Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Trần Só Tùng Đại số 11
I. HỆ THỨC CƠ BẢN
1. Đònh nghóa các giá trò lượng giác:
cos
sin
tan
' cot
OP a
OQ a
AT a
BT a
=
=
=
=
Nhận xét:
•
, 1 cos 1; 1 sin 1a a∀ − ≤ ≤ − ≤ ≤
α
• tana xác đònh khi
,
2
a k k Z≠ + ∈
π
π
,
• cota xác đònh khi
,a k k Z≠ ∈
π
2. Dấu của các giá trò lượng giác:
Cung phần tư

Giá trò lượng giác
I II II IV
sina + + – –
cosa + – – +
tana + – + –
cota + – + –
3. Hệ thức cơ bản:
sin
2
a + cos
2
a = 1; tana.cota = 1
2 2
2 2
1 1
1 tan ; 1 cot
cos sin
a a
a a
+ = + =
4. Cung liên kết:
Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau
cos( ) cosa a− =
( ) sinsin a a− =
π
sin cos
2
a a
 
− =

 ÷
 
π
sin( ) sina a− = −
cos( ) cosa a− = −
π
cos sin
2
a a
 
− =
 ÷
 
π
tan( ) tana a− = −
tan( ) tana a− = −
π
tan cot
2
a a
 
− =
 ÷
 
π
cot( ) cota a− = −
cot( ) cota a− = −
π
cot tan
2

a a
 
− =
 ÷
 
π
Trang 1
CHƯƠNG 0
CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
CHƯƠNG 0
CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
cosin
O
cotang
sin

tang
p
A
M
Q
B T'
α

Đại số 11 Trần Só Tùng
5. Bảng giá trò lượng giác của các góc (cung) đặc biệt
II. CÔNG THỨC CỘNG
Công thức cộng:
Trang 2
Cung hơn kém π Cung hơn kém

2
π
sin( ) sina a+ = −
π
sin cos
2
a a
 
+ =
 ÷
 
π
cos( ) cosa a+ = −
π
cos sin
2
a a
 
+ = −
 ÷
 
π
tan( ) tana a+ =
π
tan cot
2
a a
 
+ = −
 ÷

 
π
cot( ) cota a+ =
π
cot tan
2
a a
 
+ = −
 ÷
 
π
0
6
π
4
π
3
π
2
π
2
3
π
3
4
π
π
3
2

π
2
π
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
180
0
270
0
360
0
sin 0
1
2
2
2
3
2

1
3
2
2
2
0 –1 0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
−
2
2
−
–1 0 1
tan 0
3
3
1
3
3−
–1 0 0
cotg
3

1
3
3
0
3
3
−
–1 0
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = +
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = +
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
−
− =
+

Hệ quả:
1 tan 1 tan
tan , tan
4 1 tan 4 1 tan
x x
x x
x x
   
+ −
+ = − =
 ÷  ÷
− +
   
π π
Trần Só Tùng Đại số 11
III. CÔNG THỨC NHÂN
1. Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a= − = − = −

2
2
2tan cot 1
tan2 ; cot2
2cot
1 tan
a a
a a
a

a
−
= =
−
2. Công thức hạ bậc: 3. Công thức nhân ba:
4. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan
2
a
:
Đặt:
tan ( 2 )
2
a
t a k= ≠ +
π π
thì:
2
2
sin
1
t
a
t
=
+
;
2
2
1
cos

1
t
a
t
−
=
+
;
2
2
tan
1
t
a
t
=
−
IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1. Công thức biến đổi tổng thành tích:
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ −

− =
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
+
+ =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−
− =
sin( )

cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
+
+ =
sin( )
cot cot
sin .
b a
a b
a sinb
−
− =
sin cos 2.sin 2.cos
4 4
a a a a
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
π π
sin cos 2sin 2 cos
4 4
a a a a
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   

π π
2. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
 
= − + +
 
 
= − − +
 
 
= − + +
 
Trang 3
3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos

3tan tan
tan3
1 3tan
a a a
a a a
a a
a
a
= −
= −
−
=
−
2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
a
a
a
a
a

a
a
−
=
+
=
−
=
+
Đại số 11 Trần Só Tùng
Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ
siny x=
: Tập xác đònh D = R; tập giá trò
1, 1T
 
= −
 
; hàm lẻ, chu kỳ
0
2T =
π
.
* y = sin(ax + b) có chu kỳ
0
2
T
a
=
π
* y = sin(f(x)) xác đònh

( )f x⇔
xác đònh.
cosy x=
: Tập xác đònh D = R; Tập giá trò
1, 1T
 
= −
 
; hàm chẵn, chu kỳ
0
2T =
π
.
* y = cos(ax + b) có chu kỳ
0
2
T
a
=
π
* y = cos(f(x)) xác đònh
( )f x⇔
xác đònh.
tany x=
: Tập xác đònh
\ ,
2
D R k k Z
 
= + ∈

 
 
π
π
; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ
0
T =
π
.
* y = tan(ax + b) có chu kỳ
0
T
a
=
π
* y = tan(f(x)) xác đònh
( )f x⇔

( )
2
k k Z≠ + ∈
π
π
coty x=
: Tập xác đònh
{ }
\ ,D R k k Z= ∈
π
; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ
0

T =
π
.
* y = cot(ax + b) có chu kỳ
0
T
a
=
π
* y = cot(f(x)) xác đònh
( ) ( )f x k k Z⇔ ≠ ∈
π
.
* y = f
1
(x) có chu kỳ T
1
; y = f
2
(x) có chu kỳ T
2
Thì hàm số
1 2
( ) ( )y f x f x= ±
có chu kỳ T
0
là bội chung nhỏ nhất của T
1
và T
2

.
Trang 4


Trần Só Tùng Đại số 11
Bài 1. Tìm tập xác đònh và tập giá trò của các hàm số sau:
a/
2
sin
1
x
y
x
 
=
 ÷
−
 
b/
siny x=
c/
2 siny x= −
d/
2
1 cosy x= −
e/
1
sin 1
y
x

=
+
f/
tan
6
y x
 
= −
 ÷
 
π
g/
cot
3
y x
 
= +
 ÷
 
π
h/
sin
cos( )
x
y
x
=
−
π
i/ y =

1
tan 1x −
Bài 2. Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số:
a/ y =
2sin 1
4
x
 
+ +
 ÷
 
π
b/
2 cos 1 3y x= + −
c/
siny x=
d/
2
4sin 4sin 3y x x= − +
e/
2
cos 2sin 2y x x= + +
f/
4 2
sin 2cos 1y x x= − +
g/ y = sinx + cosx h/ y =
3sin2 cos2x x−
i/ y =
sin 3 cos 3x x+ +
Bài 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số:

a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + 3 c/ y = sinx + cosx
d/ y = tanx + cotx e/ y = sin
4
x f/ y = sinx.cosx
g/ y =
sin tan
sin cot
x x
x x
−
+
h/ y =
3
3
cos 1
sin
x
x
+
i/ y =
tan x
Bài 4. Tìm chu kỳ của hàm số:
a/
sin2y x=
b/
cos
3
x
y =
c/

2
siny x=
d/
sin2 cos
2
x
y x= +
e/
tan cot3y x x= +
f/
3 2
cos sin
5 7
x x
y = −
g/
2sin . cos3y x x=
h/
2
cos 4y x=
i/ y = tan(−3x + 1)
ĐS: a/
.
π
b/ 6π. c/
.
π
d/ 4π. e/ π. f/ 70π. g/ π. h/
.
4

π
i/
3
π
Vấn đề 2: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC
1/ Vẽ đồ thò hàm số lượng giác:
– Tìm tập xác đònh D.
– Tìm chu kỳ T
0
của hàm số.
– Xác đònh tính chẵn – lẻ (nếu cần).
– Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T
0
có thể chọn:
0
0,x T
 
∈
 
hoặc
0 0
,
2 2
T T
x
 
∈ −
 
 
.

– Vẽ đồ thò trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ.
– Rồi suy ra phần đồ thò còn lại bằng phép tònh tiến theo véc tơ
0
. .v k T i=
r r
về bên trái
Trang 5
Đại số 11 Trần Só Tùng
và phải song song với trục hoành Ox (với
i
r
là véc tơ đơn vò trên trục Ox).
2/ Một số phép biến đổi đồ thò:
a/ Từ đồ thò hàm số y = f(x), suy ra đồ thò hàm số y = f(x) + a bằng cách tònh tiến đồ thò y
= f(x) lên trên trục hoành a đơn vò nếu a > 0 và tònh tiến xuống phía dưới trục hoành a
đơn vò nếu a < 0.
b/ Từ đồ thò y = f(x), suy ra đồ thò y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thò y = f(x) qua
trục hoành.
c/ Đồ thò
( ), nếu f(x) 0
( )
-f(x), nếu f(x) < 0
f x
y f x

≥
= =


được suy từ đồ thò y = f(x) bằng cách giữ

nguyên phần đồ thò y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thò y = f(x)
nằm ở phía dưới trục hoành qua trục hoành.
Ví dụ 1: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = sinx.
– Tập xác đònh: D = R.
– Tập giá trò:
1, 1 .
 
−
 
– Chu kỳ: T = 2π.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2
 
 
π
– Tònh tiến theo véctơ
2 .v k i=
r r
π
ta được đồ thò y = sinx.
Nhận xét:
– Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số đồng biến trên khoảng
0,
2
 
 ÷
 
π
và nghòch biến trên

, .
2
 
 ÷
 
π
π
Ví dụ 2: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cosx.
– Tập xác đònh: D = R.
– Tập giá trò:
1, 1 .
 
−
 
– Chu kỳ: T = 2π.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2 :
 
 
π
Trang 6
1
3
2
π
−
−π
2
π
−

0
2
π
3
2
π
π 2π
5
2
π
y = sinx
–1
y
x
1
3
2
π
−
−π
2
π
−
0
2
π
3
2
π
π

2π
5
2
π
y = cosx
–1
y
x
x0y
1
0
–1
0 0
x0



 
Trần Só Tùng Đại số 11
– Tònh tiến theo véctơ
2 .v k i=
r r
π
ta được đồ thò y = cosx.
Nhận xét:
– Đồ thò là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
– Hàm số nghòch biến trên khoảng
0,
2
 

 ÷
 
π
và nghòch biến trên khoảng
3
, .
2
 
 ÷
 
π
π
Ví dụ 3: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = tanx.
– Tập xác đònh: D = R
\ ,
2
k k Z
 
+ ∈
 
 
π
π
– Tập giá trò: R.
– Giới hạn:
2
lim
x
y
→±

= ∞
π
:
2
x⇒ = ±
π
là tiệm cận đứng.
– Chu kỳ: T = π.
– Bảng biến thiên trên
,
2 2
 
−
 ÷
 
π π
:
– Tònh tiến theo véctơ
.v k i=
r r
π
ta được đồ thò y = tanx.
Nhận xét:
– Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số luôn đồng biến trên tập xác đònh D.
Ví dụ 4: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cotx.
– Tập xác đònh: D = R
{ }
\ ,k k Z∈
π

– Tập giá trò: R.
– Giới hạn:

0
lim , lim
x x x
y y
→ →
= + ∞ = − ∞
tiệm cận đứng: x = 0, x = π.
– Chu kỳ: T = π.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0,
 
 
π
:
– Tònh tiến theo véctơ
.v k i=
r r
π
ta được đồ thò y = cotx.
Trang 7


∞
∞
x0y
0
+∞

–∞


3
2
π
−
π
2
π
−

2
π
π
3
2
π
2π
5
2
π




2− π
3
2
π

−

2
π
−
2
π
π
3
2
π
y = cotx
−π
2π
Đại số 11 Trần Só Tùng
Nhận xét:
– Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số luôn giảm trên tập xác đònh D.
Ví dụ 5: Vẽ đồ thò y = – sinx.
– Vẽ đồ thò y = sinx.
– Từ đồ thò y = sinx, ta suy ra đồ thò y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox.
Ví dụ 6: Vẽ đồ thò y = sinx
sin , nếu sin x 0
sin
-sin x, nếu sin x < 0.
x
y x

≥
= =



Ví dụ 7: Vẽ đồ thò hàm số y = 1 + cosx.
– Vẽ đồ thò y = cosx.
– Từ đồ thò y = cosx, ta suy ra đồ thò
1 cosy x= +
bằng cách tònh tiến đồ thò
cosy x=
lên
trục hoành 1 đơn vò.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2
 
 
π
:
Trang 8
y
x
–2π
3
2
π
−
3
2
π
2π
2
π

π
O
−π
2
π
−
y = –sinx
1
–1
π
2
π
−
3
2
π
2π
2
π
π
O
y = /sinx/
y
1
x
x0πy = cosx1
0
–1
01y = 1 + cosx2
1

0
12
2
π
−
O
y = 1 + cosx
y
x
−
π
2
π
π
3
2
π
y = cosx
2
1
–1
Trần Só Tùng Đại số 11
Ví dụ 8: Vẽ đồ thò y = sin2x.
– y = sin2x có chu kỳ T = π.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2
 
 
π
:

Ví dụ 9: Vẽ đồ thò y = cos2x.
– y = cos2x có chu kỳ T = π.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2
 
 
π
:
Trang 9
2
π
−
O
y
x
π
4
π
−
4
π
1
3
2
π
2
π
5
4
π

y = sin2x
–1
x02x0y = sin2x
0
–1
01
0
x02x0y = cos2x
–1
01
0
–1
O
y
x
2
π
4
π

2
π
4
π





3

4
π
Đại số 11 Trần Só Tùng
Ví dụ 10: Vẽ đồ thò
sin
4
y x
 
= +
 ÷
 
π
có chu kỳ T = 2π.
Ví dụ 11: Vẽ đồ thò
cos
4
y x
 
= −
 ÷
 
π
có chu kỳ T = 2π.
Trang 10











3
2
π




−π
3
4
π
−
2
π
−
4
π
−
4
π
2
π
3
4
π
π

5
4
π
7
4
π


2 / 2
2 / 2−


Trần Só Tùng Đại số 11
Ví dụ 12: Vẽ đồ thò
sin cos 2 sin
4
y x x x
 
= + = +
 ÷
 
π
có chu kỳ T = 2π.
Ví dụ 13: Vẽ đồ thò
cos sin 2 cos
4
y x x x
 
= − = +
 ÷

 
π
có chu kỳ T = 2π.
Trang 11





 














3
2
π





−π
3
4
π
−
2
π
−
4
π
−
4
π
2
π
3
4
π
π
5
4
π
7
4
π


2
2−



4
π
2
π




3
4
π
−
2
π
−
−π
5
4
π 3
2
π
π

4
π
−
3
2

π
7
4
π

2
          







Đại số 11 Trần Só Tùng
Ví dụ 14: Vẽ đồ thò y = tanx + cotx.
– Tập xác đònh:
\ . ,
2
D R k k Z
 
= ∈
 
 
π
– Chu kỳ T = π.
Trang 12


2

π
−
4
π
−
−π

4
π
2
π 3
4
π
π
5
4
π

  
2
1
1−
2−


3
4
π
−
2

π
−
4
π
−
−π

4
π
2
π 3
4
π
π
5
4
π


2
1
  

∞

∞∞

∞




   
4 3
3

4 3
3

2
π
−
3
π
−
4
π
−
6
π
−
6
π
3
π
2
π

Trần Só Tùng Đại số 11
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sinx = sinα

a/
2
sin sin ( )
2
x k
x k Z
x k

= +
= ⇔ ∈

= − +

α π
α
π α π
b/
sin . : 1 1.
arcsin 2
sin ( )
arcsin 2
x a Điều kiện a
x a k
x a k Z
x a k
= − ≤ ≤

= +
= ⇔ ∈


= − +

π
π π
c/
sin sin sin sin( )u v u v= − ⇔ = −
d/
sin cos sin sin
2
u v u v
 
= ⇔ = −
 ÷
 
π
e/
sin cos sin sin
2
u v u v
 
= − ⇔ = −
 ÷
 
π
Các trường hợp đặc biệt:
sin 0 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈
π
sin 1 2 ( )
2
x x k k Z= ⇔ = + ∈

π
π

sin 1 2 ( )
2
x x k k Z= − ⇔ = − + ∈
π
π
2 2
sin 1 sin 1 cos 0 cos 0 ( )
2
x x x x x k k Z= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈
π
π
2. Phương trình cosx = cosα
a/
cos cos 2 ( )x x k k Z= ⇔ = ± + ∈
α α π
b/
cos . : 1 1.
cos arccos 2 ( )
x a Điều kiện a
x a x a k k Z
= − ≤ ≤
= ⇔ = ± + ∈
π
c/
cos cos cos cos( )u v u v= − ⇔ = −
π
d/

cos sin cos cos
2
u v u v
 
= ⇔ = −
 ÷
 
π
e/
cos sin cos cos
2
u v u v
 
= − ⇔ = +
 ÷
 
π
Các trường hợp đặc biệt:
cos 0 ( )
2
x x k k Z= ⇔ = + ∈
π
π
cos 1 2 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈
π

cos 1 2 ( )x x k k Z= − ⇔ = + ∈
π π
2 2
cos 1 cos 1 sin 0 sin 0 ( )x x x x x k k Z= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈

π
Trang 13




Đại số 11 Trần Só Tùng
3. Phương trình tanx = tanα
a/
tan tan ( )x x k k Z= ⇔ = + ∈
α α π
b/
tan arctan ( )x a x a k k Z= ⇔ = + ∈
π
c/
tan tan tan tan( )u v u v= − ⇔ = −
d/
tan cot tan tan
2
u v u v
 
= ⇔ = −
 ÷
 
π

e/
tan cot tan tan
2
u v u v

 
= − ⇔ = +
 ÷
 
π
Các trường hợp đặc biệt:
tan 0 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈
π
tan 1 ( )
4
x x k k Z= ± ⇔ = ± + ∈
π
π
4. Phương trình cotx = cotα

cot cot ( )x x k k Z= ⇔ = + ∈
α α π
cot arccot ( )x a x a k k Z= ⇔ = + ∈
π
Các trường hợp đặc biệt:
cot 0 ( )
2
x x k k Z= ⇔ = + ∈
π
π

cot 1 ( )
4
x x k k Z= ± ⇔ = ± + ∈
π

π
5. Một số điều cần chú ý:
a/ Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn
bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác đònh.
* Phương trình chứa tanx thì điều kiện:
( ).
2
x k k Z≠ + ∈
π
π
* Phương trình chứa cotx thì điều kiện:
( )x k k Z≠ ∈
π
* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện
( )
2
x k k Z≠ ∈
π
* Phương trình có mẫu số:
•
sin 0 ( )x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π
•
cos 0 ( )
2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ + ∈
π
π
•
tan 0 ( )

2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π
•
cot 0 ( )
2
x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈
π
b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách
sau để kiểm tra điều kiện:
1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trò của x vào biểu thức điều kiện.
2. Dùng đường tròn lượng giác.
3. Giải các phương trình vô đònh.
Trang 14
Trần Só Tùng Đại số 11
Bài 1. Giải các phương trình:
1)
cos 2 0
6
x
 
+ =
 ÷
 
π
2)
cos 4 1
3
x
 

− =
 ÷
 
π
3)
cos 1
5
x
 
− = −
 ÷
 
π
4)
sin 3 0
3
x
 
+ =
 ÷
 
π
5)
sin 1
2 4
x
 
− =
 ÷
 

π
6)
sin 2 1
6
x
 
+ = −
 ÷
 
π
7)
( )
1
sin 3 1
2
x + =
8)
( )
0
2
cos 15
2
x − =
9)
3
sin
2 3 2
x
 
− = −

 ÷
 
π
10)
1
cos 2
6 2
x
 
− = −
 ÷
 
π
11)
( )
tan 2 1 3x − =
12)
( )
0
3
cot 3 10
3
x + =
13)
tan 3 1
6
x
 
+ = −
 ÷

 
π
14)
cot 2 1
3
x
 
− =
 ÷
 
π
15) cos(2x + 25
0
) =
2
2
−
Bài 2. Giải các phương trình:
1)
( ) ( )
sin 3 1 sin 2x x+ = −
2)
cos cos 2
3 6
x x
   
− = +
 ÷  ÷
   
π π

3)
cos3 sin2x x=
4)
( )
0
sin 120 cos2 0x x− + =
5)
cos 2 cos 0
3 3
x x
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
π π
6)
sin3 sin 0
4 2
x
x
 
+ − =
 ÷
 
π
7)
tan 3 tan
4 6
x x
   

− = +
 ÷  ÷
   
π π
8)
cot 2 cot
4 3
x x
   
− = +
 ÷  ÷
   
π π

9)
( )
tan 2 1 cot 0x x+ + =
10)
( )
2
cos 0x x+ =
11)
( )
2
sin 2 0x x− =
12)
( )
2
tan 2 3 tan2x x+ + =
13)

2
cot 1x =
14)
2
1
sin
2
x =
15)
1
cos
2
x =
16)
2 2
sin cos
4
x x
 
− =
 ÷
 
π
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯNG GIÁC
Trang 15
Dạng Đặt Điều kiện
2
sin 0asin x b x c+ + =
t = sinx
1 1t

− ≤ ≤
2
cos cos 0a x b x c+ + =
t = cosx
1 1t
− ≤ ≤
2
tan tan 0a x b x c+ + =
t = tanx
( )
2
x k k Z≠ + ∈
π
π
2
cot cot 0a x b x c+ + =
t = cotx
( )x k k Z≠ ∈
π
Đại số 11 Trần Só Tùng
Nếu đặt:
2
sin sin : 0 1.t x hoặc t x thì điều kiện t= = ≤ ≤
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) 2sin
2
x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin
2
x – 4cosx – 1 = 0
3) 4cos

5
x.sinx – 4sin
5
x.cosx = sin
2
4x 4)
( )
2
tan 1 3 tan 3 0x x+ − − =

5)
( )
2
4sin 2 3 1 sin 3 0x x− + + =
6)
3
4cos 3 2 sin2 8cosx x x+ =
7) tan
2
x + cot
2
x = 2 8) cot
2
2x – 4cot2x + 3 = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1) 4sin
2
3x +
( )
2 3 1 cos3 3x+ −

= 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0
3) 4cos
2
(2 – 6x) + 16cos
2
(1 – 3x) = 13 4)
( )
2
1
3 3 tan 3 3 0
cos
x
x
− + − + =
5)
3
cos x
+ tan
2
x = 9 6) 9 – 13cosx +
2
4
1 tan x+
= 0
7)
2
1
sin x
= cotx + 3 8)
2

1
cos x
+ 3cot
2
x = 5
9) cos2x – 3cosx =
2
4cos
2
x
10) 2cos2x + tanx =
4
5
Bài 3. Cho phương trình
sin3 cos3 3 cos2
sin
1 2sin2 5
x x x
x
x
 
+ +
+ =
 ÷
+
 
. Tìm các nghiệm của
phương trình thuộc
( )
0 ; 2

π
.
Bài 4. Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của
phương trình thuộc
( )
;−
π π
.
Bài 5. Giải phương trình :
4 4 4
5
sin sin sin
4 4 4
x x x
   
+ + + − =
 ÷  ÷
   
π π
.
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX
DẠNG: a sinx + b cosx = c (1)
Cách 1:
• Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b+
ta được:
(1) ⇔
2 2 2 2 2 2
sin cos

a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
• Đặt:
( )
2 2 2 2
sin , cos 0, 2
a b
a b a b
 
= = ∈
 
+ +
α α α π

phương trình trở thành:
2 2
sin .sin cos .cos
c
x x
a b
+ =
+
α α
2 2
cos( ) cos (2)
c
x

a b
⇔ − = =
+
α β
• Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
Trang 16
Trần Só Tùng Đại số 11
2 2 2
2 2
1 .
c
a b c
a b
≤ ⇔ + ≥
+
• (2)
2 ( )x k k Z⇔ = ± + ∈
α β π
Cách 2:
a/ Xét
2
2 2
x
x k k= + ⇔ = +
π
π π π
có là nghiệm hay không?
b/ Xét
2 cos 0.
2

x
x k≠ + ⇔ ≠
π π
Đặt:
2
2 2
2 1
tan , sin , cos ,
2
1 1
x t t
t thay x x
t t
−
= = =
+ +
ta được phương trình bậc hai theo t:
2
( ) 2 0 (3)b c t at c b+ − + − =
Vì
2 0,x k b c≠ + ⇔ + ≠
π π
nên (3) có nghiệm khi:
2 2 2 2 2 2
' ( ) 0 .a c b a b c= − − ≥ ⇔ + ≥
∆
Giải (3), với mỗi nghiệm t
0
, ta có phương trình:
0

tan .
2
x
t=
Ghi chú:
1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm:
2 2 2
.a b c+ ≥
3/ Bất đẳng thức B.C.S:
2 2 2 2 2 2
.sin .cos . sin cosy a x b x a b x x a b= + ≤ + + = +
2 2 2 2
sin cos
min max tan
x x a
y a b và y a b x
a b b
⇔ = − + = + ⇔ = ⇔ =
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)
cos 3sin 2x x+ =
2)
6
sin cos
2
x x+ =
3)
3 cos3 sin3 2x x+ =
4)

sin cos 2sin5x x x+ =
5)
( ) ( )
3 1 sin 3 1 cos 3 1 0x x− − + + − =
6)
3sin2 sin 2 1
2
x x
 
+ + =
 ÷
 
π
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)
2
2sin 3sin2 3x x+ =
2)
( )
sin8 cos6 3 sin6 cos8x x x x− = +

3)
3 1
8cos
sin cos
x
x x
= +
4) cosx –
3sin 2cos

3
x x
 
= −
 ÷
 
π
5) sin5x + cos5x =
2
cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)
2
+ 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)
Bài 3. Giải các phương trình sau:
1) 3sinx – 2cosx = 2 2)
3
cosx + 4sinx –
3
= 0
3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5
Bài 4. Giải các phương trình sau:
Trang 17
Đại số 11 Trần Só Tùng
1) 2sin
4
x
 
+
 ÷
 
π

+ sin
4
x
 
−
 ÷
 
π
=
3 2
2
2)
3 cos2 sin2 2sin 2 2 2
6
x x x
 
+ + − =
 ÷
 
π
Bài 5. Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm .
Bài 6. Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm.
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
DẠNG: a sin
2
x + b sinx.cosx + c cos
2
x = d (1)
Cách 1:
• Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?

Lưu ý: cosx = 0
2
sin 1 sin 1.
2
x k x x⇔ = + ⇔ = ⇔ =±
π
π
• Khi
cos 0x ≠
, chia hai vế phương trình (1) cho
2
cos 0x ≠
ta được:
2 2
.tan .tan (1 tan )a x b x c d x+ + = +
• Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
2
( ) . 0a d t b t c d− + + − =

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
1 cos2 sin2 1 cos2
(1) . . .
2 2 2
x x x
a b c d
− +
⇔ + + =
.sin2 ( ).cos2 2b x c a x d a c⇔ + − = − −
(đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x
và cos2x)

Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)
( ) ( )
2 2
2sin 1 3 sin .cos 1 3 cos 1x x x x+ − + − =
2)
( )
2 2
3sin 8sin .cos 8 3 9 cos 0x x x x+ + − =
3)
2 2
4sin 3 3sin .cos 2cos 4x x x x+ − =

4)
2 2
1
sin sin2 2cos
2
x x x+ − =
5)
( ) ( )
2 2
2sin 3 3 sin .cos 3 1 cos 1x x x x+ + − = −
6)
2 2
5sin 2 3 sin .cos 3cos 2x x x x+ + =
7)
2 2
3sin 8sin .cos 4cos 0x x x x+ + =

8)
( ) ( )
2 2
2 1 sin sin2 2 1 cos 2x x x− + + + =
9)
( ) ( )
2 2
3 1 sin 2 3sin .cos 3 1 cos 0x x x x+ − + − =

10)
4 2 2 4
3cos 4sin cos sin 0x x x x− + =
11) cos
2
x + 3sin
2
x +
2 3
sinx.cosx – 1 = 0
12) 2cos
2
x – 3sinx.cosx + sin
2
x = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1) sin
3
x + 2sin
2
x.cos

2
x – 3cos
3
x = 0 2)
2
2 1
3sin .cos sin
2
x x x
−
− =
Bài 3. Tìm m để phương trình : (m + 1)sin
2
x – sin2x + 2cos
2
x = 1 có nghiệm.
Trang 18
Trần Só Tùng Đại số 11
Bài 4. Tìm m để phương trình : (3m – 2)sin
2
x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos
2
x = 0 vô
nghiệm .
V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
• Đặt:
cos sin 2.cos ; 2.
4
t x x x t

 
= ± = ≤
 ÷
 
m
π
2 2
1
1 2sin .cos sin .cos ( 1).
2
t x x x x t⇒ = ± ⇒ = ± −
• Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình
này tìm t thỏa
2.t ≤
Suy ra x.
Lưu ý dấu:
•
cos sin 2 cos 2 sin
4 4
x x x x
   
+ = − = +
 ÷  ÷
   
π π
•
cos sin 2 cos 2 sin
4 4
x x x x
   

− = + = − −
 ÷  ÷
   
π π

Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0
• Đặt:
cos sin 2. cos ; : 0 2.
4
t x x x Đk t
 
= ± = ≤ ≤
 ÷
 
m
π
2
1
sin .cos ( 1).
2
x x t⇒ = ± −
• Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trò tuyệt đối.
Bài 1. Giải các phương trình:
1)
( )
2sin2 3 3 sin cos 8 0x x x− + + =
2)
( )
2 sin cos 3sin2 2x x x+ + =
3)

( )
3 sin cos 2sin2 3x x x+ + = −
4)
( )
( )
1 2 1 sin cos sin2x x x− + + =
5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 6)
( )
( )
1 2 sin cos sin2 1 2x x x+ + − = +
Bài 2. Giải các phương trình:
1)
( )
sin2 4 cos sin 4x x x− − =
2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0
3)
( )
( )
1 2 1 sin cos sin2x x x− + − =
4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0
5) sin2x +
2 sin 1
4
x
 
− =
 ÷
 
π
6)

( )
( )
2
sin cos 2 1 (sin cos ) 2 0x x x x− − + − + =
Bài 3. Giải các phương trình:
1) sin
3
x + cos
3
x = 1 +
( )
2 2−
sinx.cosx 2) 2sin2x –
3 6 sin cos 8 0x x+ + =
Trang 19
Đại số 11 Trần Só Tùng
VI. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) sin
2
x = sin
2
3x 2) sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x =
3

2
3) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x = 1 4) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x =
3
2
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1) sin
6
x + cos
6
x =
1
4
2) sin
8
x + cos
8

x =
1
8
3) cos
4
x + 2sin
6
x = cos2x 4) sin
4
x + cos
4
x – cos
2
x +
2
1
4sin 2x
– 1 = 0
Bài 3. Giải các phương trình sau:
1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0
3) sin
3
x + cos
3
x = cos2x 4) sin2x = 1 +
2
cosx + cos2x
5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos
2
x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos

2
x
7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin
2
3x
8) sinx + sin2x + sin3x =
2
(cosx + cos2x + cos3x)
Bài 4. Giải các phương trình sau:
1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0
3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x
4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos
2
x + 1
Bài 5. Giải các phương trình sau:
1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sin7x + cos
2
2x = sin
2
2x + sinx
Bài 6. Giải các phương trình sau:
1) sin
3
x + cos
3
x +
1
sin2 .sin
4

2
x x
 
+
 ÷
 
π
= cosx + sin3x
2) 1 + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x
Trang 20