Các bài thiết lập phương trình đường tròn

Bài 3: Các bài toán thiết lập phương trình ñường tròn – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG TRÒN




Bài 1: (ðề TSðH khối D-2003)
Trong mặt phẳng Oxy cho ñường tròn (C) và ñường thẳng d có phương trình:

( ) ( )
2 2
( ) : 1 1 4; : 1 0
C x y d x y
− + − = − − =

Viết phương trình ñường tròn (C’) ñối xứng với (C) qua d.
Giải:
(C) có tâm I(1;1) và R=2
(C’) ñối xứng với (C) qua d thì tâm I’ của (C’) cũng ñối xứng với I qua d và R=R’=2
Phương trình ñường thẳng qua I vuông góc với d là:
: 2 0
x y
∆ + − =


( )
0
2
2

2 0
3 1
à : ( ; ) '(2;0)
1 0
2 2
( ') : 2 4
x y
d K l ng cua HPT K I
x y
C x y
+ − =

∆ ∩ = ⇒ ⇒

− − =

⇒ − + =

Bài 2: Cho tam giác ABC với A(8;0), B(0;6) và C(9;3).
Viết phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải:
Trung ñiểm của AB là:
(
)
(
)
(4;3) à 8;6 4; 3
M v AB
= − ↑↑ −


Ta có phương trình ñường trung trực của AB là:

4( 4) 3( 3) 0 4 3 7 0
x y x y
− − − = ⇔ − − =

Trung ñiểm của BC là:
( ) ( )
9 9
( ; ) à 9; 3 3; 1
2 2
N v BC
= − ↑↑ −


Ta có phương trình ñường trung trực của BC là:

9 9
( ) 3( ) 0 3 9 0
2 2
x y x y
− − − = ⇔ − − =

Vậy tọa ñộ tâm ñường tròn ngoại tiếp là nghiệm của hệ:

( ) ( )
2 2
2 2
4 3 7 0

(4;3) 4 3 5
3 9 0
( ) : 4 3 25
x y
O R
x y
C x y
− − =

⇒ ⇒ = + =

− − =

⇒ − + − =

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa ñộ cho ñường thẳng d: 2x-y-5=0 và 2 ñiểm A(1;2), B(4;1)
Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc d và ñi qua A,B.
Giải:
Tâm O sẽ là giao ñiểm của ñường trung trực của AB và d.
Bài 3: Các bài toán thiết lập phương trình ñường tròn – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 2
Trung ñiểm của AB là:
5 3
( ; ), (3; 1)
2 2
M AB
= −


Ta có phương trình ñường trung trực của AB là:

5 3
3( ) ( ) 0 3 6 0
2 2
x y x y
− − − = ⇔ − − =

Vậy tọa ñộ tâm O là nghiệm của hệ:
3 6 0
(1; 3)
2 5 0
x y
O
x y
− − =

⇒ −

− − =


Bán kính: R=5 nên ta có:
( ) ( )
2 2
( ) : 1 3 25
C x y
− + + =

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho ñường thẳng d: 4x+3y-43=0 và ñiểm A(7;5) trên d. Viết
phương trình ñường tròn tiếp xúc với d tại A và có tâm nằm trên ñường thẳng:

: 2 5 4 0
x y
∆ − + =

Giải:
Ta có:

( ) ( )
0
2 2
(3; 4) :3 4 1 0
3 4 1 0
à a : (3; 2) 5
2 5 4 0
( ) : 3 2 25
d OA
u n OA x y
x y
O OA l ng cu HPT O R OA
x y
C x y
= = − ⇒ − − =
− − =

⇒ = ∩∆ ⇒ ⇒ = =

− + =

⇒ − + − =

 


Bài 5: Trên mặt phẳng Oxyz cho 2 ñường thẳng:
d
1
:3x+4y-47=0 và d
2
:4x+3y-45=0
Lập phương trình ñường tròn có tâm nằm trên ñường thẳng d: 5x+3y-22=0
Và tiếp xúc với cả d
1
và d
2
.
Giải:
Các phương trình ñường phân giác tạo bởi d
1
và d
2
là:

( )
( ) ( )
1
2 2 2 2
2
1 1 0 1
2 2
1 1

2 2 0 2
2
: 2 0
3 4 47 4 3 45
: 7 7 92 0
3 4 4 3
2 0
* 1: à : 2;4
5x 3y 22 0
à 5 ( ) : 2 4 5
7 7 92 0
61 153
* 2 : à : ;
5x 3y 22 0
7 7
20
à
7
x y
x y x y
x y
x y
TH O d l ng cua HPT O
v R C x y
x y
TH O d l ng cua HPT O
v R
∆ − + =
+ − + −


= ⇔

∆ + − =
+ +

− + =

= ∆ ∩ ⇒

+ − =

= ⇒ − + − =
+ − =

 
= ∆ ∩ ⇒ −

 
+ − =
 

=
2 2
2
61 153 400
( ) :
7 7 21
C x y
   
⇒ + + − =

   
   


………………….Hết…………………


Nguồn:
Hocmai.vn