Đề và đáp án về sự tương giao của hàm đa thức

Bài 3: Tương giao hàm đa thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
HDG CÁC BTVN PHẦN TƯƠNG GIAO HÀM ĐA THỨC
Câu 1: Cho hàm số (C):
3 2
3y x mx mx= − −
và đường thẳng d: y = x + 2.
Tìm m để hàm số (C) cắt đường thẳng d:
1.1. Tại đúng 2 điểm phân biệt.
1.2. Tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC
1.3. Tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số nhân.
Lời giải:
1.1. Xét phương trình hoành độ giao điểm:
( )
3
3 2
2
2
3 2
3
x x
x mx mx x f x m
x x
− −
− − = + ⇔ = =
+
Ta có:
( )
( )
4 3 2
4 3 2
2

2
3 2 3 12 2
' 0 3 2 3 12 2 0
3
x x x x
f x x x x x
x x
+ + + +
= = ⇔ + + + + = ⇔
+

Lập bảng biến thiên của hàm số f(x), từ đó dựa vào bảng biến thiên kết luận bài toán
1.2. Xét phương trình hoành độ giao điểm:

( ) ( )
3 2 3 2
3 2 3 1 2 0x mx mx x g x x mx m x− − = + ⇔ = − − + − =
Hàm số (C) cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC
( )
' 0g x⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt và điểm uốn của đồ thị hàm số
( )
y g x=
nằm trên trục
hoành Ox.
- Phương trình
( ) ( )
2
' 3 6 1 0g x x mx m= − − + =
có

2
' 9 3 3 0m m∆ = + + >
nên luôn có 2 nghiệm phân biệt
với mọi m
- Hàm
( )
y g x=
có điểm uốn là
( )
3 2
; 2 2 OxU m m m m− − − − ∈
khi và chỉ khi:

( )
( )
3 2 2
2 2 0 1 2 2 0 1m m m m m m m− − − − = ⇔ + − + = ⇔ = −
Vậy
1m
= −
1.3. Đk cần: Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
; ;x x x
lần lượt lập thành cấp số nhân. Khi
đó ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
g x x x x x x x= − − −
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
Bài 3: Tương giao hàm đa thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải

Suy ra:
1 2 3
1 2 2 3 1 3
1 2 3
3
1
2
x x x m
x x x x x x m
x x x
+ + =


+ + = − −


=

Vì
2 3
3
1 3 2 2 2
2 2x x x x x= ⇒ = ⇒ =
nên ta có:
3
3
5
1 4 2.3
3 2 1
m m m− − = + ⇔ = −

+
Đk đủ: Với
3
5
3 2 1
m = −
+
, thay vào tính nghiệm thấy thỏa mãn.
Vậy
3
5
3 2 1
m = −
+
Câu 2 : Cho hàm số
( )
4 2
2 1 2 1y x m x m= − + + +
2.1. Tìm m để hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng;
2.2. Tìm m để hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3.
Lời giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
( )
4 2
2 1 2 1 0x m x m− + + + =
;
(1)
Đặt
2
, 0t x t= ≥

thì
(1)
thành:
( )
2
( ) 2 1 2 1 0f t t m t m= − + + + =
.
2.1. Điều kiện để hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt là f(t) phải có 2 nghiệm dương phân biệt
( )
2
' 0
1
2 1 0
2
0
2 1 0
m
m
S m
m
P m

∆ = >

> −


⇔ = + > ⇔
 
 

≠

= + >

(*)
Với (*), gọi
1 2
t t<
là 2 nghiệm của f(t), khi đó hoành độ giao điểm của hàm số với Ox lần lượt là:
1 2 2 1 3 1 4 2
; ; ;x t x t x t x t= − = − = =
Các giao điểm lập thành cấp số cộng
2 1 3 2 4 3 2 1
9x x x x x x t t⇔ − = − = − ⇔ =

( )
( )
1 9 1
4
5 4 4
5 4 1
4
5 4 4
9
m m m m
m
m m
m m
m m
m

⇔ + + = + −
=

= +


⇔ = + ⇔ ⇔


− = +
= −


Vậy
4
4;
9
m
 
= −
 
 
2.2. Hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3
Bài 3: Tương giao hàm đa thức – Khóa LT Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
( )
f t⇔
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;t t

sao cho:
1 2
1 2
0 3
0 3
t t
t t
= < <


< < ≤

( )
( )
( )
2
2
' 0
' 0
3 4 4 0
(0) 2 1 0
2 1 0
2 1 3
2 1 0
1
1
2
m
m
f m

f m
S m
S m
P m
m m

∆ = >

∆ = >

= − ≤


⇔ = + =
 
= + >
 
= + <


= + >

⇔ = − ∨ ≥
Đáp số
1
1
2
m m= − ∨ ≥
.

………………….Hết……………….
Nguồn: hocmai.vn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 3