Một số kinh nghiêm giúp học sinh giải một số dạng bài toán phương trình lượng giác ở trường THPT

Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

A.ĐẶT VẤN ĐỀ .
Thực hiện chủ đề năm học : “ Tiếp tục đổi mới quản lý và nâng cao chất lượng
giáo dục” và mỗi Thầy cô giáo là một tấm gương sáng tự học và sáng tạo.Do đó
bản thân mỗi Thầy cô giáo cần cố gắng về chuyên môn , nghiệp vụ sư phạm để
có những bài giảng hay, truyền đạt kiến thức, kỹ năng cho đối tượng học sinh
mà mình phụ trách.Muốn làm được điều đó cần đúc rút kinh nghiệp giảng dạy
của mình sau từng mục, từng tiết dạy, bài dạy để ngày càng nâng cao chất lượng
giáo dục.
Nhiệm vụ của ngành giáo dục và đào tạo là : Đào tạo thế hệ trẻ có đủ phẩm
chất năng lực, giáo dục phát triển toàn diện trí,thể,mỹ. Đào tạo nguồn nhân lực
có trình độ tay nghề cao phục vụ đắc lực cho công cuộc xây dựng và bảo vệ Tổ
quốc xã hội chủ nghĩa trong thời kỳ công nghiệp hoá- hiện đại hoá đất nước.
Trong chương trình giáo dục bộ môn toán đóng một vai trò hết sức quan
trọng, góp một phần không nhỏ trong giáo dục và phát triển trí tuệ của học sinh,
giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo,lôgíc, trực quan, thấy được ứng dụng
của toán học trong cuộc sống.Toán học có rất nhiều phân môn, lĩnh vực khác
nhau, mỗi lĩnh vực có một vai trò và tầm quan trọng riêng, có những đặc trưng
riêng biệt .Cũng như các vấn đề khác của toán học thì mảng kiến thức về
phương trình ,và bất phương trình có chứa tham số cũng có vai trò hết sức quan
trọng trong việc phát huy tư duy sáng tạo và lôgíc của học sinh .Người thầy phải
cung cấp cho học sinh những kiến thức phổ thông mà còn phải trang bị cho các
em những kỹ năng cơ bản cần thiết. Để làm tốt điều này mỗi người thầy phải tự
học tập nâng cao trình độ chuyên môn và nghiệp vụ sư phạm, đúc kết những
kinh nghiệm giảng dạy,từ đó góp phần truyền đạt kiến thức cho học sinh một
cách hiệu quả nhất, để mỗi tiết học là một niềm đam mê khám phá tri thức đối
với mỗi học sinh.

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
1

Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ .
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
Trong nhà trường THPT bộ môn toán đóng vai trò hết sức quan trọng, nếu
như học sinh học tốt bộ môn toán thì có thể học tốt các bộ môn khác.Là một
môn học yêu cầu học sinh phải có tư duy lôgíc sáng tạo, phát hiện và giải quyết
vấn đề một cách triệt để.Học sinh phải biết vận dụng lý thuyết vào thực hành
giải toán. Thành công sau mỗi tiết dạy là học sinh có thể vận dụng tốt lý thuyết
để giải một bài toán một cách chính xác khoa học .Thực trạng giảng dạy bộ môn
toán ở trường THPT thì tất cả các khối lớp đều học bộ môn Toán, là một môn
hết sức chủ đạo chiếm một thời lượng nhiều trong phân phối chương trình.Để
học tốt bộ môn Toán thì học sinh phải nắm vững những kiến thức cơ bản, và có
kỹ năng cần thiết. Các em học sinh không nắm vững kiến thức, kỹ năng dẫn đến
mất gốc gây nên tình trạng chán học, do đó cần khơi dạy niềm đam mê học bộ
môn Toán của học sinh là việc làm hết sức cần thiết.
Phương trình,bất phương trình có chứa tham số là một mảng kiến thức quan
trọng trong chương trình toán học phổ thông, nó thường gặp trong các kì thi
tuyển sinh đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi. Mặc dù học sinh được cọ sát
phần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trình
tìm ra cách giải. Nguyên nhân là vì :Thứ nhất, Phương trình,bất phương trình
có chứa tham số là mảng kiến thức phong phú và khó, đòi hỏi người học phải có
tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có sự nhìn nhận
trên nhiều phương diện.Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần này khá đơn
giản, các tài liệu tham khảo đề cập đến phần này khá nhiều song chưa định
hướng mỗi cách làm của bài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định
hình và chưa có cái nhìn tổng quát về cách giải .Thứ ba, đa số học sinh đều học
một cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát bài toán và tìm ra bài toán xuất
phát, chưa biết được bài toán trong các đề thi do đâu mà có nên khi người ra đề
chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn cho các em.

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
2
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

II. KẾT QUẢ CỦA THỰC TRẠNG :
Trong quá trình giảng dạy học sinh khá giỏi ,ôn thi học sinh giỏi, ôn luyện
thi đại học – cao đẳng , tôi nhận thấy phần phương trình và bất phương trình có
chứa tham số là học sinh tương đối gặp khó khăn trong cách giải, không biết
phải sử lý tình huống như thế nào trên nền kiến thức cơ bản các em đã biết. Nếu
trang bị cho các em những kỹ năng ,tình huống cơ bản, từ đó giúp mỗi học sinh
tự đúc kết kinh nghiệm riêng cho bản thân mình thì khi có vấn đề mới thì các em
sẽ giải quyết được một các nhanh chóng và cho lời giải tương đối đẹp.
Từ thực trạng và kết quả trên, để việc giải phương trình và bất phương
trình có chứa tham số của học sinh đạt hiệu quả tốt hơn tôi mạnh dạn cải tiến
phương pháp giảng dạy với đề tài :“ Định hướng cách giải phương trìn, bất
phương trình có chứa tham số bằng phương pháp sử dụng đạo hàm,THPT”.

III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
Để giúp học sinh khá giỏi giải tốt các giải phương trình và bất phương
trình có chứa tham số thường gặp trong các kỳ thi đại học- cao đẳng và thi học
sinh giỏi, tôi đã đúc kết thành những dạng toán cơ bản như sau:

1.Dạng 1 Các bài toán về phương trình .
Định hướng cho học sinh đưa bài toán về dạng :
( ) ( )f x g m=
Chúng ta thực hiện các bước sau đây :
Bước 1: Xem đó là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
( )y f x=
và

( )y g m=
.Do đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của 2 đồ thị .
Bước 2:Xét hàm số
( )y f x=
• Tìm tập xác định D
• Tìm đạo hàm y
/
,rồi giải phương trình y
/
=0
• Lập bảng biến thiên của hàm số .

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
3
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Bước 3:Kết luận .
Dựa vào bảng biến thiên để suy ra kết luận .
Chú ý :Nếu hàm số
( )y f x=
liên tục trên D thì phương trình có nghiệm
⇔
min ( ) ( ) max ( )
x D
x D
f x g m f x
∈
∈
≤ ≤
.

Ví du1: Tìm m để phương trình
2
2x x m− =
(1) có nghiệm
[ ]
0;1x∈
.
Giải.
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị y= f(x)=
2
2x x−

và y=m
Xét hàm số f(x)= x
2
-2x, hàm số này xác định và liên tục trên
[ ]
0;1
y
/
=2x-2.

/
0 1y x= ⇔ =
Bảng biên thiên
Từ bảng biên thiên ta có:
ax ( )
0;1
m f x
 

 
 
= 0;
min ( )
0;1
f x
 
 
 
=-1
Vậy để phương trình (1) có nghiệm trên
[ ]
0;1
là: -1≤m≤0
Ví dụ 2 .Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
2
1 1
2 2
( 1)log ( 2) ( 5)log ( 2) 1 0m x m x m
− − − − − + − =
(1) có hai nghiệm thõa mãn điều
kiện
1 2
2 4x x< < <
.
Định hướng
-Trước hết cho học sinh đưa bài toán về một bài toán tương đương bằng cách đặt
ẩn phụ .

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3

4
Y - 0 1 +

y - 0 +
y 0
-1
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

-Chuyển PT đã cho về dạng
( ) ( )f x g m=
.
Giải
Điều kiện : x > 2.
Đặt
1
2
log ( 2)t x
= −
;
2 4 1x t
< < ⇔ > −
.
Phương trình (1) trở thành : (m-1)t
2
- (m-5)t +m-1 = 0(2)
Bài toán quy về tìm m để phương trình (2) có 2 nghiệm thõa mãn
1 2
1t t> > −
.
PT(2)

⇔

2
2
5 1
1
t t
m
t t
− +
=
− +
(3)
Bài toán quy về tìm m để PT(3) có 2 nghiệm thõa mãn
1 2
1t t
> > −
Xét hàm số
2
2
5 1
( )
1
t t
f t
t t
− +
=
− +
trên

( )
1;− +∞
và
( )g m m=
Hàm số y=
( )f t
xác định và liên tục trên
( )
1;− +∞
.

2
2
5 1
1
lim ( ) lim 1
1 1
1
x x
t t
f t
t t
→+∞ →+∞
− +
= =
− +
;

2
2 2

4 4
'( )
( 1)
t
f t
t t
−
=
− +


/
1 ( 1; )
( ) 0
1
t
f t
t
= − ∉ − +∞

⇔ = ⇔

=


Bảng biến thiên :
t
-1 1 +∞
( )f t
0 - 0 +

f(t)

7
3
1
-3
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình (3) có 2 nghiệm thõa mãn
1 2
1t t> > −
thì -3<m<1

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
5
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Nhận xét: Bài toán này có thể giải bằng phương pháp sử dụng tam thức bậc 2
theo kiến thức ở lớp 10 nhưng nếu giáo viên định hướng cho học sinh làm theo
cách sử dụng đạo hàm sẽ thấy cách này gọn gàng hơn , hợp với kiến thức mà
học sinh đã học ở lớp 12 hơn, cho lời giải nhanh chóng và đẹp.
Vì vậy dùng phương pháp đạo hàm của hàm số có lợi thế hơn các phương pháp
khác ,có nó chúng ta sẽ giải quyết được một số các bài toán có chứa tham số
phức tạp hơn trong các trong các đề thi .Chúng ta sẽ xét một số các bài toán
sau đây:
Ví dụ 3 .
Tìm m để phương trình :

2 2 4 2 2
( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − −
(1) có nghiệm .
(Trích đề thi Đại học -Cao đẳng khối B ,2004).

Định hướng
Khi nhìn vào bài toán này học sinh sẽ rất hoang mang bởi vì bài toán đã chứa
căn lại còn có chứa cả tham số nên việc giải quyết là rất khó khăn song nếu
giáo viên hướng dẫn cho học sinh đặt ẩn phụ t=
2 2
1 1x x+ − −
v à biết quy về
một bài toán tương đương thì bài toán lại trở nên quen thuộc .
Giải
Điều kiện : -1
≤
x
≤
1.
Đặt t=
2 2
1 1x x+ − −

Khi đó t
≥
0.
Ta có t
2
=2-2
4
1 2x− ≤
.Vậy
0 2t≤ ≤

4 2

0 2.
2 1 2
t
x t
⇒ ≤ ≤
⇒ − = −
.
Phương trình (1)có dạng : m(t+2) = 2-t
2
+t (2).
Vì
0 2t≤ ≤
Nên ta có t+2 >0 phương trình (2) trở thành :

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
6
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…


2
2
2
t t
m
t
− + +
=
+
.
Bài toán quy về tìm điều kiện của tham số m để phương trình :

2
2
2
t t
m
t
− + +
=
+
có nghiệm
0 2t≤ ≤
.
Xét hàm số
2
2
( )
2
t t
y f t
t
− + +
= =
+
trên
0 2t≤ ≤
.
Ta có
2
/

2
4
( )
( 2)
t t
f t
t
− −
=
+
<0 với
0; 2x
 
∀ ∈
 
ta có bảng biến thiên sau :
x
0
2
/
( )f x
-
( )f x


0; 2
0; 2
min ( ) ( 2) 2 1; max ( ) (0) 1f t f f t f
 
 

 
 
= = − = =
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
2
-1
≤
m
≤
1.
Ví dụ 4 Tìm m để phương trình

2 2 4 2
( 1 1) 2 1 2m x x x x x x+ − + = − + + − +
(1) có nghiệm .
Giải . Điều kiện : -1
≤
x
≤
1.
Đặt
2 2
2
2 2
1 2 1
1 0
(1 1)( 1 ) 2
t x x
t x x
t x x


= + −

= + − ≥ ⇒

 ≤ + + − =

Vậy
1 2t≤ ≤
.
Ta có phương trình (1) trở thành
2
( 1) 1, 1; 2m t t t t
 
+ = + + ∈
 
(2)
Do t+1 >0 nên phương trình (2)
⇔
2
1
1
t t
m
t
+ +
=
+
với
1; 2t

 
∈
 

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
7
1
2
-1
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Bài toán quy về tìm điều kiện của m để phương trình
2
1
1
t t
m
t
+ +
=
+
(3)có nghiệm
1; 2t
 
∈
 
Xét hàm số
( )y f t= =
2
1

1
t t
t
+ +
+
,
1; 2t
 
∈
 
2
/
2
2
( ) 0,
( 1)
t t
f t
t
+
= > ∀
+
1; 2t
 
∈
 
nên
( )y f t=
đồng biến trên
1; 2t

 
∈
 
PT (1) có nghiệm
⇔
Phương trình (3) có nghiệm
⇔
1; 2
1; 2
min ( ) max ( )f t m f t
 
 
 
 
≤ ≤
.
(1) ( 2)f m f⇔ ≤ ≤

3
2 2 1
2
m⇔ ≤ ≤ −
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
3
2 2 1
2
m≤ ≤ −
Ví dụ 5 .Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

2 2 2

( 2 ) 4 ( 2 ) 3 1 0x x m x x m+ − + + + =
.
Định hướng : Khi gặp bài toán như thế này chúng ta thường đưa về một bài
toán gọn hơn thông qua một bước đặt ẩn phụ và khi đã đặt ẩn phụ thì cần lưu ý
tới điều kiện của ẩn phụ .Sau đó ta chuyển bài toán đã cho về một bài toán tương
đương với nó .
Giải
Ở ví dụ này ta có thể chuyển về bài toán tương đương bằng cách đặt :
2 2
2 ( 1) 1 1t x x x t
= + = + − ⇒ ≥ −
.
Bài toán đã cho trở thành :

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
8
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Tìm m để PT
2
4 3 1 0, 1t mt m t
− + + = ≥ −
(1) có nghiệm .

⇔

2
1 (4 3) (2)t m t+ = −

Ta thấy

3
4
t =
không là nghiệm phương trình (2) nên chia 2 vế phương trình
cho (4t-3)
0≠
ta có
2
1
4 3
t
m
t
+
=
−
.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của 2 đồ thị

2
1
( )
4 3
t
y f t
t
+
= =
−
và

y m=

Xét hàm số
2
1
( )
4 3
t
f t
t
+
=
−
trên
[
)
3
1; \
4
 
− +∞
 
 
Đạo hàm
2
2
2(2 3 2)
'( ) ;
(4 3)
'( ) 0

1
2
2
t t
f t
t
f t
t t
− −
=
−
=
⇔ = − ∨ =
.
Bảng biến thiên :
t
-1
1
2
−

3
4
2 +
∞
/
( )f t
+ 0 - - 0 +
( )f t

1
4
−
+
∞
+
∞

2
7
−
-
∞
1

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
9
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
1
1
4
m m
−
≤ ∨ ≥
.
Bài tập tương tự
1.Tìm m để phương trình :
2

2 2 1x mx x+ + = +
có 2 nghiệm phân biệt .
2. Tìm m để phương trình có nghiệm :
2 2 (2 )(2 )x x x x m
− + + − − + =
.
3.Tìm m để phương trình có nghiệm :
6 9 6 9
6
x m
x x x x
+
+ − + − − =
.
4. Tìm m để phương trình 2
2 2
5 4 5x x x x m− + = − +
(1) có 4 nghiệm phân biệt .
2.Dạng 2 .Tìm điều kiên của tham số m để bất phương trình
( ) ( )f x g m≥
có
nghiệm với
x D
∈
Ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1. Xét hàm số
( )y f x=
• Tìm tập xác định D
• Tìm đạo hàm y
/

,rồi giải phương trình y
/
=0
• Lập bảng biến thiên của hàm số .
Bước 2. Kết luận
• Bất phương trình có nghiệm
x D∈
⇔
max ( ) ( )
x D
f x g m
∈
≥
Chú ý chung :
Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ
( )t h x=
.Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn t , từ
điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t .
Ví dụ 1.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
1 4x x m+ − − ≥
(1).
Định hướng : -Đặt điều kiện của ẩn số .
- Chuyển về bài toán tương đương .

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
10
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

-Xác định bài toán thuộc loại nào .
-Bài đó được áp dụng kiến thức nào .

Giải
ĐK : -1
≤
x
≤
4.
Bài toán quy về tìm m để bất phương trình
1 4x x m+ − − ≥
có nghiệm -1
≤
x
≤
4.
Ta có f
/
(x)=
1 1
0
2 1 2 4x x
+ >
+ −
.
Bảng biến thiên :
x -1 4
/
( )f x
+
( )f x

5

5−
Bất phương trình có nghiêm khi và chỉ khi
1 4
( ) 5
x
Max f x m m
− ≤ ≤
≥ ⇔ ≤
.
Ví dụ 2 .Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
3 1mx x m− − ≤ +
(1)
Giải.
Điều kiện : x
3≥
.
Đặt
3 0t x= − ≥
.
Phương trình (1) tương đương với
2
( 3) 1m t t m+ − ≤ +

2
( 2) 1m t t⇔ + ≤ +

2
1
(2)

( 2)
t
m
t
+
⇔ ≤
+

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
11
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Đặt
2
1
( )
( 2)
t
f t
t
+
=
+
. Bất pt (2)
( )m f t⇔ ≤
Bài toán quy về tìm m để bất phương trình
( )f t m≥
(3) có nghiệm
0t
≥

.
Xét hàm số
2
1
( )
( 2)
t
f t
t
+
=
+
2
/
2 2
2 2
( )
( 2)
t t
f t
t
− − +
=
+
/
( ) 0 1 3f t t= ⇔ = − ±
Giới hạn
lim ( ) 0
x
f t

→+∞
=
Bảng biến thiên :
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình có nghiệm
0
3 1
( )
4
t
Max f t m m
≥
+
≥ ⇔ ≤
Dạng 3 .Tìm điều kiên của tham số m để bất phương trình
( ) ( )f x g m≤
có
nghiệm với
x D
∈

Ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1. Xét hàm số
( )y f x=
• Tìm tập xác định D

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
12
t 0 -1+ +
f(t) + 0 -

f(t)
0
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

• Tìm đạo hàm y
/
,rồi giải phương trình y
/
=0
• Lập bảng biến thiên của hàm số .
Bước 2. Kết luận
• Bất phương trình có nghiệm
⇔
min ( ) ( )
x D
f x g m
∈
≤
Chú ý chung :
Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ
( )t h x=
.Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn t , từ
điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t .
Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình
9 .3 3 0
x x
m m− − + ≤
(1) có ít nhất một
nghiệm .
Giải

Đặt
3 0
x
t = >
.
Bất phương trình (1) tương đương với
2
3 0t mt m− − + ≤

⇔
2
3 ( 1)t m t+ ≤ +

⇔
2
3
1
t
m
t
+
≤
+
(2) ( Do t>0)
Bài toán quy về tìm m để bất phương trình (2) có ít nhất 1 nghiệm t>0.
Xét hàm số y=f(t)=
2
3
1
t

t
+
+
,t>0
2
/
2
2 3
( )
( 1)
t t
f t
t
+ −
=
+

/
1
( ) 0
3
t
f t
t
=

= ⇔

= −


Bảng biến thiên :

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
13
x - -3 -1 0 1 +
y 0 - 1 +
y 3 +
2
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình (2) có ít nhất một nghiệm khi
và chỉ khi
0
min ( )
t
f t m
>
≤
2m⇔ ≥
.
Ví dụ 2 . (Thi HSG tỉnh Thanh Hóa lớp 12 THPT năm học 2012-2013).
Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực
3
1
2 0 (1)
4 3.2 4 0 (2)
x x x x
x mx
+ +


− + ≤


− − ≤


Giải .
Điều kiện :
0x ≥
Bất phương trình (2) tương đương với
( ) ( )
( )
2 2 2 4.2 0
2 4.2 0
2
x x x x
x x
x x
+ − ≤
⇔ − ≤
⇔ ≤ +
0 2.
0 4 (*)
x
x
⇔ ≤ ≤
⇔ ≤ ≤
Hệ bất phương trình có nghiệm tương đương với bất phương trình (1) có nghiệm
thõa mãn (*).
Bất PT (1)

⇔
3
2 0x mx− + ≤

⇔
3
2x mx+ ≤
) (2)
Xét x=0 thì bpt (1) không thõa mãn .
Với
0 4x
< ≤
Thì bpt (2)
⇔
2
2
m x
x
≥ +
(3)
Bài toán quy về tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình (3) có nghiệm
0 4x< ≤
.
Xét hàm số
2
2
( )f x x
x
= +

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
14
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…


/
2
2
( ) 2f x x
x
= −

/
( ) 0 1f x x= ⇔ =
.
Bảng biến thiên
x 0 1 4
f
/
(x)
- 0 +
f(x)


Bất phương trình có nghiệm
[ ]
0;4
min ( )
x
m f x

∈
⇔ ≥

3m
⇔ ≥
Vậy
3m
≥
thì hệ bất phương trình có nghiệm thực .
Dạng 4 . Tìm điều kiện để bất phương trình dạng
( ) ( )f x g m≥
đúng với
x D
∀ ∈
Ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1. Xét hàm số
( )y f x=
• Tìm tập xác định D
• Tìm đạo hàm y
/
,rồi giải phương trình y
/
=0
• Lập bảng biến thiên của hàm số .
Bước 2. Kết luận
• Bất phương trình nghiệm đúng với
x D∀ ∈ ⇔
min ( ) ( )
x D
f x g m

∈
≥
.
Chú ý chung :
Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ
( )t h x=
.Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn t , từ
điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t .
Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình
3
3
1
3 2x mx
x
−
− + − ≤
thõa mãn với mọi
1x ≥
.
Giải .
Biến đổi bất phương trình về dạng

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
15
-2
3
33
2
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

3
3
1
3 2mx x
x
≤ + −
6 3
4
2 1
3
x x
m
x
+ −
⇔ ≤
(Do
1x ≥
).
Xét hàm số
6 3
4
2 1
( )
x x
f x
x
+ −
=
.
Miền xác định : D=

[
)
1;+∞
6 3
/
5
2 2 4
( ) 0
x x
f x x D
x
− +
= > ∀ ∈
Giới hạn :
lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞
Bảng biến thiên
:
Bất phương trình nghiệm đúng với
1x ≥
⇔
min ( ) ( )f x g m≥

⇔
2
3m≥

⇔

2
3
m ≤
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với
1x ≥
⇔

2
3
m ≤
Ví dụ 2 Tìm m để bất phương trình
2
2
2
2
log
log 1
x
m
x
≥
−
nghiệm đúng với mọi
0x >
Giải
Đặt
2
2

logt x=
.
⇔
1t >
.

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
16
x
1 +
y +


y +
2
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Bất phương trình tương đương với
1
t
m
t
≥
−
Xét hàm số :
( )f t =
1
t
t −
.

Miền xác định :
(1; )D = +∞
Đạo hàm :
/
3
2
( )
2 ( 1)
t
f t
t
−
=
−
/
( ) 0 2f t t= ⇔ =
Giới hạn :
lim ( )
x
f t
→+∞
= +∞

1
lim ( )
x
f t
+
→
= +∞

Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có bất phương trình nghiệm đúng với mọi x>0
⇔
min ( ) ( )f t g m≥

⇔
2
m≥

⇔

2m
≤
Vậy
2m
≤
thõa mãn điều kiện của bài toán .
Ví dụ 3.Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi
1
2
x ≥
2 2 2
2 2 2
9 2( 1)6 ( 1)4 0
x x x x x x
m m
− − −
− − + + ≥
.
Giải

Chia cả 2 vế cho
2
2
4
x x−
ta có

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
17
x 1 2 +
y - 0 +
y + +
2

Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

2
2(2 )
3
( )
2
x x−
-
2
2
3
2( 1) ( 1) 0
2
x x
m m

−
− + + ≥
Đặt
t =
2
2
3
2
x x−
, do
1
2
x ≥
nên
1t ≥
.
Bất phương trình (1)
⇔
2
2 1
2 1
t t
m
t
+ +
≤
−
Bài toán quy về tìm m để bất phương trình
2
2 1

2 1
t t
m
t
+ +
≤
−
nghiệm đúng với mọi
1t ≥
Xét hàm số
2
2 1
( )
2 1
t t
y f t
t
+ +
= =
−
,
1t
≥
.
2
/
2
2 2 4
( )
(2 1)

t t
f t
t
− −
=
−
/
( ) 0 2f t t= ⇔ =
Bảng biến thiên :
Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình có nghiệm
1
min ( )
t
m f t
≥
≤
3m
⇔ ≤
Dạng 5. Tìm điều kiện để bất phương trình dạng
( ) ( )f x g m≤
đúng với
x D
∀ ∈
Ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1. Xét hàm số
( )y f x=
• Tìm tập xác định D
• Tìm đạo hàm y
/
,rồi giải phương trình y

/
=0
• Lập bảng biến thiên của hàm số .
Bước 2. Kết luận

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
18
x - 1 2 +
y - 0 +
4 +
y
3
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

• Bất phương trình nghiệm đúng với
x D
∀ ∈ ⇔

max ( ) ( )
x D
f x g m
∈
≤
.
Chú ý chung :
Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ
( )t h x=
.Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn t , từ
điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t .
Ví dụ 1.

Tìm m để bất phương trình sau

2
( 4)(6 ) 2 (1)x x x x m
+ − − + ≤
nghiệm đúng với mọi x
∈
[-4,6].
Định hướng
-ĐK ẩn phụ .
-Chuyển về bài toán tương đương.
Giải
Đặt t =
2 2
( 4)(6 ) 24 2 25 (1 )x x x x x
+ − = + − = − −
,
0 5t
≤ ≤
Bất phương trình (1) tương đương với
2
24t t m+ − ≤
.
Bài toán quy về tìm m để bất phương trình
2
24t t m+ − ≤
nghiệm đúng với
0 5t
≤ ≤
.

Xét hàm số
2
( ) 24,0 5f t t t t= + − ≤ ≤
/
( ) 2 1f t t= +
⇔
/
1
( ) 0
2
f t t
−
= ⇔ =
Bảng biến thiên :
x
0
1
2
−
5
f
/
(x) - 0 +
f(x) 6


GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
19
-
-24 6

97
4
−
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Bất phương trình nghiệmđúng với mọi x
∈
[-4,6] khi và chỉ khi

0 5
( ) . 6
t
Max f t m m
≤ ≤
≤ ⇔ ≥
Ví dụ 2.Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x .
4
( 1) 4m x x+ ≥
(1)
Giải .
TXĐ : D=R.
Bất phương trình (1)
⇔
4
4
1
x
m
x
≥

+
.
Xét hàm số
4
4
( )
1
x
f x
x
=
+
4
/
4 2
4 12
( )
( 1)
x
f x
x
−
=
+
/
4
1
( ) 0
3
f x x= ⇔ = ±

Giới hạn
lim 0
x→±∞
=
Bảng biến thiên :
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thì

4
( ) ( ) ( ) 27Maxf x g m Maxf x m m≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
Vậy
4
27m ≥
thõa mãn điều kiện của bài toán .
Nhận xét Sử dụng phương pháp này cho kết quả nhanh,lời giải gọn gàng

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
20
x +


y - 0 + 0 -
y 0

- 0
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Ví dụ 3 .Tìm tất cả các giá trị m để ∀x ∈
[ ]
0;2
đều là nghiệm của bất phương

trình
2
2
log 2x x m− +
+
2
4
4 log ( 2 ) 5x x m− + ≤
Giải
Điều kiện : (x
2
-2x+m)≥1
Bất phương trình
⇔
2
2
log 2x x m− +
+
2
4
4 log ( 2 ) 5x x m− + ≤
Đặt t =
2
( 2 )
log
4
x m
x
− +
;t≥0 Bất phương trình

2
4 5 0t t⇔ + − ≤
,
5 1t− ≤ ≤
Kết hợp với t≥0 ta có 0 ≤ t ≤ 1
Suy ra 0 ≤ log
4
(x
2
-2x+m) ≤1
⇔
2
2 1
2
2 4
x m
x
x m
x





− + ≥
− + ≤
⇔
2
2 1
2

2 4
x x m
x x m





− ≥ −
− ≤ −
Khi đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc
[ ]
0;2
⇔
2
( 2 ) 1
min
0;2
2
( 2 ) 4
max
0;2
x m
x
x m
x
 
 
 
 

 
 









− ≥ −
− ≤ −

⇔
1 1
2 4
4 0
m
m
m



− ≤ −
⇔ ≤ ≤
− ≥
Vậy
[ ]
2;4m∈

thõa mãn điều kiện bài toán .
Bài tập tương tự
1. Tìm m để bất phương trình m
2
x +m(x+1) -2(x-1)>0 đúng với -2
≤
x
≤
1.
2. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
21
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

4 2 2
3cos 5cos3 36sin 15cos 36 24 12 0x x x x m m
− − − + + − >
3.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
2
4 3 2 6 0x x mx− + + − >
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
1. Kết quả nghiên cứu :
Đề tài đã được áp dụng thường xuyên ở các lớp kết quả đạt được tương
đối tốt, học sinh đã giải quyết được rất nhiều bài toán về giải phương trình , bất
phương trình có chứa tham số bằng phương pháp sử dụng đạo hàm, các em
đã thích dần với bài tập loại này , học tập hăng say và tích cực hơn rất nhiều
,tạo cho các em một niềm tin khi giải toán, góp phần nâng cao kết quả thi đại
học và học sinh giỏi cấp tỉnh bộ môn Toán,hạn chế việc học sinh sợ khi phải
giải các phương trình và bất phương trình có chứa tham số đồng thời tạo được

hứng thú cho học sinh góp phần năng cao chất lượng dạy và học phát huy được
tính tích cực của học sinh, khơi nguồn cho các em sự tìm tòi ,sáng tạo trong quá
trình giải một bài toán có chứa tham số .Đề tài đã được các thành viên trong tổ
Toán – Tin góp ý và đánh giá tốt, đề tài đã được các thầy cô áp dụng rộng rãi
với các đối tượng học sinh lớp mình phụ trách, đem lại hiệu quả rất thiết thực
trong giảng dạy bộ môn Toán ở Trường THPT hiện nay. So với cách làm cũ
không chỉ giải các phương trình,bất phương trình bình thường , không giúp cho
các em thấy được dạng quen thuộc, những kỹ năng cần thiết. Nếu trang bị cho
các em những kỹ năng cần thiết thì nhìnvào bài toán như vậy các em sẽ định
hướng được cách giải , giải nhanh và thành thạo .
Trong năm học 2009 -2010, 2010 -2011, 2011 -2012, 2012-2013 tôi đã
thực nghiệm đề tài của mình ở các lớp ,12 A,12B và12D, 12 E kết quả cụ thể
như sau :
Loại
Đối tượng
Loại giỏi
Loại
khá
Loại trung
bình
Loại yếu

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
22
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Áp dụng thường xuyên
ở lớp 12 A
20 % 50 % 30 % 0 %
Áp dụng thường xuyên

ở lớp 12 B
15 % 50 % 30 % 5 %
Không áp dụng thường
xuyên ở lớp 12 D
0 % 30 % 50 % 20 %
Không áp dụng thường
xuyên ở lớp 12 E
0 % 20 % 55 % 25%
Trên đây là một số kinh nghiệm thực tiễn của bản thân qua nhiều năm giảng dạy
môn toán phần phương trình và bất phương trình có chứa tham số . Với đề tài
này tôi hy vọng sẽ giúp cho các em học sinh biết cách sử dụng đạo hàm vào giải
toán và cải tiến phương pháp học tập.
2. Kiến nghị và đề xuất :
Công tác nghiên cứu khoa học ở các cấp cần được phát huy hơn nữa, để công
tác dạy và học ngày càng đạt hiệu quả cao. Để có những bài giảng hay ,sáng
kiến đổi mới trong giảng dạy bộ môn Toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy
và học, phù hợp với sự phát triển của Đất nước.
Cần tăng cường công tác sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn để trao đổi về
chuyên môn,xây dựng các tiết dạy phù hợp với từng đối tượng học sinh, phải
xem sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn là công việc để trau dồi về chuyên môn, tự
học tập lẫn nhau giúp nhau cùng tiến bộ.
Đề tài đã được các đồng nghiệp góp ý chân thành.Để đề tài thực hiện tốt thì
cần có những buổi sinh hoạt, xêmina về toán học để các em học sinh bày tỏ quan
điểm của mình cũng như tự giúp các em phát hiện ra sai lầm của nhau thông qua
các bài giải
Đề tài chắc chắn không tránh khỏi những thiếu xót và để hoàn thiện hơn nữa
tác giả rất mong được sự bổ sung và góp ý chân thành của các đồng nghiệp./.
Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm không có sự sao
chép .

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
23
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…


Hậu lộc , ngày 25 tháng 5 năm 2013
Người viết sáng kiến kinh nghiệm


LÊ THỊ HẠNH
Tài liệu tham khảo
1. Phương trình và bất phương trình (Phan Huy Khải -Nhà xuất bản GD - Năm
2009).
2. Sách giáo khoa và sách bài tập toánTHPT
3.Đề thi đại học, cao đẳng của Bộ giáo dục
4.Đề thi học sinh giỏi môn toán Tỉnh Thanh hóa
5.Tạp chí Toán học và tuổi trẻ.

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3
24