Các giới hạn hàm lượng giác và giới hạn khác

Bài 2: Giới hạn dạn 0/0 với hàm lượng giác và các giới hạn khác - Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI GIỚI HẠN DẠNG 0/0 VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ
CÁC GIỚI HẠN KHÁC
Tính các giới hạn sau ñây.

( )
2
x 2
t 0 t 0
t 0 t 0 t 0
x 0
x 0
4 x
1 Bµi1: lim
x
cos
4
t(t 4) t(t 4)
§ Æt : t x 2 x t 2 I lim lim
t
t 1
sin
cos
4
4 2
t(t 4) t(t 4) (t 4) 16
lim lim lim
t t
sin . .

t
4 4 4
.
t
4
4
sin sin sinx
2 Bµi 2 : lim
x
sin sin sinx
lim
sin si
→
→ →
→ → →
→
→
−
−
π
+ +
= − ⇒ = + ⇒ = = −
π
π
 
+
 
 
+ + +
= − = − = − = −

π π π
π
π
π
−
=
(
)
( )
( ) ( )
2
x 0
2 2 2
x 0 x 0 x 0
2
2
2
2
x 0 x 0 x 0
sin sinx sinx
. . 1
nx sin x x
1 cos x cos2x
3 Bµi 3 : lim
x
cos x 1 cos 2x
1 cosx cos x cosx cos 2x 1 cosx
lim lim lim
x x x
x

2sin
cos x 1 cos 2x
1 2 cosx.sin x
2
lim lim lim
2
x
x 1 cos2x 1 cos 2x x
4.
2
→
→ → →
→ → →
 
=
 
 
−
−
−
− + − −
= = +
−
= + = +
+ +
 
 
 
2
1 3

1
2 2
= + =


( )
2
x 0
2
x 0
2010
2 2
x 0 x 0
2
2
n 1 2 2010
2
2
2
1 cosx cos 2x cos2010x
4 Bµi 4 : lim
x
1 cosx cos x cos x cos 2x cosx cos 2x cos 2010x
lim
x
cos x. 1 cos 2x
1 cosx
lim lim I
x x
nx

2 sin
1 cos nx n 1
2
XÐt I I I I I
x 2
4 nx
.
n 2
→
→
→ →
−
−
− + − + +
=
−
−
= + + +
−
= = = ⇒ = + + + =
 
 
 
(
)
2 2 2
1 2 3 2010
2
+ + + +

2010(2010 1)(2.2010 1)
12
+ +
=


Bài 2: Giới hạn dạn 0/0 với hàm lượng giác và các giới hạn khác - Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Page 2 of 3

(
)
( ) ( )
( ) ( )
x
2
x 0 x 0
x 0 t 0 x 0
ln sin x cos x
5 Bµi 5: lim
x
ln sin x cos x ln sin x cos x
sin 2x
lim lim .
2x sin 2x 2x
ln sin x cos x ln 1 t
sin 2x
Mµ : lim lim 1 Víi t sin 2x vµ lim 1
sin 2x t 2x
I 1.1 1

→∞
→ →
→ → →
+
−
+ +
= =
+ +
= = = =
⇒ = =


cosx cos3x
2
x 0
cosx cos3x
2 2
x 0
cosx cos3x cosx cos3x
2 2
x 0 x 0
cosx cos3x
2 2
x 0
e cos2x
6 Bµi 6 : lim
x
e 1 1 cos2x
lim
x x

e 1 e 1 cosx cos3x
*)Ta c ã : lim lim .
x cos x cos3x x
e 1 1 cos 3x 1 cos x
lim
cos x cos3x x x
−
→
−
→
− −
→ →
−
→
−
−
 
− −
= +
 
 
 
− − −
=
 
−
 
− − −
 
= −


−
 
cosx cos3x t
x 0 t 0
2 2
2 2
x 0
2
x 0
x
x
x
x
e 1 e 1
. Do lim lim 1
cos x cos3x t
1 cos3x 1 cos x 3 1
lim 4
x x 2 2
1 cos2x
*)MÆt kh¸c : lim 2 I 4 2 6
x
x 3
7 Bµi 7 : lim
x 1
2 2 1
lim 1 . § Æt : x 2t 1;x t
x 1 x 1 t
−

→ →
→
→
→+∞
→+∞
− −
= =

−
− −
 
− = − =
 
 
−
= ⇒ = + =
+
 
−
 
+
 
 
= + = ⇒ = − → +∞ ⇒ → +∞
 
+ +
 
⇒
2t 1 2t 1
2

t t t
1 1 1
I lim 1 lim 1 . lim 1 e
t t t
− −
→+∞ →+∞ →+∞
     
= + = + + =
     
     


(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
(
)
3
3 2 2
x
3

3 2 2
x
2
3
3 2
2
x x
3
3 2 3 2 2
3
2
x
3
3
2
x x x
2
2
8 Bµi 8 : lim x 3x x x 1
lim x 3x x x x 1 x A B
3x
*)A lim x 3x x lim
x 3x x x 3x x
3
lim 1
3 3
1 1 1
x x
1
1

x 1
x
B lim x x 1 x lim lim
1 1
x x 1 x
1 1
x x
→+∞
→+∞
→+∞ →+∞
→+∞
→+∞ →+∞ →+∞
− + − − +
= + − − − + − = −
= + − =
+ + + +
= =
 
+ + + +
 
 
− +
− +
= − + − = =
− + +
− + +
1
2
= −
 

 
 
 

Bài 2: Giới hạn dạn 0/0 với hàm lượng giác và các giới hạn khác - Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Page 3 of 3

3
x 0
2
2
3 2
x 0 x 0 x 0
tan x sin x
9 Bµi 9 : lim
x
1
s inx x
s inx 1
(1 cosx) 2sin
1
cos x
x 2
lim lim lim
x x .cos x 2
x
4. .cos x
2
→
→ → →

−
−
 
−
−
 
 
= = = =
 
 
 


2
2
x 0
2
2
2
2 2
2
x 0 x 0 x 0
1 x cos x
10 Bµi10 : lim
x
x
2sin
1 x 1 cos x 1 1 1 1
2
lim lim lim 1

x x 2 2
x
1 x 1
4.
2
→
→ → →
+ −
−
 
 
−
 
 
+ − −
 
= − = − = + =
 
 
 
 
+ +
 
 
 
 
 
 
 

( ) ( )
( )
3
x 0
3 3
x 0 x 0
2
2
x 0
3 2
x 1
3 2
x 1
1 tan x 1 sin x
11 Bµi11: lim
x
tan x sin x sinx(1 cos x)
lim lim
x 1 tan x 1 sin x x 1 tan x 1 sin x cosx
x
sin
sinx
2
.2
x
x
4.
1 1 1
2

lim .
2 2 4
1 tan x 1 sin x cosx
x x 2
12 Bµi12 : lim
sin(x 1)
x 1 x
lim
→
→ →
→
→
→
+ − +
−
− −
= =
+ + + + + +
 
 
 
= = =
+ + +
+ −
−
−
− +
=
( )
2

2
x 1 x 1
x 1
(x 1)(x x 1) x 1 (x 1)
1 (x x 1) (x 1)
lim lim
sin(x 1)
sin(x 1) sin(x 1)
x 1
sin(x 1)
Do lim 1 I 5
x 1
→ →
→
− + + + − +
− + + + +
= =
−
− −
−
−
= ⇒ =
−



………………….Hết…………………


Nguồn:

Hocmai.vn