chuyên đề khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

TRNG THPT CCH LINH
Giỏo viờn: Hong Trung Hũa
Chuyên đề:
KHO ST S BIN THIấN V V TH HM S
H v tờn: Hong Trung Hũa
Chc v: Giỏo viờn
n v cụng tỏc: Trng THPT Cỏch Linh
A. M U
I. T VN .
Chng chỡnh mi sỏch giỏo khoa chun lp 12 ó cp n bi toỏn kho sỏt
hm s trong Chng 1. ng dng o hm kho sỏt s bin thiờn v v th hm
s . õy l mt ni dung m cỏc thi tt nghip THPT, i hc, cao ng ó khai thỏc
rt nhiu. S tit m chng trỡnh mi phõn phi cho Chng 1. ng dng o hm
kho sỏt s bin thiờn v v th hm s l 20 tit, tuy nhiờn a s cỏc em hc sinh
vn cũn lỳng tỳng khi gii toỏn. Chính vì vậy tôi đã lựa chọn chuyên đề này để một phần
tháo gỡ khó khăn đó va giỳp hc sinh cú mt s phng phỏp rèn luyện kỹ năng giải
toán cho học sinh.
II. GII QUYT VN .
1. C s:
a. C s lý lun:
Thụng qua cỏc dng bi tp ó c phõn loi cựng vi phng phỏp gii cỏc dng
bi tp ú. Nhiệm vụ của đề tài này chỉ mong rằng sẽ góp phần giúp học sinh hình thành,
củng cố và rèn luyện kỹ năng kho sỏt s bin thiờn v v th hm s. Đó là các kỹ
năng sau:
Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s dng:
+) Hm a thc bc ba: y = ax
3
+bx
2
+ cx +d (a

0)
+) Hm a thc bc bn trựng phng : y=ax
4
+bx
2
+c (a

0)
+) Hm phõn thc dng : y =
dcx
bax
+
+
(c
)0,0
==
bcad
dc
ba
E
thnh tho cỏc phng phỏp kho sỏt hm s yờu cu hc sinh cn phi nm
chc cỏc kin thc:
- nh ngha ca o hm. Tớnh c o hm ca cỏc dng hm s cn kho sỏt.
- Cỏc quy tc tớnh o hm.
- Phng phỏp xột du ca mt biu thc.

Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s
1
TRNG THPT CCH LINH
Giỏo viờn: Hong Trung Hũa

- Phng phỏp xột tớnh n iu, phng phỏp tỡm cc tr ca hm s.
- Phng phỏp tỡm cỏc ng tim cn ca hm s.
b. c s thc tin.
Tụi l mt giỏo viờn cũn tr cha cú nhiu kinh nghiờm trong ging dy, a s cỏc
em hc sinh cha chỳ tõm lm n vic hc, nhiu em cũn hng cỏc kin thc c, k
nng gii toỏn cũn yu. Thc t qua cỏc k thi tt nghip THPT gn õy t l tt nghip
THPT ca nh trng v mụn toỏn cũn thp. Nờn tụi a ra chuyờn ny nhm nõng
cao nng lc ca mỡnh v giỳp cỏc em hc sinh rốn luyn k nng v cú mt s phng
phỏp gii toỏn kho sỏt s bin thiờn v v th hm s.
2. Mục tiêu cần đạt của chuyên đề
Với nhận định là lý do nêu trên, chuyên đề này sẽ đa ra phơng pháp giải các bài
toán kho sỏt s bin thiờn v v th hm s một cách cụ thể, chi tiết, nhằm mục đích:
- Giúp học sinh phân loại từng dạng bài tập, từ đó áp dụng đúng phơng pháp giải.
- Khắc sâu kiến thức cho học sinh.
- Luyện tập những kỹ năng cơ bản trong việc giải toán.
- Giới thiệu và cùng trao đổi với đồng nghiệp những kinh nghiệm đc rút ra từ
việc dạy(học) vấn đề này.
3. i tng ỏp dng chuyờn
- i vi giỏo viờn ging dy lp 12
- i vi hc sinh lp 12.

Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s
2
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa
B. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm

);(
0
bax
∈
nếu tồn tại giới
hạn (Hữu hạn):
0
0
)()(
lim
0
xx
xfxf
xx
−
−
→
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x)
tại x
0.
Ký hiệu:
0
0
)()(
lim'
0
xx
xfxf
y
xx

−
−
=
→
2. Các quy tắc tính đạo hàm.
2.1. Đạo hàm của các hàm số thường gặp : (u = u(x))
• ( C )
/
= 0 ( C là hằng số )
• ( x )
/
= 1
• (x
n
)
/
= nx
n - 1
với (n
2
≥
;
n∈N)
•
/
2
1 1
x
x
 

= −
 ÷
 
với
0x ≠
•
( )
/
1
2
x
x
=
với (x > 0)
• (u
n
)
/
= nu
n – 1
u
/

•
/
/
2
1 u
u
u

 
= −
 ÷
 
với u
≠
0
•
( )
/
/
2
u
u
u
=
=
x2
1

với (x > 0)
2.2. Các qui tắc tính đạo hàm :
•
( )
/
/ /
u v u v± = ±
•
( ) ( )
/ /

/ / /
. à kuu v u v v u v ku= + =

•
2
,
'.'.
v
uvvu
v
u
−
=






2.3. Đạo hàm của hàm số hợp (g(x) = f[u(x)]
•
( ) ( ) ( )
/ / /
.g x f u u x=
3. Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số
* Định lý: Cho hàm số :
)(xfy
=
có đạo hàm trên K
a) Nếu

0)('
>
xf
với mọi
Kx
∈
thì hàm số
)(xf
đồng biến trên K.
b) Nếu
0)('
<
xf
với mọi
Kx
∈
thì hàm số
)(xf
nghịch biến trên K.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa
(Chú ý:
)(' xf
dương trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó;
)(' xf
âm trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.)
* Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số:

- Tìm tập xác định.
- Tính đạo hàm
)('' xfy
=
tìm các điểm
n
xxx ; ;;
21
mà tại đó đạo hàm bằng 0
hoặc không xác định.
- Sắp xếp các điểm
n
xxx ; ;;
21
theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên.
- Áp dụng định lý đưa ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
4. Phương pháp tìm cực trị của hàm số.
* Định lý. Giả sử hàm số :
)(xfy
=
liên tục trên khoảng
);(
00
hxhxK
+−=
và
có đạo hàm trên K hoặc
{ }
0
\ xK

, với
0
>
h
.
a) Nếu
0)('
>
xf
trên khoảng
);(
00
xhx
−
và
0)('
<
xf
trên khoảng
);(
00
hxx
+

thì
0
x
là một điểm cực đại của hàm số
)(xf
.

b) Nếu
0)('
<
xf
trên khoảng
);(
00
xhx
−
và
0)('
>
xf
trên khoảng
);(
00
hxx
+

thì
0
x
là một điểm cực tiểu của hàm số
)(xf
.
(Chú ý: Nếu gọi
);(
00
hxhxK
+−=

là một lân cận của điểm
0
x
thì ta phát biểu
định lý trên bằng lời như sau:
a. Nếu
)(' xf
đổi dấu từ dương sang âm trên lân cận của điểm
0
x
thì
0
x
là một
điểm cực đại của hàm số
)(xf
.
b. Nếu
)(' xf
đổi dấu từ âm sang dương trên lân cận của điểm
0
x
thì
0
x
là một
điểm cực tiểu của hàm số
)(xf
.)
* Bảng biến thiên minh họa định lý

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
4
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa
a)
x x
0
-h x
0
x
0
+h
f’(x) + -
f(x)
f
CĐ
b)

* Phương pháp tìm cực đai, cực tiểu của hàm số
- Tìm tập xác định.
- Tính đạo hàm
)('' xfy
=
tìm các điểm
n
xxx ; ;;
21
mà tại đó đạo hàm bằng 0
hoặc không xác định.

- Sắp xếp các điểm
n
xxx ; ;;
21
theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên.
- Áp dụng định lý đưa ra các điểm cực đại, cục tiểu của hàm số.
5. Phương pháp tìm đường tiệm cận.
5.1 Đường tiệm cận ngang.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn
( là khoảng dạng:
);(),;(),;(
+∞−∞−∞+∞
ba
)
Đường thẳng:
0
yy
=
được gọi là đường tiệm cận ngang của hàm số y = f(x) nếu
ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
0
)(
lim
yxf
x
=
+∞→
;
0
)(

lim
yxf
x
=
−∞→
5.2 Đường tiệm cận đứng.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn
( là khoảng dạng:
);(),;(),;(
+∞−∞−∞+∞
ba
)
Đường thẳng:
0
xx
=
được gọi là đường tiệm cận đứng của hàm số y = f(x) nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
−∞=
+
→
)(
lim
0
xf
xx
;
+∞=
+
→

)(
lim
0
xf
xx

−∞=
−
→
)(
lim
0
xf
xx
;
+∞=
−
→
)(
lim
0
xf
xx
;
6. Dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai.
6.1 Dấu của nhị thức bậc nhất: f(x) = ax + b (a
≠
0)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

5
x x
0
-h x
0
x
0
+h
f’(x) - +
f(x)
f
CT
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa
- Tìm nghiệm của phương trình ax + b = 0
⇔

a
b
x
−=
- Bảng xét dấu:
6.2 Dấu của tam thức bậc hai:
)0()(
2
≠++= acbxaxxf
- Giải phương trình:
(*)2
0=++ cbxax

+ Nếu phương trình (*) vô nghiệm
)0(
<∆
thì f(x) luôn cùng dấu a
+ Nếu phương trình (*) có nghiệm kép
)0(
=∆

a
b
xx
2
21
−==
thì f(x) luôn cùng
dấu a và
0)
2
(
=−
a
b
f
.
+ Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
)0(
>∆
giả sử hai nghiệm đó là
21
; xx

và
21
xx
<
thì ta có bảng xét dấu:
x
∞−
1
x
2
x
∞+
f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a
7. Sơ đồ khảo sát hàm số.
* Tìm tập xác định của hàm số.
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
+) Tính đạo hàm
)('' xfy
=
tìm các điểm
n
xxx ; ;;
21
mà tại đó đạo hàm bằng
0 hoặc không xác định. Xét dấu đạo hàm
)('' xfy
=
+) Từ bảng xét dấu suy ra chiều biến thiên của hàm số
- Tìm cực trị ( dựa vào bảng dấu của

'y
)
- Tính giới hạn ( Tính các giới hạn tại vô cực và tại các điểm không xác định của
hàm số; tìm đường tiệm cận nếu có)
- Lập bảng biến thiên của hàm số.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
x
∞−

a
b
−

∞+
f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a
6
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa
* Đồ thị:
- Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố đã xác định vẽ đồ thị hàm số
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành
- Tính thêm một số điểm đặc biệt
- Chú ý đến tính chẵn, lẻ, tính đối xứng của đồ thị. Tính tuần hoàn của hàm số.
II. KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC.
1. Khảo sát hàm đa thức bậc ba: ( Dạng y = ax
3
+bx
2

+ cx +d (a
≠
0) )
1.1. Sơ đồ khảo sát hàm số: y = ax
3
+bx
2
+ cx +d (a
≠
0)
* Tập xác định:
RD
=
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: Tính
'y
Giải phương trình:
0'
=
y
xét dấu
'y
đưa ra chiều biến thiên của hàm số.
- Đưa ra các giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số ( dựa vào bảng dấu của
'y
)
- Tính các giới hạn:
y
x
−∞→

lim
và
y
x
+∞→
lim
Chú ý

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
7
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa
- Lập bảng biến thiên:
* Đồ thị:
- Xác định các yếu tố đã biết trên trục tọa độ Oxy
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y
- Tìm giao điểm của đồ thị vơi trục hoành: Cho y = 0 Giải phương trình
0
23
=+++
dcxbxax
Tìm x ( Nếu giải phương trình khó quá ta không cần thực
hiện bước này).
- Tìm tâm đối xứng của đồ thị: tính y’’ giải phương trình y’’ = 0 tìm nghiệm
I
x
và
tính
)(
II

xfy
=
điểm
);(
II
yxI
là tâm đối xứng của đồ thị.
- Lấy thêm một vài điểm (nếu cần)
- Vẽ đồ thị.
1.2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x
3
+ 3x
2
– 4
* Tập xác định:
RD
=
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
xxy 63'
2
+=
Giải phương trình:
0'=y

063
2
=+⇔
xx




−=
=
⇔
2
0
x
x
Dấu của y’
x -
∞
-2 0 +
∞
y’ + 0 - 0 +

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
* Nếu a > 0
⇒
−∞=+++=
−∞→−∞→
)(limlim
23
dcxbxaxy
xx
+∞=+++=
+∞→+∞→
)(limlim

23
dcxbxaxy
xx
* Nếu a < 0
⇒

+∞=+++=
−∞→−∞→
)(limlim
23
dcxbxaxy
xx

−∞=+++=
+∞→+∞→
)(limlim
23
dcxbxaxy
xx
8
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa
Đồ thị hàm số đồng biến trên khoảng:
);0()2;(
+∞∪−−∞
và nghịch biến trên
khoảng (- 2; 0).
- Cực trị: Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = -2
⇒
y

C§
= y(-2) = 0
Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 0
⇒
y
CT
= y(0) = -4
- Giới hạn:
−∞=−+=
−∞→−∞→
)43(limlim
23
xxy
xx
và
+∞=−+=
+∞→+∞→
)43(limlim
23
xxy
xx
- Bảng biến thiên:
x -
∞
-2 0 +
∞
y’ + 0 - 0 +
y
-
∞

0
-4
+
∞
* Đồ thị:
- Giao điểm với Oy:
Cho x = 0
⇒
y = -4
- Giao với Ox:
Cho y = 0 giải phương trình:
x
3
+ 3x
2
– 4 = 0
⇒



−=
=
2
1
x
x
- Tâm đối xứng của đồ thị:
66'' += xy
⇒
0'' =y

⇒
066
=+
x
x = -1
⇒
y = -2
Bảng giá trị:
x -3 1
y -4 0
y
1
-1
-2
-3
2
O
1
-1
-2
-2
-3
-4
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 2
* Tập xác định:
RD

=
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
363'
2
++=
xxy
Giải phương trình:
0'=y

⇔

0363
2
=++
xx

⇒
phương trình có nghiệm kép:

1
21
−==
xx
y’ > 0 với mọi giá trị của x và y’(-1) = 0.
⇒
Hàm số luôn đồng biến trên D
- Hàm số không có cực trị.
- Giới hạn:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
9
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa

−∞=+++=
−∞→−∞→
)233(limlim
23
xxxy
xx
và
+∞=+++=
+∞→+∞→
)233(limlim
23
xxxy
xx
- Bảng biến thiên:
x -
∞
-1 +
∞
y’ + 0 +
y
-
∞
1
+
∞

* Đồ thị:
- Giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0
⇒
y = 2
- Tâm đối xứng của đồ thị:
66''
+=
xy
⇒
0''
=
y
⇒
066
=+
x
x = -1
⇒
y =1
- Bảng giá trị
x -2 -3
y 0 -7
-Vẽ đồ thị
-3 -2 -1 1 2
x
y
O
1
2
-1

Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = - x
3
+ 3x
2
- 4x +2
* Tập xác định:
RD
=
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
4 -6x -3x'
2
+=
y
Giải phương trình : y’= 0
⇔
-3x
2
+6x – 4 = 0
⇒
Phương trình vô nghiệm.
⇒
y’< 0
Dx
∈∀

⇒
Hàm số luôn nghịch biến trên D
- Hàm số không có cực trị

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
10
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa
- Giới hạn

+∞=+−+−=
−∞→−∞→
)243(limlim
23
xxxy
xx
và
−∞=+−+−=
+∞→+∞→
)243(limlim
23
xxxy
xx
- Bảng biến thiên:
x -
∞
+
∞
y’
-
y
+
∞
-

∞

* Đồ thị:
- Giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0
⇒
y = 2
- Tâm đối xứng của đồ thị:
66''
+−=
xy
⇒
0''
=
y
⇒
066
=+−
x
x = 1
⇒
y =0
- Bảng giá trị:
x 2
y -2
- Vẽ đồ thị:
-4
-3
-2
-1
1

2
3
4
x
y
O
1
2
1.3. Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba: y = ax
3
+bx
2
+ cx +d (a
≠
0).
Nếu a>0 Nếu a<0

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
11
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa
Phương trình
y’ = 0
có hai nghiệm
phân biệt
x
y
O
x
y

O
Phương trình
y’ = 0
có nghiệm
kép
x
y
O
x
y
O
Phương trình
y’ = 0
vô nghiệm
x
y
O
x
y
O
2. Khảo sát hàm đa thức bậc bốn trùng phương(dạng: Hµm sè y = ax
4
+bx
2
+ c (a≠0))

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
12
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa

2.1. Sơ đồ khảo sát hàm số: y = ax
4
+bx
2
+ c (a≠0))
* Tập xác định:
RD
=
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: Tính
'y
Giải phương trình:
0'
=
y
xét dấu
'y
đưa ra chiều biến thiên của hàm số.
- Đưa ra các giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số ( dựa vào bảng dấu của
'y
)
- Tính các giới hạn:
y
x
−∞→
lim
và
y
x
+∞→

lim
Chú ý
- Lập bảng biến thiên:
* Đồ thị:
- Xác định các yếu tố đã biết trên trục tọa độ Oxy
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y
- Tìm giao điểm của đồ thị vơi trục hoành: Cho y = 0 Giải phương trình
0
24
=++
cbxax
Tìm x ( Nếu giải phương trình khó quá ta không cần thực hiện
bước này).
2.2. Chú ý : Khi xét dấu của đạo hàm y’
* Nếu phương trình y’ = 0 có một nghiệm là x
0
ta có bảng xét dấu của y’ như sau:
x -
∞
x
0
+
∞
y’ Trái dấu a 0 Cùng dấu a
*Nếu phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt là x
1
; x
2
; x
3

(giả sử: x
1
< x
2
< x
3
) ta có bảng xét dấu của y’ như sau:
x -
∞
x
1
x
2
x
3
+
∞
y’ Trái dấu a 0 Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
* Nếu a > 0
⇒
+∞=++=
±∞→±∞→
)(limlim
24
cbxaxy
xx
* Nếu a < 0
⇒

−∞=++=
±∞→±∞→
)(limlim
24
cbxaxy
xx
13
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa
2.3. Các ví dụ:
Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x
4
- 2x
2
+ 2
* Tập xác định:
RD
=
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
4x 4x'
3
−=
y
giải phương trình:

0'
=
y

⇔

04x 4x
3
=−

⇔
4x(x
2
- 1) = 0
⇔




=
±=
0
1
x
x

Bảng dấu của y’:
x -
∞
-1 0 1 +
∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
Đồ thị hàm số đồng biến trên khoảng:
)(1;0) (-1;

+∞∪

và nghịch biến trên khoảng:
)1(0;1)- ;(-
∪∞
- Hàm số đạt cực đại tại: x = 0
⇒

2
=
CĐ
y
- Hàm số đạt cực tiểu tại:
11 =⇒±=
CT
yx
- Giới hạn:
+∞=+−=
−∞→−∞→
)22(limlim
24
xxy
xx
và
+∞=+−=
+∞→+∞→
)22(limlim
24
xxy
xx

- Bảng biến thiên:
x
-∞ -1 0 1 +∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
+∞ 2 +∞
1 1
* Đồ thị:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
14
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa
Giao với trục tung:
Cho x = 0
⇒
y = 2
Giao với trục hoành:
Cho y = 0 giải phương trình
022
24
=+−
xx

Đặt :
2
xt
=
(t
≥

0)
Ta có phương trình:
022
2
=+−
tt

⇒
phương
trình vô nghiệm. (không có
giao điểm với trục hoành)
Cho x =
±
2
⇒
y = 10
-2 -1 1 2
-1
1
2
3
4
x
y
Ví dụ 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y= -
2
4
x
-x
2

+
2
3
* Tập xác định:
RD
=
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
)1-2x(x2x x2-'
23
+=−=
y
00)1-2x(x0'
2
=⇔=+⇔=
xy
ta có bảng dấu của y’:
x -
∞
0 +
∞
y’ + 0 -
Hàm số đồng biến trên (-
∞
;0) và nghịch biến trên (0; +
∞
)
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0
2
3

=⇒
CĐ
y
; hàm số không có cực tiểu
- Giới hạn:
−∞=+−−=
±∞→
±∞→
)
2
3
2
(limlim
2
4
x
x
y
x
x
- Bảng biến thiên:
x
-∞
0
+∞
y’ + 0 -
y
-∞
2
3

-∞
* Đồ thị:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
15
O
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa
- Giao với trục tung: cho x = 0
⇒
y=
2
3
- Giao với trục hoành: cho y = 0 giải phương trình: -
2
4
x
-x
2
+
2
3
= 0
032
4
=−+⇔
xx
đặt
2
xt

=
(t
≥
0)Ta có phương trình:

032
2
=−+
tt
⇔




−=
=
)(3
1
loait
t
⇒
x
11
2
±=⇒=
x
- Bảng giá trị:
x -2 2
y
2

21
−

2
21
−
- Vẽ đồ thị
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
x
y
O
3/2
2.4. Các dạng của đồ thị hàm số bậc bốn: y = ax
4
+bx
2
+ c (a≠0)
a>0 a<0
Phương trình
y’ = 0
có ba nghiệm
phân biệt
x
y
O

x
y
O

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
16
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa
Phương trình
y’ = 0
có một
nghiệm
x
y
O
x
y
O
3. Khảo sát hàm phân thức dạng:
dcx
bax
y
+
+
=
( )
0,0
≠−≠
bcadc
3.1. Sơ đồ khảo sát hàm số dạng:

dcx
bax
y
+
+
=








≠−==≠
0,0 bcad
dc
ba
Ec
* Tập xác định:






−=
c
d
RD \

* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
2
)(
'
dcx
E
y
+
=
+) Nếu E > 0
⇒

0'
>
y

Dx
∈∀

⇒
Hàm số luôn đồng biến trên D
+) Nếu E < 0
⇒

0'
<
y

Dx

∈∀

⇒
Hàm số luôn nghịch biến trên D
- Hàm số không có cực trị.
- Giới hạn và tiệm cận: ( tính các giới hạn khi
±∞→
x
và
+
−→
c
d
x
;
−
−→
c
d
x
)
c
a
dcx
bax
y
x
=
+
+

=
±∞→
limlim

⇒
Tiệm cận ngang:
c
a
y
=
Tính giới hạn
−
−→
c
d
x
ylim
và
+
−→
c
d
x
ylim
( dựa vào bảng biến thiên).
Tiệm cận đứng:
c
d
x
−=

- Bảng biến thiên:
a) Nếu E >0 b) Nếu E < 0

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
17
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hồng Trung Hòa
x
-
∞

c
d
−
+
∞
y’ + +
y
c
a
+
∞
-
∞
c
a
x
-
∞

c
d
−
+
∞
y’ - -
y
c
a
-
∞
+
∞
c
a
* Đồ thị:
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y
- Tìm giao điểm của đồ thị với trục hồnh: cho y =0 Giải phương trình:

0
=
+
+
dcx
bax

a
b
x
−=⇒

- Vẽ một nhánh của đồ thị nhánh còn lại lấy đối xứng qua tâm I(
c
d
−
;
c
a
) là giao của
hai đường tiệm cận
3.2. Các ví dụ.
Ví dụ 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y =
1
42
+
−−
x
x
* Tập xác định:
{ }
1\
−=
RD
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
2
)1(
2
'
+
=

x
y
> 0
Dx
∈∀
⇒
Hàm số đông biến trên D
- Cực trò : Không có
- Giới hạn và tiệm cân :
2lim
−=
−∞→
x
y
và
2lim
−=
+∞→x
y
⇒
đường thẳng y = -2 là tiệm cận ngang của đồ thò.
−∞=+∞=
+−
→−→
-1x
limyvà
1
lim
x
y

⇒
đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thò
- Bảng biến thiên :
x
-
∞

1−
+
∞
y’ + +
y
-2
+
∞
-
∞
-2
* Đồ thò:
- Vẽ tiệm cận đứng: x = -1 và tiệm cận ngang: y=-2

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
18
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hồng Trung Hòa
- Giao với trục tung:
Cho x=0
⇒
y=-4
- Giao với trục hồnh:

Cho y = 0 giải phương
trình:
1
42
+
−−
x
x
=0
⇒
x=-2
- bảng giá trị:
x 1 2
y -3 -8/3
Vẽ nhánh bên phải đường
tiệm cận đứng. nhánh còn
lại lấy đối xứng qua tâm
I(-1;-2)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
x
y
.
O

I
.
-8/3
1 2
Ví dụ 7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y =
2
3
−
−
x
x
* Tập xác định:
{ }
2\RD
=
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
2
)2(
1
'
−
−
=
x
y
< 0
⇒
Hàm số nghịch biến trên D
- Cực trò : Không có

- Giới hạn và tiệm cân :
1lim
−=
−∞→
x
y
và
1lim
−=
+∞→
x
y
⇒
đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thò.
+∞=−∞=
+−
→→ 2x
limyvà
2
lim
x
y
⇒
đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thò
- Bảng biến thiên :
x
-
∞
2
+

∞
y’ - -
y
-1
-
∞
+
∞
-1
* Đồ thị:
- Vẽ tiệm cận đứng x = 2; tiệm cận ngang: y = -1
- Giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0
⇒
y = -
2
3

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
19
TRƯỜNG THPT CÁCH LINH
Giáo viên: Hoàng Trung Hòa
- Giao điểm của đồ
thị với trục hoành:
cho y = 0
giải phương trình:
0
2
3
=
−

−
x
x

⇒
x = 3
- Bảng giá trị:
-2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
2
x=2
y=-1
I
O
1
-3/2
-4/3
3.3. Các dạng của hàm số phân thức dạng:
dcx
bax
y
+

+
=








≠−==≠
0,0 bcad
dc
ba
Ec
0
>−=
bcadE
0
<−=
bcadE
x
y
I
O
x
y
I
O
III. CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba
a)
132
23
−+= xxy
b)
533
23
+++= xxxy
c)
863
23
+−−= xxxy
f)
133
23
+++= xxxy
g)
393
23
+−+= xxxy
h)
xxy 3
3
−=

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
20
x -1 1
y -4/3 -2

TRNG THPT CCH LINH
Giỏo viờn: Hong Trung Hũa
d)
3
1
3
2
23
+= xxy
e)
xxy 4
3
1
3
+=
i)
xxy 3
3
+=
j)
43
3
1
23
+

= xxxy
2. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s bc bn trựng phng
a)
2

5
3
2
2
4
+= x
x
y
b)
22
)1()1( += xxy
c)
45
24
+= xxy
d)
32
24
++= xxy
e)
4
xy =
f)
56
24
+= xxy
g)
4
9
2

4
1
24
= xxy
h)
42
23 xxy +=
i)
12
24
++= xxy
j)
34
24
+= xxy
3.Kho sỏt s bin thiờn v v th hm phõn thc
a)
2
12
+
+
=
x
x
y
b)
1
2

+

=
x
x
y
c)
3
2

+
=
x
x
y
d)
2
12
+

=
x
x
y
e)
x
y
1
=
f)
1
12

=
x
x
y
g)
3
13


=
x
x
y
h)
2
2

+
=
x
x
y
i)
2
23
+
+
=

x
x
y
j)
22
1


=
x
y
C. KT LUN
Nội dung Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s l mt phn quan trng trong
chng trỡnh. Vi thi gian mt tit hc ch gii k c mt bi tp nờn rt khú khc sõu
cho hc sinh cỏc phng phỏp gii. nờn phn chuyờn ny a ra nhm giỳp cỏc em t
mỡnh lm cỏc bi tp, rốn luyn k nng tớnh toỏn, cỏch trỡnh by bi toỏn.
Bằng những bài học rút ra đợc từ thực tế giảng dạy học sinh, đặc biệt là học sinh tr-
ờng THPT, hi vọng rằng phơng pháp giảng dạy đi sâu vào từng chi tiết của các bài toán
nêu ra sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn bài học, từ đó có thể tự mình giải đợc những bài tập từ
đơn giản đến phức tạp, đáp ứng đợc yêu cầu chung của môn học trong chơng trình. Và

Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s
21
TRNG THPT CCH LINH
Giỏo viờn: Hong Trung Hũa
cũng từ đó học sinh có sự say mê học tập, từng bớc nâng cao kiến thức để có thể tiếp cận
đợc với chơng trình thi Đại học, Cao Đẳng và Trung học chuyên nghiệp.
Thông qua quá trình giảng dạy học sinh khối 12 và ôn luyện cho đối tợng học sinh
khá, hc sinh trung bỡnh , tôi đã áp dụng đề tài trên và kết quả cho thấy là :
1/- Học sinh có khả năng nhìn nhận đúng đắn và hiểu rõ bản chất của bài toán trong quá

trình giải bài .
2/- Giúp học sinh tự tin khi lựa chọn phơng pháp giải, ngắn gọn cho các dạng bài toán đó
.
3/- Hình thành đợc t duy logic , kỹ năng giải các bài toán.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi rút ra trong quá trình giảng dạy về
việc giải toỏn kho sỏt s bin thiờn v v th hm s.
Các vấn đề đã đa ra có thể còn có những thiếu sót , tôi rất mong đợc sự góp ý của
các bạn đồng nghiệp để bản sáng kiến này đợc hoàn chỉnh hơn .
Tôi xin trân trọng cảm ơn !

Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s
22