Điểm
7
(1,0đ)
Ta có MN =
√
10. Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông A
BCD,
a > 0. Ta có AM =
a
2
và AN =
3AC
4
=
3a
√
2
4

,
nên MN
2
= AM
2
+ A
N
2
− 2AM.AN. cos

MAN =
5a
2
8
.
Do đo
ù
5a
2
8
= 10, nghóa
là a = 4.
0,25
Gọi I(x
; y) l
à
trung điểm của CD. Ta có IM = AD = 4
A
B
C

D
M
N
I
và I
N =
B
D
4
=
√
2,
nên ta có hệ phương trình
0,25

(x −1
)
2
+
(y − 2
)
2
= 16
(x −2)
2
+ (y + 1)
2
= 2
⇔


x = 1; y = −2
x =
17
5
; y = −
6
5
.
• Vơ
ùi x =
1; y = −2 t
a có I(1; −2) và
−−→
IM = (0; 4).
Đường thẳng CD đi qua I và có vectơ pháp tuyến là
−−→
IM, nên có phương t rình y + 2 = 0.
0,25
• Với x =
17
5
; y = −
6
5
ta co
ù I

17
5
; −

6
5

và
−−→
I
M =

−
12
5
;
16
5

.
Đươ
øng thẳng CD đi qua I và có vectơ pháp tuyến là
−−→
IM, nên có phương trình 3x−4y−15 = 0.
0,25
8
(1,0đ)

x
√
12 − y +

y(12 −x
2

) = 12 (1)
x
3
−8x −1
= 2
√
y − 2 (2
).
Điều kiện: −2
√
3 ≤ x ≤ 2
√
3; 2 ≤ y ≤ 12.
Ta có x
√
12 −y ≤
x
2
+ 12 −y
2
và

y(12 −x
2
) ≤
y + 1
2 −x
2
2
nên x

√
12 − y +

y(12 −x
2
) ≤ 12. Do
đó (1) ⇔

x ≥ 0
y = 12 −x
2
.
0,25
Thay vào (2) ta
được x
3
−8x − 1 = 2
√
10 − x
2
⇔ x
3
− 8x − 3 + 2
(1 −
√
10 − x
2
) = 0
⇔ (x −3)


x
2
+
3x + 1 +
2(x + 3)
1 +
√
10 −x
2

= 0 (
3).
0,25
Do x ≥ 0 nên x
2
+
3x + 1 +
2(x + 3)
1 +
√
10 − x
2
> 0. 0,25
Do đó (3) ⇔ x = 3.
Thay vào hệ và đối chiếu điều kiện ta được nghiệm: (x; y) = (3; 3).
0,25
9
(1,0đ)
Ta có 0 ≤ (x −y − z)
2

= x
2
+ y
2
+ z
2
− 2xy − 2xz + 2yz =
2(1 −xy − xz + yz),
nên x
2
+ yz + x + 1 = x(x + y + z + 1 ) + (1 − xy −xz + yz) ≥ x(x + y + z + 1).
Suy ra
x
2
x
2
+ yz + x + 1
≤
x
x + y + z + 1
.
0,25
Mặc khác, (x + y + z)
2
= x
2
+ y
2
+ z
2

+ 2x(y + z)
+ 2yz = 2 + 2yz + 2x(y + z)
≤ 2 + 2yz + [x
2
+ (y + z)
2
] = 4(1 + yz). Do đó P ≤
x + y + z
x + y + z + 1
−
(x + y + z)
2
36
.
0,25
Đặt t = x + y + z, su
y ra t ≥ 0 và t
2
= (x + y + z)
2
= (x
2
+ y
2
+ z
2
) + 2xy + 2yz + 2zx
≤ 2 + (x
2
+ y

2
) + (y
2
+ z
2
) + (z
2
+ x
2
) = 6. Do đó 0 ≤ t ≤
√
6.
Xét f(t)
=
t
t + 1
−
t
2
36
, với 0 ≤ t ≤
√
6.
Ta có f

(t)
=
1
(t + 1)
2

−
t
18
= −
(t − 2)(t
2
+
4t + 9)
18(t + 1)
2
, ne
ân f

(t) = 0 ⇔ t = 2.
0,25
Ta có f(0) = 0; f (2
) =
5
9
và f(
√
6) =
31
30
−
√
6
5
, nê
n f(t) ≤

5
9
khi 0 ≤ t ≤
√
6.
Do đo
ù P ≤
5
9
. Khi x = y = 1 và z =
0 thì P =
5
9
. Do đ
ó giá trò lớn nhất cu û a P là
5
9
.
0,25
−−−−−−Hết−−−−−−
3
WWW.ToanCapBa.Net
12
WWW.ToanCapBa.Net
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
−−−
−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối A và khối A1
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = −x
3
+ 3x
2
+ 3mx − 1 (1), với m là tham số thực.
a) Khảo s á t s ư ï bi e á n thiên và vẽ đồ thò của hàm số (1) khi m = 0.
b) Tìm m để hàm số (1) nghòch biến trên khoảng (0; + ∞).
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 1 + tan x = 2
√
2 sin

x +
π
4

.
Câ
u
3
(1,0 điểm). Giải hệ phương trình

√
x +
1 +
4
√
x − 1 −

y
4

+
2 = y
x
2
+
2x(
y − 1) + y
2
− 6y + 1 = 0
(x, y ∈ R).
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
2

1
x
2
− 1
x
2
ln x dx.
Câ
u 5 (1,0 đie å m). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,

ABC = 30
◦
, SBC là
tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4c
2

. Tìm giá trò
nhỏ nhất của biểu thức P =
32a
3
(b + 3c)
3
+
32b
3
(a + 3c)
3
−
√
a
2
+ b
2
c
.
II.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc
đường thẳng d : 2x + y + 5 = 0 và A(−4; 8). Gọi M là đ i e å m đ o á i xứng của B qua C, N là hình chie á u
vuông góc của B trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng N(5; −4).
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆:
x − 6
−3
=
y + 1

−2
=
z + 2
1
và đi
ểm A(1; 7; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A và vuông góc với ∆. Tìm tọa đo ä điểm
M thuộc ∆ sao cho AM = 2
√
30.
Câu 9
.a (1,0 điểm). Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn t ư ø
các chư õ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác đònh số phầ n tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất
để số được chọn là số chẵn.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đườ ng thẳng ∆ : x − y = 0. Đường
tròn (C) có bán kính R =
√
10 cắt ∆ tại hai điểm A và B s
ao cho AB = 4
√
2. Tiếp tuyến của (C)
t
ại A và B cắt nhau tại một điểm thuo ä c ti a Oy. Viết phươ ng trình đường tròn (C).
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ): 2x + 3y + z − 11 = 0
và mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2

− 2x + 4y − 2z −8 = 0. Chứng minh (P ) tiế p xú c vớ i (S). Tìm tọa đo ä
tiếp điểm của (P ) và (S).
Câu 9.b (1,0 điểm). Cho số phức z = 1+
√
3 i. Viết dạng lượng giác củ a z. Tìm
phần thực và phần ảo
của số phức w = (1 + i)z
5
.
−−−−−−Hết−−−−−−
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . .
WWW.ToanCapBa.Net
13
WWW.ToanCapBa.Net
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍN
H THỨC

ĐÁP ÁN – THANG
ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
Môn: TOÁN; Khối A và
khối A1
(Đáp án - thang điể
m gồm 04 trang)


Câu

Đáp án Điểm
a. (1,0 điểm)
Khi m = 0 ta có
32
31yx x .
=
−+ −
•
Tập xác định: .D = \
•
Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: hoặc
2
'3 6;'0yxxy x=− + = ⇔ =0 2.x
=

0,25
Khoảng đồng biến: (0; 2); các khoảng nghịch biến: (;0)
−
∞ và (2; ).
+
∞
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại
x = 0, y
CT
= −1; đạt cực đại tại x = 2, y
CĐ
= 3.
- Giới hạn:
lim ; lim .

xx
yy
→−∞ →+∞
=+∞ =−∞
0,25
- Bảng biến thiên:


Trang 1/4






0,25
• Đồ thị:

0,25
b. (1,0 điểm)
Ta có
2
'3 63yxx=− + + .m
Hàm số (1) nghịch bi
ến trên khoảng
(0; )
+
∞ khi và chỉ khi '0, 0yx
≤
∀>
0,25
2
2, 0.mx xx⇔≤ − ∀>

Xét
2
() 2
f
xx x=− với Ta có 0.x > '( ) 2 2; '( ) 0 1.fx x fx x
=
−=⇔=
0,25
Bảng biến thiên:

0,25
1
(2,0 điểm)
Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị m thỏa mãn yêu cầu của bài toán là m 1.
x
'y
y
−
∞

+
∞
0
2
0 0
− −
+
+
∞

− ∞
−
1
3
2
O
y

x

3
−
1
x
()
f
x
0
+
∞
1
0
−
0
+
−
1
+
∞
'( )
f
x
≤−
0,25
WWW.ToanCapBa.Net
14
WWW.ToanCapBa.Net

Trang 2/4
Câu
Đáp án Điểm
Điều kiện: Phương trình đã cho tương đương với cos 0.x ≠
sin
12(sinco
cos
x
s)
x
x
x
+= +

0,25
(sin cos )(2 cos 1) 0.xx x⇔+ −=
0,25
π
sin cos 0 π ()
4
xx x kk•+=⇔=−+ ∈] .

0,25
2
(1,0 điể
m)
π
2cos 1 0 2π ()
3
xxkk•−=⇔=±+ ∈] .

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm:
π
π
4
x
k
=
−+
hoặc
π
2π ()
3
xkk=± + ∈] .

0,25
44
22
11 2
2( 1) 6 1 0 (2)
xxy y
xxy yy
⎧
++ −− + =
⎪
⎨
⎪
+−+−+=
⎩
(1)

,

Điều kiện: Từ (2) ta
được suy ra
1.x ≥
2
4( 1)yxy=+− 0.y ≥
0,25
3
(1,0 điể
m)
Đặt
4
1,ux=−
suy ra u Phương trình (1) trở thành: 0.≥
44
2 2 (3).uuyy++= ++

Xét
4
() 2 ,
f
tt=++t với Ta có 0.t ≥
3
4
2
'( ) 1 0, 0.
2
t
ft t

t
=
+> ∀≥
+

Do đó phương trình (3) tương đương với
,yu
=
nghĩa là
4
1.xy
=
+
0,25
Thay vào phương trình (2) ta được
74
( 2 4) 0 (4).yy y y++−=
Hàm có
74
() 2 4gy y y y=+ +−
63
'( ) 7 8 1 0gy y y
=
++> với mọi 0.y ≥
0,25
Mà nên (4) có hai nghiệm không âm là (1) 0,g = 0y
=
và 1.y
=

Với ta được nghiệm
(; với 0y = ) (1;0);xy= 1y
=
ta được nghiệm (; ) (2;1).xy
=

Vậy nghiệm
(; )
x
y của hệ đã cho là và (1; 0) (2;1).
0,25
Đặt
2
2
1d
ln , d d d , .
xx
uxv xu vx
1
x
x
x
−
== ⇒==+

0,25
Ta có
2
2
1

1
11
ln d
Ix x x
1
x
x
xx
⎛⎞ ⎛⎞
=+ − +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
∫

0,25

22
11
11
lnxxx
x
x
⎛⎞ ⎛⎞
=+ −−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

0,25
4
(1,0 điểm)

53
ln 2 .
22
=−

0,25
Gọi H là trung điểm của BC, suy ra SH ⊥ BC. Mà (SBC)
vuông góc với (ABC) theo giao tuyến BC, nên SH ⊥ (ABC).
0,25
Ta có BC = a, suy ra
3
;
2
a
SH =

o
sin 30 ;
2
a
AC BC==

o
3
cos30 .
2
a
AB BC==

Do đó
3
.
1

61
S ABC
a
.
6
HABAC==VS

0,25
Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên
HA = HB. Mà SH ⊥ (ABC), suy ra SA = SB = a. Gọi I là
trung điểm của AB, suy ra SI ⊥ AB.
0,25
5
(1,0 điểm)

Do đó
2
2
13
.
44
AB a
SI SB=−=

Suy ra

36
39
(,( )) .
.1
SABC SABC
SAB
VV
a
dC SAB
SSIAB
Δ
===
3

0,25
S
A

B

C
I

H

WWW.ToanCapBa.Net
15
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 3/4

Câu
Đáp án Điểm
Đặt
,
a
xy
cc
==.
b
Ta được Điều kiện của bài toán trở thành 0, 0.xy>> 3.xy x y++=
Khi đó
3
3
22
33
32
32
.
(3)(3)
y
x
Px
yx
=+−+
++
y
v>>

Với mọi
u ta có 0, 0

3
33 3 3 3
()
3
()3()() ()
44
uv
.v uv uv
uv uv uv
+
+=+ − +≥+ − + =u

Do đó
3
3
32
3
33
32 ( ) 2 3 3
32
88
33 339
(3)(3)
yyxyxyx
xx
yx xyxy
yx
⎛⎞
+−++
⎛⎞

+≥+=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
++ +++
⎝⎠
++
⎝⎠
.
y

0,25
Thay 3
x
yx=−−y vào biểu thức trên ta được
3
3
3
3
33
32 ( 1)( 6)
32
8(
2( 6)
(3)(3)
yxyxy
x
xy
xy
yx

+− ++
⎛⎞
+≥ =+−
⎜⎟
++
⎝⎠
++
1). Do đó
322 3 2 3 2
( 1) ( 1) ( ) 2 ( 1) ( ) 2( ) 6 .Pxyxyxyxyxyxyxyxy≥+− − + =+− − + − =+− − + + +−
0,25
Đặt
tx
Suy ra t và
.y=+
> 0
32
(1) 26.Pt t t≥− − + −

Ta có
22
()
3()
44
x
yt
xyxy xy t
+
=++ ≤ + + =+
.

nên (2)(6)0tt
−
+≥ Do đó 2.t ≥
Xét
32
() ( 1) 2 6,ft t t t=− − + −
với t Ta có 2.≥
2
2
1
'( ) 3( 1) .
26
t
ft t
tt
+
=−−
+
−

Với mọi
t ta có và 2≥
2
3( 1) 3t −≥
2
2
177
11
22
(1) 7

26
t
t
tt
+
=+ ≤+=
+−
+−
32
,
nên
32
'( ) 3 0.
2
ft≥− >
Suy ra
() (2) 1 2.ft f≥=−
Do đó
12P ≥− .

0,25
6
(1,0 điể
m)
Khi a thì bc==
12P =− .
Do đó giá trị nhỏ nhất của P là
12

.−

0,25
Do Cd
∈
nên (; 2 5).Ct t
−
− Gọi I là tâm của hình chữ
nhật ABCD, suy ra I là trung điểm của AC.
Do đó
(
)
423
;.
22
tt
I
−
−+

0,25
Tam giác BDN vuông tại N nên IN = IB. Suy ra IN = IA.
Do đó ta có phương trình
(
)
(
)
22
22
42
23 4
54 48

222
tt
tt
−−
−+ −
⎛⎞ ⎛
−+−− =−−+−
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
7.a
(1,0 điểm)

3
2
+
⎞
⎟
⎠

1.t
⇔
= Suy ra C(1; 7).
−

0,25
Do M đối xứng với B qua C nên CM = CB. Mà CB = AD
và CM||AD nên tứ giác ACMD là hình bình hành. Suy ra
AC||DM. Theo giả thiết, BN
⊥ DM, suy ra BN ⊥ AC và
CB = CN. Vậy B là điểm đối xứng của N qua AC.

0,25
Đường thẳng AC có phương trình: 34 0.
.
xy++=
Đường thẳng BN qua N và vuông góc với AC nên có
phương trình
3170xy
−
−= Do đó (3 17; ).
B
aa+
Trung điểm của BN thuộc AC nên
3175 4
340
7.
22
aa
a
++
−
⎛⎞
+
+=⇔=−
⎜⎟
⎝⎠
(4;7).B −− Vậy
0,25
Δ có véctơ chỉ phương là
(3;2;1).u =− −
JG

0,25
(P) qua A và nhận
u
J
G
làm véctơ pháp tuyến, nên (P) có phương trình
3( 1) 2( 7) ( 3) 0 3 2 14 0.xyz xyz− −− −+−=⇔ + −−=
0,25
M thuộc Δ nên (6 3 ; 1 2 ; 2 ).
M
tt−−−−+t
0,25
8.a
(1,0 điểm)
2222
2 30 (6 3 1) ( 1 2 7) ( 2 3) 120 7 4 3 0AM t t t t t=⇔−−+−−−+−+−=⇔−−=

1t⇔= hoặc
3
.
7
t
Suy ra M
=−
(3;3;1)
−
− hoặc
(
)
51117

;;
777
M −−
.

0,25
A
D
B
C
M
N
I
WWW.ToanCapBa.Net
16
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 4/4
Câu
Đáp án Điểm
Số phần tử của S là
3
7
A
0,25
= 210.
0,25
Số cách chọn một số chẵn từ S là 3.6.5 90
=
(cách).
0,25

9.a
(1,0 điể
m)
Xác suất cần tính bằng
90 3
.
210 7
=

0,25
Gọi M là giao điểm của tiếp tuyến tại A và B của (C), H là giao
điểm của AB và IM. Khi đó
(0; ),
M
t với H là trung điểm
của AB. Suy ra
0;t ≥
22.
2
AB
AH ==

0,25
22
111
,
AH AM AI
=+
2
suy ra

210.AM =

Do đó
22
42.MH AM AH=−=

Mà
||
(,) ,
2
t
MH d M=Δ=
nên 8.t
=
Do đó (0; 8).M
0,25
Đường thẳng IM qua M và vuông góc với Δ nên có phương
trình
80.xy
+
−= Do đó tọa độ điểm H thỏa mãn hệ
.
0
(4;4)
80
xy
H
xy
−
=

⎧
⇒
⎨
+−=
⎩

0,25
7.b
(1,0 điểm)

Δ
A
I
B
H
M
Ta có
22
1
2,
4
IH IA AH HM=−==
nên
1
.
4
IH HM=
JJJG JJJJG

Do đó

(5;3).I
Vậy đường tròn (C) có phương trình
22
(5)(3)10xy−+−=.
0,25
(S) có tâm và bán kính (1; 2;1)I −
14.R =

0,25
222
| 2.1 3( 2) 1.1 11| 14
(,( )) .
14
231
dI P R
+−+ −
=
++
==
Do đó (P) tiếp xúc với (S).
0,25
8.b
(1,0 điểm)
Gọi M là tiếp điểm của (P) và (S). Suy ra M thuộc đường thẳng qua I và vuông góc với (P).
0,25
(1 2 ; 2 3 ;1 ).
M
tt+−+ +t Do đó
Do M thuộc (P) nên Vậy 2(1 2 ) 3( 2 3 ) (1 ) 11 0 1.ttt+ +−+ ++− =⇔=t (3;1;2).M
0,25

13
132
22
zi i
⎛⎞
=+ = +
⎜⎟
⎝⎠

0,25
9.b
(1,0 điểm)
ππ
2cos sin .
33
i
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠

0,25
55
5π 5π
2 cos sin 16(1 3 ).
33
zi
⎛⎞
=+=−
⎜⎟

⎝⎠
i
Suy ra
0,25
16( 3 1) 16(1 3) .wi=++−
Do đó
0,25
Vậy w có phần thực là
16(
và phần ảo là
3 1)+ 16

(1 3).−

Hết
WWW.ToanCapBa.Net
17
WWW.ToanCapBa.Net
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2 0 1 3
−−−
−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối D
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thơ ø i g i a n p h a ù t đ ề
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = 2x
3
− 3mx
2
+ (m − 1)x + 1 (1), với m là tham số thực.
a) Khảo s á t s ư ï biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số (1) khi m = 1.

b) Tìm m để đường thẳng y = −x + 1 cắt đồ thò hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin 3x + cos 2x − sin x = 0.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình 2 log
2
x + log
1
2

1 −
√
x

=
1
2
l
o
g
√
2

x − 2
√
x +
2

.
Câ
u
4 (1,0 điểm). Tính tích phân I =

1

0
(x + 1)
2
x
2
+
1
dx
.
Câ
u 5 (1 ,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với đáy,

BAD = 120
◦
, M là trung điểm của cạ nh BC và

SMA = 45
◦
. Tính theo a thể tích của
khối chóp S.A BCD và khoảng cách từ đie å m D đến mặt phẳng (SBC).
Câu 6 ( 1 ,0 điểm). Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn đi e à u ki e ä n xy ≤ y − 1. Tìm giá trò lớn
nhất của biểu thức P =
x + y

x
2
− xy + 3y

2
−
x − 2y
6(x + y)
.
II.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đie å m M

−
9
2
;
3
2

là t
rung điểm của cạnh AB, điểm H(−2; 4) và điểm I(−1; 1) lần lượt là chân đường cao kẻ t ư ø B
và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm C.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(−1; −1; −2), B(0; 1; 1)
và mặt phẳng (P ) : x+y+z−1 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P ). Viết phương
trình m ặ t phẳ ng đi qua A, B và vuông góc vớ i (P ).
Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i)(z − i) + 2z = 2i. Tính môđun của
số phức w =
z −2z + 1
z
2
.
B. Theo c

hương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x−1)
2
+(y−1)
2
= 4
và đ ư ơ ø ng thẳng ∆ : y − 3 = 0. Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), các đỉnh N
và P thuộc ∆, đỉnh M và trung điểm củ a cạnh MN thuộc (C). Tìm tọa độ điểm P .
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đi e å m A(−1; 3; −2) và mặt phẳng
(P ) : x − 2y −2z + 5 = 0. Tính khoảng cách từ A đến (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua
A và song song với (P ).
Câu 9.b (1,0 điểm). Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số f(x) =
2x
2
− 3x + 3
x + 1
tre
ân đ o ạ n [0; 2].
−−−−−−Hết−−−−−−
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . .
WWW.ToanCapBa.Net
18
WWW.ToanCapBa.Net
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍN
H THỨC

ĐÁP ÁN – THANG

ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
Môn: TOÁN; Khối D
(
Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)


Câu
Đáp án Điểm
a. (1,0 điểm)
Khi m = 1 ta có
32
231yx x .
=
−+
• Tập xác định:
.D = \
• Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: hoặc
2
'6 6;'0 0yx xy x=− =⇔= 1.x
=

0,25
Các khoảng đồng biến: và (;0)−∞ (1; );
+
∞ khoảng nghịch biến: (0; 1).
- Cực trị: Hàm s
ố đạt cực tiểu tại x = 1, y
CT

= 0; đạt cực đại tại x = 0, y
CĐ
= 1.
- Giới hạn:
lim;lim.
xx
yy
→−∞ →+∞
=−∞ =+∞
0,25
- Bảng biến thiên:


Trang 1/4






0,25
• Đồ thị:
0,25
b. (1,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với đường thẳng là 1yx=− +
32
23 (1)1 1
x
mx m x x−+−+=−+

0,25
2
0
23 0(*
x
xmxm
=
⎡
⇔
⎢
−+=
⎣
).

Yêu cầu của bài toán ⇔ phương trình (*
) có hai nghiệm phân biệt khác 0
0,25
2
98
0
mm
m
−>
⎧
⇔
⎨
≠
⎩
0

0,25
1
(2,0 điểm)
x
'y
y
−
∞

+ ∞
0
1
0
0
+ +
−

+ ∞
−
∞

0
1
1 O
y

x

1
0m⇔< hoặc

8
.
9
m>

0,25
WWW.ToanCapBa.Net
19
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 2/4
Câu
Đáp án Điểm
Phương trình đã cho tương đương với 2cos2 sin cos2 0xx x
+
=
0,25
cos 2 (2sin 1) 0.xx⇔+=
0,25
ππ
cos 2 0 ( ).
42
xxkk•=⇔=+∈]

0,25
2
(1,0 điể
m)
π
2π
6

2sin 1 0 ( ).
7π
2π
6
xk
xk
xk
⎡
=− +
⎢
•+=⇔ ∈
⎢
⎢
=+
⎢
⎣
]

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
ππ
42
x
k=+
,
π
2π,
6
xk=− +

7π

2π ()
6
xkk=+ ∈] .

0,25
Điều kiện: Phương trình đã cho tương đương với 0x<<1.
2
22
1
x
xx
x
=
−+
−

0,25
2
2
212
(1 ) 1 1 1
xx x x
xx x x
⎛⎞⎛⎞
⇔=+⇔+ −
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
−− − −
0=

0,25
20
1
x
x
⇔−
−
= (do 0
1
x
x
>
−
)
0,25
3
(1,0 điểm)
423.x⇔=−

Đối chiếu với điều kiện ta đượ
c nghiệm của phương trình đã cho là
423.x=−

0,25
Ta có
111
22
000
22
1dd

11
xx
Ixx
xx
⎛⎞
=+ = +
⎜⎟
⎝⎠
++
∫∫∫
d.x

0,25
1
1
0
0
d1xx•==
∫
.

0,25
1
1
2
2
0
0
2
dln( 1) ln2

1
x
xx
x
•=+=
+
∫
.

0,25
4
(1,0 điểm)
Do đó . 1ln2I =+
0,25
n
n
oo
120 60
B
AD ABC ABC=⇒ =⇒Δ
đều
3
2
a
AM⇒=

2
3
.
2

ABCD
a
S⇒=

0,25
SAM
Δ
vuông tại A có
n
o
45SMA= SAM⇒Δ
vuông cân tại A
3
.
2
a
SA AM⇒= =

Do đó
3
.
1

34
SABCD ABCD
a
VS

AS==
0,25

Do AD||BC nên ( ,( )) ( ,( )).dD SBC dASBC=
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM.
Ta có
A
MBC
⊥
và SA BC
⊥
⇒ ()
B
CSAM⊥
()(,()) .
B
CAH AH SBC dASBC AH⇒⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
0,25
5
(1,0 điểm)

Ta có
26
,
24
AM a
AH ==

S
H
suy ra
6
(,( )) .

4
a
dD SBC =

0,25
A

B

C

M
D

WWW.ToanCapBa.Net
20
WWW.ToanCapBa.Net
Trang 3/4
Câu
Đáp án Điểm
Do 0, 0, 1
x
yxyy>> ≤− nên
2
22
11 1 1 11 1
0.
42
xy
yy y

yy
−
⎛⎞
<≤ =− =− − ≤
⎜⎟
⎝⎠
4

0,25
Đặt
,
x
t
suy ra
y
=
1
0.
4
t
<
≤
Khi đó
2
12
.
6( 1)
3
tt
P

t
tt
+
−
=−
+
−+

Xét
2
12
() ,
6( 1)
3
tt
ft
t
tt
+−
=−
+
−+
với
1
0.
4
t ≤
Ta có
2
23

73 1
'( ) .
2( 1)
2( 3)
t
ft
t
tt
−
=−
+
−+

<
Với
1
0
4
t<≤
ta có và
2
3(1)33;736tt tt t−+= − +< − >
11.t
+
>
Do đó
23
73 73 1
63 3
2( 3)

tt
tt
−−
>>
−+
và
2
1
.
2
2( 1)t
1
−
>−
+
Suy ra
11
'( ) 0.
2
3
ft>−>

0,25
Do đó
157
() .
4330
Pft f
⎛⎞
=≤ =+

⎜⎟
⎝⎠

0,25
6
(1,0 điể
m)
Khi
1
2
x =
và ta có 2,y =
57
.
330
P=+
Vậy giá trị lớn nhất của P là
57
.
330
+

0,25
71
;
22
IM
⎛
=−
⎜

⎝⎠
.
⎞
⎟
J
JJG
Ta có
M
AB
∈
và
A
BIM⊥
nên đường
thẳng AB có phương trình
733xy 0.
−
+=
0,25
(;7 33).AAB Aaa
∈
⇒+ Do M là trung điểm của AB nên
( 9; 7 30).Ba a
−
−− − Ta có
.0HA HB HA HB
⊥
⇒=
JJJG JJJG

2
9200 4aa a⇒++=⇒=−
hoặc 5.a
=
−
0,25
• Với a 4
=
−⇒ (4;5), (5;2).AB
−
−− Ta có
B
HAC⊥ nên
đường thẳng AC có phương trình
260xy .
+
−= Do đó
(6 2 ; ).Ccc
−
Từ IC = IA suy ra
(7
Do
đó
c
22
2 ) ( 1) 25.cc−+−=
1
=
hoặc 5.c
=

Do C khác A, suy ra (4;1).C
0,25
7.a
(1,0 điểm)

A
M
B
C H
I
• Với a 5
=
−⇒ (5;2), (4;5).AB
−
−− Ta có
B
HAC⊥ nên
đường thẳng AC có phương trình
28xy 0.
−
+= Do đó
(;2 8).Ct t
+
Từ IC = IA suy ra Do đó
22
( 1) (2 7) 25.tt+++ =
1t
=
− hoặc 5.t
=

− Do C khác A, suy ra (1;6).C −
0,25
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P). Suy ra (1 ;1 ;2 ).Httt
−
+−+−+
0,25
5
( ) (1 ) (1 ) (2 ) 1 0 .
3
HP t t t t∈⇔−++−++−+−=⇔=
Do đó
22 1
;; .
33 3
H
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

0,25
Gọi (Q) là mặt phẳng cần viết phương trình. Ta có
(1; 2; 3)AB=
J
JJG
và vectơ pháp tuyến của (P) là
Do đó (Q) có vectơ pháp tuyến là
(1;1;1).n =
JG
'(1;2;1).n

=
−−
J
G

0,25
8.a
(1,0 điểm)
Phương trình của mặt phẳng (Q) là: 21xyz 0.
−
++=
0,25
Điều kiện của bài toán tương đương với (3 ) 1 3iz i
+
=− +
0,25
.zi⇔=

0,25
Suy ra 13.wi=− +
0,25
9.a
(1,0 điểm)
0,25
Do đó môđun của w là
10.

WWW.ToanCapBa.Net
21
WWW.ToanCapBa.Net

Trang 4/4
Câu
Đáp án Điểm
Ta có tâm của (C) là Đường thẳng IM vuông góc với Δ
nên có phương trình
(1;1).I
1.x
=
Do đó (1; ).
M
a
0,25
Do ()
M
C
∈
nên
.
2
(1)4a
−
=
Suy ra 1a
=
− hoặc 3.a=
Mà
M
∉
Δ nên ta được (1; 1).M
−

0,25
(;3).
N
Nb
∈
Δ⇒ Trung điểm của MN thuộc (C)
()
2
2
1
1114=
5b⇒=
2
b+
⎛⎞
⇒−+−
⎜⎟
⎝⎠
=− hoặc b 3.
Do đó hoặc
(5;3)N (3;3).N
−

0,25
7.b
(1,0 điể
m)

(;3).PPc

∈
Δ⇒
- Khi từ
(5;3),N
M
PIN⊥
J
JJG JJG
suy ra 1.c
=
− Do đó (1;3).P −
I

M
- Khi
(3;3),N
−
từ
M
PIN⊥
J
JJG JJG
suy ra 3.c
=
Do đó (3;3).P
0,25
222
|( 1) 2.3 2( 2) 5|
(,())
1(2)(2)

dAP
−− −−+
=
+− +−

0,25

2
.
3
=

0,25
Vectơ pháp tuyến của (P) là
(1; 2; 2).n =−−
JG
0,25
8.b
P

N
(1,0 điểm)
Phương trình mặt phẳng cần tìm là 2230xyz .
−
−+=
0,25
Ta có ()
f
x xác định và liên tục trên đoạn [0 ; ;2]
2

2
246
'( ) .
(1)
xx
fx
x
+
−
=
+

0,25
Với ta có [0; 2]x∈ '( ) 0 1.fx x=⇔=
0,25
9.b
(1,0 điểm)
Ta có
5
(0) 3; (1) 1; (2) .
3
fff===

0,25
Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [0; 2] là 1; giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn [0; 2] là 3.
0,25

Hết
WWW.ToanCapBa.Net
22

WWW.ToanCapBa.Net
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2 0 1 3
−−−
−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối B
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = 2x
3
− 3(m + 1)x
2
+ 6mx ( 1), vơ ù i m là tham số thực.
a) Khảo s á t sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số (1) khi m = −1.
b) Tìm m để đồ thò hàm số (1) có hai điểm cực trò A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với
đường thẳng y = x + 2.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin 5x + 2 cos
2
x = 1.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

2x
2
+ y
2
− 3xy + 3x − 2y + 1 = 0
4x
2
− y
2
+ x + 4 =

√
2x + y +
√
x +
4y
(
x
, y ∈ R).
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
1

0
x
√
2 − x
2
dx
.
Câ
u
5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc vơ ù i mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích cu û a khối cho ù p
S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đe á n mặt phẳng (SCD).
Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức
P =
4
√
a
2
+ b

2
+ c
2
+ 4
−
9
(a + b)

(a + 2c)(b +
2c)
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7 .a (1 ,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường
chéo vuông góc với nhau và AD = 3BC. Đường thẳng BD co ù phương trình x + 2y − 6 = 0 và tam
giác ABD có trực tâm là H(−3; 2). Tìm tọa độ các đỉnh C và D.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ t o ï a độ Oxyz, cho điểm A( 3; 5; 0) và mặt phẳng
(P ) : 2x + 3y − z − 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuo â ng gó c với (P ). Tìm tọa
độ điểm đối xứng của A qua (P ).
Câu 9 .a (1,0 điểm). Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng,
hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác
suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ
từ đỉnh A là H

17
5
; −
1

5

, chân
đường phân giác trong của góc A là D(5; 3) và trung điểm của cạnh
AB là M(0; 1). Tìm tọa đo ä đ ỉnh C.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đi e å m A(1; −1; 1), B(−1; 2; 3) và
đường thẳng ∆ :
x + 1
−2
=
y − 2
1
=
z −3
3
. Vie
át phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với
hai đường thẳng AB và ∆.
Câu 9.b (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

x
2
+ 2y = 4x − 1
2 log
3
(x −1) − log
√
3
(y + 1
) = 0.

−−−−−−Hết−−−−−−
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . .
WWW.ToanCapBa.Net
23
WWW.ToanCapBa.Net
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍN
H THỨC

ĐÁP ÁN – THANG
ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
Môn: TOÁN; Khối B
(
Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)


Câu
Đáp án Điểm
a. (1,0 điểm)
Khi m = −1 ta có
3
26yx x=−.
• Tập xác định:
.D = \
• Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
2

'6 6;'0 1.yx y x=− =⇔=±
0,25
Các khoảng đồng biến: và (;1)−∞ − (1; );
+
∞ khoảng nghịch biến: (−1; 1).
- Cực trị: Hàm s
ố đạt cực tiểu tại x = 1, y
CT
= −4; đạt cực đại tại x = −1, y
CĐ
= 4.
- Giới hạn:
lim;lim.
xx
yy
→−∞ →+∞
=−∞ =+∞
0,25
- Bảng biến thiên:


Trang 1/4






0,25
• Đồ thị:

0,25
b. (1,0 điểm)
Ta có hoặc
2
'6 6( 1) 6;'0 1yx mxmy x=−++ =⇔=
.
x
m
=

0,25
Điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là 1.m
≠

0,25
Ta có
32
(1; 3 1), ( ; 3 ).
A
mBmmm−−+
Hệ số góc của đường thẳng AB là
2
(1)km=− − .
Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng
2yx
=
+ khi và chỉ khi 1k
=
−
0,25
1
(2,0 điểm)
0m⇔= hoặc 2.m
=

Vậy giá trị m cần tìm là hoặc
0m = 2.m
=

0,25
x
'y
y

−
∞

+ ∞
−1
1
0
0
+ +
−

+ ∞
−
∞

−
4
4
1
O
y

x

4
−
1
−4
WWW.ToanCapBa.Net
24

WWW.ToanCapBa.Net