Các bài toán về phép đếm

Bài 3. Các bài toán về phép ñếm – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP ðẾM

Bài 1: Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số và thõa
mãn ñiều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và tổng của 3 chữ số ñầu kém tổng của 3
chữ số sau là 1 ñơn vị?
Giải
Giả sử số có 6 chữ số là:
1 2 3 4 5 6
=
a a a a a a AB

Trong ñó:
6
1 2 3
1
4 5 6
21
10
11
1
=

= + +
+ = =
=




⇒ ⇒
  
= + + =



− = −

∑
k
A a a a
A B k
A
B a a a B
A B

Xét các khả năng làm xuất hiện bộ 3 số có tổng là 10 thì có:

1 3 6 1 4 5 2 3 5
= + + = + + = + +
A

Với mỗi bộ 3 số ta có: 3! Cách chọn A và 3! Cách chọn B tương ứng
Khi ấy có : 3!.3!=36 cách.
Vậy có tất cả: 3.36=108 (số)
Bài 2: Từ 9 số 0,1,2,…,8 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn mỗi số gồm 7 chữ số
khác nhau.
Giải

Ta có 2 trường hợp sau:
• TH1:
1 2 3 4 5 6
0
a a a a a a

Như vậy 6 vị trí còn lại ñược chọn (có thứ tự) từ 8 số kia ( khác 0)
Có:
6
8
20160
=A

• TH2:
1 2 3 4 5 6 7
a a a a a a a
với
{
}
7
2;4;6;8
∈a
Vậy có 4 cách chọn a
7
Và 6 vị trí còn lại ñược chọn (có thứ tự) từ 8 số kia nhưng loại ñi những số ñứng ñầu là
số 0.
Vậy có:
6 5
8 7
4( ) 70560

− =A A



Bài 3. Các bài toán về phép ñếm – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải
Page 2 of 5
Vậy có tất cả: 20160+70560=90720 (số)
Bài 3: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng ñỏ ( các bông hồng này xem
như ñôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông:
a) Có mấy cách chọn bó hoa trong ñó có ñúng 1 bông ñỏ.
b) Có mấy cách chọn bó hoa trong ñó có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất 3 bông ñỏ?
Giải:
a) Có 3 khả năng xảy ra là:
(
)
( )
( )
* 1 ;3 ;3
* 1 ; 2 ; 4
* 1 ;1 ;5





D T V
D T V
D T V

Vậy có tất cả:

1 3 3 1 2 4 1 1 5
4 3 5 4 3 5 4 3 5
. . . . . . 112
+ + =C C C C C C C C C
b) Cũng có 3 khả năng là:
(
)
( )
( )
* 3 ;3 ;1
* 3 ; 4
* 4 ;3





V D T
V D
V D

Vậy có tất cả:
3 3 1 3 4 4 3
4 5 3 5 4 5 4
. . . . 150
+ + =C C C C C C C
Bài 4: Có 12 giống cây 3 loại: Xoài, mít, ổi .Trong ñó có 6 xoài, 4 mít, 2 ổi. Chọn ra 6 giống
ñể trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ñể số cậy mít nhiều hơn số cây ổi?
Giải:
Có 3 trường hợp lien quan ñến việc chịn ra cây ổi:

• TH1: ( Không có ổi)
Vì: 6=4+2 nên chỉ có 4 mít và 2 xoài. Vậy có:
4 2
4 6
. 15
=
C C
• TH2: ( Có 1 ổi).
Vì: 5=4+1=3+2 nên có 3 mít và 1 xoài, hay 3 mít và 2 xoài.
Vậy có:
1 4 1 1 3 2
2 4 6 2 4 6
. . . 132
+ =C C C C C C

• TH3: (Có 2 ổi).
Vì: 4=3+1 nên chỉ có 3 mít và 1 xoài. Vậy có:
2 3 1
2 4 6
. . 24
=
C C C

Vậy có tất cả: 15+132+24=171 (cách)




Bài 3. Các bài toán về phép ñếm – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải
Page 3 of 5

Bài 5: Một ñội văn nghệ có 15 người gồm: 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập 1 ñội
văn nghệ gồm 8 người, sao cho có ít nhất 3 nữ?
Giải:
Số cách chọn ngẫu nhiên 8 người là:
8
15
C

Xét 3 trường hợp:
• Không có nữ: Có
8
10
C

• Có 1 nữ: Có
1 7
5 10
.
C C

• Có 2 nữ: Có
2 6
5 10
.
C C

Vậy có tất cả:
(
)
8 8 1 7 2 6

15 10 5 10 5 10
. . 3690
− + + =C C C C C C

Bài 6: Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9.
Giải:

6
1 2 3 4 5 6
1
9 9
=
 
⇔
 
 
∑
⋮ ⋮
k
k
a a a a a a a

Chúng là: 100008;100017;100028;…;999999
Như vậy ta thấy các chữ số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 lập thành 1 cấp số cộng:

1
100017
999999 ( 1) 999999 18( 1) 50000
18
=



= ⇒ = − ⇔ = − ⇔ =


=

n n
u
u u n d n n
d

Vậy có 50000 số thõa mãn.
Bài 7: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số. Sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số lẻ.
Giải:
Vì : Lẻ= chẵn + lẻ nên:
Khi xét số có 5 chữ số:
1 2 3 4 5
a a a a a
ta có 2 khả năng:
• Nếu
1 2 3 4
+ + +
a a a a
chẵn thì
{
}
5
1;3;5;7;9
=a

• Nếu
1 2 3 4
+ + +
a a a a
lẻ thì
{
}
5
0;2;4;6;8
=a

Mặt khác: Số các chữ số có 4 chữ số
1 2 3 4
a a a a
là:
3
9.10.10.10 9.10
=



Bài 3. Các bài toán về phép ñếm – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải
Page 4 of 5

Mà mỗi số ñó sinh ra 5 số có 5 chữ số.
Vậy có tất cả là:
3
5.9.10 45000
=

(Số)
Bài 8: Một tổ học sinh có 20 em, trong ñó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp, 5
em chỉ biết tiếng ðức. Cần lập 1 nhóm ñi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng
Pháp và 2 em biết tiếng ðức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm?
Giải:
ðể lập nhóm ta tiến hành 3 bước:
• Chọn 3 em biết tiếng Anh từ 8 em: Có
3
8
C
cách
• Chọn 4 em biết tiếng Pháp từ 7 em: Có
4
7
C
cách
• Chọn 2 em biết tiếng ðức từ 5 em: Có
2
5
C
cách
Vậy có tất cả:
3 4 2
8 7 5
. . 19600
=C C C
( Cách)
Bài 9: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau, người ta muốn chọn từ ñó ra 3 tem
thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy vào 3 bì thư ñã chọn ( Mỗi bì thư chỉ dán 1 tem). Có bao
nhiêu cách làm như vậy?

Giải:
Ta có:
• Số cách chọn tem thư là:
3
5
C

• Số cách chọn bì thư là:
3
6
C

• 3! Cách dán tem.
Vậy số cách làm là:
3 3
5 6
. .3! 1200
=C C

Bài 10: Có nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong ñó có 2 chữ số kề nhau phải khác nhau?
Giải:
ðặt:
{
}
0;1;2 ;9
=E
và số có 5 chữ số là:
1 2 3 4 5
1
; 1;5

0
α

=


∈ =


≠


i
a a a a a
a E i
a

Ta có: a
1
ñượ
c ch
ọ
n t
ừ
t
ậ
p E\{0} => Có 9 cách.


Bài 3. Các bài toán về phép ñếm – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải

Page 5 of 5
a
2
ñượ
c ch
ọ
n t
ừ
t
ậ
p E\{ a
1
} => Có 9 cách.
a
3
ñượ
c ch
ọ
n t
ừ
t
ậ
p E\{ a
2
} => Có 9 cách.
a
4
ñượ
c ch
ọ

n t
ừ
t
ậ
p E\{ a
3
} => Có 9 cách.
A
5
ñượ
c ch
ọ
n t
ừ
t
ậ
p E\{ a
4
} => Có 9 cách.
V
ậ
y s
ố
các s
ố
thõa mãn là:
9.9.9.9.9=59049

………………….Hết…………………

Nguồn:
Hocmai.vn