Sử dụng BĐT Côsi chứng minh BĐT và tìm Min, Max

Bài 1: Sử dụng bất ñẳng thức Côsi c/m BðT và tìm Min, Max – LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI SỬ DỤNG BẤT ðẲNG THỨC CÔSI ðỂ CHỨNG MINH BðT VÀ TÌM
MIN, MAX


Bài 1: Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
CMR:
3
2 2 2 4
x x x
x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +

Giải:
Ta có:

( ) ( )
1 1 1 1 1
2 4
1
2 4
1 1 3
2 4 4 4
1
2 4
x y z x y x z x y x z
x x x
x y z x y x z

y y y x y y z x z
VT
x y z x y y z x y y z x z
z z z
x y z x z y z
 
= ≤ +
 
+ + + + + + +
 

 
≤ +

 
+ + + +
 


   
+ + +

⇒ ≤ + ⇒ ≤ + + =

   
+ + + + + + +
   


 


=≤ +
 
+ + + +

 


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z
Bài 2: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1
CMR:
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x
+ + ≥
+ + +

Giải:
Ta có:

2
2
3
2
1
1 4
9 3
1 3 ( ) 3( ) 3 3

( )
1 4 4 4 4 2
1
1 4
x y
x
y
xyz
y z x y z x y z
y VT x y z
z
z x
z
x

+
+ ≥

+


−
+ + + + + + −

+ ≥ ⇒ ≥ + + − = ≥ =

+


+

+ ≥

+



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
Bài 3: Cho 3 số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0.
Bài 1: Sử dụng bất ñẳng thức Côsi c/m BðT và tìm Min, Max – LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3
CMR:
2 4 2 4 2 4 3 3
x y z
+ + + + + ≥

Giải:

ðặt:

( )
1 1 1 1
3
6 6 6 6
(1)
1
18
4
, , 0
4 à : 2 2 2 3 3 (1)
1

4
ó : 2 1 1 3 2 3. 3.
3 3. 3 3
x
y
z
a
a b c
b V a b c
abc
c
Ta c a a a a a VT a b c
abc

=
>


= ⇒ + + + + + ≥
 
=


=

 
+ = + + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥ + +
 
 
≥ =

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0
Bài 4: Cho 3 số dương tùy ý a,b,c:
Tìm Min:
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2
a b c
A a b b c c a
b c a
 
= + + + + + + + +
 
 

Giải:

( )
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
3 3 3 3 3
3
3 3 3 3 3 3
3
3 3 3
3
2 2 2
3 3

4( ) 4( ) 4( ) 2
ì :4( ) 8 ( ) 4( ) 2
4( ) 4( ) 4( ) 2 6
1 1
à 2 6 6 12 12
a b c
A a b b c c a
b c a
V a b ab a b ab
a b b c c a ab bc ca abc
a b c
V A abc Min A
b c a
abc abc
 
= + + + + + + + +
 
 
+ ≥ ⇒ + ≥
⇒ + + + + + ≥ + + ≥
 
 
+ + ≥ ⇒ ≥ + ≥ ⇒ =
 
 
 
 

D
ấ

u “=” x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi a=b=c=1.
Bài 5
: Cho 3 s
ố
d
ươ
ng tùy ý x,y,z.
Tìm Min c
ủ
a:
1 1 1
2 2 2
x y z
P x y z
yz zx xy
   
 
= + + + + +
   
 
 
   


Giải:
Ta có:

Bài 1: S
ử
d
ụ
ng b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c Côsi c/m B
ð
T và tìm Min, Max – LT
ð
H
ñả
m b
ả
o – Th
ầ
y Phan Huy Kh
ả
i
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi

ệ
t Page 3 of 3

( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3
2
3
2
3
2
3
1 1
2 2 2
1 1 1 1 1 3 1
ì : 3 ( ) à 1 .
2 2 2
( )
3 1 9 9
3 ( ) . .
2 2 2
( )
x y z x y z x y z x y z
P x y z
xyz xyz xyz xyz xyz
V x y z xyz V
xyz xyz xyz
xyz

P xyz MinP
xyz
 
+ + + + + +
= + + + = + = + + +
 
 
 
+ + ≥ + = + + ≥
 
 
⇒ ≥ = ⇒ =

D
ấ
u “=” x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi x=y=z=1
………………….Hết…………………


Nguồn:
Hocmai.vn