Phương trình và hệ phương trình chứa căn thức

Bài 2: PT và HPT chứa căn thức – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Giải các PT và hệ phương trình vô tỉ sau:
1,
3 5 3 4x x
− = − +

- Điều kiện:
3x
≥
Với điều kiến trên ta biến đổi về dạng:
3 3 4 5x x
− + + =
sau đó bình phương 2 vế, đưa
về dạng cơ bản
( ) ( )f x g x
=
ta giải tiếp.
- Đáp số:
4x
=
2,
2 2
5 1 ( 4) 1x x x x x
+ + = + + +

- Đặt
2
1 0t x x
= + + >
, pt đã cho trở thành:

( )
2
4 4 0
4
t x
t x t x
t
=

− + + = ⇔

=

Với
2
1 :t x x x x= ⇔ + + =
vô nghiệm
Với
2
1 61
4 15 0
2
t x x x
− ±
= ⇔ + − = ⇔ =
- Vậy phương trình có nghiệm:
1 61
2
x
− ±

=
3,
4 4
18 5 1x x
− = − −

- Ta đặt
4 4
4 4
18 0; 1 0 17u x v x u v
= − ≥ = − ≥ ⇒ + =
, ta đưa về hệ đối xứng loại I đối với u, v
giải hệ này tìm được u, v suy ra x
- Đáp số: Hệ vô nghiệm
4,
( )
( )
3 2 2 2 6 *x x x
+ − = + +

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
Bài 2: PT và HPT chứa căn thức – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
- Điều kiện:
2x
≥
- Ta có:
( ) ( )
( )
3
8 3

* 2 3
3 2 6
3 2 6 4
x
x
x
x x
x x
=

−
⇔ − = ⇔

− + +
− + + =

- Đáp số:
108 4 254
3;
25
x
 
+
 
=
 
 
 

5,

2 2
2 8 6 1 2 2x x x x
+ + + − = +

- Điều kiện:
2
2
1
2 8 6 0
1
1 0
3
x
x x
x
x
x
= −


+ + ≥


⇔ ≥


− ≥




≤ −

- Dễ thấy x = -1 là nghiệm của phương trình
- Xét với
1x ≥
, thì pt đã cho tương đương với:
( )
2 3 1 2 1x x x
+ + − = +
Bình phương 2 vế, chuyển về dạng cơ bản
( ) ( )f x g x=
ta dẫn tới nghiệm trong trường
hợp này nghiệm
1x =
- Xét với
3x ≤ −
, thì pt đã cho tương đương với:
( ) ( ) ( )
2 3 1 2 1x x x− + + − − = − +
Bình phương 2 vế, chuyển về dạng cơ bản
( ) ( )f x g x=
ta dẫn tới nghiệm trong trường
hợp này là:
25
7
x = −
- Đáp số:
25
; 1
7

x
 
= − ±
 
 
6,
2
( 1) ( 2) 2x x x x x− + + =
ĐS:
9
0;
8
x
 
=
 
 
7,
3 3
4 3 1x x
+ − − =

- Sử dụng phương pháp hệ quả để giải quyết bài toán, thử lại nghiệm tìm được.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 6
Bài 2: PT và HPT chứa căn thức – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
- Đáp số:
{ }
5;4x = −

8,

2 2 2
4 2 14
4 2 3 4 4 ;2 0;2;
3 3
x x x x t x x t x
 
− −
 
 
+ − = + − → = + − ⇒ = − ⇒ =
   
 
 
 

9,
2 2
3 3 3 6 3x x x x− + + − + =

- Đặt
2 2 2
3 3 0 3 3t x x x x t
= − + > ⇒ − + =
- Phương trình thành:
( )
2 2
2
2
3
3 3 3 3 1

3 3
t
t t t t t
t t
≥


+ + = ⇔ + = − ⇔ ⇔ =

+ = −


Suy ra
{ }
2
3 2 0 1;2x x x− + = ⇔ =
- Vậy tập nghiệm của phương trình là
{ }
1;2x
=
10,
2 3
2 4 3 4x x x x
+ + = +

- Điều kiện:
0x
≥
- Đặt
( ) ( )

2 2
2 2
2
2 2
4
4
4 2; 0
2 0
2 3
u v
u v
u x v x
u v u v
u v uv


= +
= +
 
= + ≥ = ≥ ⇒ ⇒
 
− − =
+ =





Giải ra ta được
4

3
x =
(thỏa mãn)
11,
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x
− + − = − + − +
- Điều kiện:
1x ≥
- Khi đó:
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x
− + − = − + − +
Đặt t =
3 2 1 ( 0)x x t− + − >
ta có:
2 2
6 6 0 3; 2( 0)t t t t t t
= − ⇔ − − = ⇔ = = − <

3 2 1 3x x
− + − =

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 6
Bài 2: PT và HPT chứa căn thức – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Giải tiếp bằng phương pháp tương đương, ta được nghiệm
2x
=
12,
3

2 1 1x x
− = − −
- Điều kiện:
1x
≥
- Đặt
3
2 ; 1 0u x v x
= − = − ≥
dẫn tới hệ:
3 2
1
1
u v
u v
= −


+ =

Thế u vào phương trình dưới được:
( ) ( )
1 3 0v v v
− − =
- Đáp số:
{ }
1;2;10x
=
13,
3

3
1 2 2 1x x
+ = −

3
3
3
1 2
1 5
2 1 1;
2
1 2
y x
y x x y x
x y

 
+ =
− ±
  
→ = − ⇒ ⇒ = ⇒ =
  
+ =
 

 

14,
2 2
5 14 9 2 5 1x x x x x

+ + − − − = +
ĐS:
9
1; ;11
4
x
 
= −
 
 
15,
3
2 3 2 3 6 5 8x x
− + − =
- Giải hoàn toàn tương tự như ý bài 1.12
- Đáp số:
{ }
2x = −
16,
2 7 5 3 2x x x
+ − − = −
- Điều kiện:
2
5
3
x≤ ≤
- Chuyển vế sao cho 2 vế dương, rồi bình phương 2 vế ta dẫn tới phương trình cơ bản. Sau
đó giải tiếp theo như đã học.
- Đáp số:
14

1;
3
x
 
=
 
 
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 4 of 6
Bài 2: PT và HPT chứa căn thức – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
17,
2
2 7 2 1 8 7 1x x x x x
+ − = − + − + − +
- Điều kiện:
1 7x
≤ ≤
- Ta có:
2
2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ − = − + − + − +

( ) ( )
1 1 7 2 1 7x x x x x
⇔ − − − − = − − −

1 2 5
4
1 7
x x
x
x x


− = =

⇔ ⇔


=
− = −



- Đáp số:
{ }
4;5x
=
18,
( )
2
2
3 3
2 4 2 1 2
2 2
x x
x x x
+ +
+ = ⇔ + − =
- Đặt
3
1
2

x
y
+
+ =

( )
( )
2
2
2 1 3
2 1 3
x y
y x

+ = +

⇒

+ = +


- Đáp số:
3 17 5 13
;
4 4
x
 
− ± − ±
 
=

 
 
 
19,
( )
2
2
4 13 5 3 1 2 3 4 3 1x x x x x x
− + − = + ⇔ − − + + = +
- Đặt
( )
( )
2
2
2 3 3 1
2 3 3 1
2 3 4 2 3
y x
y x
x x y

− = +

− = + ⇒

− − + + = −


- Đáp số:
15 97 11 73

;
8 8
x
 
− +
 
=
 
 
 
20,
2 2 2 2
5 5
1 1 1
4 4
x x x x x− + − + − − − = +
- Điều kiện:
1x
≤
- PT đã cho
2 2
1 1
1 1 1
2 2
x x x
⇔ − + + − − = +
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 5 of 6
Bài 2: PT và HPT chứa căn thức – Khóa LTĐH Đảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
- Đáp số:
3

; 1
5
x
 
= −
 
 
21,
5 2 7
5 2 7
x y
y x

+ + − =


+ + − =



5 2 5 2x y y x x y
⇒ + + − = + + − ⇔ =
⇒
ĐS:
( ) ( )
; 11;11x y =

22,
2 1 1
3 2 4

x y x y
x y

+ + − + =


+ =


- Đặt
2 2
2 1 0
1
2 1
1 2
5
0
u x y
u v
u u
v v
u v
v x y

= + + ≥
− =
= = −

 


⇒ ⇒ ∨
   
= = −
+ =
= + ≥
 



- Đáp số:
( ) ( )
; 2; 1x y
= −
23,
2
3 2
2
2
3
2
2 9
2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y


+ = +

− +



+ = +

− +

⇒
ĐS:
( ) ( ) ( )
{ }
; 0;0 ; 1;1x y
=
…………………. Hết …………………
Nguồn: Hocmai.vn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 6 of 6