Một số bài hình học giải tích trong kỳ thi tuyển sinh đại học

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 1 -

Hình học giải tích trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học(ñề chính thức)


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013:
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho hình chữ nhật ABCD có ñiểm C thuộc ñường
thẳng
: 2 5 0
d x y
+ + =
và
(
)
4;8
A −
. Gọi M là ñiểm ñối xứng của B qua C, N là hình chiếu
vuông góc của B lên ñường thẳng MD. Tìm tọa ñộ các ñiểm B và C, biết rằng
(
)
5; 4
N
−

2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho ñường thẳng
6 1 2
:
3 2 1

x y z
− + +
∆ = =
− −
và ñiểm
(
)
1;7;3
A
. Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A và vuông góc với ñường thẳng
∆
. Tìm tọa
ñộ ñiểm M thuộc
∆
sao cho
2 30
AM =

Hướng dẫn giải

1. Do C thuộc vào ñường thẳng d nên tọa ñộ của C có dạng
(
)
; 2 5
C t t
− −
. Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD, suy ra I là
trung ñiểm của AC.
Do ñó:
4 2 3

;
2 2
t t
I
− − +
 
 
 

Tam giác BDN vuông tại N nên
IN IB
=
. Suy ra
IN IA
=
.
Do ñó ta có phương trình
( )
2 2 2 2
4 2 3 4 2 3
5 4 4 8
2 2 2 2
1 1; 7
t t t t
t C
− − + − − +
       
− + − − = − − + −
       
       

⇔ = ⇒ −

Do M ñối xứng với B qua C nên
CM CB
=
. Mà
CB AD
=
và CM song song AD nên tứ giác
ACMD là hình bình hành . Suy ra AC song song DM . Theo giả thiết BN vuông góc DM , suy
ra
BN AC
⊥
và CB = CN. Vậy B là ñiểm ñối xứng của N qua AC.
ðường thẳng BN qua N và vuông góc với AC nên có phương trình
3 17 0
x y
− − =
.
Do ñó:
(
)
3 17;
B a a
+
.
Trung ñiểm BN thuộc AC nên
( )
3 17 5 4
3 4 0 7 4; 7

2 2
a a
a B
+ + −
 
+ + = ⇔ = − ⇒ − −
 
 


2.
∆
có vector chỉ phương là
( )
3; 2;1
u = − −


Mặt phẳng (P) ñi qua A và nhận
u

là vector pháp tuyến nên
(
)
P
có phương trình
(
)
(
)

(
)
3 1 2 7 3 0 3 2 14 0
x y z x y z
− − − − + − = ⇔ + − − =

M thuộc
∆
nên
(
)
6 3 ; 1 2 ; 2
M t t t
− − − − +

( ) ( ) ( )
2 2
2
1
2 30 6 3 1 1 2 7 2 3 120 7 4 3 0
3
7
t
AM t t t t t
t
=


= ⇔ − − + − − − + − + − = ⇔ − − = ⇔


= −



Vậy có hai ñiểm M thỏa mãn
(
)
3; 3; 1
M
− −
hoặc
51 1 17
; ;
7 7 7
M
 
− −
 
 




TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 2 -

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013:
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho ñường thẳng

: 0
x y
∆ − =
. ðường tròn (C) có
bán kính
10
R =
cắt
∆
tại hai ñiểm A và B sao cho
4 2
AB =
. Tiếp tuyến của ñường tròn (C)
tại A và B cắt nhau tại một ñiểm thuộc tia Oy. Viết phương trình ñường tròn (C)
2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. , cho mặt phẳng
(
)
: 2 3 11 0
P x y z
+ + − =
và mặt
cầu
(
)
2 2 2
: 2 4 2 8 0
S x y z x y z
+ + − + − − =
. Chứng minh mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S).
Tìm tọa ñộ tiếp ñiểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).

Hướng dẫn giải
Gọi M là giao ñiểm của tiếp tuyến tại A và B của (C), H là
giao ñiểm của AB và IM. Khi ñó
(
)
0;
M t
với
0
t
≥
; H là
trung ñiểm của AB. Suy ra
2 2
2
AB
AH = =

2 2 2
1 1 1
2 10
AM
AH AM AI
= + ⇒ =

Do ñó:
2 2
4 2
MH AM AH= − =

Mà
( )
;
2
t
MH d M= ∆ =
nên t = 8. Do ñó:
(
)
0;8
M


ðường thẳng IM qua M và vuông góc với
∆
nên có phương trình
8 0
x y
+ − =
. Do ñó, tọa ñộ
của ñiểm H thỏa mãn hệ phương trình
( )
0
4;4
8 0
x y
H
x y
− =


⇒

− − =


Ta có:
2 2
1
2
4
IH IA AH HM
= − = =
nên
( )
1
5;3
4
IH HM I= ⇒
 

Vậy ñường tròn (C) có phương trình
( ) ( )
2 2
5 3 10
x y
− + − =


2. (S) có tâm
(

)
1; 2;1
I −
và bán kính
14
R =

( )
( )
(
)
2 2 2
2.1 3 2 1.1 11
14
,
14
2 3 1
d I P R
+ − + −
= = =
+ +
. Do ñó mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)
Gọi M là tiếp ñiểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S). Suy ra M thuộc ñường thẳng I và vuông
góc với mặt phẳng (P). Do ñó:
(
)
1 2 ; 2 3 ;1
M t t t
+ − + +

Do M thuộc mặt phẳng (P) nên
(
)
(
)
(
)
2 1 2 3 2 3 1 11 0 1
t t t t
+ + − + + + − = ⇔ =
Vậy
(
)
3;1;2
M


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013:
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn
Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho hình thang cân ABCD có hai ñường chéo
vuông góc với nhau và
3
AD BC
=
. ðường thẳng BD có phương trình
2 6 0
x y
+ − =
và tam
giác ABD có trực tậm

(
)
3;2
H −
. Tìm tọa ñộ các ñỉnh C và D
2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho ñiểm
(
)
3;5;0
A
và mặt phẳng
(
)
: 2 3 7 0
P x y z
+ − − =
. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua A và vuông góc với mặt
phẳng (P). Tìm tọa ñộ ñiểm ñối xứng của A qua (P)
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 3 -

Gọi I là giao ñiểm của AC và BD

IB IC
⇒ =

Mà
IB IC
⊥
nên
IBC
∆
vuông cân tại I

0
45
ICB⇒ =
.
BH AD BH BC HBC
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆
vuông cân tại B.
I
⇒
là trung ñiểm của ñoạn thẳng HC.
Do
CH BD
⊥
và trung ñiểm I của CH thuộc BD nên
tọa ñộ của C là nghiệm của hệ phương trình
(
)
(
)

2 3 2 0
3 2
2 6 0
2 2
x y
x y
+ − − =


− +
 
+ − =
 

 

.
Do ñó:
(
)
1;6
C −


Ta có:
2 2
1 10
3 10 5 2
3 2
IC IB BC CH

ID IC CD IC ID IC
ID ID AD
= = = ⇒ = ⇒ = + = = =

Ta có:
(
)
6 2 ;
D t t
−
và
5 2
CD =
suy ra
( ) ( )
2 2
1
7 2 6 50
7
t
t t
t
=

− + − = ⇔

=


Do ñó:

(
)
4;1
D
hoặc
(
)
8;7
D −

2. Mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến là
( )
2;3; 1
n
= −


ðường thẳng
∆
qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) nhận
( )
2;3; 1
n
= −

làm vector chỉ
phương, nên có phương trình
3 5
2 3 1
x y z

− −
= =
−

Gọi B là ñiểm ñối xứng của A qua (P), suy ra B thuộc
∆
. Do ñó
(
)
3 2 ;5 3 ;
B t t t
+ + −

Trung ñiểm của ñoạn thẳng AB thuộc (P) nên
( )
10 3
2 3 3 7 0 2
2 2
t t
t t
+
   
+ + − − − = ⇔ = −
   
   

Do ñó:
(
)
1; 1;2

B − −

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2013:
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho tam giác ABC có chân ñường cao hạ từ
ñỉnh A là
17 1
;
5 5
H
 
−
 
 
, chân ñường phân giác trong của góc A là
(
)
5;3
D
và trung ñiểm của
cạnh AB là
(
)
0;1
M
. Tìm tọa ñộ ñỉnh C
2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho các ñiểm
(
)
(

)
1; 1;1 , 1;2;3
A B− −
và ñường
thẳng
1 2 3
:
2 1 3
x y z
+ − −
∆ = =
−
. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua A, vuông góc với hai
ñường thẳng AB và
∆
.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Ta có
H AH
∈
và
AH HD
⊥
nên AH có phương

trình
2 3 0
x y
+ − =
. Do ñó:
(
)
3 2 ;
A a a
−

Do M là trung ñiểm của AB nên
MA MH
=

Suy ra
( ) ( )
2 2
3
3 2 1 13
1
5
a
a a
a
=


− + − = ⇔


= −



Do A khác H nên
(
)
3;3
A −

Phương trình ñường thẳng AD là
3 0
y
− =
.

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 4 -

Gọi N là ñiểm ñối xứng của M qua AD.
Suy ra
N AC
∈
và tọa ñộ của N thỏa mãn hệ phương trình
( )
( )
1
3
2

0;5
1. 0. 1 0
y
N
x y
+

−

⇒


+ − =


ðường thẳng AC có phương trình
2 3 15 0
x y
− + =

ðường thẳng BC có phương trình
2 7 0
x y
− − =

Suy ra tọa ñộ của C thỏa mãn hệ phương trình
( )
2 7 0
9;11
2 3 15 0

x y
C
x y
− − =

⇒

− + =


2. Ta có:
( )
2;3;2
AB = −

vector chỉ phương của
∆
là
( )
2;1;3
u −


ðường thẳng vuông góc với AB và
∆
có vector chỉ phương là
;
v AB u
 
=

 
 

Suy ra
( )
7;2;4
v =


ðường thẳng ñi qua A và vuông góc với AB và
∆
có phương trình là
1 1 1
7 2 4
x y z
− + −
= =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2013:
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho tam giác ABC có ñiểm
9 3
;
2 2
M
 
−
 
 
là

trung ñiểm của cạnh AB, ñiểm
(
)
2;4
H −
và ñiểm
(
)
1;1
I −
lần lượt là chân ñường cao kẻ từ
B và tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa ñộ ñiểm C
2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. , cho các ñiểm
(
)
(
)
1; 1; 2 , 0;1;1
A B− − −
và mặt
phẳng
(
)
: 1 0
P x y z
+ + − =
. Tìm tọa ñộ hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P). Viết
phương trình mặt phẳng ñi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (P)
H
ướ

ng d
ẫ
n gi
ả
i

7 1
;
2 2
IM
 
= −
 
 

ta có
M AB
∈
và
AB IM
⊥
nên ñường thẳng AB
có phương trình
7 33 0
x y
− + =

(
)
;7 33

A AB A a a∈ ⇒ +
. Do M là trung ñiểm của AB nên
(
)
9; 7 30
B a a− − − −
.
Ta có
. 0
HA HB HA HB
⊥ ⇒ =
   

2
4
9 20 0
5
a
a a
a
= −

+ + = ⇒

= −



Với
(

)
(
)
4 4;5 , 5; 2
a A B
= − ⇒ − − −
. Ta có
BH AC
⊥
nên ñường thẳng AC có phương trình
2 6 0
x y
+ − =
, Do ñó
(
)
6 2 ;
C c c
−
. Từ
( ) ( )
2 2
7 2 1 25.
IC IA c c
=
⇒
− + − =
Do ñó
1
5

c
c
=


=

. Do C
khác A nên
(
)
4;1
C
.
Với
(
)
(
)
5 5; 2 , 4;5
a A B= − ⇒ − − −
Ta có
BH AC
⊥
nên ñường thẳng AC có phương trình
2 8 0
x y
− + =
Do ñó
(

)
;2 8
C t t
+
.
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 5 -

Từ
( ) ( )
2 2
1 2 7 25
IC IA t t
= ⇒ + + + =
Do ñó,
1
5
t
t
= −


= −

do C khác A nên
(
)
1;6
C −

2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P). Suy ra
(
)
1 ; 1 ; 2
H t t t
− + − + − +

( ) ( ) ( ) ( )
5
1 1 2 1 0
3
H P t t t t
∈ ⇔ − + + − + + − + − = ⇔ =
. Do ñó:
2 2 1
; ;
3 3 3
H
 
−
 
 

Gọi (Q) là mặt phẳng cần viết phương trình . Ta có
( )
1;2;3
AB =

và vector pháp tuyến của (P) là

( )
1;1;1
n =

. Do ñó (Q) có vector pháp tuyến là
( )
' 1;2; 1
n
= − −


Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là
2 1 0
x y z
− + + =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2013:
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy, cho ñường tròn
( ) ( ) ( )
2 2
: 1 1 4
C x y
− + − =
và
ñường thẳng
: 3 0
y
∆ − =
. Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), các ñỉnh N và

P thuộc ñường thẳng
∆
, ñỉnh M và trung ñiểm của cạnh MN thuộc ñường tròn (C). Tìm
tọa ñộ ñiểm P.
2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho ñiểm
(
)
1;3; 2
A
− −
và mặt phẳng
(
)
: 2 2 5 0
P x y z
− − + =
. Tính khoảng cách từ A ñến mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng
ñi qua A và song song với mặt phẳng (P).
Hướng dẫn giải


Tâm của ñường tròn (C) là
IM
vuông góc với
∆
nên có
phương trình
1
x
=

. Do ñó
(
)
1;
M a

Do
(
)
M C
∈
nên
( )
2
1
1 4
3
a
a
a
= −

− = ⇔

=


Mà
M
∉∆

nên ta ñược
(
)
1; 1
M
−

(
)
;3
N N b
∈∆ ⇒
. Trung ñiểm MN thuộc (C)
( )
2
2
5
1
1 1 1 4
3
2
b
b
b
=

+
 
⇒ − + − = ⇒
 


= −
 



Do ñó:
(
)
( )
5;3
3;3
N
N


−


,
(
)
;3
P P c
∈∆ ⇒

Khi
(
)
5;3

N
, từ
1
MP IN c
⊥ ⇒ = −
 
. Do ñó
(
)
1;3
P −

Khi
(
)
3;3
N −
từ
3
MP IN c
⊥ ⇒ =
 
. Do ñó
(
)
3;3
P


2. Ta có:

( )
( )
(
)
(
)
( ) ( )
2 2
2
1 2.3 2 2 5
2
,
3
1 2 2
d A P
− − − − +
= =
+ − + −

Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là
( )
1; 2; 1
n
= − −


Phương trình mặt phẳng cần tìm là
2 2 3 0
x y z
− − + =

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 6 -

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2012:
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho hình chữ nhật ABCD, các ñường thẳng
AC và AD lần lượt có phương trình là
3 0
x y
+ =
và
4 0
x y
− + =
; ñường thẳng BD ñi qua
ñiểm
1
;1
3
M
 
−
 
 
. Tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật ABCD

2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho mặt phẳng
(
)
: 2 2 10 0
P x y z
+ − + =
và
ñiểm
(
)
2;1;3
I
. Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo một ñường tròn
có bán kính bằng 4
Hướng dẫn giải

Tọa ñộ ñiểm A thỏa mãn hệ phương trình
( )
3 0
3;1
4 0
x y
A
x y
+ =

⇒ −

− + =


Gọi N là ñiểm thuộc AC sao cho MN song song voái
AD. Suy ra MN có phương trình là
4
0
3
x y
− + =
. Vì N
thuộc ñường thẳng AC nên tọa ñộ của ñiểm N là
nghiệm của hệ phương trình
4
0
1
1;
3
3
3 0
x y
N
x y

− + =

 
⇒ −

 
 


+ =

.


ðường trung trực
∆
của MN ñi qua trung ñiểm của MN và vuông góc với AD nên ta có
phương trình
0
x y
+ =

Gọi I và K lần lượt là giao ñiểm của
∆
với AC và AD.
Suy ra tọa ñộ của ñiểm I thỏa mãn hệ phương trình
0
3 0
x y
x y
+ =


+ =

và tọa ñộ của ñiểm K thỏa mãn
hệ phương trình
0
4 0

x y
x y
+ =


− + =

. Do ñó
(
)
0;0
I
và
(
)
2;2
K −

Ta có:
( ) ( )
2. 3; 1 ; 2 1;3
AC AI C AD AK D= ⇒ − = ⇒ −
   
.
( )
1; 3
BC AD B
= ⇒ −
 

2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P). Suy ra H là tâm của ñường tròn giao
tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cần viết phương trình. Ta có
(
)
(
)
; 3
IH d I P
= =

Bán kính của mặt cầu (S) là
2 2
3 4 5
R
= + =

Vậy phương trình mặt cầu (S) là :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 3 25
x y z
− + − + − =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2012:
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho ñường thẳng
: 2 3 0
d x y
− + =
> viết

phương trình ñường tròn có tâm thuộc ñường thẳng d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại
C và D sao cho
2
AB CD
= =

2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho ñường thẳng
1 1
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−
và hai
ñiểm
(
)
(
)
1; 1;2 , 2; 1;0
A B− −
. Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M thuộc ñường thẳng d sao cho tam giác
AMB vuông tại M.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi

ả
i
Gọi I là tâm của ñường tròn (C) cần viết phương trình
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 7 -

Di I thuộc ñường thẳng d nên tọa ñộ của I có dạng
(
)
;2 3
I t t
+

( ) ( )
1
; , 2 3
3
t
AB CD d I Ox d I Oy t t
t
= −

= ⇔ = ⇔ = + ⇔

= −


Với t = -1 ta ñược
(

)
1;1
I −
, nên
(
)
, 1
d I Ox
=
suy ra bán kính của ñường tròn (C) là
2 2
1 1 2
+ =
. Do ñó,
( ) ( ) ( )
2 2
: 1 1 2
C x y
+ + − =

Với
3
t
= −
ta ñược
(
)
3; 3
I
− −

nên
(
)
, 3
d I Ox
=
suy ra bán kính của ñường tròn
(
)
C
là
2 2
3 1 10
+ =
. Do ñó
( ) ( ) ( )
2 2
: 3 3 10
C x y
+ + + =

2. Do M thuộc ñường thẳng d nên tọa ñộ của M có dạng
(
)
1 2 ; 1 ;
M t t t
+ − −

Ta có:
( ) ( )

2 ; ; 2 , 1 2 ; ;
AM t t t BM t t t
= − − = − + −
 

Tam giác AMN vuông tại M
. 0
AM BM
=
 

( ) ( )
2 2
0
2 1 2 2 0 6 4 0
2
3
t
t t t t t t t
t
=


⇔ − + + + − = ⇔ − = ⇔

=



Do ñó có có 2 ñiểm M thỏa mãn

(
)
1; 1;0
7 5 2
; ;
3 3 3
M
M
−

 

−
 

 


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2012:
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho các ñường tròn
(
)
2 2
1
: 4
C x y
+ =
, ñường
tròn

(
)
2 2
2
: 12 18 0
C x y x
+ − + =
và ñường thẳng
: 4 0
d x y
− − =
. Viết phương trình ñường
tròn có tâm thuộc
(
)
2
C
, tiếp xúc với ñường thẳng d và cắt ñường tròn
(
)
1
C
tại hai ñiểm
phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với ñường thẳng d
2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho ñường thẳng
1
:
2 1 2
x y z
d

−
= =
−
và hai
ñiểm
(
)
(
)
2;1;0 , 2;3;2
A B −
. Viết phương trình mặt cầu ñi qua A, B và có tâm thuộc ñường
thẳng d.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i

ðường tròn
(
)
1
C
có tâm là gốc tọa ñộ O. Gọi I là tâm của
ñường tròn
(
)

C
cần viết phương trình , ta có
AB OI
⊥
.
Mà
AB d
⊥
và
O d
∉
và
//
OI d
, do ñó OI có phương
trình
y x
=
.
Mặt khác I thuộc vào ñường thẳng
(
)
2
C
nên tọa ñộ của I
thỏa mãn hệ phương trình
( )
2 2
3
3;3

3
12 18 0
y x
x
I
y
x y x
=
=


⇔ ⇒
 
=
+ − + =



Do
(
)
C
tiếp xúc với ñường thẳng d nên
(
)
C
có bán kính
(
)
, 2 2

R d I d= =

Vậy phương trình
(
)
C
là
( ) ( ) ( )
2 2
: 3 3 8
C x y
− + − =



2. Gọi (S) là mặt cầu cần viết phương trình và I là tâm của mặt cầu (S)
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 8 -

Do I thuộc ñường thẳng d nên tọa ñộ của ñiểm I có dạng
(
)
1 2 ; ; 2
I t t t
+ −

Do A và B thuộc vào mặt cầu (S) nên
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2

2
2 1 1 4 2 3 3 2 2 1
AI BI t t t t t t t
= ⇒ − + − + = + + − + + ⇒ = −

Do ñó
(
)
1; 1;2
I − −
và bán kính mặt cầu là
17
IA =

Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 2 17
x y z
+ + + + − =


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2012:
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho hình thoi ABCD có
2
AC BD
=
và ñường
tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình

2 2
4
x y
+ =
. Viết phương trình
chính tắc của (E) ñi qua các ñỉnh A,B,C,D của hình thoi biết A thuộc Ox
2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho
(
)
(
)
0;0;3 , 1;2;0
A M
. Viết phương trình
mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B,C sao cho tam giác ABC có trọng
tâm thuộc ñường thẳng AM
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i


1. Giả sử
( ) ( )
2 2
2 2
: 1 0

x y
E a b
a b
+ = > >
. Hình thoi ABCD có
2
AC BD
=
và A,B,C,D thuộc (E) suy ra
2
OA OB
=
. Không mất
tính tổng quát ta có thể xem
( )
;0 , 0;
2
a
A a B
 
 
 
. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của O trên AB. Suy ta OH là bán kính của ñường tròn
(C)
2 2
4
x y
+ =

Ta có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4
4
OH OA OB a a
= = + = +

Suy ra
2 2
20 5
a b
= ⇒ =
vậy phương trình chính tắc của (E) là
( )
2 2
: 1
20 5
x y
E
+ =

2. Do B và C lần lượt thuộc trục Ox và Oy nên tọa ñộ của B và C lần lượt có dạng
(
)
(
)
;0;0 , 0; ;0
B b C c
. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra
; ;1

3 3
b c
G
 
 
 

Ta có
( )
1;2; 3
AM
= −

nên ñường thẳng AM có phương trình
3
1 2 3
x y z
−
= =
−

Do G thuộc ñường thẳng AM nên
2
2
4
3 6 3
b
b c
c
=


−
= = ⇒

=
−


Do ñó phương trình của mặt phẳng (P) là
1
4 4 3
x y z
+ + =
, nghĩa là (P):
6 3 4 12 0
x y z
+ + − =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2012
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung ñiểm
của BC, N là ñiểm nằm trên cạnh CD sao cho
2
CN ND
=
. Giả sử
11 1
;
2 2
M

 
 
 
và ñường
thẳng AN có phương trình
2 3 0
x y
− − =
. Tìm tọa ñộ của ñiểm A
2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. , cho ñường thẳng
1 2
:
1 2 1
x y z
d
+ −
= =
và ñiểm
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 9 -

(
)
0;0;3
I
. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt ñường thẳng d tại hai ñiểm phân
biệt A và B sao cho tam giác IAB vuông góc tại I
Hướng dẫn giải

Gọi H là giao ñiểm của AN và BD. Kẻ ñường thẳng qua H
và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại P và Q.
ðặt
HP x
=
. Suy ra
, 3 , 3
PD x AP x HQ x
= = =

Ta có
QC x
=
, nên
MQ x
=
. Do ñó
AHP HMQ
∆ = ∆
suy ra
AH HM
⊥

Hơn nữa ta cũng có
AH HM
=
. Do ñó,
( )
( )
( )

2 2
2
3 10
2 2 ; ; ;2 3
2
1
3 10 11 7 45
2 5 4 0
4
2 2 2 2
AM MH d M AN A AN A t t
t
AM t t t t
T
= = = ∈ ⇒ −
=

   
= ⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔
   

=
   


Vậy
(
)
( )
1; 1

4;5
A
A
−








2. Vector chỉ phương của ñường thẳng d là
( )
1;2;1
a =

. Gọi H là trung ñiểm của AB suy ra
IH AB
⊥
. Ta có H là ñiểm thuộc ñường thẳng d nên tọa ñộ của H có dạng
( ) ( )
1;2 ; 2 1;2 ; 1
H t t t IH t t t
− + ⇒ = − −


1 2 2 2
. 0 1 4 1 0 ; ;
3 3 3 3

IH AB IH a t t t IH
 
⊥ ⇔ = ⇔ − + − = ⇔ = ⇒ = − −
 
 
  

Tam giác IAH vuông cân tại H, suy ra bán kính của mặt cầu (S)
Là
2 6
2
3
R IA IH= = =

Do ñó phương trình mặt cầu (S) cần tìm là
( ) ( )
2
2 2
8
: 3
3
S x y z
+ + − =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2012
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao
Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho ñường tròn
(
)
2 2

: 8
C x y
+ =
. Viêt phương
trình chính tắc của Elip(E), biết rằng (E) có ñộ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn
ñểm phân biệt tạo thành hình vuông.
2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. , cho ñường thẳng
1 2
:
2 1 1
x y z
d
+ −
= =
, mặt
phẳng
(
)
: 2 5 0
P x y z
+ − + =
và ñiểm
(
)
1; 1;2
A −
. Viết phương trình ñường thẳng
∆
cắt d và
(P) lần lượt tại hai ñiểm M và N sao cho A là trung ñiểm của ñoạn thẳng MN

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i


Phương trình chính tắc của Elíp (E) có dạng
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =

với
0
a b
> >
và
2 8 4
a a
=
⇒
=
.
Do Elíp (E) và ñường tròn (C) cùng nhận Ox và Oy làm
trục ñối xứng và các giao ñiển là các ñỉnh của một hình

vuông nên Elíp (E) và ñường tròn (C) có một giao ñiểm
với tọa ñộ dạng
(
)
;
A t t
(t > 0)
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 10 -


Do A thuộc ñường tròn (C) nên ta có:
( ) ( )
2 2 2
2
4 4 16
8 2 2;2 1
16 3
t t t A E b
b
+ = ⇒ = ⇒ ∈ ⇔ + = ⇔ =

Vậy phương trình chính tắc của Elíp (E) là
2 2
1
16
16
3
x y

+ =

2. M thuộc ñường thẳng d suy ra tọa ñộ của ñiểm M có dạng
(
)
2 1; ; 2
M t t t
− +

MN nhận A là trung ñiểm , suy ra
(
)
3 2 ; 2 ;2
N t t t
− − − −

N thuộc mặt phẳng (P)
(
)
(
)
3 2 2 2 2 5 0 2 3;2;4
t t t t M− − − − − + = ⇔ = ⇒

ðường thẳng
∆
ñi qua A và M có phương trình
1 1 2
:
2 3 2

x y z
− + −
∆ = =

Trích ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng - năm 2012
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho ñường tròn
(
)
2 2
: 2 4 1 0
C x y x y
+ − − + =
và
ñường thẳng
4 3 0
x y m
− + =
. Tìm ñể ñường thẳng d cắt ñường tròn (C) tại hai ñiểm phân
biệt A và B sao cho

0
120
AIB =
, với I là tâm của ñường tròn (C)
2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho hai ñường thẳng
1 2
,
d d
có phương trình

( )
1
: 2
1
x t
d y t t R
z t
=


= ∈


= −

( )
2
1 2
: 2 2
x s
d y s s R
z s
= +


= + ∈


= −


Chứng minh
1 2
,
d d
cắt nhau và viết phương trình mặt phẳng chứa hai ñường thẳng
1 2
,
d d

Hướng dẫn giải
1. ðường tròn (C) có tâm
(
)
1;2
I
, bán kính
2
R
=

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên ñường thẳng d, khi ñó :

0 0
120 .cos60 1
AIB IH IA
= ⇔ = =

Do ñó:
7

2
1
3
5
m
m
m
=
−

= ⇔

= −


2. Xét hệ phương trình
( )
1 2
2 2 2 *
1
t s
t s
t s
= +


= +


− = −



Giải hệ phương trình (*)ta ñược
1 2
1
,
0
t
d d
s
=

⇒

=

cắt nhau
ðường thẳng
1
d
có vector chỉ phương là
( )
1
1;2; 1
u
= −


ðường thẳng
2

d
có vector chỉ phương là
( )
2
2;2; 1
u
= −

. Mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng ñi qua
ñiểm
(
)
1
0;0;1
I d
∈
và có một vector pháp tuyến là
( )
1 2
, 0; 1; 2
u u
 
= − −
 
 

Phương trình mặt phẳng cần tìm là
2 2 0
y z
+ − =

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 11 -

Trích ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng - năm 2012
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho tam giác ABC, các ñường thẳng BC,
BB’,B’C’ lần lượt có phương trình là
2 0
y
− =
,
2 0
x y
− + =
,
3 2 0
x y
− + =
, với B’ và C’
tương ứng là chân ñường cao kẻ từ các ñỉnh B và C của tam giác ABC. Biết pr các ñường
thẳng AB và AC.
2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. , cho ñường thẳng
2 1 1
:
1 1 1
x y z
d

− + +
= =
− −
và
mặt phẳng (P):
2 2 0
x y z
+ − =
. ðường thẳng
∆
nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với
ñường thẳng d tại giao ñiểm của ñường thẳng d và mặt phẳng (P). Viêt pr ñường thẳng
∆

Hướng dẫn giải
1. Tọa ñộ của ñiểm B’ là nghiệm của hệ phương trình
2 0
3 2 0
x y
x y
− + =


− + =

, giải hệ phương trình này
ta ñược
( )
2
' 2;0

0
x
B
y
= −

⇔ −

=


ðường thẳng AC ñi qua ñiểm B’ và vuông góc với BB’ nên AC có phương trình
2 0
x y
+ + =

Tọa ñộ của B là nghiệm của hệ phương trình
( )
2 0
0;2
2 0
x y
B
y
− + =

⇔

− =


Tọa ñộ của C là nghiệm của hệ phương trình
( )
2
4;2
2 0
x y
C
y
+ +

⇔ −

− =


Nếu
4 2
' ;
5 5
C
 
−
 
 
thì ñường thẳng AB có phương trình là
2 2 0
x y
− + =

Nếu
(
)
' 2;0
C −
thì ñường thẳng AB có phương trình là
2 0
x y
− + =

2. Gọi I là giao ñiểm của ñường thẳng d và mặt phẳng (P),
(
)
1; 2;0
I −

Mặt phẳng (P) có một vector pháp tuyến là
( )
2;1; 2
P
n
= −

, ñường thẳng d có một vector chỉ
phương là
( )
1; 1;1
d
u = − −


( )
; 1;0; 1
P d
n u
 
= − −
 
 
, ñường thẳng
∆
nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với ñường thẳng d khi
và chỉ khi
∆
có một vector chỉ phương là
;
P d
u n u
∆
 
=
 
  

Do ñó phương trình ñường thẳng
∆
là
( )
1
2

x t
y t R
z t
= −


= − ∈


= −


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2011:
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho tam giác ABC có ñỉnh
(
)
4;1
B −
, trọng tâm
(
)
1;1
G
và ñường thẳng chứa phân giác trong của góc

A
có phương trình
1 0
x y

− − =
. Tìm
tọa ñộ các ñỉnh A và C.
2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho ñiểm
(
)
1;2;3
A
và ñường thẳng
( )
1 3
:
2 1 2
x y z
d
+ −
= =
−
. Viết phương trình ñường thẳng
∆
ñi qua ñiểm A, vuông góc với
ñường thẳng d và cắt trục Ox
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932

E mail:
- Trang 12 -


Gọi
(
)
;
D x y
là trung ñiểm của AC. Ta có:
3
BD GD
=
 
.
Tương ñương
(
)
( )
4 3 1
7
;1
2
1 3 1
x x
D
y y
+ = −

 

⇒

 
− = −
 



Gọi
(
)
;
E x y
là ñiểm ñối xứng của B qua phân giác trong ñường
thẳng
1 0
x y
− − =
của góc

A
.
Ta có EB vuông góc với ñường thẳng d và trung ñiểm I của EB
thuộc d nên tọa ñộ của E là nghiệm của hệ phương trình
(
)
(
)
( )
1 4 1 1 0

3 0
2; 5
4 1
7 0
1 0
2 2
x y
x y
E
x y
x y
+ + − =
+ + =


⇔ ⇔ −
 
− +
− − =
− − =




ðường thẳng AC ñi qua D và E, có phương trình
4 13 0
x y
− − =

Tọa ñộ

(
)
;
A x y
thỏa mãn hệ phương trình
( )
1 0
4;3 .
4 13 0
x y
A
x y
− − =

⇒

− − =

Suy ra
(
)
3; 1
C
−

2. Mặt phẳng (P) ñi qua A, vuông góc với ñường thẳng d, có phương trình
2 2 2 0
x y z
+ − + =

Gọi B là giao ñiểm của trục Ox với mặt phẳng (P), suy ra
∆
là ñường thẳng ñi qua các ñiểm A,
B.
B Ox
∈
, có tọa ñộ
(
)
;0;0
B b
thỏa mãn phương trình
(
)
2 2 0 1;0;0
b B+ = ⇒ −

Phương trình ñường thẳng
( )
1 2
: 2 2
3 3
x t
y t t
z t

= +


∆ = + ∈


= +

ℝ

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2011:
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho ñiểm
(
)
1;0
A
và ñường tròn
(
)
2 2
: 2 4 5 0
C x y x y
+ − + − =
. Viết phương trình ñường thẳng
∆
cắt ñường tròn
(
)
C

tại hai
ñiểm phân biệt M và N sao cho tam giác AMN vuông tại A
2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho ñường thẳng
( )
1 3
:
2 4 1
x y z
− −
∆ = =
và mặt
phẳng
(
)
: 2 2 0
P x y z
− + =
. Viết phương trình mặt cầu có tâm thộc ñường thẳng
∆
, bán kính
bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng
(
)
P

H
ướ
ng d
ẫ
n gi

ả
i


ðường tròn (C) có tâm
(
)
1; 2
I
−
và bán kính bằng
10

Ta có:
IM IN
AI MN
AM AN
=

⇒
⊥

=

, suy ra phương trình ñường thẳng
∆
có dạng:
y m
=

Hoành ñộ M, N là nghiệm của phương trình
(
)
2 2
2 4 5 0 1
x x m m− + + − =

Phương trình
(
)
1
có hai nghiệm phân biệt
1
x
và
2
x
khi và chỉ
khi
(
)
2
4 6 0 *
m m+ − <
. Khi ñó ta có
(
)
(
)
1 2

; , ;
M x m N x m

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 13 -

Từ ñây ta có :
( )( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
. 0 1 1 0 1 0
AM AN AM AN x x m x x x x m
⊥ ⇔ = ⇔ − − + = ⇔ − + + + =
 

Áp dụng ñịnh lý Viet cho phương trình (1) ta suy ra
2
1
2 4 6 0
3
m
m m
m
=

+ − = ⇔

=


thỏa mãn (*).
Vậy phương trình
( )
1
3
y
y
=

∆

= −


2. Gọi I là tâm của mặt câu. Do I thuộc ñường thẳng
∆
nên tọa ñộ của I có dạng
(
)
1 2 ;3 4 ;
I t t t
+ +

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi
( )
( )
(
)
(
)

2 1 2 3 4 2
2
, 1 1
1
3
t t t
t
d I P
t
+ − + +
=

= ⇔ = ⇔

= −


Suy ta
(
)
5;11;2
I
hoặc
(
)
1; 1; 1
I
− − −

Vậy phương trình mặt cầu là:

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 5 11 2 11
S x y z
− + − + − =
hoặc
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1
x y z
+ + + + + =


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2011
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho hai ñường thẳng
(
)
: 4 0
x y
∆ − − =
và
ñường thẳng
(
)
:2 2 0
d x y
− − =
. Tìm tọa ñộ của ñiểm N thuộc vào ñường thẳng d sao cho
ñường thẳng ON cắt ñường thẳng

∆
tại ñiểm M thỏa mãn
. 8
OM ON
=

2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. , cho ñường thẳng
2 1 2
:
1 1
x y z
− + −
∆ = =
và
mặt phẳng
(
)
: 3 0.
P x y z
+ + − =
Gọi I là giao ñiểm của ñường thẳng
∆
và mặt phẳng (P).
Tìm tọa ñộ của ñiểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MI vuông góc với ñường thẳng
∆
và
4 14
MI =

H

ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i

Do N thuộc ñường thẳng d và M thuộc ñường thẳng
∆
nên
có tọa ñộ:
(
)
(
)
;2 2 , ; 4
N a a M b b
− −
.
O,M,N cùng thuộc một ñường thẳng khi và chỉ khi :
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )( )
2
2
2
2 2 2
4
4 2 2 2 4

2
. 8 5 8 4 4 2
0
5 6 5 10 8 0 5 6 0
6
5
a
a b a b b a b
a
OM ON a a a
a
a a a a a a
a
− = − ⇔ − = ⇔ =
= ⇔ − + = −
=


⇔ − − + = ⇔ − = ⇔

=



Vậy có hai ñiểm N thỏa mãn có tọa ñộ là
(
)
0; 2
6 2
;

5 5
N
N
−


 

 

 



2. Tọa ñộ của I là nghiệm của hệ phương trình
( )
2 1
1;1;1
1 2 1
3 0
x y z
I
x y z
− +

= =

⇔
− −



+ + − =


Gọi
(
)
; ;
M a b c
ta có:
(
)
,M P MI
∈ ⊥ ∆
và
4 4
MI =
nên ta có hệ phương trình
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 14 -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
3 0 2 1
2 2 0 3 4 ; ; 5;9; 11
1 1 1 224 1 2 2 3 3 224
a b c b a
a b c c a a b c

a b c a a a
 
+ + − = = −
 
 
− − + = ⇔ = − + ⇔ = −
 
 
− + − + − = − + − + − + =
 
 

Hoặc
(
)
(
)
; ; 3; 7;13
a b c = − −

Vậy có hai ñiểm M thỏa mãn
(
)
5;9; 11
M −
và
(
)
3; 7;13
M − −

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2011
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho tam giác ABC có ñỉnh
1
;1
2
B
 
 
 
. ðường
tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xức với các cạnh BC, CA,AB tương ứng với các ñiểm D, E,
F. Cho
(
)
3;1
D
và ñường thẳng EF có phương trình
3 0
y
− =
. Tìm tọa ñộ ñỉnh A, biết A có
tung ñộ dương.
2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho ñường thẳng
2 1 5
:
1 3 2
x y z
+ − +

∆ = =
−
và
hai ñiểm
(
)
(
)
2;1;1 , 3; 1;2
A B− − −
. Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc ñường thẳng
∆
sao cho tam giác
MAB có diện tích bằng
3 5

Hướng dẫn giải
1.
5
;0 //
2
BD BD EF
 
= ⇒ ⇒ ∆
 
 

ABC cân tại A;
Suy ra ñường thẳng AD vuông góc với EF, có phương trình
3 0

x
− =

F có tọa ñộ dạng
(
)
;3
F t
, ta có:
2
2
1
1 25
2
2
2 4
t
BF BD t
t
= −

 
= ⇔ − + = ⇔
 

=
 


Với

(
)
1 1;3
t F= −
⇒
−
suy ra ñường thẳng BF có phương trình
7
: 4 3 5 0 3;
3
BF x y A
 
− − = ⇒ −
 
 

không thỏa mãn vì A có tung ñộ dương.
Với
(
)
2 2;3
t F=
⇒
suy ra phương trình
13
:4 3 1 0 3;
3
BF x y A
 
− + = ⇒

 
 
thỏa mãn. Vậy có
13
3;
3
A
 
 
 

2. M thuộc ñường thẳng
∆
nên tọa ñộ của M có dạng
(
)
2 ;1 3 ; 5 2
M t t t
− + + − −

( )
( )
( )
;3 ; 6 2
, 12; 6;
1; 2;1
AM t t t
AM AB t t t
AB


= − −

 
⇒ = − − +

 
= − −



 


( ) ( )
2
2 2
0
3 5 12 6 180 12 0
12
MAB
t
S t t t t t
t
∆
=

= ⇔ + + + + = ⇔ + = ⇔

= −


Vậy
(
)
( )
2;1; 5
14; 35;19
M
M
− −

− −



Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2011
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho ñường thẳng
: 2 0
x y
∆ + + =
và ñường
tròn
(
)
2 2
: 4 2 0
C x y x y
+ − − =
. Gọi I là tâm của ñường tròn (C), M là ñiểm thuộc
∆

. Qua M
kẻ các tiếp tuyến MA và MB ñến (C) (A và B là các tiếp ñiểm). Tìm tọa ñộ của ñiểm M
biết rằng tứ giác
MAIB
có diện tích bằng 10
2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho hai ñiểm
(
)
2;0;1
A
và
(
)
0; 2;3
B −
và mặt
phẳng
(
)
: 2 4 0
P x y z
− − + =
. Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho
3
MA MB
= =

H
ướ
ng d

ẫ
n gi
ả
i
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 15 -



1. ðường thẳng (C) có tâm
(
)
2;1
I
bán kính
5
IA+
. Từ giác
MAIB có


0
90
.
MAIB
MAI MBI
S IA MA
MA MB


= =

⇒ =

=



Suy ra
2 2
2 5 5
MA IM IA MA
= ⇒ = + =

M thuộc ñường thẳng
∆
nên tọa ñộ của M có dạng
(
)
; 2
M t t
− −

( ) ( )
2 2
2
2
5 2 3 25 2 2 12 0
3
t

IM t t t t
t
=

= ⇔ − + + = ⇔ + − = ⇔

= −


Vậy có hai ñiểm M thỏa mãn là :
(
)
( )
2; 4
3;1
M
M
−


−



2. Gọi
(
)
; ;
M x y z
, ta có M thuộc mặt phẳng (P) và MA=MB=3 nên từ ñây ta có hệ phương trình

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2
2
2 3
2
2 4
2 2
; ; 0;1;3
2 1 9 3
6 4 12
; ; ; ;
7 11 4 0 7 7 7
2 3 9
x y z
x y
x y z
x y z z y
x y z
y y
x y z

− − +

= −
=



 

− + + − = ⇔ = ⇔
 
 

= −
 
 

− + =
 


+ + + − =



Vậy có hai ñiểm M thỏa mãn
(
)
0;1;3
6 4 12
; ;
7 7 7
M
M



 

−
 

 


Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2011
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho Elip
( )
2 2
: 1
4 1
x y
E
+ =
. Tìm tọa ñộ các ñiểm
A và B thuộc Elip, có hoành ñộ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn
nhất.
2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho mặt cầu
(
)
2 2 2
: 4 4 4 0
S x y z x y z
+ + − − − =

và ñiểm

(
)
4;4;0
A
. Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết B thuộc (S) và tam giác OAB
là tam giác ñều.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i


Gọi
(
)
;
A x y
. Do A, B thuộc (E) có hoành ñộ dương và
tam giác OAB cân tại O nên
(
)
; , 0
B x y x
− >
. Suy ra
2
2 4

AB y x
= = −

Gọi H là trung ñiểm cua AB, ta có:
HO AB
OH x
⊥


=


Diện tích
( )
2 2 2
1 1
4 4 1
2 2
OAB
S x x x x
= − = − ≤

Dấu bằng xẫy ra khi và chỉ khi
2
x =

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 16 -

Vậy
2
2;
2
2
2;
2
A
B

 

 
 

 

 

−
 

 
 

hoặc
2
2;
2
2

2;
2
A
B

 
−

 
 

 

 

 

 
 


2. Mặt cầu (S) có tâm
(
)
2;2;2
I
, bán kính
2 3
R =
. Nhận xét O và A cùng thuộc (S).

Tam giác OAB là tam giác ñều, có bán kính ñường tròn ngoại tiếp
4 2
3 3
OA
r = =

Khoảng cách
( )
( )
2 2
2
;
3
d I P R r= − =

Mặt phẳng (P) ñi qua O có phương trình dạng:
(
)
2 2 2
0, 0 *
ax by cz a b c+ + = + + ≠

Mặt phẳng (P) ñi qua A, suy ra:
4 4 0
a b b a
+ = ⇒ = −

( )
( )
(

)
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
2
;
3
2
2 3 .
a b c
c
d I P
a b c a c
a c c c a
+ +
= ⇔ =
+ + +
⇒ + = ⇒ = ±

Theo phương trình (*), suy ra
(
)
( )
: 0
: 0
P x y z
P x y z
− + =



− − =



Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2011:
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho ñường thẳng
(
)
: 3 0
d x y
+ + =
. Viết
phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm
(
)
2; 4
A
−
và tạo với ñường thẳng (d) một góc bằng
0
45

2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho hai ñiểm
(
)
(
)
1;2;3 , 1;0; 5

A B
− −
và mặt
phẳng
(
)
2 3 4 0
P x y z
+ + − − =
. Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho ba ñiểm
A,B,M thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
1. Phương trình ñường thẳng
∆
qua
(
)
2; 4
A
−
và có vector pháp tuyến
(
)
;
v a b
là
(
)
(
)

2 4 0
a x b y
− + + =
với
2 2
0
a b
+ ≠

Vector pháp tuyến của d là
( )
1;1
u =

. Do ñó:
( ) ( )
0
2 2
cos ; cos ; 45 . 0
2
a b
d d a b
a b
+
∆ = ⇔ ∆ = ⇔ =
+

Với
0
a

=
, ta có phương trình ñường thẳng
: 4 0
y
∆ + =

Với b = 0 ta có phương trình ñường thẳng
∆
:
2 0
x
− =

2. A,B,M thẳng hàng khi và chỉ khi M thuộc ñường thẳng AB
Ta có
( ) ( ) ( )
2; 2; 8 2 1; 1; 4 , 1 ;2 ;3 4
AB M AB M t t t
= − − = − − ∈ ⇒ − + − −


(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 2 3 3 4 4 0 1

M P t t t t
∈ ⇒ − + + − − − − = ⇒ =

Vậy
(
)
0;1; 1
M
−

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2011
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ Oxy. Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh
là
: 3 7 0, :4 5 7 0, :3 2 7 0
AB x y BC x y CA x y
+ − = + − = + − =
. Viết phương trình ñường cao kẻ
từ ñình A của tam giác ABC.
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 17 -

2. Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz. Cho ñường thẳng
1 1 1
:
4 3 1
x y z
d
− + −

= =
−
. Viết
phương trình mặt cầu có tâm
(
)
1;2; 3
I
−
và cắt ñường thẳng d tại hai ñiểm A,B sao cho
26
AB =

Hướng dẫn giải
1. Tọa ñộ của ñiểm A thỏa mãn hệ phương trình
( )
3 7 0
1;2
3 2 7 0
x y
A
x y
+ − =

⇒

+ − =


ðường cao kẻ từ A có vector pháp tuyến là

( )
5; 4
n
= −


Vậy phương trình ñường cao kẻ từ A là
(
)
(
)
5 1 4 2 0 5 4 3 0
x y x y
− − − = ⇔ − + =

2. Mặt phẳng (P) ñi qua I và vuông góc với ñường thẳng d có phương trình là
(
)
(
)
(
)
4 1 3 2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
− − − + + =
⇔ − + + =

Tọa ñộ giao ñiểm H của ñường thẳng d và mặt phẳng (P) là nghiệm của hệ phương trình

1 1 1
1 1
1; ;
4 3 1
2 2
4 3 5 0
x y z
H
x y z
− + −

= =

 
⇒ −
−

 
 

− + + =

. Bán kính mặt cầu là
2
2
5
2
AB
R IH
 

= + =
 
 

Vậy phương trình mặt cầu là
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 25
x y z
− + − + + =

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2010
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn
Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ trực chuẩn Oxy. Cho tam giác ABC có ñỉnh
(
)
3; 7
A
−
,
trực tâm
(
)
3; 1
H
−
, tâm ñường tròn ngoại tiếp
(
)
2;0

I −
. Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh C, biết rằng C
có hoành ñộ dương.
Trong không gian, với hệ trục tọa ñộ trực chuẩn Oxyz. Cho hai mặt phẳng
(
)
: 3 0
P x y z
+ + − =
và mặt phẳng
(
)
1 0
Q x y z
− + − =
. Viết phương trình mặt phẳng
(
)
R

vuông góc với mặt phẳng
(
)
P
và mặt phẳng
(
)
Q
sao cho khoảng cách từ O ñến
(

)
R
là 2
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i

ðường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình
( )
2
2
2 74
x y
+ + =
.
Phương trình ñường thẳng AH là
3
x
=
và
BC AH
⊥
, suy ra phương
trình BC có dạng:
y a
=

(
7
a
≠ −
, do BC không ñi qua A)
Do ñó hoành ñộ của B thỏa mãn phương trình :
( ) ( )
2
2 2 2
2 74 4 70 0 1
x a x x a+ + = ⇔ + + − =

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , trong ñó có ít nhất một
nghiệm dương khi và chỉ khi
70
a <


Do C có hoành ñộ dương nên
(
)
2
2 74 ;
B a a
− − −
và
(
)
2
2 74 ;

C a a
− + −

Ta có
AC BH
⊥
, suy ta
(
)
(
)
( )( )
(
)
2 2 2
7
. 0 74 5 74 5 7 1 0 4 21 0
3
a loai
AC BD a a a a a a
a
= −
= ⇔ − − − + + + − = ⇔ + − = ⇔

=

 

Suy ra
(

)
2 65;3
C − +

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 18 -

2.
Ta có Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P và (Q) lần lượt là
( )
1;1;1
P
n =

và
( )
1; 1;1
Q
n = −

, suy ra:
( )
. 2;0; 2
P Q
n n
 
= −
 
 

là một
Vector pháp tuyến của mặt phẳng (R).
Mặt phẳng (R) có phương trình dạng:
0
x z D
− + =

Ta có:
( )
( )
,
2
D
d O R =
, Suy ra
2 2
2
2
2 2
D
D
D

=
= ⇔

= −



Vậy phương trình mặt phẳng (R) là
2 2 0
x z
− + =
hoặc
2 2 0
x z
− − =



Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối D-2010
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao

1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ trực chuẩn Oxy. Cho ñiểm
(
)
0;2
A
và ñường thẳng
∆
ñi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên
∆
. Viêt phương trình ñường thẳng
∆
, biết khoảng cách từ H ñến trục hoành bằng AH.
2. Trong không gian, với hệ trục tọa ñộ trực chuẩn Oxyz. Cho hai ñường thẳng
( )
1
3x t

y t t
z t
= +


∆ = ∈


=

ℝ
và tương ñương
2
2 1
:
2 1 2
x y z
− −
∆ = =
. Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M thuộc
1
∆
sao cho khoảng cách từ M ñến
2
∆
bằng 1.
H
ướ
ng d
ẫ

n gi
ả
i


Gọi tọa ñộ của H là (a,b), ta có:
( )
2
2 2
2
AH a b= + −
và khoảng
cách từ H ñến trục hoành là
b
, suy ra
( )
2
2 2
2
a b b
+ − =
.
Do H thuộc ñường tròn ñường kính OA nên
( )
2
2
1 1
a b
+ − =

Từ ñó ta có:
2
2 2
4 4 0
2 0
a b
a b b

− + =


+ − =



Suy ra
(
)
2 5 2; 5 1
H
− −
hoặc
(
)
2 5 2; 5 1
H
− − −

Vậy phương trình ñường thẳng
∆

là
(
)
5 1 2 5 2 0
x y
− − − =

hoặc
(
)
5 1 2 5 2 0
x y
− + − =

2. Ta có: M thuộc vào ñường thẳng
1
∆
nên tọa ñộ của ñiểm M có dạng
(
)
3 ; ;
M t t t
+

ðường thẳng
2
∆
ñi qua ñiểm
(
)

2;1;0
A
và có vector chỉ phương
( )
2;1;2
v =


Do ñó:
( )
1; 1;
AM t t t
= + −

,
( )
; 2 ;2; 3
v AM t t
 
= − −
 
 

Ta có:
( )
2 2
2
2
,
1

2 10 17 2 10 17
; 1 5 4
4
3 3
v AM
t
t t t t
d M t t
t
v
 
=

− + − +
 
∆ = = ⇒ = ⇔ − + ⇔

=

 


Do ñó,
(
)
4;1;1
M
hoặc
(
)

7;4;4
M

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối B-2010:
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ trực chuẩn Oxy. Cho tam giác ABC vuông tại A, có
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 19 -

ñỉnh
(
)
4;1
C −
, ñường phân giác trong của góc A có phương trình
5 0
x y
+ − =
. Viết phương
trình ñường thẳng BC, biết rằng diện tích tam giác ABC bằng 24 và A có hoành ñộ dương.
2. Trong không gian, với hệ trục tọa ñộ trực chuẩn Oxyz. Cho các ñiểm
(
)
1;0;0
A
,
(
)
0; ;0

B b
,
(
)
;0;
C o c
, trong ñó b, c dương và mặt phẳng
(
)
: 1 0
P y z
− + =
. Xác ñịnh
b, c biết rằng mặt phẳng
(
)
ABC
vuông góc với mặt phẳng
(
)
P
và khảo sát từ O ñến mặt
phẳng
(
)
ABC
bằng
1
3

Hướng dẫn giải


Gọi D là ñiểm ñối xứng của
(
)
4;1
C −
qua ñường thẳng
: 5 0
d x y
+ − =
, suy ra tọa ñộ của D(x;y) thỏa mãn hệ
phương trình
(
)
(
)
( )
4 1 0
4;9
4 1
5
2 2
x y
D
x y
+ − − =

⇒


− +
+ =



ðiểm A thuộc ñường tròn ñường kính CD , nên tọa ñộ
của A là nghiệm của hệ phương trình
( )
( ) ( )
2
2
5 0
4;1 0
5 32
x y
A Do x
x y
+ − =


⇒ >

+ − =



Suy ra
2
8 6

ABC
S
AC AB
AC
= ⇒ = =

ðiểm B thuộc ñường thẳng AD:
4
x
=
, suy ra tọa ñộ
(
)
4;
B y
thỏa mãn
(
)
4;7
B

( )
(
)
( )
2
4;7
1 36
4; 5
B

y
B

− =
⇒

−



Do d là ñường thẳng phân giác của góc trong A nên
AB

và
AD

cùng hướng, suy ta
(
)
4;7
B

Do ñó, ñường thẳng BC có phương trình
3 4 16 0
x y
− + =

2. Mặt phẳng (ABC) có phương trình
1
1

x y z
b c
+ + =

Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng
( ) ( )
1 1
: 1 0 0 1
P y z
b c
− + =
⇒
− =

Ta có:
( )
( )
( )
2 2
2 2
1 1 1 1 1
; 8 2
3 3
1 1
1
d O ABC
b c
b c
= ⇔ = ⇔ + =
+ +

Từ (1) và (2) , do b,c > 0, suy ra
1
2
b c
= =

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối B-2010:
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ trực chuẩn Oxy. Cho ñiểm
(
)
2; 3
A
và Elíp
( )
2 2
: 1
3 2
x y
E
+ =
Gọi
1
F
và
2
F
là các tiêu ñiểm của Elíp (
1

F
có hoành ñộ âm); M là giao ñiểm
có tung ñộ dương của ñường thẳng
1

A F
với Elíp ; N là ñiểm ñối xứng của
2
F
qua M. Viết
phương trình ñường tròn ngọa tiếp tam giác
2
ANF
.
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 20 -

2. Trong không gian, với hệ trục tọa ñộ trực chuẩn Oxyz. Cho ñường thẳng
1
:
2 1 2
x y z
−
∆ = =
.
Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M ñến
∆
bằng OM.
Hướng dẫn giải

Nhận thấy:
(
)
(
)
1 2
1;0 , 1;0
F F−
.
ðường thẳng
1
AF
có phương trình
1
3
3
x y
+
=

M là giao ñiểm có tung ñộ dương của
1
AF
với Elíp (E) ,
suy ra:
2
2 3 2 3
1;
3 3
M MA MF

 
⇒ = =
 
 
 

Do ñiểm N là ñiểm ñối xứng của
2
F
qua M nên
2
MF MN
=
, Suy ra
2
MA MF MN
= =
.
Do ñó ñường tròn (T) ngoại tiếp tam giác
2
ANF
là ñường
tròn tâm M, và bán kính là
2
MF

Vậy phương trình ñường tròn (T) là :
( )
2
2

2 3 4
1
3 3
x y
 
− + − =
 
 
 




2. ðường thẳng
∆
ñi qua ñiểm
(
)
0;1;0
A
và có vector chỉ phương
( )
2;1;2
v =

.
Do M là ñiểm thuộc trục hoành, nên M có tọa ñộ
(
)
;0;0;

M t
suy ra
( )
; 1;0
AM t= −


( ) ( )
2
2
,
1
5 4 8
, 2;2 ; 2 , 2 0
2
3
v AM
t
t t
v AM t t d M t t
t
v
 
= −

+ +
 
 
⇒ = − − ⇒ ∆ = = ⇔ − − = ⇔


 
=

 
 


Ta có:
(
)
1;0;0
M −
hoặc
(
)
2;0;0
M

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2010
Dành cho học sinh chọn chương trình chuẩn

1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ trực chuẩn Oxy. Cho hai ñường thẳng
1
: 3 0
d x y
+ =
và ñường thẳng
2
: 3 0
d x y

+ =
. Gọi
(
)
T
là ñường tròn tiếp xúc với
1
d
tại A,
cắt
2
d
tại hai ñiểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của ñường
tròn
(
)
T
. Biết rằng tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
, và ñiểm A có hoành ñộ dương.
2. Trong không gian, với hệ trục tọa ñộ trực chuẩn Oxyz. Cho ñường thẳng
1 2
:
2 1 1
x y z
− +
∆ = =
−
và mặt phẳng

(
)
: 2 0
P x y z
− + =
. Gọi C là giao ñiểm của
∆
và mặt
phẳng
(
)
P
, M là ñiểm thuộc
∆
. Tính khoảng cách từ M ñến mặt phẳng
(
)
P
, biết
rằng
6
MC =

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i

ðường thẳng
1
d
và ñường thẳng
2
d
cắt nhau tại O,
( )
1 2
3. 3 1.1
1
cos ,
2
3 1. 3 1
d d
−
= =
+ +
và tam giác
OAB vuông tại B, do ñó


0 0
60 60
AOB BAC= ⇔ =

Ta có:
( ) ( )
0 0 0 2
1 3 3 3

. .sin 60 .sin60 . .tan60
2 4 8
ABC
S AB AC OA OA OA
= = =

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 21 -

Do ñó :
2
3 4
2 3
ABC
S OA
= ⇒ =

Tọa ñộ của
(
)
;
A x y
với x>0 thỏa mãn hệ phương trình
2 2
3 0
1
; 1
4
3

3
x y
A
x y

+ =
 

⇒ −

 
+ =
 



ðường thẳng AC ñi qua A và vuông góc với ñường thẳng
2
d
suy
ra AC có phương trình :
3 3 4 0
x y
− − =

Tọa ñộ
(
)
;
C x y

thỏa mãn hệ phương trình
3 0
2
; 2
2 3
3 3 4 0
x y
S
x y

− =
−
 

⇒ −

 
 
− − =



ðường tròn (T) có ñường kính AC, suy ra tâm của ñường tròn
(T) là
1 3
;
2
2 3
I
− −

 
 
 
và bán kính
1
IA
=
và phương trình ñường
tròn (T) cần tìm là
( )
2
2
1 3
: 1
2
2 3
T x y
 
 
+ + + =
 
 
 
 



ðường thẳng
∆
có vector chỉ phương

( )
2;1; 1
v
= −

và mặt phẳng
(P) có vector pháp tuyến
( )
1; 2;1
n = −


Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P), ta có

(
)
cos ,
HMC v n
=
 

Suy ra
( )
( )

(
)
2 2 1
1
, .cos . cos , 6

6 6 6
d M P MH MC HMC MC v n
− −
= = = = =
 

Trích từ ñề thi tuyển sinh Cao ñẳng khối A-2010
Dành cho học sinh chọn chương trình nâng cao
1. Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ trực chuẩn Oxy. Cho tam giác ABC cân tại ñỉnh
(
)
6;6
A
;
ñường thẳng ñi qua trung ñiểm các cạnh AB và AC có phương trình
4 0
x y
+ − =
. Tìm tọa ñộ
các ñỉnh B và C, biết ñiểm
(
)
1; 3
E
−
nằm trên ñường cao ñi qua ñỉnh C của tam giác ñã cho.
2. Trong không gian, với hệ trục tọa ñộ trực chuẩn Oxyz. Cho ñiểm
(
)
0;0; 2

A
−
và ñường thẳng
2 2 3
:
2 3 2
x y z
+ − +
∆ = =
. Tính khoảng cách từ ñiểm A ñến ñường thẳng
∆
. Viết phương trình
mặt cầu tâm A, cắt
∆
tại hai ñiểm B và C sao cho
8
BC
=

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i

Gọi H là trung ñiểm của BC, D là trung ñiểm của AH, ta có
AH BC
⊥

.
Do ñó, tọa ñộ của D thỏa mãn hệ phương trình
( ) ( )
4 0
2;2 2; 2
0
x y
D H
x y
+ − =

⇒ ⇒
− −

− =


ðường thẳng BC ñi qua H và song song với ñường thẳng d,
suy ra BC có phương trình
4 0
x y
+ + =
.
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 22 -

ðiểm B,C thuộc ñường thẳng
: 4 0
BC x y

+ + =
và B, C ñối xứng nhau qua
(
)
2; 2
H
− −
, do ñó tọa
ñộ của B,c có dạng
(
)
(
)
; 4 , 4 ;
B t t C t t
− − − −

ðiển
(
)
1; 3
E
−
nằm trên ñường cao ñi qua ñỉnh C của tam giác ABC, suy ra
( )( ) ( )( )
2
0
. 0 6 5 10 3 0 2 12 0
6
t

AB CE t t t t t t
t
=

= ⇔ − + + − − − − = ⇔ + = ⇔

= −

 

Ta ñược
(
)
0; 4
B
−
,
(
)
4;0
C −
hoặc
(
)
(
)
6;2 , 2; 6
B C
− −

ðường thẳng
∆
ñi qua ñiểm
(
)
2;2; 3
M
− −

nhận
( )
2;3;2
v =

làm vector chỉ phương nên ta
có:
( ) ( )
( )
2; 2;1 , , 7;2; 10
,
49 4 100
, 3
4 9 4
MA v MA
v MA
d A
v
 

= − = −
 
 
+ +
 
⇒ ∆ = = =
+ +
  
 


Gọi (S) là mặt cầu tâm A, cắt ñường thẳng
∆

tại B và C sao cho
8
BC
=
. Suy ra bán kính
của mặt cầu (S) là
5
R
=

Vậy phương trình mặt cầu (S) là
( ) ( )
2
2 2
: 2 25
S x y z

+ + + =


Lời kết:
+ Qua 10 năm thực hiện ñề thi chung của bộ giáo dục, chúng tôi ñã biên soạn và giới thiệu ñến
cộng ñồng một hệ thống những chuyên ñề luyện thi tuyển sinh ñại học của từng năm.
+Tài liệu ñược sưu tập và biên soạn lại bởi thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn kết hợp với trung tâm
giáo viên Quốc Tuấn ñịa chỉ 157 ðặng Văn Ngữ - Thành phố Huế -ðiện thoại: 0905671232-
0989824932. Là nơi quy tụ những giáo viên giảng dạy và luyện thi ñạy học có uy tín trên ñịa
bàn thành phố Huế. Luôn có những chính sách và những phương pháp giảng dạy cũng như tính
cập nhật hàng ñầu. Luôn mở các lớp, các nhóm dạy học chất lượng cao với chi phí rẽ. ðặc biệt
hưởng lợi ñược từ hàng ngàn tài liệu trên Xuctu.com và hàng trăm Video Tutorial bài giảng
ñược cấp phát miễn phí cho học viên tại trung tâm cũng như cộng ñồng học sinh.
+ ðặc biệt trong năm học 2013-2014, trung tâm mở ra chương trình khuyến học như sau:
- Miễn phí ñến học một tuần ñể khẳng ñịnh chất lượng
- Giảm ngay 20% học phí tháng ñầu tiên khi ñến học
- Tặng ngay 20% học phí tháng ñầu tiên khi các học viên khác giới thiệu 1 học viên ñến
học
- ðược sự giảng dạy trực tiếp của thầy cô giáo ñầy kinh nghiệm luyện thi
- Phòng học thoáng mát, yên tỉnh tuyệt ñối.
- ðược phép học tăng cường khi chưa hiểu bài
 ðến tham quan và ñăng ký học tại ñịa chỉ trên hoặc tìm hiểu thông qua số ñiện thoại:
0905671232 hoặc website
 Trân trọng và chúc các em học sinh sức khỏe và may mắn




TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:

- Trang 23 -

Phần này phụ thêm



Trích ñề thi tuyển sinh ðại học – Cao ñẳng khối D năm 2009
Dành cho chương trình chuẩn
Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ trực chuẩn Oxy. Cho tam giác ABC co M là trung ñiểm
của cạnh
(
)
,
a b
. ðường trung tuyến và ñường cao qua ñỉnh A lần lượt có phương trình là
7 2 3 0
x y
− − =
và
6 4 0
x y
− − =
. Viết phương trình ñường thẳng AC
Trong không gian, với hệ trục tọa ñộ trực chuẩn Oxyz. Cho các ñiểm
(
)
2;1;0
A
,
(

)
1;2;2
B
,
(
)
1;1;0
C
và mặt phẳng
(
)
: 20 0
P x y y
+ + − =
. Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm D thuộc ñường thẳng
(
)
,
a b

sao cho ñường thẳng CD song song với mặt phẳng
(
)
P


Dành cho chương trình nâng cao
Trong mặt phẳng, với hệ trục tọa ñộ trực chuẩn Oxy. Cho ñường tròn
( ) ( )
2

2
: 1 1
C x y
− + =
. Gọi I
là tâm của ñường tròn
(
)
C
. Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M thuộc ñường tròn
(
)
C
sao cho

0
30
IMO =

Trong không gian, với hệ trục tọa ñộ trực chuẩn Oxyz. Cho ñường thẳng
2 2
:
1 1 1
x y z
+ −
∆ = =
−

và mặt phẳng
(

)
: 2 3 4 0
P x y z
− − + =
. Viết phương trình ñường thẳng d nằm trong mặt phẳng
(
)
P
sao cho ñường thẳng d cắt và vuông góc với ñường thẳng
∆
.
Trích ñề thi tuyển sinh ðại học – Cao ñẳng khối B năm 2009

Trích ñề thi tuyển sinh ðại học – Cao ñẳng khối A năm 2009
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 24 -


Trích ñề thi tuyển sinh ðại học – Cao ñẳng khối D năm 2008

Trích ñề thi tuyển sinh ðại học – Cao ñẳng khối B năm 2008

Trích ñề thi tuyển sinh ðại học – Cao ñẳng khối A năm 2008

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT: 0905671232 – 0989824932
E mail:
- Trang 25 -

Tải về ñể xem tại:
Hình học giải tích trong ñề thi ñại học có hướng dẫn giải ñầy ñủ
Vậy là kỳ thi tốt nghiệp Trung học phổ thông ñã kết thúc, học sinh bây giờ toàn tâm toàn ý cho
kỳ thi tuyển sinh ñại học sắp ñến. Do ñó ñồng hành với các em học sinh năm này thầy ñã kết
xuất nhiều tài liệu quý giá cho các em học sinh bước vào kỳ thi quan trọng lần này.
Cũng giống như tinh thần của ba tài liệu mà ñược cộng ñồng học sinh hưởng ứng tích cực(Bao
gồm: ). Thầy giới thiệu tiếp cho chúng ta tập tài liệu về hình học giải tích bao gồm giải tích
phẳng hay nói cách khác là tọa dộ trong mặt phẳng và giải tích không gian hay nói cách khác là
phương pháp tọa ñộ trong không gian.
Tập tài liệu này thầy ñã kết xuất bao gồm 2 mãng của chương trình chuẩn và nâng cao cho các
em ñược hoàn thiện những kỹ năng và kiến thức của mình. ðây chỉ là lời giải gợi ý của thầy,
khi làm bài thi các em vẫn có thể làm cách khác ñể có ñược kết quả cuối cùng vẫn cho ñiểm tối
ña(Tuy nhiên tuyệt ñối không làm nhiều cách)
Chúc các em sức khỏe và ñể bước ñến kỳ thi cuối cùng của ñời học sinh của mình
Lời kết: Quả thật thầy chia sẽ những tài liệu quý giá này cho tất cả các em học sinh vào các
nhóm. Tuy nhiên thật buồn vì có những người xem ñó như Spam. Giống như thầy bị xúc phạm
khi ñem tài liệu, kiến thức ñến cộng ñồng mạng vậy. Do ñó, trong thời gian tới các em học sinh
từ lớp 9-12 hãy Thích(Like) trang của thầy trên Facebook tại ñịa chỉ :
ñể có thể cập nhật nhanh chóng cũng có thể không

làm phiển những người…không quan trọng kiến thức nữa. Và các em hãy chia sẽ cho bạn bè
trang này ñể chúng ta có ñược một môi trường học toán hoàn hảo ngay trên Facebook của các
em.