CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG pptx

CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT
PHẲNG

BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
I. CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG THẲNG
Người ta hay dùng các dạng sau đây để viết phương trình đường thẳng
 Phương trinh chính tắc của đường thẳng đi qua điểm
( )
;
o o
M x y
và có vectơ chỉ phương
( )
;u a b=
r
,
; 0a b ≠
là
o o
x x y y
a b
− −
=
 Phương trinh tham số của đường thẳng đi qua điểm
( )
;
o o
M x y

và có vectơ chỉ phương
( )
;u a b=
r
,
2 2
0a b+ >
là
o
o
x x at
y y bt
= +


= +

 Phương trinh tổng quát của đường thẳng đi qua điểm
( )
;
o o
M x y
và có vectơ chỉ phương
( )
;n a b=
r
,
2 2
0a b+ >
là

( ) ( )
0
0
o
a x x b y y− + − =
Phương trình tổng quát là
0Ax By C+ + =
;
2 2
0A B+ >
Phương trình này nhận
( )
;n A B=
r
làm VTPT và nhận
( )
;u B A= −
r
làm VTCP.
Đường thẳng đi qua điểm
( )
;
o o
M x y
và có hệ số góc k có phương trình dạng
( )
0 o
y y k x x− = −
 Phương trình theo đoạn chắn: Đường thẳng cắt 2 trục Ox, Oy tại A(a;0), B(0;b) vói
; 0a b ≠

có dạng
1
x y
a b
+ =
CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
LOẠI 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BIẾT VECTƠ CHỈ
PHƯƠNG
( )
;u a b=
r
VÀ MỘT ĐIỂM
( )
;
o o
M x y
CỦA NÓ
Đây là 1 trong nhứng phương pháp cơ bản để viết phương trình đường thẳng. rất nhiều
bài toán quy về trường hợp này ( đặc biệt là trường hợp đường thẳng đi qua 2 điểm
( ) ( )
; ; ;
A A B B
A x y B x y
.
Như vậy 2 yếu tố cần xác định là
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng. Ta hay xác đinh VTCP như sau
a. Tìm 2 điểm A, B phân biệt thuộc đường thẳng. Khi đó VTCP
u AB=
r uuur
b. Xác định xem đường thẳng cần tìm có song song hay vuông góc với đường thẳng cho

trước hay không.
2. Điểm M thuộc đường thẳng cần tìm được xác định:
a. Giao điểm của 2 đường thẳng biết trước nào đo.
b. Điểm có 1 tính chất nào đó (Trung điểm của đoạn thẳng, hình chiếu của 1 điểm nào đó
trên đường thẳng,…)
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm
của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là
7x – 2y – 3 0=
và
6x – y – 4 0=
.Viết phương trình đường thẳng AC.
GIẢI
Gọi đường cao AH : 6x – y – 4 = 0 và đường trung tuyến AD : 7x – 2y – 3 = 0
Ta có
( )
1;2A AH AD A= ∩ =
M là trung điểm AB
( )
B 3; 2⇒ −

BC qua B và vuông góc với AH
⇒
BC : 1(x – 3) + 6(y + 2) = 0
⇔
x + 6y + 9 = 0
3
0;
2
D BC AD D

−
 
= ∩ ⇒
 ÷
 
D là trung điểm BC
⇒
C (- 3; - 1)
AC qua A (1; 2) có VTCP
( )
4; 3AC = − −
uuur
nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = 0
⇔
3x – 4y + 5 = 0
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 2
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6, 2) là giao điểm của 2
đường chéo Ac và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của canh CD thuộc đường
thẳng
∆
: x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
Giải
Ta có I (6; 2); M (1; 5)
E ∈∆
: x + y – 5 = 0
⇒
E(m; 5 – m);
Gọi N là trung điểm của đoạn AB.
Khi đó I là trung điểm của NE

2
2
I N E
I N E
x x x
y y y
= +

⇒

= +

⇒
N (12 – m; m – 1)
( )
11 – m; m – 6MN⇒ =
uuuur
( ) ( )
m – 6; 5 – m – 2 m – 6; 3 – mIE⇒ = =
uur

Ta có MN vuông góc với IE nên
. 0MN IE =
uuuur uur
⇔
(11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = 0
( ) ( )
6 14 2 0m m⇔ − − =
⇔
m – 6 = 0 hay 14 – 2m = 0

⇔
m = 6 hay m = 7
* Với m = 6
( )
5;0MN⇒ =
uuuur
nên pt AB là y = 5
*m = 7
( )
4;1MN⇒ =
uuuur
nên pt AB x – 1 – 4(y – 5) = 0
⇔
x – 4y + 19 = 0.
Vậy đường thẳng AB có 2 phương trình là y = 5 và x – 4y + 19 = 0.
Ví dụ 3:Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM và
đường phân giác trong CD có phương trình tương ứng là
2 1 0; 1 0x y x y+ + = + − =
. Viết phương trình
đường thẳng BC
Giải
Qua A kẻ đường vuông góc với CD cắt BC tại E.
Giả sử đường vuông góc này cắt CD tại I.
Vì CD là phân giác của góc C nên
IA IE=
Do CD có phương trình
1 0x y+ − =
nên đường AE có phương trình
0x y m− + =
Mà AE lại qua A(1;2) nen ta có

1 2 0 1m m
+ + = ⇒ = −
Vậy AE có phương trình
1 0x y− − =
Tọa độ điểm I là nghiệm hệ
( )
1 0 0
0;1
1 0 1
x y x
I
x y y
− + = =
 
⇔ ⇔
 
+ − = =
 
Từ đó suy ra
( )
2 1
1;0
2 0
E I A E
E I A E
x x x x
E
y y y y
= − = −
 

⇔ ⇔ −
 
= − =
 
Vì C nằm trên đường phân giác
1 0x y+ − =
nên ta có
( )
;1
o o
C x x−
.
Từ đó M là trung điểm của AC nên
1 1 2 1 3
; ;
2 2 2 2
o o o o
x x x x
M
+ − + + −
   
=
 ÷  ÷
   
Điểm M nằm trên trung tuyến BM
2 1 0x y+ + =
nên ta có
( )
1 3
2 1 0 7 7;8

2 2
o o
o
x x
x C
+ −
 
+ + = ⇔ = − ⇒ −
 ÷
 
Đường thẳng BC qua
( )
1;0E −
và
( )
7;8C −
nên có phương trình
4 3 4 0x y+ + =
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đỉnh A(4;-1), phương trình một đường cao, một đường
trung tuyến vẽ từ cufnbg một đỉnh lần lượt là
2 3 12 0x y− + =
và
2 3 0x y+ =
. Viết phương trình các cạnh
của tam giác
Giải
Ta thấy đỉnh A không thuộc 2 đường thẳng
2 3 12 0x y− + =
và
2 3 0x y+ =

nên các đường cao và
đường trung tuyến ấy không đi qua A.
Giả sử 2 đường cao và đường trung tuyến ấy vẽ từ B.
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 3
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Tọa độ B là nghiệm hệ
( )
2 3 12 0 3
3;2
2 3 0 2
x y x
B
x y y
− + = = −
 
⇔ ⇔ −
 
+ = =
 
Cạnh AB đi qua A và B nên phương trình canh AB là
3 7 5 0x y+ − =
Do AC vuông góc BH nên cạnh AC có phương trình
3 2 0x y m+ + =
Do A thuộc AC nên
3.4 2( 1) 0 10m m+ − + = ⇔ = −
Vậy phương trình cạnh Ac là
3 2 10 0x y+ − =
Tọa độ M là nghiệm hệ
( )
3 2 10 0 6

6; 4
2 3 0 4
x y x
M
x y y
 + − = =

⇔ ⇔ −
 
+ = = −


Vì M là trung điểm AC nên
( )
8; 7C −
Đường thẳng BC qua B và C nen có phương trình là
9 11 5 0x y+ + =
Ví dụ 5: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng d
1
:
1 0x y− + =
và d
2
:
2 1 0x y+ − =
và điểm
P(2;1). Viết phương trình đường thẳng qua P và cắt d
1,
d
2

tương ứng tại A và B sao cho P là trung điểm của
AB.
Giải
Vì A thuộc d
1
nên
( )
1 1
; 1A x x +
Vì B thuộc d
2
nên
( )
2 2
; 2 1B x x− +
Ta có
( )
1 1
2;PA x x= −
uuur
;
( )
2 2
2; 2PB x x− −
uuur
Vì P là trung điểm AB nên
2
1 2
1 2
1

4
2 2
3
2
8
3
x
x x
PA PB
x x
x

=

− = −


= − ⇔ ⇔
 
= −


=


uuur uuur
Do đó
8 11 4 5
; ;
3 3 3 3

A B
−
   
 ÷  ÷
   
Vậy phương trình đường AB là
4 7 0x y− − =
Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(1;3) và 2 đường trung tuyến xuất
phát từ B và C là
2 1 0x y− + =
và
1 0y − =
. Lập phương trình các cạnh của tam giác
Giải
Gọi G là trọng tâm của tam giác.
Tọa độ G là nghiệm hệ
( )
2 1 0 1
1;1
1 0 1
x y x
G
y y
− + = =
 
⇔ ⇒
 
− = =
 
Vẽ hình bình hành BGCE.Theo tính chát của các đường trung tuyến trong tam giác ta có GE=GA

Từ đó suy ra
( )
1; 1E −
Do EC//BG nen EC có dạng
2 0x y m− + =
E thuộc nên ta có
1 2 0 3m m
+ + = ⇔ = −
Phương trình của EC là
2 3 0x y− − =
Tọa độ C là nghiệm hệ
( )
2 3 0 5
5;1
1 0 1
x y x
C
y y
− − = =
 
⇔ ⇒
 
− = =
 
Tương tự ta có
( )
3; 1B − −
Biết tọa độ 3 đỉnh A, B, C ta có phương trình các cạnh AB, Ac, BC lần lượt là
2 0x y− + =
;

4 1 0x y− + =
;
2 7 0x y+ − =
LOẠI 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM
( )
;
o o
M x y
VÀ CÓ HỆ SỐ GÓC k.
Phương pháp này thường dùng để viết viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
( )
;
o o
M x y
và thỏa một số yêu cầu nào đó ( thường là yêu cầu liên quan đến khoảng cách). Chú ý rằng
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 4
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
đường thẳng đi qua
( )
;
o o
M x y
có 2 dạng
o
x x=
và
( )
0 o
y y k x x− = −
. Khi làm bài, trừ trường hợp có

sẵn dạng
( )
0 o
y y k x x− = −
nếu không phải xét đủ 2 trường hợp nói trên.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho 2 điểm M(1;4) và N(6;2). Lập phương trình đường thẳng
∆
qua
M sao cho khoảng cách từ N tới nó bằng 5.
Giải
Đường thẳng
∆
qua M (1;4) nen có 2 dạng là

1x =
khi đó
( )
; 5d N ∆ =
. Vậy
: 1x∆ =
là đường thẳng cần tìm.

∆
có dạng
( )
1 4 4 0y k x kx y k= − + ⇔ − + − =
Khi đó
( ) ( )
( )

2
2
2
6 2 4
21
; 5 5 5 2 25 1
20
1
k k
d N k k k
k
− + −
∆ = ⇔ = ⇔ + = + ⇔ =
+

∆
có phương trình là
21 20 59 0x y− + =
Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là
1x =
và
21 20 59 0x y− + =
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho 2 điểm A(1;2) và B(5;-1). Viết phương trình đường thẳng
∆

qua M(3;5) và cách đều A,B.
Giải
Đường thẳng
∆
đi qua M(3;5) có hai dạng


3x =
khi đó
( ) ( )
; 2; ; 2d A d B∆ = ∆ =
. Vậy
∆
:
3x =
là đường thẳng cần tìm

∆
có dạng
( )
3 5 5 3 0y k x kx y k= − + ⇔ − + − =
.
Khi đó ta có
( ) ( )
2 2
2 5 3 5 1 5 3
; ;
1 1
k k k k
d A d B
k k
− + − + + −
∆ = ∆ ⇔ =
+ +
3
3 2 6 2

4
k k k
−
⇔ − = − ⇔ =
∆
có phương trình là
3 4 29 0x y+ − =
Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là
3x =
và
3 4 29 0x y+ − =
Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy rõ nếu không xét trường hợp
o
x x=
thì ó thể dẫn đến trường
hợp mất nghiệm của bài toán.
LOẠI 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT
0Ax By C+ + =
ĐỂ
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Khi sử dụng phương trình dưới dạng này bài toán quy về tìm A,B,C. Thông thường từ các dữ
kiện ban đầu ta sẽ có một hoặc hai phương trình để tìm A,B,C. Vì thế ta phải sử dụng điều kiện
2 2
0A B+ >
để từ hệ thức giữa A, B sẽ cho A hoặc B là một giá trị cụ thể, từ đó sẽ tìm được B hoặc A.
Lưu ý rằng đó chính là quy tắc chung để giải hệ phương trình mà số phương trình ít hơn số ẩn. Sử
dụng phương pháp này sẽ thích hợp cho bài toán loại 2, mà không cần xét trường hợp
o
x x=
và

( )
0 o
y y k x x− = −
.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho 2 điểm M(1;4) và N(6;2). Lập phương trình đường thẳng
∆
qua
M sao cho khoảng cách từ N tới nó bằng 5.
Giải
Gọi đường thẳng
∆
cần tìm là
0Ax By C+ + =
với
2 2
0A B+ >
Do
∆
qua M nen ta có
4 0 4A B C C A B
+ + = ⇔ = − −
Suy ra
∆
có dạng
4 0Ax By A B+ − − =
Ta có
( ) ( )
( )
2

2 2 2
2 2
0
6 2 4
; 5 5 5 2 25 21 20 0
20
21
B
A B A B
d N A B A B B AB
B A
A B
=

+ − −

∆ = ⇔ = ⇔ − = + ⇔ + = ⇔
−

=
+

Thay B=0 vào phương trình
∆
ta được
1x
=
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 5
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Thay

20
21
B A
−
=
vào phương trình
∆
ta được
21 20 59 0x y− + =
Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là
1x =
và
21 20 59 0x y− + =
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho 2 điểm A(1;2) và B(5;-1). Viết phương trình đường thẳng
∆

qua M(3;5) và cách đều A,B.
Giải
Gọi đường thẳng
∆
cần tìm là
0Ax By C+ + =
với
2 2
0A B+ >
Do
∆
qua M(3;5) nen ta có
3 5 0 3 5A B C C A B
+ + = ⇔ = − −

Suy ra
∆
có dạng
3 5 0Ax By A B+ − − =
Ta có
( ) ( )
2 2 2 2
2 3 5 5 3 5
; ;
A B A B A B A B
d A d B
A B A B
+ − − − − −
∆ = ∆ ⇔ =
+ +
( ) ( ) ( )
2 2
0
2 3 2 6 3 4 0
4
3
B
A B A B B B A
B A
=


⇔ − − = − ⇔ − = ⇔

=


Thay B=0 vào phương trình
∆
ta được
3x =
Thay
4
3
B A=
vào phương trình
∆
ta được
3 4 29 0x y+ − =
Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là
3x =
và
3 4 29 0x y+ − =
LOẠI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THEO ĐOẠN CHẮN
1
x y
a b
+ =
Người ta sử dụng cách viết phương trình theo đoạn chắn trong những bài toán mà yêu
cầu đầu bài đòi hỏi tính toán các giao điểm (a;0) và (0;b) của đường thẳng với trục hoành trục tung.
Chỉ cần lưu ý rằng
( ;0), (0; )A a B b
thì
,OA a OB b= =

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1;2). Viết phương trình đường thẳng qua M sao
cho OAB là tam giác vuông cân, ở đây A, B là giao điểm của đường thẳng đó với trục hoành, trục tung.
Giải
Giả sử d là đường thẳng cần tìm qua M.
Gọi A(a;0), B(0;b) lần lượt là giao điểm của d với trục hoành, trục tung
Khi đó theo phương trình đoạn chắn , d có dạng
1
x y
a b
+ =
Vì M thuộc d nên ta có
( )
1 2
1 1
a b
+ =
Do tam giác OAB vuông cân đỉnh O nên ta có
( )
2a b=
Ta có hệ
1 2
1
3
1; 1
a b
a b
a b
a b

+ =

= =


⇔


= − =


=

Vậy có 2 đường thẳng cần tìm
1
3 3
x y
+ =
và
1
1 1
x y
+ =
−
Ví dụ 2: Cho điểm M(4;3) . Viết phương trình đường thẳng d qua M sao cho nó tạo với 2 trục tọa độ
một tam giác có diện tích bằng 3.
Giải
Giả sử
( ) ( )
Ox ;0 , Oy 0;d A a d B b∩ = ∩ =
Khi đó theo phương trình đoạn chắn , d có dạng
1

x y
a b
+ =
Vì M thuộc d nên ta có
( )
4 3
1 1
a b
+ =
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 6
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Ta có
.
1
3 . 3 3 . 6 (2)
2 2
OAB
a b
S OA OB a b
∆
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Giải hệ (1) và (2) ta được
2; 3
3
4;
2
a b
a b
= = −




= − =

Vậy có 2 đường thẳng cần tìm
1
2 3
x y
− =
và
2
1
4 3
x y
− + =
LOẠI 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH CHÙM ĐƯỜNG THẲNG
Giả sử đường thẳng
1 1 1 1
: 0d A x B y C+ + =
và đường thẳng
2 2 2 2
: 0d A x B y C+ + =
cắt
nhau tại I. Khi đó mọi đường thẳng d đi qua I có dạng
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
0A x B y C A x B y C
α β
+ + + + + =
(1) với

2 2
0
α β
+ >
(1) là phương trình chùm đường thẳng sinh bởi d
1
và d
2
.
Người ta sử dụng phương trình chùm đường thẳng để giái các bài toán có dạng sau:
• Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm I là giao diểm của 2 đường thẳng cho
trước và thỏa yêu cầu nào đó.
Phương pháp giải
+ Viết phương trình (1)
+ Dựa vào điều kiện đầu bài lập một hệ thức liên hệ giữa
;
α β
.
+ Từ hệ thức tìm được dựa vào điều kiện
2 2
0
α β
+ >
để chọn giá trị thích hợp của
;
α β
.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho 2 đường thẳng
1

: 1 0d x y− + =
và
2
: 2 1 0d x y+ − =
và điểm
P(2;1). Viết phương trình đường thẳng đi qua P và giao điểm của d
1
và d
2
.
Giải
Đường thẳng d đi qua giao điểm của d
1
và d
2
nên nó thuộc chùm
( ) ( )
1 2 1 0x y x y
α β
− + + + − =
Do d qua P(2;1) nên ta có
( ) ( )
2 1 1 2.2 1 1 0 2 0
α β α β
− + + + − = ⇔ + =
Do
2 2
0
α β
+ >

nên chọn
2; 1
α β
= = −
Thay vào phương trình (1) ta có phương trình của d là
1y =
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Ba cạnh của tam giác có phương trình lần lượt là
4 12 0x y+ − =
;
4 5 20 0x y+ − =
; . Viết phương trình ba đường cao của tam giác.
Giải
Phương trình AA’:
5 4 15 0x y− − =
Phương trình BB’:
2 2 9 0x y+ − =
Phương trình CC’:
2 12 1 0x y− − =
II. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐIỂM NHỜ PHƯƠNG
TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Phương pháp giải các bài toán loại này ngoài việc sử dụng các kiến thức về đường thẳng
còn sử dụng nhiều kiến thức về tọa độ vectơ trong mặt phẳng.
LOẠI 1: XÁC ĐỊNH ĐIỂM NHỜ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG
Đây là 1 trong nhứng phương pháp chính để xác định điểm trong mặt phẳng.
Người ta dựa vào điều kiện đầu bài để quy điểm cần tìm là giao điểm của 2 đường thẳng
xác định nào đó. Các đường thẳng này hoặc đã có sẵn hoặc phải tìm phương trình.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC , biết hình chiếu vuông góc của C lên Ab là H(-1;-1). Đường
phân giác trong của A có phương trình
x y 2 0− + =

, đường cao kẻ từ B có phương trình 4x+3y-1=0. Tìm
tọa độ đỉnh C.
Giải
Giả sử
1
d : x y 2 0− + =
và
2
d : 4x 3y 1 0+ − =
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 7
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Gọi H'(a;b) là điểm đối xứng của H qua d
1
. Khi đó H’ thuộc đường thẳng AC.
( )
1;1u =
r
là VTCP của d
1
.
( )
' 1; 1HH a b= + +
uuuur
vuông góc với
u
r
và trung điểm
1 1
;
2 2

a b
I
− −
 
 ÷
 
của HH’ thuộc d
1
Do đó tọa độ của H' là nghiệm của hệ phương tr.nh
( ) ( )
( )
1. 1 1 1 0
' 3;1
1 1
2 0
2 2
a b
H
a b
 + + + =

⇒ −

− −
− + =


Đường thẳng AC đi qua H’ vuông góc d
2
nên có vectơ pháp tuyến là

( )
3; 4v = −
r
và có phương tr.nh
( ) ( )
3 3 4 1 0 3 4 13 0x y x y+ − − = ⇔ − + =
Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương tr.nh
( )
3 4 13 0
5;7
2 0
x y
A
x y
− + =

⇒

− + =

Đường thẳng CH đi qua
( )
1; 1H − −
với vectơ pháp tuyến
( )
1
3;4
2
HA =
uuur

nên có phương tr.nh
( ) ( )
3 1 4 1 0 3 4 7 0x y x y+ + + = ⇔ + + =
Tọa độ của C là nghiệm của hệ phương tr.nh
3 4 7 0
10 3
;
3 4 13 0
3 4
x y
C
x y
+ + =

−
 
⇒

 ÷
− + =
 

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có C(-1;-2) đường trung
tuyến
kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương tr.nh là
5 9 0x y+ − =
và
3 5 0x y+ − =
T.m
toạ độ các đỉnh A và B.

Giải
Giả sử
:5 9 0AM x y+ − =
,
: 3 5 0BH x y+ − =
Ac vuông góc
: 3 5 0BH x y+ − =
nên Ac có phương trình dạng
3 0x y m− + =
Vì C thuộc AC nên
3( 1) ( 2) 0 1m m− − − + = ⇔ =
Phương trình AC là
3 1 0x y− + =
A là giao điểm của AC và AM nên tọa độ A là nghiệm hệ
( )
3 1 0
1;4
5 9 0
x y
A
x y
− + =

⇔

+ − =

B thuộc
: 3 5 0BH x y+ − =
nên

( )
5 3 ;B m m−
M là trung điểm BC nên
4 3 2
;
2 2
m m
M
− −
 
 ÷
 
M thuộc AC
4 3 2
5. 9 0 0
2 2
m m
m
− −
⇔ + − = ⇔ =
Vậy B(5;0)
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(0;2) và
( )
3; 1B −
. Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác OAB (Đại học –khối A – 2004)
Giải
Đường thẳng qua O và vuông góc với
( )
3;3BA

uuur
có phương trình
3
x + 3y = 0
Đường thẳng qua B và vuông góc với
( )
0;2OA
uuur
có phương trình
1y = −
(Đường thẳng qua A và vuông góc với
( )
3;1BO
uuur
có phương trình
3 2 0x y+ − =
)
Giải hệ hai trong ba phương trình trên ta được trực tâm
( 3; 1)H −
Đường trung trực cạnh OA có phương trình
1y =
Đường trung trực cạnh OB có phương trình
3 2 0x y+ + =
(Đường trung trực cạnh AB có phương trình
3
x + 3y = 0)
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 8
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Giải hệ hai trong ba phương trình trên ta được tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là
( 3;1)I −

.
LOẠI 2: XÁC ĐỊNH ĐIỂM NHỜ PHÉP TÍNH VECTƠ
Các bài toán xác định điểm nhờ vào phép toán vectơ như các công thức về khoảng cách,
tích vô hướng của 2 vectơ…
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng d: x - 2y
-1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6 (Đại học – khối B- năm 2004)
Giải
Phương trình đường thẳng AB là
4 3 7 0 (1)x y+ − =
Giả sử C(x,y). Ta có C thuộc đường thẳng d nên x - 2y -1 = 0
Mà
( )
( )
2 2
4 3 37 0 (2)
4 3 7
; 6 6
4 3 23 0 (2')
4 3
x y
x y
d C AB
x y
+ − =
+ −

= ⇔ = ⇔

+ + =

+

Giải hệ (1) và (2) ta được
( )
7;3C
Giải hệ (1) và (2’) ta được
43 27
;
11 11`
C
− −
 
 ÷
 
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thẳng:
d1: x + y – 2 = 0, d2: x + y – 8 = 0.T.m tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam
giác ABC vuông cân tại A. (Đại học – khối B -2007)
Giải
Ta có B thuộc d1, C thuộc d2 nên B(b;2 − b),C(c;8 − c). Từ giả thiết ta có hệ:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 4 2
bc - 4b - c + 2 = 0
. 0
2 8 18
1 4 3
b c
AB AC

b b c c
AB AC
b c
 − − =


=
 
⇔ ⇔
  
− = − +
=
− − − =





uuur uuur
Đặt x = b −1, y = c − 4 ta có hệ
2 2
2
3
xy
x y
=


+ =


Giải hệ trên ta được x = −2, y = −1 hoặc x = 2, y =1.
Suy ra: B(−1;3),C(3;5) hoặc B(3;−1),C(5;3) .
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng:
d1 : x + y + 3 = 0, d2 : x − y − 4 = 0, d3 : x − 2y = 0.T.m tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M
đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2. (Đại học – khối A – 2006)
Giải
T.m điểm M thuộc d3 sao cho d (M,d1 ) = 2d (M,d2 )
Vì M thuộc d3 nên M(2y; y).
Ta có:
( )
1
2 2
2 3 3 3
;
2
1 1
y y y
d M d
+ − −
= =
+
( )
2
2 2
2 4 4
;
2
1 ( 1)
y y y
d M d

− − −
= =
+ −
( ) ( )
1 2
11
3 3 4
; ; 2
1
2 2
y
y y
d M d d M d
y
= −
− −

= ⇔ = ⇔

=

Với y = -11 được điểm M
1
(-22;-11).
Với y =1 được điểm M
2
(2; 1).
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng
1
: 0d x y− =

và
2
: 2 1 0d x y+ − =
.
Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết A thuộc d
1
; C thuộc d
2
; còn B và D thuộc trục hoành. (đại
học – khối A – 2005)
Giải
Vì A thuộc
1
: 0d x y− =
nên A(t;t).
Vì B, D nằm trên trục hoành nên A và C đối xứng với nhau qua BD nên
( )
;C t t−
Mà C thuộc
2
: 2 1 0d x y+ − =
nên
2 1 0 1t t t
− − = ⇔ =
Vậy điểm
(1;1), (1; 1)A C −
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 9
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Trung điểm AC là I(1;0). Vì I là tâm của hình vuông nên
1

1
IB IA
ID IA
= =


= =

Ta có
0
2
1 1
Ox ( ;0)
1 1
Ox ( ;0)
0
2
b
b
b
B B b
d
D D d
d
d
 =



=

 − =
∈
 
 
⇒ ⇒ ⇔
   
− =
∈
=


 




=


Suy ra
(0;0)B
hoặc
(2;0)B
,
(0;0)D
hoặc
(2;0)D
Vậy tọa độ các đỉnh của hình vuông là
(1;1), (1; 1)A C −
,

(0;0)B
,
(2;0)D
Hoặc
(1;1), (1; 1)A C −
,
(2;0)B
,
(0;0)D
.
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tr.n (C)
( )
2
2
4
2
5
x y− + =
và hai
đường thẳng :
1
∆
x – y = 0,
2
∆
: x – 7y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tr.n
( )
1
C

biết đường tròn
( )
1
C
tiếp xúc
1
∆
,
2
∆
và tâm K thuộc đường tròn ©. ( Đại học – khối B- 2009)
Giải
Phương tr.nh 2 phân giác (
1
∆
,
2
∆
):
7
2 5 2
x y x y− −
= ±
( ) ( )
5 7x y x y⇔ − = ± −

( ) ( )
( ) ( )
5 7
5 7

x y x y
x y x y
− = −
⇔

− = − −

1
2
2 ( )
1
( )
2
y x d
y x d
= −


⇔

=

Phương trình hoành độ giao điểm của d
1
và ©:
( ) ( )
2 2
2
4
2 2 25 20 16 0

5
x x x x− + − = ⇔ − + =
Phương trình vô nghiệm
Phương trình hoành độ giao điểm của d
2
và ©:
( )
2
2
2
4
2 25 80 64 0
2 5
x
x x x
 
− + = ⇔ − + =
 ÷
 
8 8 4
;
5 5 5
x K
 
= ⇒
 ÷
 
Vậy
( )
1

2 2
;
5
R d K= ∆ =
Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A(1;0), B(-2;4), C(-1;4) và D(3;5). Giả sử
d là đường thẳng có phương trình 3x-y-5=0. Tìm điểm M thuộc d sao cho tam giác MAB và MCD có diện
tích bằng nhau.
Giải
Ta có
AB 5; 17CD= =
. Gọi
( )
0 0
;M x y
là tọa độ của điểm M
Do M thuộc d nên ta có
( )
0 0
3 5 1x y− =
Đường thẳng AB đi qua A, B có phương trình
4 3 4 0x y+ − =
Đường thẳng CD qua C và D có phương trình
4 17 0x y− + =
Ta có
MAB MCD
S S
∆ ∆
=
0 0 0 0
0 0 0 0

4 3 4 4 17
1 1
.5. . 17. 4 3 4 4 17 (2)
2 5 2
17
x y x y
x y x y
+ − − +
⇔ = ⇔ + − = − +
Từ (1) và(2) suy ra
0 0
0 0
7
; 2
3
9; 32
x y
x y

= =


= − = −


Vậy có 2 điểm M cần tìm
7
;2
3
M

 
 ÷
 
và
( )
9; 32M − −
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 10
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
và hai điểm A(2;-3), B(3;-2). Trọng tâm G
của tam giác nằm trên đường thẳng 3x-y-8=0. Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác.
Giải
Gọi M là trung điểm của AB .
5 5
;
2 2
M
 
⇒
 ÷
 
Phương trình của đường thẳng AB là
5 0 (1)x y− − =
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên
1 1
3 2
ABG ABC
S S

∆ ∆
= =
Giả sử
( )
0 0
;G x y
. Trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 3x-y-8=0 nên ta có
0 0
3 8 0x y− − =
Ta có
2AB =
nên khoảng cách từ G đến AB
( )
( )
2
2
;
2
ABG
S
d G AB
AB
∆
= =
0 0
0 0
5
2
5 1 (2)
2

2
x y
x y
− −
⇔ = ⇔ − − =
Giải hệ (1) và (2) ta được
( )
0 0
0 0
1; 5
1;5
2; 2
(2; 2)
x y
G
x y
G
= =


⇔


= = −
−


Do G là trọng tâm tam giác nên ta có
( )
2; 2C −

hoặc
( )
1; 1C −
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Cho hình thoi có một đường chéo có phương trình là
2 7 0x y+ − =
, một cạnh có phương
trình là
3 3 0x y+ − =
, một đỉnh là (0;1). Viết phương trình ba cạnh còn lại và đường chéo thứ hai của hình
thoi.
Đáp án: đường chéo thứ hai
2 1 0x y− + =
Ba cạnh còn lại
3 17 0;9 13 83 0;9 13 13 0x y x y x y+ − = + − = + − =
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm M(1;4) và N(6;2). Lập phương trình đường thẳng qua N
sao cho khoảng cách từ M đến nó bằng 2.
Đáp án:
2y =
và
20 21 162 0x y+ − =
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(3;1). Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt 2 trục
ox, oy tương ứng tại A, B sao cho OA+OB đạt giá trị bé nhất
Đáp án:
1
3 3 1 3
x y
+ =
+ +
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;0) và 2 đường thẳng lần lượt

chúa đường cao kẻ từ B và C có phương trình
2 1 0x y− + =
và
3 1 0x y+ + =
. Tính diện tích tam giác ABC.
Đáp án: 14 đvdt
Bài 5: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình
2 3 1 0x y+ + =
và điểm M(1;1).
Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tạo với d một góc 45
o
.
Đáp án:
5 6 0x y+ − =
và
5 4 0x y− − =
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;2). Đường trung tuyến BM và
đường phân giác CD tương ứng có phương trình
2 1 0x y+ + =
và
1 0x y+ − =
. Viết phương trình đường
thẳng BC
Đáp án :
4 3 4 0x y+ + =
Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC,
·
90BAC = °
. Biết M(1;-1) là
trung điểm BC và

2
;0
3
G
 
 ÷
 
là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Đáp án: A(0;2), B(-2;-2), C(4;0)
A(0;2), B(4;0), C(-2;-2)
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 11
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A và trọng tâm
4 1
;
3 3
G
 
 ÷
 
. Phương
trình đường BC là
2 4 0x y− − =
, phương trình đường thẳng BG là
7 4 8 0x y− − =
. Tìm tọa độ cá đỉnh A, B,
C của tam giác.
Đáp án: A(0;3), B(0;-2), C(4;0)
Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật có tâm
1

;0
2
I
 
 ÷
 
, phương trình đường thẳng AB là
2 2 0x y− + =
và AB=2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B,C, D biết A có hoành độ âm.
Đáp án: A(-2;0), B(2;2), C(3;0), d(-1;-2)
Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(0;2) và đường thẳng d:
2 2 0x y− + =
. Tìm trên d hai
điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông ở A và AB=2BC.
Đáp án:
2 6
;
5 5
B
 
 ÷
 
và C(0;1) hoặc
4 7
;
5 5
C
 
 ÷
 

III. CÁC BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG TRÒN
Người ta thường dùng 2 dạng phương trình đường tròn sau
1.
tâm ( ; )
( ) :
R
I a b
C
bk


=

phương trình
( ) ( ) ( )
2 2
2
:C x a y b R− + − =
2.
2 2
( ) : 2 2 0C x y ax by c+ − − + =
(điều kiện
2 2
0a b c+ − >
)
( )
C⇒
có tâm
( ; )I a b

, bán kính
2 2
R a b c= + −
Giả sử
( ) ( ) ( )
2 2
2
:C x a y b R− + − =
và đường thẳng d:
Ax 0By C+ + =
. Gọi h là khoaeng cách từ
tâm I(a;b) của © đến đường thẳng d.
2 2
Aa Bb C
h
A B
+ +
=
+
Khi đó: nếu
• h>R: © và d không cắt nhau
• h=R: © và d tiếp xúc nhau
• h<R: © và d cắt nhau tại 2 điểm.
CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
LOẠI 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN ĐI QUA 3 ĐIỂM KHÔNG
THẲNG HÀNG CHO TRƯỚC
Đây là dạng bài tập cơ bản nhất. Ta có thể sử dụng cả 2 cách viết phương trình đường tròn để
giải.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(2; -2) và C(4; -2).

Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương tr.nh
đường tr.n đi qua các điểm H, M, N. (Đại học - Khối A – 2007)
Giải
Ta có M(−1; 0), N(1; −2),
( )
4; 4AC = −
uuur
Giả sử H(x, y). Ta có:
( )
4( 2) 4( 2) 0 1
. 0
1;1
4 4( 2) 0 1
x y x
BH AC
H
x y y
H AC

+ − + = =
 
=

⇔ ⇔ ⇒
  
+ − = =
∈

 


uuur uuur
Giả sử phương tr.nh đường tr.n cần t.m là
2 2
( ) : 2 2 0C x y ax by c+ − − + =
Thay tọa độ của M, N, H vào pt trên ta có hệ điều kiện
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 12
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
1
2
2 1
1
2 4 5
2
2 2 2
2
a
a c
a b c b
a b c
c
−

=

− =


 
− + = − ⇔ =
 

 
+ + = −

= −



Vậy phương tr.nh đường tr.n cần t.m là: x
2
+ y
2
− x + y − 2 = 0
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC , hai cạnh AB và AC theo thứ tự có phương trình
là
2 0x y+ − =
và
2 6 3 0x y+ − =
. Cạnh BC có trung điểm M(-1;1). Viết phương trình đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.
Giải
Tọa độ điểm a là nghiệm của hệ
2 0
15 7
;
2 6 3 0
4 4
x y
A
x y
+ − =


−
 
⇔

 ÷
+ − =
 

Gọi P là trung điểm của AC khi đó MP//AB nên MP có phương trình dạng
0x y m+ + =
Do M thuộc Mp nên m=0.
Suy ra phương trình của MP là
0x y+ =
Tọa độ P là nghiệm hệ
0
3 3
;
2 6 3 0
4 4
x y
P
x y
+ =

 
⇔ −

 ÷
+ − =

 

Do P là trung điểm của AC suy ra
9 1
;
4 4
C
 
−
 ÷
 
Tương tụ ta có
1 7
;
4 4
B
 
 ÷
 
Phương trình đường tròn đi qua ba điểm
15 7
;
4 4
A
−
 
 ÷
 
,
1 7

;
4 4
B
 
 ÷
 
và
9 1
;
4 4
C
 
−
 ÷
 
là
2 2
65
3 0
8
x y x y+ − + − =
Như vậy viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm có 2 bước:
• Tìm tọa độ 3 điểm
• Lập hệ phương trình để xác định tham số a,b,c trong phương trình tổng quát
2 2
( ) : 2 2 0C x y ax by c+ − − + =
LOẠI 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TIẾP XÚC VỚI
ĐƯỜNG THẲNG HOẶC ĐƯỜNG TRÒN CHO TRƯỚC
Để giải bài toán loại ày cần thành thạo kiến thức sau:
1. Đường thẳng

Ax 0By C+ + =
là tiếp tuyến của đường tròn
( ) ( ) ( )
2 2
2
:C x a y b R− + − =

khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng đó bằng bán kính R
2. Hai đường tròn
( )
1 1
;O R
và
( )
2 2
;O R
tiếp xúc ngoài ( tiếp xúc trong) với nhau khi và chỉ
khi
( )
1 2 1 2 1 2 1 2
O O R R O O R R= + = −
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tr.n (C)
( )
2
2
4
2
5
x y− + =

và hai đường
thẳng :
1
∆
x – y = 0,
2
∆
: x – 7y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tr.n
( )
1
C
biết
đường tròn
( )
1
C
tiếp xúc
1
∆
,
2
∆
và tâm K thuộc đường tròn ©. (Đại học - KHỐI B – 2009)
Giải
Phương tr.nh 2 phân giác (
1
∆
,
2
∆

):
7
2 5 2
x y x y− −
= ±
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 13
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
( ) ( )
5 7x y x y⇔ − = ± −

( ) ( )
( ) ( )
5 7
5 7
x y x y
x y x y
− = −
⇔

− = − −

1
2
2 ( )
1
( )
2
y x d
y x d
= −



⇔

=

Phương trình hoành độ giao điểm của d
1
và ©:
( ) ( )
2 2
2
4
2 2 25 20 16 0
5
x x x x− + − = ⇔ − + =
Phương trình vô nghiệm
Phương trình hoành độ giao điểm của d
2
và ©:
( )
2
2
2
4
2 25 80 64 0
2 5
x
x x x
 

− + = ⇔ − + =
 ÷
 
8 8 4
;
5 5 5
x K
 
= ⇒
 ÷
 
Vậy
( )
1
2 2
;
5
R d K= ∆ =
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường tròn ©
tiếp xúc với trục hoành tại điểm Avaf khoảng cách từ tâm của © đến B bằng 5. (Đại học – khối B – 2005)
Giải
Giả sử © có tâm I(a;b) và bán kính là R.
© tiếp xúc với trục Ox tại A nên suy ra
2a
=
và
R b=
Ta có
( ) ( )
2 2

2
1
5 6 2 4 5 8 7 0
7
b
IB b b b
b
=

= ⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔

=

Với a=2; b=1 ta có phương trình đường tròn là
( ) ( )
2 2
2 1 1x y− + − =
Với a=2; b=7 ta có phương trình đường tròn là
( ) ( )
2 2
2 7 49x y− + − =
Vậy có 2 đương tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3: Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng x=5 và tiếp xúc với 2 đường
thẳng
1
:3 3 0d x y− + =
và
2
: 3 9 0d x y− + =
Giải

Gọi I(5;b) là tâm đường tròn cần tìm
Do đường tròn cần tìm tiếp xúc với 2 đường thẳng d
1
và d
2
nên ta có
( ) ( )
1 2
2
15 3 5 3 9
; ; 18 14 3
8
10 10
b
b b
d I d d I d b b
b
= −
− + − +

= ⇔ = ⇔ − = − ⇔

=

• Khi b=-2 ta có
40R =
, phương trình của đường tròn là
( ) ( )
2 2
5 2 40x y− + + =

• Khi b=8 ta có
10R =
, phương trình của đường tròn là
( ) ( )
2 2
5 8 10x y− + − =
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng
: 1 2 0d x y− + − =
và điểm A(-1;1). Viết phương
trình đường tròn © qua A, gốc tọa độ O và tiếp xúc với d.
Giải
Gọi M là trung điểm của OA. Khiđó
1 1
;
2 2
M
−
 
 ÷
 
Ta có
( )
1;1OA = −
uuur
là vectơ pháp tuyến của đường trung trực đoạn OA.
Phương trình đường trung trực của đoạn OA là
1 1
0 1 0
2 2
x y x y

   
− + + − = ⇔ − + − =
 ÷  ÷
   
Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực này nên tọa độ điểm
( )
; 1I a a +
Theo đề bài ta có
( ) ( )
2
2
0
1 1
; 1
1
2
a
a a
IA d I d a a
a
=
− + + −

= ⇔ + + = ⇔

= −

Khi a=0 thì bán kính của đường tròn © là R=1
Khi a=1 thì bán kính của đường tròn © là R=1
Vậy có 2 đường tròn cần tìm là

( )
2
2
1 1x y+ − =
và
( )
2
2
1 1x y+ + =
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 14
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Ví dụ 5: Lập phương
trình đường tròn đi qua A(4;2) và tiếp xúc với 2 đường thẳng
1
: 3 2 0d x y− − =
và
2
: 3 18 0d x y− + =
Giải
Giả sử
tâm ( ; )
( ) :
R
I a b
C
bk


=


phương trình
( ) ( ) ( )
2 2
2
:C x a y b R− + − =
Do A thuộc © nên
( ) ( )
2 2
2
4 2a b R− + − =
Vì © tiếp xúc với 2 đường thẳng
1
: 3 2 0d x y− − =
và
2
: 3 18 0d x y− + =
nên
( ) ( )
1 2
1, 3
3 2 3 18
; ; 3 2 3 18
29 23
;
10 10
5 5
a b
a b a b
d I d d I d a b a b
a b

= =

− − − +

= ⇔ = ⇔ − − = − + ⇔

= =

Khi
1, 3a b= =
bán kính
10R =
Khi
29 23
;
5 5
a b= =
bán kính
10R =
Vậy có 2 đường tròn cần tìm là
( ) ( )
2 2
1 3 10x y− + − =
và
2 2
29 23
10
5 5
x y
   

− + − =
 ÷  ÷
   
Ví dụ 6: Trong mặt
phẳng tọa độ cho đường tròn © có phương trình
2 2
12 4 36 10x y x y+ − − + =
. Viết phương trình của đường
tròn (T) biết (T) tiếp xúc với 2 trục tọa độ và tiếp xúc ngoài với ©.
Giải
Đường tròn © có tâm I(6;2) và bán kính R=2.
Vì đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên tâm J của nó phải nằm trên đường thẳng y=x (hoặc y=-
x). Do đoa ta xét hai khả năng sau:
• Nếu J thuộc đường
thẳng y=x . Giả sử J(a;a) thì
R a=
Vì đường tròn © tiếp xúc ngoài với đường tròn (T) nên ta có
( ) ( )
2 2
2 2
1 2
IJ IJ 2 6 2 2 2 16 40 4 4 (1)R R a a a a a a a a= + ⇔ = + ⇔ − + − = + ⇔ − + = + +
+ Nếu a<0 thì (1)
2 2 2
2 16 40 4 4 12 36 0a a a a a a⇔ − + = + − ⇔ − + =
phương trình vô
nghiệm
+ Nếu a>0 thì (1)
2 2 2
2

2 16 40 4 4 12 36 0
18
a
a a a a a a
a
=

⇔ − + = + − ⇔ − + = ⇔

=

• Nếu J thuộc đường
thẳng
y x= −
. Giả sử
( )
;J a a−
thì
R a=
Vì đường tròn © tiếp xúc ngoài với đường tròn (T) nên ta có
( ) ( )
2 2
1 2
IJ IJ 2 6 2 2 6 (2)R R a a a a a= + ⇔ = + ⇔ − + − − = + ⇔ =
Vậy có 3 đường tròn cần tìm là
( ) ( )
2 2
2 2 4x y− + − =
;
( ) ( )

2 2
18 18 24x y− + − =
và
( ) ( )
2 2
6 6 36x y− + + =
IV. BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP
TUYẾN VÀ CÁT TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Trong mục này ta xét các bài toán lập phương trình tiếp tuyến và cát tuyến của đường tròn ©
cho trước và thỏa mãn những điều kiện nào đó:
Phương pháp giải các bài toán này cũng dựa vào công thức tính khoảng cách từ tâm
I(a;b) của đường tròn
( ) ( ) ( )
2 2
2
:C x a y b R− + − =
đến đường thẳng
Ax 0By C+ + =
là
( )
2 2
;
Aa Bb C
d I
A B
+ +
∆ =
+
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 15
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG

Ngoài ra ta cũng caafn sử dụng đến các điều kiện sau:
1.
∆
là tiếp tuyến của ©
( )
;d I R⇔ ∆ =
2.
∆
cắt © tại 2 điểm phân biệt
( )
;d I R⇔ ∆ <
CÁC DẠNG BÀI TẬP
LOẠI 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tr.n C:
2 2
2 6 6 0x y x y+ + + + =
và
điểm M3; 1. Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến C. Viết phương tr.nh
đường thẳng T1T2 (Đại học – Khối B-Năm 2006)
Giải
Đường tr.n (C) có tâm I(1; 3) và bán kính R = 2.
2 5MI R= >
nên M nằm ngoài (C). Nếu T(xo; yo)
là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) thì
( ) ( )
. 0
T C T C
MT IT MT IT
 ∈  ∈

 
⇔
 
⊥ =
 
 
uuur uur uuur uur
Mà
( )
0 0 0 0
= (x + 3; y -1); 1; 3MT IT x y= − −
uuur uur
Do đó ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
2 2
0 0 0 0
0 0 0 0
2 6 6 0
2 6 6 0
2 3 0 (1)
x + 3 1 y -1 3 0
2 4 0
x y x y
x y x y
x y

x y
x y x y


+ + + + =
+ + + + =

⇔ ⇔ + − =
 
− + − =
+ + − =



Vậy, tọa độ các tiếp điểm T1 và T2 của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) đều thỏa m.n đẳng thức (1).
Do đó, phương tr.nh đường thẳng T1T2 là: 2x + y  = 0.
Ví dụ 2: (Bài toán cơ bản về phương trình tiếp tuyến của đường tròn) : Cho đường tròn
2 2
2 6 6 0x y x y+ − − + =
và điểm M(4;1). Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn © và đi qua M.
Giải
Đường tròn © có tâm I(1;3) và bán kính R=2.
Gọi d là tiếp tuyến cần tìm.
Ta có d đi qua điểm M(4;1) nên phương trình d có 2 dạng.
1.
1
: 4d x =
. Khi đó
( )
; 4 1 3d I d R= − = >

nên
1
: 4d x =
không phải là tiếp tuyến.
2.
( )
2
: 4 1 1 4 0d y k x kx y k= − + ⇔ − + − =
Vì d
2
là tiếp tuyến nên ta có
( )
2
2
2 2
0
3 1 4
; 2 5 12 0
12
1
5
k
k k
d I d R k k
k
k
=

− + −


= ⇔ = ⇔ + = ⇔
−

=
+

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu đề bài
1y =
và
12 5 53 0x y+ − =
Nhận xét: Ta có thể giải bài toán trên dưới dạng phương trình tổng quát của đường thẳng.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ©:
2 2
2 4 20 0x y x y+ + − − =
. Viết phương
trình tiếp tuyến của đường tròn © biết rằng nó vuông góc với đường thẳng
0x y+ =
Giải
Gọi d là tiếp tuyến cần tìm.
Vì d vuông góc với đường thẳng
0x y+ =
nên phương trình d có dạng
0x y m− + =
Đường tròn © có tâm I(-1;2) và bán kính R=5.
D là tiếp tuyến của © nên ta có
( )
2 2
5 2 3
1 2
; 5

1 1 5 2 3
m
m
d I d R
m

= +
− − +
= ⇔ = ⇔

+ = − +


Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm
5 2 3 0x y− + + =
và
5 2 3 0x y− − + =
LOẠI 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CÁT TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ©:
2 2
2 4 0x y x y+ + − =
và đường thẳng d:
1 0x y− + =
. Viết phương trình đường thẳng
∆
sao cho
∆
song song với d và cắt © tại 2 điểm M, N sao cho
độ dài MN=2.

NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 16
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Giải
Vì
∆
song song với d:
1 0x y
− + =
nên phương trình
∆
có dạng
0x y m
− + =
Kẻ IH vuông góc vơi MN ta có
1
1
2
HM HN MN
= = =
Đường tròn © có tâm I(-1;2) và bán kính
5R
=
Từ đó
( )
2 2
2 2
2 2 3
1 2
2 ; 2 2
1 1 2 2 3

m
m
IH IM HM d I
m

= +
− − +
= − = ⇔ ∆ = ⇔ = ⇔

+ =− +


Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm
2 2 3 0x y− + + =
và
2 2 3 0x y− − + =
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ©:
2 2
8 2 0x y x y+ − − =
và đoeẻm A(9;6). Viết
phương trình đường thẳng
∆
qua A và cắt © theo một dây cung có độ dài là
4 5
Giải
Giả sử phương trình đường thẳng
∆
cần tìm có dạng
Ax 0By C+ + =
Do A(9;6) thuộc

∆
nên ta có
9A 6 0 9 6B C C A B
+ + = ⇔ = − −
Phương trình
∆
có dạng
Ax 9 6 0By A B+ − − =
Kẻ IH vuông góc MN.
1
2 5
2
HM HN MN
= = =
Đường tròn © có tâm I(4;1) và bán kính
17R
=
Từ đó
( )
2 2
2 2
4 9 6
5 ; 5 5
A B A B
IH IM HM d I
A B
+ − −
= − = ⇔ ∆ = ⇔ =
+
2

2 2
2
4 10 4 0 2 5 2 0
1
2
A
A A
B
A AB B
A
B B
B

= −

 
⇔ + + = ⇔ + + = ⇔

 ÷
−
 

=


• Nếu
1
2
A
B

−
=
Chọn
2; 1 : 2 3 0B A x y= − = ⇒ ∆ − + =
• Nếu
2
A
B
= −
Chọn
1; 2 : 2 12 0B A x y= − = ⇒ ∆ − − =
Vậy có 2 đường thẳng cần tìm.
Ví dụ 3: Cho đường tròn
( ) ( )
2 2
4 3 4x y− + − =
và điểm M(5;2). Viết phương trình đường
thẳng d qua M và cắt © tại 2 điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.
Giải
Đường tròn © có tâm I(4;3) và bán kính R=2.
Ta thấy ngay được điểm M nằm trong đường tròn vì
( ) ( )
2 2
5 4 2 3 2 4− + − = <
Do MA=MB và IM vuông góc AB
Nên đường thẳng d cần tìm đi qua M(5;2) và nhận vectơ
( )
1; 1IM = −
uuur
làm vectơ pháp tuyến

Phương trình của đường thẳng d là
3 0x y− − =
V. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐIỂM NHỜ VÀO
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN.
Một trong những dạng hay gặp của các bài toán thuộc chuyên mục đường tròn là bài
toán xác định các điểm thỏa mãn yêu cầu nào đó.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C)
( )
2
2
1 1x y− + =
. Gọi I là tâm của © . xác
định điểm M thuộc © sao cho (C)
·
30
O
IMO =
(Đại học - KHỐI D – 2009)
Giải
cho đường tròn (C)
( )
2
2
1 1x y− + =
. Tâm I (1; 0); R = 1
ta có
·
30
O

IMO =
suy ra tam giác IOM cân tại I
·
30
O
MOI⇒ =
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 17
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Suy ra Om có hệ số góc
1
tan30
3
O
k = ± = ±
Suy ra phương trình OM là
1
3
y x= ±

Thay vào phương trình đường tròn © ta có
2
2
0( )
2 0
3
3
2
x loai
x
x x

x
=


− + = ⇔

=

Vậy
3 3
;
2 2
M
 
±
 ÷
 ÷
 
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tr.n (C)
2 2
2 2 1 0x y x y+ − − + =
và đường
thẳng d: x-y+3=0 T.m tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tr.n tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính
đường tr.n (C), tiếp xúc ngoài với đường tr.n (C). (Đại học –khối D- 2007)
Giải
Đường tròn ( C ) có tâm I (1; 1) , bán kính R = 1.
Vì M thuộc d nên M ( x; x + 3) .
Đường tròn (C
1
) có tâm là M và bán kính gấp 2 lần bán kính © tức R

1
=2R=2
Do © và (C
1
) tiếp xúc ngoài nên MI = R + R
1

2
1
MI R R 1 2 3 9MI MI= + ⇔ = + = ⇔ =
( ) ( )
2 2
0
2
0 0 0 0
0
1
1 3 1 9 2 0
2
x
x x x x
x
=

⇔ − + + − = ⇔ + − = ⇔

= −

Vậy, có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là: M
1

(1; 4 ) , M
2
( − 2; 1) .
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy cho
( ) ( )
2 2
1 2 9x y− + − =
và đường thẳng
:3 4 0d x y m− + =
.
Tìm m để trên d có duy nhất điểm P sao cho từ P cẽ 2 tiếp tuyến PA, PB của © và tam giác PAB là tam giác
đều. ( Đại hoc – Khối D – 2007)
Giải
(C) có tâm I(1;−2) và bán kính R = 3. Ta có: ΔPAB đều nên IP = 2IA = 2R = 6
Suy ra P thuộc đường tr.n (C') tâm I, bán kính R ' = 6.
Trên d có duy nhất một điểm P thỏa m.n yêu cầu bài toán khi và chỉ khi d tiếp xúc với (C') tại P
d (I;d) 6 m 19,m 41⇔ = ⇔ = = −
.
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn
( ) ( )
2 2
1 2 4x y− + − =
và đường thẳng
: 1 0d x y− − =
. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với © qua d. Tìm tạ độ giao điểm của © và
(C’).
Đáp án
( )
2

2
3 4x y− + =
,A(1;0) và
B(3;2).
Bài 2: Cho tam giác ABC có A(8;0), B(0;6), C(9;3). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC.
Đáp án
( ) ( )
2 2
4 3 25x y− + − =
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng
: 2 5 0d x y− − =
và 2 điểm A(1;2), B(4;1). Viết
phương trình đường tròn có tâm thuộc d và đi qua 2 điểm A, B.
Đáp án
( ) ( )
2 2
1 3 25x y− + − =
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng
: 4 3 43 0d x y+ − =
và điểm A(7;5) trên d.
Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với d tại A và có tâm thuộc đường thẳng
: 2 5 4 0x y∆ − − =
Đáp án:
( ) ( )
2 2
3 2 25x y− + − =
Bài 5: Trong mặt phẳng cho 2 đường thẳng
1 2
:3 4 47 0 ; : 4 3 45 0d x y d x y+ − = + − =

. Lập
phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng
:5 3 22 0d x y+ − =
và tiếp xúc với d
1
và d
2
.
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 18
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Đáp án
2 2
61 153 400
7 7 49
x y
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
Bài 6: Cho tam giác ABC với A(2;2) , B(4;5), C(4;1).
1. Viết phương trình đường tròn ngoại tiêp
tam giác ABC.
2. iết phương trình đường thẳng d đi qua
điểm K(5;2) cắt đường tròn ở câu 1 tại 2 điểm M, N sao cho K là trung điểm của MN.
Đáp án:
( ) ( )
2 2
4 3 4x y− + − =
;
3 0x y− − =

Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
: 1 0d x y− + =
và đường tròn ©:
2 2
2 4 0x y x y+ + − =
.
Tìm điểm M thuộc d sao cho qua M kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với © sao cho
·
60
O
AMB =
Đáp án: M(-3;-2) và M(3;4)
Bài 8: Cho 2 đường tròn
( )
2 2
1
: 10 0C x y x+ − =
và
( )
2 2
2
: 4 2 20 0C x y x y+ + − − =
. Viết phương
trình đường tròn đi qua các giao điểm của 2 đường tròn trên và có tâm nằm trên đường thẳng
6 6 0x y+ − =
Đáp án:
( ) ( )
2 2
12 1 125x y− + + =
GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ TRONG CÁC ĐỀ THI

ĐẠI HỌC GẦN ĐÂY
KHỐI A -2002: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, phương trình
đường thẳng BC là
3 3 0x y− − =
, các đỉnh A và C thuộc trục hoành và bán kính của đường tròn nội tiếp
tam giác ABC bằng 2.Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Giải
Ta c. BC giao Ox = B(1;0).
Đặt x
A
=a ta có A(a;0) và x
C
=a ta có
( )
3 3 ; 3 3
C
y a C a a= − ⇒ −
Từ công thức tọa độ trong tâm ta có
( )
3 1
2 1
;
3 3
a
a
G
 
−
+
 ÷

 ÷
 
Ta có AB =| a −1|,
3 1AC a= −
|, BC = 2 | a −1|.
Do đó
( )
2
1 3
. 1
2 2
ABC
S AB AC a
∆
= = −
Ta có
( )
2
2 3 3
13 1
2
2 1 2 3 2
3 1 3 1 3 1
2 3 1
a
aa
S
r a
AB AC BC
a a

a

= +
−−
= = = = ⇔ − = + ⇔

+ +
− + − +
= − −


Vậy có 2 điểm G thỏa mãn yêu cầu đề bài
7 4 3 6 2 3
;
3 3
G
 
+ +
 ÷
 ÷
 
và
1 4 3 6 2 3
;
3 3
G
 
− − − −
 ÷
 ÷

 
KHỐI D -2004: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(-1; 0);B(4;
0);C(0;m) với m khác 0 Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại
G.
Giải
Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ
1;
3
m
G
 
 ÷
 
Tam giác GAB vuông tại G
. 0GA GB⇔ =
uuur uuur
Mà
2; ; 3;
3 3
m m
GA GB
   
− − −
 ÷  ÷
   
uuur uuur
Khi đó
2
. 0 6 0 3 6
9

m
GA GB m= ⇔ − + = ⇔ = ±
uuur uuur
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 19
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Vậy
3 6m = ±
CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
KHỐI A- 2011: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thằng và đường tròn
. Gọi I là tâm của ( C ), M là điểm thuộc . Qua M kẻ các tiếp tuyến MA,
MB đến ( C ) (A,B là tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích là 10.
Giải
Đường tròn (C) có tâm I(2; 1), bán kính IA = 5.
Tứ giác MAIB có
· ·
90MAI MBI= =
và MA = MB
S
MAIB
= IA.MA
2 5MA⇒ =
2 2
5IM IA MA⇒ = + =
M thuộc Δ, có tọa độ dạng M(t; – t – 2)
IM = 5
⇔
(t – 2)
2
+ (t + 3)
2

= 25
⇔
2t
2
+ 2t – 12 = 0
⇔
t = 2 hoặc t = – 3
Vậy, M(2; – 4) hoặc M(– 3; 1)
KHỐI B – 2011: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng Δ: x – y – 4 = 0 và d: 2x – y – 2
= 0. T.m tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng Δ tại điểm M thỏa
m.n OM.ON = 8.
Giải
N thuộc d, M thuộc Δ có tọa độ dạng: N(a; 2a – 2), M(b; b – 4).
O, M, N cùng thuộc một đường thẳng, khi và chỉ khi:
a(b – 4) = (2a – 2)b
⇔
b(2 – a) = 4a
4
2
a
b
a
⇔ =
−
OM.ON = 8
2 2 2
(5a - 8a + 4) = 4(a - 2) .⇔
⇔
(5a
2

– 6a)(5a
2
– 10a + 8) = 0
⇔
5a
2
– 6a = 0
0
6
5
a
a
=


⇔

=


Vậy, N(0; – 2) hoặc
6 2
;
5 5
N
 
 ÷
 
KHỐI D - 2011: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(– 4; 1), trọng tâm G(1;
1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương tr.nh x – y – 1 = 0. T.m tọa độ các đỉnh A và C.

Giải
Gọi D(x; y) là trung điểm AC, ta có
3BD GD=
uuur uuur
4 3( 1)
7
;1
1 3( 1)
2
x x
D
y y
+ = −

 
⇔ ⇔

 ÷
− = −
 

Gọi E(x; y) là điểm đối xứng của B qua phân giác trong d: x – y – 1 = 0 của góc A.
Ta có EB vuông góc với d và trung điểm I của EB thuộc d nên tọa độ E là nghiệm của hệ:
( )
( )
1 4 1( 1) 0
3 0
2; 5
4 1
7 0

1 0
2 2
x y
x y
E
x y
x y
 + + − =
+ + =


⇔ ⇔ ⇔ −
 
− +
− − =
− − =



Đường thẳng AC đi qua D và E, có phương tr.nh: 4x – y – 13 = 0.
Tọa độ A(x; y) thỏa m.n hệ
( )
1 0
4;3
4 13 0
x y
A
x y
− − =


⇔ ⇔

− − =


( )
3; 1C⇒ −
KHỐI A - 2010: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d
1

3 0x y+ =
và d
2
:
3 0x y− =
.
Gọi (T) là đường tr.n tiếp xúc với d
1
tại A, cắt d
2
tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết
phương tr.nh của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
và điểm A có hoành độ dương. 0
Giải
d1 và d2 cắt nhau tại O
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 20
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Ta có

( )
( ) ( )
( )
1 2
2 2
2
2
3. 3 1.1
1
os ;
2
3 1 . 3 1
c d d
−
= =
+ + −
và tam giácOAB vuông tại B, do đó
·
·
60 60
O O
AOB BAC= ⇒ =
Ta có:
( ) ( )
2
1 3 3 3
. .sin 60 . .sin 60 . .tan 60 .
2 4 8
o o o
ABC

S AB AC OA OA OA
∆
= = =
Mà
2
3 4
2 3
ABC
S OA
∆
= ⇒ =
Tọa độ A(x; y) với x > 0, thỏa m.n hệ:
2 2
3 0
1
; 1
4
3
3
x y
A
x y

+ =
 

⇒ −

 ÷
+ =

 


Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với d2, suy ra AC có phương tr.nh:
3 3 4 0.x y− − =
Tọa độ C(x; y) thỏa m.n hệ:
3 0
3 3 4 0.
x y
x y

− =


− − =


2
; 2
3
C
−
 
⇒ −
 ÷
 
Đường tr.n (T) có đường kính AC, suy ra tâm của (T) là
1 3
;
2

2 3
I
− −
 
 ÷
 
và bán kính IA = 1
Phương tr.nh (T):
2
2
1 3
1
2
2 3
x y
 
 
+ + + =
 ÷
 ÷
 
 
KHÔI B – 2010: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác Abc vuông tại A có đỉnh C(-
4;1), phân giác trong góc A có phương trình là
: 5 0d x y+ − =
. Viết phương trình đường thẳng Bc biết diện
tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
Giải
Gọi C’ đối xứng (C) qua (d)
Suy ra CC’ qua C và vuông góc với đường thẳng

: 5 0d x y+ − =
( )
' : 5 0CC x y⇒ − + =
H là giao điểm của CC’ và d nên tọa độ H thỏa
( )
5 0 0
0;5
5 5
x y x
H
x y y
− + = =
 
⇔ ⇒
 
+ = =
 
H là trung điểm CC’
( )
' 4;9C⇒
ACC' vuông cân tại A
'
8
2
CC
AC⇒ = =
Mà
( )
: 5 0 ;5A d x y A a a∈ + − = ⇒ −
với a>0

Ta có
( ) ( )
2 2
2 2
4
64 4 4 64 16
4( )
a
AC a a a
a loai
=

= ⇔ + + − = ⇔ = ⇔

= −

( )
4;1A⇒
Phương trình của AC’: x=4
( )
4;B b⇒
Theo giả thiết
( )
( )
0; 1
24
8;0
ABC
AB b
S

AC
∆

= −

=

= −


uuur
uuur
( )
7
1
8 1 24 1 6
5
2
b
b b
b
=

⇔ − − = ⇔ − = ⇔

=

*b=7
( )
4;7 :3 4 16 0B BC x y⇒ ⇒ − + =

*b=5
( )
4; 5B⇒ −
loại vì B,C nằm cùng phía với d.
KHỐI D - 2010: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm là H(3;-
1). Tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0). Xác định tọa độ đỉnh C biết C có hoành độ dương.
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 21
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Giải
Đường tr.n ngoại tiếp tam giác ABC có phương tr.nh:
( )
2
2
2 74x y+ + =
Phương trình AH là x=3.
và BC vuông AH, suy ra phương tr.nh BC có dạng là y = a (a ≠ − 7, do BC không đi qua A).
Do đó hoành độ B, C thỏa m.n phương tr.nh:
( )
2
2 2 2
2 74 4 70 0x a x a x+ + = ⇔ + + + =
(1)
Phương tr.nh (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có ít nhất
một nghiệm dương khi và chỉ khi:
70a <
Do C có hoành độ dương, nên
(
)
2
2 74 ;B a a− − −

và
(
)
2
2 74 ;C a a− + −
Do Ac vuông góc BH nên
(
)
(
)
( ) ( )
2 2
74 5 74 5 7 1 0a a a a− − − + + + − − =
2
7( )
4 21 0
3
a loai
a a
a
= −

⇔ + − =

=

Suy ra
( )
2 65;3C − −
cho điểm A(0;2) và

∆
là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
∆
KHỐI A - 2009: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6, 2) là giao điểm
của 2 đường chéo Ac và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của canh Cd thuộc
đường thẳng
∆
: x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
Giải
Ta có I (6; 2); M (1; 5)
E ∈∆
: x + y – 5 = 0
⇒
E(m; 5 – m);
Gọi N là trung điểm của đoạn AB.
Khi đó I là trung điểm của NE
2
2
I N E
I N E
x x x
y y y
= +

⇒

= +

⇒
N (12 – m; m – 1)

( )
11 – m; m – 6MN⇒ =
uuuur
( ) ( )
m – 6; 5 – m – 2 m – 6; 3 – mIE⇒ = =
uur

Ta có MN vuông góc với IE nên
. 0MN IE =
uuuur uur
⇔
(11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = 0
( ) ( )
6 14 2 0m m⇔ − − =
⇔
m – 6 = 0 hay 14 – 2m = 0
⇔
m = 6 hay m = 7
* Với m = 6
( )
5;0MN⇒ =
uuuur
nên pt AB là y = 5
*m = 7
( )
4;1MN⇒ =
uuuur
nên pt AB x – 1 – 4(y – 5) = 0
⇔
x – 4y + 19 = 0.

Vậy đường thẳng AB có 2 phương trình là y = 5 và x – 4y + 19 = 0.
KHỐI B – 2009: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tr.n (C)
( )
2
2
4
2
5
x y− + =
và hai
đường thẳng :
1
∆
x – y = 0,
2
∆
: x – 7y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tr.n
( )
1
C

biết đường tròn
( )
1
C
tiếp xúc
1
∆
,
2

∆
và tâm K thuộc đường tròn ©.
Giải
Phương tr.nh 2 phân giác (
1
∆
,
2
∆
):
7
2 5 2
x y x y− −
= ±
( ) ( )
5 7x y x y⇔ − = ± −

( ) ( )
( ) ( )
5 7
5 7
x y x y
x y x y
− = −
⇔

− = − −

1
2

2 ( )
1
( )
2
y x d
y x d
= −


⇔

=

Phương trình hoành độ giao điểm của d
1
và ©:
( ) ( )
2 2
2
4
2 2 25 20 16 0
5
x x x x− + − = ⇔ − + =
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 22
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Phương trình vô nghiệm
Phương trình hoành độ giao điểm của d
2
và ©:
( )

2
2
2
4
2 25 80 64 0
2 5
x
x x x
 
− + = ⇔ − + =
 ÷
 
8 8 4
;
5 5 5
x K
 
= ⇒
 ÷
 
Vậy
( )
1
2 2
;
5
R d K= ∆ =
KHỐI D – 2009: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của
cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là
7x – 2y – 3 0=

và
6x – y – 4 0=
.Viết phương trình đường thẳng AC.
GIẢI
Gọi đường cao AH : 6x – y – 4 = 0 và đường trung tuyến AD : 7x – 2y – 3 = 0
Ta có
( )
1;2A AH AD A= ∩ =
M là trung điểm AB
( )
B 3; 2⇒ −

BC qua B và vuông góc với AH
⇒
BC : 1(x – 3) + 6(y + 2) = 0
⇔
x + 6y + 9 = 0
3
0;
2
D BC AD D
−
 
= ∩ ⇒
 ÷
 
D là trung điểm BC
⇒
C (- 3; - 1)
AC qua A (1; 2) có VTCP

( )
4; 3AC = − −
uuur
nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = 0
⇔
3x – 4y + 5 = 0
CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
KHỐI A -2009: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) :
2 2
4 4 6 0x y x y+ + + + =
và đường
thẳng
: 2 3 0x my m∆ + − + =
với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để
∆
cẳt (C) tại
2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích của
∆
IAB lớn nhất
Giải
đường tròn (C) :
2 2
4 4 6 0x y x y+ + + + =
có tâm là I (-2; -2); bán kính
2R =
Giả sử
∆
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Gọi IH là đường cao của
∆
IAB, ta có

. .sin sin
IAB
S IA IB AIB AIB
∆
= =
Do đó diện tích tam giác IAB lớn nhất khi và chỉ khi
·
sin 1 90AIB AIB= ⇔ = ° ⇔
tam giác IAB
vuông tại I
1
2
IA
IH⇔ = =
(thỏa IH<R)
2
1 4
1
1
m
m
−
⇔ =
+
2 2
1 8 16 1m m m⇔ − + = +
2
0
15 8 0
8

5
m
m m
m
=


⇔ − = ⇔

=

KHỐI B – 2009: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(-1;4)
và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng
∆
: x – y – 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B và C ,biết diện tích tam
giác ABC bằng 18.
Giải
Ta có
1 4 4
9
2 2
AH
− − −
= =
Mà
1 36
. 18 4 2
2
ABC
S AH BC BC

AH
∆
= = ⇒ = =
Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) = 0
Tọa độ điểm H là nghiệm hệ
4
7 1
;
3
2 2
x y
H
x y
− =

−
 
⇒

 ÷
+ =
 

NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 23
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Tọa độ điểm
( )
, 4B m m −
2 2 2
2

2 2
7 1 7
8 4 8 4
4 2 2 2
BC
HB HB m m m
     
⇒ = ⇔ = ⇔ − + − + = ⇔ − =
 ÷  ÷  ÷
     
11
2
3
2
m
m

=


⇔


=


Vậy
11 3 3 5
; ; ;
2 2 2 2

B C
−
   
 ÷  ÷
   
hoặc
11 3 3 5
; ; ;
2 2 2 2
C B
−
   
 ÷  ÷
   
KHỐI D – 2009: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C)
( )
2
2
1 1x y− + =
. Gọi I là tâm của
© . xác định điểm M thuộc © sao cho (C)
·
30
O
IMO =
Giải
cho đường tròn (C)
( )
2
2

1 1x y− + =
. Tâm I (1; 0); R = 1
ta có
·
30
O
IMO =
suy ra tam giác IOM cân tại I
·
30
O
MOI⇒ =
Suy ra Om có hệ số góc
1
tan30
3
O
k = ± = ±
Suy ra phương trình OM là
1
3
y x= ±

Thay vào phương trình đường tròn © ta có
2
2
0( )
2 0
3
3

2
x loai
x
x x
x
=


− + = ⇔

=

Vậy
3 3
;
2 2
M
 
±
 ÷
 ÷
 
KHỐI A – 2010: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A và có đỉnh
A(6;6).đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh AB và AC có phương trình x + y – 4 = 0. Tìm tọa độ các
đỉnh B và C , biết E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho
Giải
Gọi H là trung điểm của BC, D là trung điểm AH, ta có AH vuông góc BC
Do đó tọa độ D(x; y) thỏa m.n hệ:
( ) ( )
4 0

2;2 2; 2
0
x y
D H
x y
+ − =

⇒ ⇒ − −

− =

Đường thẳng BC đi qua H và song song d, suy ra BC có phương
tr.nh: x + y + 4 = 0.
Điểm B, C thuộc đường thẳng BC: x + y + 4 = 0 và B, C đối xứng nhau qua H(− 2; − 2), do đó
tọa độ B, C có dạng: B(t; − 4 − t), C(− 4 − t; t).
Điểm E(1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác ABC, suy ra:
. 0AB CE =
uuur uuur
( 6)(5 ) ( 10 )( 3 ) 0t t t t⇔ − + + − − − − =
2
0
2 12 0
6
t
t t
t
=

⇔ + = ⇔


= −

Ta được: B(0; − 4), C(− 4; 0) hoặc B(− 6; 2), C(2; − 6).
KHỐI D - 2010 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và Δ là đường thẳng đi qua O. Gọi
H là h.nh chiếu vuông góc của A trên Δ. Viết phương tr.nh đường thẳng Δ, biết khoảng cách từ H đến trục
hoành bằng AH.
Giải
Gọi tọa độ H là (a; b), ta có:
( )
2
2 2
2AH a b= + −
và khoảng cáchtừ H đến trục hoành là | b |,
suy ra:
( )
2
2 2
2b a b= + −
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 24
BÀI TOÁN THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG – ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG
Do H thuộc đường tr.n đường kính OA, nên
( )
2
2
1 1a b+ − =
Từ đó, ta có:
2
2 2
4 4 0
2 0

a b
a b b

− + =

+ − =

Suy ra:
(
)
2 5 2; 5 1H − −
hoặc
(
)
2 5 2; 5 1H − − −
Vậy phương tr.nh đường thẳng Δ là
( )
5 1 2 5 2 0x y− − − =
hoặc
( )
(
)
5 1 2 5 2 0x y− + − =
KHỐI B – 2011:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh
1
;1
2
B
 
 ÷

 
.Đường tr.n nội
tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Cho
( )
3;1D
và đường
thẳng EF có phương tr.nh y – 3 = 0. T.m tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương.
Giải
5
;0
2
BD
 
=
 ÷
 
uuur
⇒
BD // EF
⇒
tam giác ABC cân tại A;
⇒
đường thẳng AD vuông góc với EF, có phương tr.nh: x – 3 = 0.
F có tọa độ dạng F(t; 3), ta có: BF = BD
2
2
1 25
2
2 4
t

 
⇔ − + =
 ÷
 
⇔
t = – 1 hoặc t = 2.
• t = – 1
⇒
F(– 1; 3); suy ra đường thẳng BF có phương tr.nh: 4x + 3y – 5 = 0.
A là giao điểm của AD và BF
7
3;
3
A
−
 
⇒
 ÷
 
không thỏa m.n yêu cầu (A có tung độ dương).
• t = 2
⇒
F(2; 3); suy ra phương tr.nh BF: 4x – 3y + 1 = 0.
A là giao điểm của AD và BF
13
3;
3
A
 
⇒

 ÷
 
thỏa mãn yêu cầu.
Vậy
13
3;
3
A
 
 ÷
 
KHỐI D – 2011: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường tr.n (C): x
2
+ y
2
– 2x + 4y
– 5 = 0. Viết phương tr.nh đường thẳng Δ cắt (C) tại hai điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại
A.
Giải
Đường tr.n (C) có tâm I(1; – 2), bán kính bằng
10R =
Ta có: IM = IN và AM = AN
⇒
AI vuông góc MN; suy ra phương tr.nh Δ có dạng: y = m.
Hoành độ M, N là nghiệm phương tr.nh
x
2
– 2x + m
2
+ 4m – 5 = 0 (1).

(1) có hai nghiệm phân biệt x
1
và x
2
, khi và chỉ khi:
m
2
+ 4m – 6 < 0 (*); khi đó ta có: M(x
1
; m) và N(x
2
; m).
AM vuông góc AN

( )
2
1 2
. 0 ( – 1) – 1 0 AM AN x x m⇔ = ⇔ + =
uuuur uuur
⇔
x
1
x
2
– (x
1
+ x
2
) + m
2

+ 1 = 0.
Áp dụng định l. Viét đối với (1), suy ra: 2m
2
+ 4m – 6 = 0
⇔
m = 1 hoặc m = – 3, thỏa m.n (*).
Vậy, phương tr.nh Δ: y = 1 hoặc y = – 3.
MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài 1: Trong mp Oxy lập phương trình tổng quát của đường thẳng biết đường thẳng đi qua điểm
M(1; 3) và chắn trên các trục tọa độ những đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
Giải
Phương trình đường thẳng đi qua M(1;3) cắt tia Ox tại A(a;0),cắt tia Oy tại B(0;b), a,b>0 là:
1 3
1
a b
⇒ + =
NGUYỄN THỊ ÁNH HỒNG Trang 25