Đề và đáp án về sự tương giao của các hàm phân thức

Bài 3:Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải.
HDG CÁC BTVN TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC
Câu 1 : Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +
=
+
(C)
Tìm m để (C) cắt đường thẳng
( )
: 2 1
m
d y mx m
= + −
tại 2 điểm phân biệt A, B:
a. Thuộc 2 nhánh của đồ thị (C)
b. Tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau
c. Thỏa mãn điều kiện
4 . 5OAOB
=
uuur uuur
Giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
( ) ( )
2
1
2 1 5 1 2 2 0

2 1
x
mx m f x mx m x m
x
− +
= + − ⇔ = + − + − =
+
với
1
2
x
≠ −
( )
C
cắt
( )
m
d
tại 2 điểm phân biệt A, B
( )
0f x⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt khác
1
2
−
2
0
0
17 2 9 0
6

1 1 3
0
2 4 2
m
m
m m
m
f m


≠

≠


⇔ ∆ = − + > ⇔
 
≠ −


 

− = − − ≠
 ÷

 

(*)
a. Hai điểm A, B thuộc 2 nhánh của đồ thị
( )

0f x⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;x x
mà
1 2
1
2
x x< − <
0
1 1 3
0
6
2 4 2
m
mf m m
m
>

   
⇔ − = − − < ⇔
 ÷  ÷

< −
   

b. Hệ số góc của tiếp tuyến tại A. B lần lượt là:
( )
( )
( )

( )
2 2
3 3
' ; '
2 1 2 1
A A B B
A B
k y x k y x
x x
− −
= = = =
+ +

( ) ( )
2 2
3 3
. . 0
2 1 2 1
A B
A B
k k
x x
⇒ = >
+ +
nên hai tiếp tuyên tại A, B không thể vuông
góc với nhau. Vậy không tồn tại m thảo mãn bài toán.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
Bài 3:Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải.
c. Gọi
1 2

;x x
là 2 nghiệm của f(x). Giả sử
( ) ( )
1 1 2 2
; 2 1 ; ; 2 1A x mx m B x mx m
+ − + −
Theo viet ta có:
1 2
1 2
5 1
2 2
m
x x
m
m
x x
m
−

+ = −



−

=


Có:
5

4 . 5 . 0
4
OAOB OAOB= ⇔ − =
uuur uuur uuur uuur

( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2 1 2
2
2
1 2 1 2
2
2
3 2
2
5
2 1 2 1 0
4
5
1 2 1 2 1 0
4
5
1 2 2 2 1 5 1 2 1 0
4
3
4 2 0

4
3
2 1 0
4
1 3
2 4
x x mx m mx m
m x x m m x x m
m m m m m m m
m m m
m m
m m
⇔ + + − + − − =
⇔ + + − + + − − =
⇔ + − − − − + − − =
⇔ − − + =
 
⇔ − + =
 ÷
 
−
⇔ = ∨ =
Đáp số:
1 3
;
2 4
m
−
 
=

 
 
Câu 2 : Cho hàm số
( )
2
3 3
2 1
x x
y
x
− + −
=
−
(1)
a. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho AB=2
b. Tìm m để đường thẳng d:
( )
2 3y m x= − +
và đường cong (1) cắt nhau tại
A, B phân biệt sao cho M(2; 3) làm trung điểm của AB.
Giải:
a) Xét phương trình hoành độ giao điểm:
( )
( ) ( )
2
2
3 3
2 3 3 2 0
2 1
x x

m f x x m x m
x
− + −
= ⇔ = + − + − =
−
; với
1x
≠
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Page 2 of 5
Bài 3:Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải.
Để hàm số (1) cắt đường thẳng y = m tại 2 điểm phân biệt
( )
0f x⇔ =
có 2
nghiệm phân biệt khác 1
( ) ( )
( )
2
3
2 3 4 3 2 0
2
1
1 0
2
m
m m
f
m

>



∆ = − − − >

⇔ ⇔


≠



< −


(*)
Với điều kiện (*), gọi
1 2
;x x
là nghiệm của
( )
0f x =
. Theo viet có:
1 2
1 2
3 2
3 2
x x m
x x m
+ = −



= −

Tọa độ A, B là:
( ) ( )
1 2
; ; ;A x m B x m
. Ta có:

( ) ( )
2 2
2
1 2 1 2 1 2
2 2 4 2AB x x x x x x
= ⇔ − = ⇔ + − =

( ) ( )
2
2
1 6
3 2 4 3 2 2 4 4 5 0
2
m m m m m
±
⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ =
Đáp số:
1 6
2
m
±

=
a. Xét phương trình hoành độ giao điểm:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
3 3
2 3 2 1 3 1 2 4 3 0
2 1
x x
m x f x m x m x m
x
− + −
= − + ⇔ = + + − + − =
−
; với
1x
≠
Để hàm số (1) cắt đường thẳng
( )
2 3y m x= − +
tại 2 điểm phân biệt
( )
0f x⇔ =
có 2
nghiệm phân biệt khác 1
( ) ( ) ( )
( )
2
7 2 7

2
2 1 0
7 2 7
9 1 2 4 2 1 4 3 0
2
1 0
1
2
m
m
m m m
m
f
m

+
>

+ ≠





−
⇔ ∆ = − − + − > ⇔

<







≠



≠ −





Với điều kiện trên, gọi
1 2
;x x
là nghiệm của
( )
0f x
=
( )
1 2
3 1 2
2 1
m
x x
m
−
⇒ + = −

+
Gọi 2 giao điểm là
( )
( )
( )
( )
1 1 2 2
; 2 3 ; ; 2 3A x m x B x m x
− + − +
.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Page 3 of 5
Bài 3:Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải.
Điểm
( )
2;3M d∈
là trung điểm của AB
( )
1 2
3 1 2
7
4 4
2 1 2
m
x x m
m
−
⇔ + = ⇔ − = ⇔ = −
+
Vậy
7

2
m
= −
Câu 3 : Cho hàm số
( )
1m x m
y
x m
− +
=
−

( )
m
C
Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình:
a.
2
2 3
1 log
3
x
m
x
+
− =
−

b.
2 3

2 1 0
3
x
m
x
+
− + =
−

Giải:
Số nghiệm của phương trình
( ) ( )
f x g m
=
là số giao điểm của đường cong
( )
y f x=
và
đường thẳng
( )
y g m=
song song với trục hoành Ox khi vẽ lên hệ trục tọa độ Oxy.
a) Vẽ đồ thị hàm số
( )
2 3
:
3
x
C y
x

+
=
−
như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành Ox của
( )
3
C
- kí hiệu là
( )
t
C
- Lấy đối xứng phần đồ thị dưới trục hoành Ox qua Ox – kí hiệu
( )
'
t
C
( )
( )
( )
'
t t
C C C
⇒ = ∪
(Các bạn tự vẽ hình)
Kết luận:
1
2
m
≤

phương trình vô nghiệm

1
;2
2
m
 
=
 
 
phương trình có nghiệm duy nhất

( )
1
;2 2;
2
m
 
∈ ∪ +∞
 ÷
 
phương trình có 2 nghiệm phân biệt
b) Vẽ đồ thị hàm số
( )
2 3
' :
3
x
C y
x

+
=
−
như sau:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Page 4 of 5
Bài 3:Tương giao đồ thị hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải.
- Giữ nguyên nhánh phải của
( )
3
C
- kí hiệu là
( )
p
C
- Lấy
( )
'
p
C
đối xứng nhánh trái của
( )
3
C
qua trục hoành Ox
( )
( )
( )
'
p p
C C C

⇒ = ∪
(Các bạn tự vẽ hình)
Kết luận:
1
2
m ≤ −
phương trình vô nghiệm

1 3
2 2
m− < ≤
phương trình có nghiệm duy nhất

3
2
m ≥
phương trình có 2 nghiệm phân biệt
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Page 5 of 5