MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC CHO HỌC SINH THPT

1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI: MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ BẰNG
PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC CHO HỌC SINH THPT
Người thực hiện: Lại Duy Tám
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Tổ Toán
SKKN thuộc môn: Toán học

Năm học: 2011 - 2012
Phần A: Đặt vấn đề
I.Lý do chọn đề tài
Trong chương trình toán phổ thông để giải quyết một bài toán chứng minh bất
đẳng thức,tìm GTLN-GTNN của hàm số,giải hệ phương trình vv chúng ta
có thể vận dụng nhiều phương pháp giải khác nhau.Mà mục đích của việc dạy
học toán ở trường phổ thông là làm sao bồi dưỡng cho học sinh cách suy
nghĩ,tìm tòi làm phát triển tư duy nhận thức,tư duy sáng tạo và năng lực vận
dụng của học sinh và cần khuyến khích học sinh tư duy bài toán bằng nhiều
phương pháp khác nhau.Một trong những phương pháp đó là: Vận dụng
phương pháp hình học để giải bài toán đại số,giải tích
Để vận dụng được phương pháp hình học thì giáo viên giúp học sinh nhận
biết những bài toán nào thì nên dùng phương pháp hình học và vận dụng như
thế nào để linh hoạt biến tri thức đó thành tri thức của học sinh
Xuất phát từ những lý do trên tôi lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm
MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ BẰNG
PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC CHO HỌC SINH THPT
II.Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy ứng
dụng phương pháp hình học để giải bài toán CM bất đẳng thức,tìm GTLN-

GTNN của hàm số,giải hệ phương trình Cho học sinh thấy mối quan hệ giữa
hình học và đại số giải tích theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của
học sinh nhằm rèn luyện tư duy,khả năng sáng tạo
Phần B: Giải quyết vấn đề
I.Thực trạng
Trong chương trình toán đại số phổ thông khi dạy học giáo viên ít khi sử dụng
phương pháp hình học nên học sinh ít được tiếp cận với phương pháp này,vì
vận dụng tương đối khó đối với học sinh đặc biệt là vận dụng để chứng minh
2
BĐT mà chủ yếu dùng phương pháp đại số với các công cụ như đạo
hàm,BĐT quen thuộc vv.Điều này vô tình chúng ta đã không cung cấp đầy
đủ phương pháp làm toán cho học sinh
II.Phương pháp nghiên cứu
-Nghiên cứu các tài liệu sách giáo khoa có liên quan đến giải toán đại số và
giải tích bằng phương pháp hình học
-Lựa chọn các bài tập phù hợp với học sinh từ dễ đến khó
-Khảo sát thực tế ở lớp mình dạy
-Kiểm tra tính khả thi của những giải pháp được đưa ra trong đề tài
III. Các biện pháp thực hiện
1.Đưa ra điều kiện tiếp xúc của hai đường tròn để giải hệ phương trình
2.Ứng dụng để chứng minh BĐT,Tìm GTLN-GTNN của hàm số
GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.Cho 2 đường tròn tâm I
1
bán kính R
1
và I
2
bán kính R
2

.Điều kiện
để 2 đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau là I
1
I
2
= R
1
+ R
2
2.Cho đường tròn tâm I bán kính R và đường thẳng
∆
.Điều kiện để
∆
tiếp xúc với đường tròn là d(
∆
,I)=R
Ví dụ 1:
Cho hệ phương trình
2 2
1x y
x y a

+ =

− =

Tìm a để hệ phương trình có nghiệm
duy nhất
Định hướng tư duy cho học sinh:
3

+Hãy xem phương trình (1) là phương trình đường tròn.Xác định tâm ,bán
kính
+Hãy xem phương trình (2) là phương trình đường thẳng
+ĐK để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn
Giải
Phương trình (1) là PT đường tròn đơn vị (C) có tâm O(0;0) bán kính R=1
Phương trình (2) là PT đường thẳng d
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
⇔
d tiếp xúc với (C)
⇔
d(I;d)=R
⇔
1
2
a−
=
⇔
2a = ±
Kết luận: Với
2a = ±
thì hệ có nghiệm duy nhất
Ví dụ 2:
Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất
2 2
2 2
( 1)
( 1)
x y a
x y a


+ + ≤


+ + ≤


Định hướng tư duy cho học sinh:
+ Tìm tập hợp các điểm M(x;y) thoả mãn BPT (1)
+ Tìm tập hợp các điểm M(x;y) thoả mãn BPT (2)
+Điều kiện để 2 đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau?
Từ đó suy ra điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất
Giải
Các điểm M(x;y) thoả mãn BPT (1) nằm trong hình tròn tâm I(-1;0) bán kính
=
a
Các điểm M(x;y) thoả mãn BPT (2) nằm trong hình tròn tâm J(0;-1) bán kính
=
a
4
(1)
(2)
Để hệ có nghiệm duy nhất thì 2 đường tròn phải tiếp xúc nhau
⇔
IJ=
a
+
a
⇔
2

=2
a
⇔
a=
1
2
Ví dụ 3:
Cho hệ
2 2
( 1) ( 1) 2
0
x y
x y a

− + − ≤

− + =


Tìm a để hệ nghiệm đúng với mọi x
∈
[0,2]
Định hướng tư duy cho học sinh:
+ Tìm tập hợp các điểm (x;y) thoả mãn BPT (1)
+ Tìm tập hợp các điểm (x;y) thoả mãn PT (2)
Giải
Tập hợp các điểm (x;y) thoả mãn (1) là các điểm nằm trong và trên đường
tròn tâm I(1;1) Bán kính R=
2
Tập hợp các điểm (x;y) thoả mãn (2) là các điểm nằm trên đường thẳng

∆
có
PT x-y+a=0
Giả sử a
∈
∆
sao cho x
A
=0 thì A(0;a), B
∈
∆
sao cho x
B
=2 thì B(2;2+a)
Để hệ có nghiệm với mọi x
∈
[0,2] thì đoạn thẳng AB nằm trong đường tròn
(I;R).Lúc đó
2 2
2 2
(0 1) ( 1) 2
0
(2 1) (2 1) 2
IA R a
a
IB R
a

≤ − + − ≤



⇔ ⇔ =
 
≤
− + + − ≤



Ví dụ 4:
Cho a,b,c,d
∈
R thoã mãn a
2
+b
2
=1 và c+d =6
CM: c
2
+ d
2
-2ac-2bd
≥
18-
6 2
(1)
Giải
Trong hệ trục toạ độ Oxy vẽ đường tròn x
2
+y
2

=1 và đường thẳng x+y=6
5
(1)
(2)
(1)
⇔
( ) ( )
2 2
19 6 2c a d b− + − ≥ −
⇔
( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2
2
3 2 1 ( ) 3 2 1c a d b c a d b− + − ≥ − ⇔ − + − ≥ −
2 2
( ) ( ) 3 2 1c a d b⇔ − + − ≥ −
Trên hệ toạ độ nếu M(c,d) thì M nằm trên đường thẳng.N(a,b) thì N nằm trên
đường tròn
M

N K



Từ O kẻ đường thẳng OKI vuông góc
với đường thẳng.Trên đường tròn lấy điểm N,
Trên đường thẳng lấy điểm M bất kỳ thì

MN
≥
IK=OI-OK=
3 2 1−
(OI là khoảng cách từ O tới đường thẳng. OK là bán
kính dường tròn tâm O.Dấu = xảy ra khi M
≡
I,N
≡
K
⇔
c=d=3,a=b=
2
2
Nhận xét: Các ví dụ trên cho chúng ta thấy khi sử dụng phương pháp hình
học( cụ thể là vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn) thì lời giải của
bài toán sẽ đơn giản hơn nhiều
Ví dụ 5:Tìm GTNN của hàm số: y=
2 2 2 2
2 2 2 2x ax a x bx b− + + − +
với a,b là
các hằng số thoả mãn a<0 và b>0
Định hướng tư duy cho học sinh:
6
I
+Hãy biến đổi biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức
+Liên hệ với công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm
Giải
Viết lại hàm số dưới dạng
2 2 2 2

( ) ( )y x a a x b b= − + + − +
Xét 3 điểm A(a;a), B(b;b), M(x;0)
Ta thấy A
∈
đường thẳng: x-y=0 (Góc phần tư thứ III)
B
∈
đường thẳng: x-y=0 (Góc phần tư thứ I)
M di động trên Ox
Ta có MA=
2 2
( )x a a− +
; MB=
2 2
( )x b b− +
Do đó
2 2 2 2
( ) ( )y x a a x b b= − + + − +
=MA+MB
≥
AB=
2
2( ) 2( )a b b a− = −
Vậy Miny=
2( )b a−
đạt được khi M trùng O
Nhận xét: Ta biến đổi 2 biểu thức tronh dấu căn để sử dụng được công thức
tính khoảng cách giữa 2 điểm.Chúng ta phải khéo léo chọn các điểm A,B,M
để thoã mãn công thức tính khoảng cách MA,MB,khi đó ta chuyển bài toán về
bài toán hình học với mô tả trực quan trên hình vẽ

Ví dụ 6:
Cho x;y thõa mãn x+2y-3=0.Tìm GTNN của x
2
+y
2
Giải
Xem PT x+2y-3=0 là PT đường thẳng
7
A M(x,0)b
a
b
a
B
d
1 2
1
x t
y t
= −


= +

t
∈
R
Gọi M(x;y)
∈
d
⇒

M(1-2t;1+t) khi đó x
2
+y
2
=(1-2t)
2
+(1+t)
2
=5t
2
-2t+2
≥
9
5
Vậy Min(x
2
+y
2
)=
9
5
đạt được khi t=
1
5
⇒
M(
3 6
;
5 5
)

Ví dụ 7: Cho a,b,c
∈
[0;1] CM a+b+c
≤
1+ab+bc+c
Hướng dẫn
+ Từ giả thiết a,b,c
∈
[0;1] Ta vẽ tam giác đều ABC
cạnh =1. Đặt AM=a;BN=b;CP=c
+Hãy tính S
AMP
,S
BMN
,S
CNP
,S
ABC
Giải
Ta vẽ tam giác đều ABC cạnh =1
Đặt AM=a;BN=b;CP=c
Ta có S
AMP
+S
BMN
+S
CNP
≤
S
ABC

⇔
3 3
( (1 ) (1 ) (1 ))
2 2
a c b a c b− + − + − ≤
⇔
a(1-c)+b(1-a)+c(1-b)
≤
1
⇔
a+b+c
≤
1+ab+bc+ca
Dấu = xảy ra
⇔
1 trong các tam giác AMP,BMN,CNP trùng với tam giác
ABC
Chẳng hạn nếu
∆
AMP
≡
∆
ABC thì M
≡
B và P
≡
C nên a=1,c=0,b tuỳ ý
Ví dụ 8:Cho các số thực a,b,c thuộc khoảng (0;1) chứng minh
a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)<1

Hướng dẫn
+ Từ giả thiết a,b,c
∈
(0;1) Ta vẽ tam giác đều ABC
8
M
P
C
N
B
A
cạnh =1. Đặt AM=a; PC=b;BN=c
+Xem mỗi số hạng ở vế trái là tích độ dài 2 cạnh của một tam giác
+Hãy tính S
AMP
,S
BMN
,S
CNP
,S
ABC
a
b
c
Giải
Ta xem mỗi số hạng ở vế trái là tích độ dài 2 cạnh của một tam giác nên ta vẽ
tam giác đều ABC cạnh =1
Trên các cạnh AB,BC,CA lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho AM=a ,
PC=b, BN=c
Ta có S

AMP
+ S
BMN
+ S
CNP
< S
ABC

⇔
2S
AMP
+ 2S
BMN
+ 2S
CNP
< 2S
ABC
⇔

a(1-b)Sin60
0
+ c(1-a) Sin60
0
+

b(1-c) Sin60
0
<1.1 Sin60
0
⇔

a(1-b)+b(1-c)+c(1-
a)<1
Nhận xét : Ta thấy nếu học sinh làm được ví dụ 7 thì ví dụ 8 với phương
pháp cũng tương tự,từ đó khắc sâu phương pháp cho học sinh
Ví dụ 9:Cho các số thực dương a,b,c với b>c Chứng minh
2 2 2 2
a b a c b c+ − + < −
Định hướng tư duy cho học sinh:
+Từ các biểu thức
2 2
a b+
và
2 2
a c+
ta có thể liên hệ với định lý Pitago
trong tam giác vuông
9
B
A
M
N
C
P
+
2 2
a b+
và
2 2
a c+
có chung giá trị a

2
nên ta dựng 2 tam giác vuông HAB và
HBC có 2 cạnh góc vuông tương ứng là a,c và a,b
+Ta đưa về giải bài toán hình học phẳng
Giải
Ta dựng 2 tam giác vuông HAB và HBC có 2 cạnh góc vuông tương ứng là
a,c và a,b
Khi đó ta có AB=
2 2
a c+
BC=
2 2
a b+
.Do b>c nên BC>AB , HC>AH
a
c b
Bài toán đưa về CM : BC-AB<HC-HA
Trên HC,BC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho HM=AH,BN=AB
Ta có AB=BM=BN suy ra tam giác BMN cân tại B nên
1 1
ˆ ˆ
M N=
Mặt khác
0
1 2 1 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
180N N M M M+ = + + =
nên
2 3
ˆ ˆ

N M> ⇔
BC-AB<HC-HA đpcm
Ví dụ 10:Cho các số thực dương a,b,c Chứng minh
2 2 2 2
( )a b b c b a c+ + ≥ +
đẳng thức xảy ra khi nào?
Giải
A
Vẽ tam giác AHB vuông tại H với AH=a,BH=b
10
B
A
H
M
C
N
C
K
B
H
Trên tia đối của tia HA lấy điểm C sao cho HC=c.Nối B với C.Hạ AK vuông
góc với BC khi đó ta có 2S
ABC
=BH.AC=AK.BC
≤
AB.BC hay
b(a+c)
≤
2 2 2 2
.a b b c+ +

Dấu = xảy ra khi AK=AB
⇔

ˆ ˆ
K B=
⇔
Tam giác
ABC vuông tại B
⇔
b
2
=ac
3.Bài tập áp dụng
1.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
2 2
2 1
0
x y x
x y m

+ + ≤


− + =



2.Cho 3 số duơng t/m x.y.z(x+y+z)=4.Tìm GTNN của P=(x+y)(x+z)
Phần C: Kết luận
I. Kết quả

Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy ôn thi đại học
cho học sinh lớp 12. Trong quá trình học đề tài này bước đầu học sinh thấy
khó khăn nhưng qua vài ví dụ các em thấy một bài toán có thể áp dụng nhiều
phương pháp khác nhau trong đó có phương pháp hình học, tạo cho học sinh
niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận
dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học, tự
nghiên cứu.
Để đánh giá kết quả vận dụng phương pháp này tôi đã thử nghiệm với cùng
một nhóm học sinh để làm 2 ví dụ
VD1. Tìm a để hệ sau có nghiệm
2 2
4 3 2 0x y
x y a
− + ≤


+ =

VD 2. Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất
2 1
1
x y xy a
x y

+ + + ≥


+ ≤



Nhóm 1: ( Tổng số HS :15)
11

Dùng phương pháp đại số
Giỏi Khá TB Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
0 0 4 26,7 9 53,3 3 20 0 0
Nhóm 2: ( Tổng số HS :15)
Dùng phương pháp hình học
Giỏi Khá TB Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
3 20 7 44 5 36 0 0 0 0
II.Kết luận
- Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng
thú hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách
nhìn nhận, vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức đã học.Trang bị cho học
sinh thêm một phương pháp để giải toán,đa số học sinh sau khi học chuyên đề
này khi làm toán đều có định hướng bài toán theo phương pháp này (Tất
nhiên tuỳ từng bài toán có thể áp dụng) vì đưa bài toán phức tạp về bài toán
hình học đơn giản hơn.Tạo niềm đam mê nghiên cứu và học tập cho các em

12
Mục Lục
A.Đặt vấn đề
I.Lý do chọn đề tài
II.Mục đích nghiên cứu
B. Giải quyết vấn đề
I.Thực trạng
II.Phương pháp nghiên cứu
III.Các biện pháp thực hiện

1.Điều kiện tiếp xúc của hai đường tròn
2.Điều kiện đường thẳng tiếp xúc với đường tròn
C. Kết luận
I. Kết quả
II.Kết luận
13
Tài liệu tham khảo
1.Đại số sơ cấp - Tác giả: Trần Phương-Lê Hồng Đức (NXB Hà Nội)
2.Toán nâng cao cho học sinh THPT -Tác giả: Phan Huy Khải (NXB Hà
Nội)
14