Chuyên đề: Phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6

Giáo án BDHSG Toán 6
Chuyên đề :
Sử dụng tính chất: +) Nếu a
M
d và b
M
d thì ma
±
nb
M
d với m, n
∈
Z
+) Nếu a
M
m thì a
±
md
M
d .
với m
∈
Z
+)
a
b
là tối giản khi (a, b) = 1
Bài 1: CMR với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau.
a) 7n +10 và 5n + 7
b) 2n +3 và 4n +8.
Hướng dẫn

a) Gọi (7n + 10, 5n + 7) = d
⇒
7n + 10

d và 5n + 7

d
⇒
5(7n + 10) – 7(5n + 7) = 1

d
⇒
d = 1
Vậy 7n +10 vµ 5n + 7 nguyên tố cùng nhau
b) Gọi (2n + 3, 4n + 8) = d
⇒
2n + 3

d và 4n + 8

d
⇒
(4n + 8) – 2(2n + 3) = 2

d
Mặt khác: 2n + 3 là số lẻ
⇒
d là số lẻ
⇒
d = 1

Vậy 2n +3 vµ 4n + 8 nguyên tố cùng nhau
Bài 2: Tìm các số tự nhiên n > 0 để
19
2
n
n
+
−
là phân số tối giản
Hướng dẫn
Ta có:
19
2
n
n
+
−
=
2 21 21
1
2 2
n
n n
− +
= +
− −
Để
19
2
n

n
+
−
tối giản thì
21
2n −
tối giản
Mà 21 chia hết cho 3 và chia hết cho 7 nên n – 2 phải không chia hết cho 3 và
không chia hết cho 7.
⇒
n – 2
≠
3k (k
∈
N) và n – 2
≠
7p (p
∈
N)
⇒
n
≠
3k + 2 (k
∈
N) và n
≠
7p + 2 (p
∈
N)
Vậy với n

≠
3k + 2 (k
∈
N) và n
≠
7p + 2 (p
∈
N) thì
19
2
n
n
+
−
tối giản
Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n > 0 để
4 5
5 4
n
n
+
+
có thể rút gọn được.
Hướng dẫn
Để
4 5
5 4
n
n
+

+
có thể rút gọn được thì 4n + 5 và 5n + 4 có ƯCLN là d > 1
⇒
4n + 5
M
d và 5n + 4
M
d
⇒
5(4n + 5) – 4(5n + 4)
M
d hay 9
M
d
⇒
4n + 5
M
3 và 5n + 4
M
3
⇒
n – 1
M
3
⇒
n – 1 = 3k
⇒
n = 3k + 1 (k
∈
N)

Vậy với n = 3k + 1 (k
∈
N) thì
4 5
5 4
n
n
+
+
có thể rút gọn được
Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên để
3 2
2 3
2
n n
n
− +
−
là số tự nhiên
1
Giáo án BDHSG Toán 6
Hướng dẫn
Ta có:
3 2
2 3
2
n n
n
− +
−

=
2
3
2
n
n
+
−
Vì n
∈
N nên n
2
∈
N
⇒
Để
3 2
2 3
2
n n
n
− +
−
là số tự nhiên thì n – 2
∈
Ư(3)
⇒
n – 2
∈
{ }

1; 3
⇒
n
∈
{ }
3; 5
Vậy với n
∈
{ }
3; 5
thì
3 2
2 3
2
n n
n
− +
−
là số tự nhiên
Bài 5: Chứng tỏ rằng
230
112
+
+
n
n
là phân số tối giản.
Hướng dẫn
Gọi d là ước chung của 12n + 1và 30n + 2
⇒

12n + 1
M
d và 30n + 2
M
d

⇒
5(12n +1) - 2(30n + 2) =1
M
d
Vậy d =1 nên 12n+1 và 30n + 2 nguyên tố cùng nhau
Do đó
230
112
+
+
n
n
là phân số tối giản
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để phân số
34
1938
+
+
=
n
n
A
a) Có giá trị là số tự nhiên
b) Là phân số tối giản

c) Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được.
Hướng dẫn
Ta cú:
34
187
2
34
187)34(2
34
1938
+
+=
+
++
=
+
+
=
nn
n
n
n
A
a) Để A
∈
N thì 187

4n + 3
⇒
4n +3

∈

{ }
1; 17; 11; 187

+) 4n + 3 = 1
⇒
không có n
∈
N
+) 4n + 3 = 11
⇒
n = 2
+) 4n +3 = 187
⇒
n = 46
+) 4n + 3 = 17
⇒
4n = 14
⇒
không có n
∈
N
Vậy n
∈

{ }
2; 46

b) A là tối giản khi 187 và 4n + 3 có UCLN bằng 1

⇒
4n + 3
≠
11k (k
∈
N) và 4n + 3
≠
17m (m
∈
N)
⇒
4n + 3 - 11
≠
11k (k
∈
N) và 4n + 3 - 51
≠
17m (m
∈
N)
⇒
4(n – 2)
≠
11k (k
∈
N) và 4(n – 12)
≠
17m (m
∈
N)

⇒
n
≠
11k + 2 (k
∈
N) và n
≠
17m +12 (m
∈
N)
c) A rút gọn được khi n =11k + 2 hoặc n =17m +12
Vỡ 150 < n < 170
⇒
n
∈

{ }
156; 165

Bài 7: Cho phân số A
3
1
−
+
=
n
n
(
;zn ∈

3≠n
)
a) Tìm
n
để A có giá trị nguyên.
b) Tìm
n
để A là phân số tối giản.
Hướng dẫn
a) Ta cú:
3
4
1
3
43
3
1
−
+=
−
+−
=
−
+
=
nn
n
n
n
A

2
Giáo án BDHSG Toán 6
⇒
A
có gá trị nguyên
⇔
n-3
∈
{ }
1; 2; 4± ± ±
n - 3 1 -1 2 -2 4 -4
n 4 2 5 1 7 -1
Vậy n
∈
{ }
4; 2; 5; 1; 7; 1−
b) Muốn cho
3
1
−
+
n
n
là phân số tối giản thì ƯCLN(n+1; n-3) = 1
Ta có : (n+1; n-3) = 1
⇔
(n-3; 4) = 1
⇔
n-3
/

M
2
⇔
n là số chẵn
Bài 8: Cho phân số:
314
421
+
+
n
n
. Chứng minh rằng phân số tối giản với mọi số nguyên
Hướng dẫn
Giả sử d = ƯCLN (21n + 4, 14n + 3)
Khi đó 21n + 4

d và 14n + 3

d
Suy ra 2(21n + 4) –3(14n + 3) = -1

d
⇒
d = 1
Vậy
314
421
+
+
n

n
là phõn số tối giản
Bài 9: Cho biểu thức
122
12
23
23
+++
−+
=
aaa
aa
A

a) Rút gọn biểu thức
b) Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a
là một phân số tối giản.
Hướng dẫn
a) Ta có:
122
12
23
23
+++
−+
=
aaa
aa
A
=

1
1
)1)(1(
)1)(1(
2
2
2
2
++
−+
=
+++
−++
aa
aa
aaa
aaa
(a ≠ -1)
b) Gọi d là ước chung lớn nhất của a
2
+ a – 1 và a
2
+a +1
Vì a
2
+ a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ
Mặt khác: 2 = [a
2
+a +1 – (a
2

+ a – 1)]

d
Nên d = 1 tức là a
2
+ a + 1 và a
2
+ a – 1 nguyên tố cùng nhau.
Vậy biểu thức A là phân số tối giản.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * *
CÁC CHUYÊN ĐỀ VỀ PHÂN SỐ
A) Tóm tắt kiến thức cần nắm:
Chuyên đề 1: Khái niệm phân số
+ Ta gọi
a
b
với a ; b
∈ Ζ
; b
≠
0 là một phân số
+ Chú ý : số nguyên a cũng là một phân số : a =
1
a
Bài tập áp dụng: Tìm số nguyên n sao cho phân số
2 15
1
n
n
+

+
là số nguyên
Chuyên đề 2: Phân số bằng nhau
+ Hai phân số
a c
b d
=
nếu a.d = b.c
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm số nguyên x biết
3
Giáo án BDHSG Toán 6
a)
5
12 72
x
=
b)
3 1
15 3
x + −
=
Bài 2: Tìm các số nguyên x ; y ; z biết
12 21
16 4 80
x z
y
−
= = =
−

Bài 3* : Tìm các số nguyên x ; y biết
3 3
7 7
x
y
+
=
+
và x + y = 20
Bài 4*: Có hay không số nguyên n để các phân số
6 5
;
3 3
n n+ +
đồng thời nhận
giá trị nguyên.
Chuyên đề 3: Tính chất cơ bản của phân số - Rút gọn phân số
1) Tính chất cơ bản của phân số
+ Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0
thì được phân số mới bằng phân số đã cho.
.
.
a a m
b b m
=
( với m
∈ Ζ
; m
≠
0 )

+ Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số với một ước chung của chúng
thì đươc một phân số mới bằng phân số đã cho
:
:
a a n
b b n
=
( với n
∈
ƯC(a ; b ) )
2) Rút gọn phân số : Ta dùng tính chất 2 để rút gọn phân số
+ Quy tắc rút gọn phân số : Muốn rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu của
nó với một ước chung của chúng ( ước chung này khác 1 và – 1)
+ Phân số tối giản là phân số không còn rút gọn được nữa. Ưóc chung của tử
và mẫu chỉ có thể là 1 hoặc – 1
+ Muốn rút gọn một phân số đến tối giản ta chia cả tử và mẫu của chúng với
ước chung lớn nhất của chúng.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Chứng tỏ rằng các phân số sau đây bằng nhau
a)
23 2323 232323
; ;
99 9999 999999
b)
9909 29727 39636
; ;
8808 26424 35232
Bài 2: Tìm phân số bằng phân số
11
15

biết tổng của tử và mẫu của nó bằng
2002.
Bài 3: Tìm một phân số bằng phân số
2
3
−
sao cho
a) Tử của nó bằng 8 ; bằng 24 ; bằng 14
b) Mẫu của nó bằng 9 ; bằng 21 ; bằng 60
Bài 4: Tìm phân số tối giản
a
b
biết
a) Cộng tử với 4 , cộng mẫu với 10 thì giá trị phân số không đổi
b) Cộng mẫu vào tử , cộng mẫu vào mẫu của phân số thì được phân
số mới
bằng hai lần phân số đã cho.
B) Bài tập tổng hợp
4
Giáo án BDHSG Toán 6
Bài 1: Cho biểu thức A =
4
1n
−
−
( với n
∈
Z )
a) Số nguyên n phải có điều kiện gì để A là phân số
b) Tìm các số nguyên n để A có giá trị nguyên

Bài 2: Cho phân số B =
4
n
n −
( với n
∈
Z )
a) Tìm số nguyên n để B là một phân số
b) Tìm tất cả các số nguyên n để B có giá trị nguyên
Bài 3: Chứng minh rằng các phân số sau có giá trị là số tự nhiên
a)
2011
10 2
3
+
b)
2010
10 8
9
+
Bài 4: Tìm các số nguyên x ; y biết
a)
15
15 25
x
=
−
b)
36 44
2 77y

=
−
Bài 5: Tìm các số nguyên x ; y biết
a)
4
3
x
y
=
−
b)
2
9
y
x
=
−
Bài 6: Tìm các số nguyên x ; y biết
a)
2
5
x
y
=
b)
3 7
x y
=
Bài 7: Lập các phân số bằng nhau từ 4 số - 6 ; - 2 ; 3 và 9
Bài 8: Rút gọn các phân số sau

a)
1999 9
9999 95
( có 10 chữ số 9 ở tử và 10 chữ số 9 ở mẫu )
b)
121212
424242
c)
3.7.13.37.39 10101
505050 70707
−
+
Bài 9*: Tìm các phân số
a
b
có giá trị bằng
a)
36
45
và BCNN (a ; b ) = 300 b)
21
35
và ƯCLN( a;b ) = 30
c)
15
35
biết ƯCLN( a ; b ) x BCNN (a ; b ) = 3549
Bài 10: Cho phân số
1 2 3 9
11 12 13 19

+ + + +
+ + + +
a) Rút gọn phân số đó
b) Hãy xóa đi một số hạng ở tử và xóa đi một số hạng ở mẫu để được phân
số có giá
trị bằng phân số đã cho
Bài 11*:
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số
21 4
14 3
n
n
+
+
là phân số tối
giản
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số
3
12
n
n
+
−
là phân số tối giản
5
Giáo án BDHSG Toán 6
c) Tìm các số tự nhiên n để phân số
21 3
6 4
n

n
+
+
rút gọn được
Bài 12*Cho p =
4
2 1
n
n
+
−
( với n
∈
Z ) . Tìm các giá trị của n để p là số nguyên tố
Bài 13: Tìm các số nguyên n để các phân số sau nhận giá trị nguyên
a)
12
3 1n −
b*)
2 3
7
n +
c)
3
2 2
n
n
+
−
Bài 14*: Tìm các số tự nhiên n để các phân số sau tối giản

a)
2 3
4 1
n
n
+
+
b)
3 2
7 1
n
n
+
+
c)
2 7
5 2
n
n
+
+
Bài 15: Chứng minh rằng mọi số phân số có dạng :
a)
1
2 3
n
n
+
+
( với n là số tụ nhiên )

b)
2 3
3 5
n
n
+
+
( với n là số tụ nhiên ) đều là phân số tối giản
Bài 16: Rút gọn cá phân số sau:
a)
22
36
−
b)
147
234
c)
143
363
−
Bài 17: Rút gọn cá phân số sau:
a)
4.7.22
33.14
b)
5 4
6
3 .2
8.3
c)

9.6 9.2
18
−
Bài 18: Tìm các số nguyên x ; y biết
7 42
21 54
y
x
−
= =
Bài 19*: Tìm số tự nhiên n sao cho phân số A =
8 193
4 3
n
n
+
+
a) Có giá trị là số tự nhiên
b) Là phân số tối giản
c) Với giá trị nào của n ( 150
≤
n
≤
170 ) thì phân số A rút gọn được
Bài 20* : Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho các phân số sau đều là phân số tối
giản
5 6 7 17
; ; ; ;
8 9 10 20n n n n+ + + +
Bài 21 : So sánh các phân số

ab
cd
và
abab
cdcd
6
Giáo án BDHSG Toán 6
7