Tích phân từng phần trong đề thi tuyển sinh Đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (829.72 KB, 43 trang )
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
1
(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011)
Gửi tặng: www.Mathvn.com
Bỉm sơn. 16.03.2011
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
2
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I. Công thức tích phân từng phần:
Cho hai hàm số
( ), ( )
u x v x
liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có
' '
' ' ' '
uv u v uv uv dx u vdx uv dx
( )
b b b
a a a
d uv vdu udv d uv vdu udv
b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vdu
.
Ta có công thức:
1
b b
b
a
a a
udv uv vdu
Công thức (1) còn được viết dưới dạng:
' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
b b b
b
a
a a a
f x g x dx f x d g x dx f x g x f x g x dx
II. Phương pháp giải toán:
Bài toán: Sử dụng CT.TPTP xác định: I =
b
a
dxxf .)(
Phương pháp chung:
Cách 1:
Bước 1: Biến đổi TP về dạng: I =
b
a
dxxf .)(
=
b
a
dxxfxf .)().(
21
Bước 2: Đặt:
v
du
dxxfdv
xfu
)(
)(
2
1
(Chọn
0
C
)
Bước 3: Khi đó: I =
b
a
b
a
b
a
vduuvudv . (công thức (1))
Chú ý:
Việc đặt
( ), ( )
u f x dv g x dx
(hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm
( )
v x
và vi phân
'
( )
du u x dx
không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân
b
a
vdu
phải đơn giản hơn tích phân
b
a
udv
Cách 2:
Phân tích
'
1 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
f x f x dx f x f x dx
và sử dụng trực tiếp công thức (2)
- Nhận dạng: Để sử dụng tích phân từng phần thì dấu hiệu thường gặp đó chính là tích của hai loại hàm
số khác nhau (đôi khi là tích của cùng một loại hàm)
-Ý nghĩa: Phương pháp TPTP nhằm đưa tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hoặc để khử bớt hàm
số dưới dấu tích phân (cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu tích phân)
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
3
Chú ý:
- Đôi khi tính TPTP mà chưa có một dạng cụ thể ta phải dùng các công thức đại số, lượng giác hoặc kết
hợp với phương pháp biến đổi số thì mới xuất hiện các dạng cụ thể
Ví dụ 1: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau
4
0
1 cos2
x
I dx
x
Giải:
Nhận xét:
Tích phân này nếu để nguyên mà tính TPTP thì… không ra đâu nhưng nếu ta sử dụng công thức nhân đôi
2 2
1 cos2 1 2cos 1 2cos
x x x
thì lấy nguyên hàm của được ngay
Ta được
4
2
0
1
2
cos
x
I dx
x
Đặt
2
tan
cos
u x
du dx
dx
v x
dv
x
Khi đó
4
0
1 1 1 1
tan tan ln cos ln 2
4 4
2 2 8 2 8 4
0 0
I x x xdx x
Chú ý:
- Ta có thể sử dụng công thức (2) như sau
4 4 4
2
0 0 0
1 1 1 1
(tan ) tan tan ln cos ln 2
4 4
2 2 2 4 8 4
2cos
0 0
x
I dx xd x x x xdx x
x
- Đừng quên
1
2
trước dấu tích phân nhé
Ví dụ 2: (ĐHDB – D 2003) Tính tích phân sau
2
1
3
0
x
I x e dx
Giải:
Ta có
2 2
1 1
3 2
0 0
x x
I x e dx x e xdx
Đặt
2
2
2
dt
t x dt xdx xdx
Đổi cận
0 0
1 1
x t
x t
Khi đó
1 1
0 0
1 1
1 1 1 1 1
0 0
2 2 2 2 2 2
t t t t
e
I te dt te e dt e
(sử dụng công thức 2)
Chú ý:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
4
- Dĩ nhiên ta không cần biến đổi số mà làm trực tiếp. Ta có
2 2
1 1
3 2 2
0 0
1
2
x x
I x e dx x e d x
. Đến đây ta có thể
sử dụng công thức (1) hoặc công thức (2) tuy là ngắn hơn nhưng độ phức tạp cao hơn nên tôi không đưa ra, bạn
đọc tự tìm hiểu nhé
Ví dụ 3: (ĐHTCKT – 1998) Tính tích phân sau
4
2
0
2cos 1
I x x dx
Giải:
Nhận xét:
Nếu để nguyên như thế mà tính thì quả thật nan giải. Sử dụng công thức hạ bậc
4 4 4
2
0 0 0
2cos 1 2 1 cos2 1 cos2
I x x dx x dx x xdx
Đặt
sin 2
cos2
2
du dx
u x
x
dv xdx
v
Khi đó
4
0
sin 2 1 cos2 1 2
. sin 2
4 4
2 2 8 4 8 4 8
0 0
x x
I x xdx
- Đôi khi tính TPTP ta phải tính đến 2 hay 3 lần TPTP
Ví dụ: (ĐH – D 2007) Tính tích phân sau
4
3 2
1
5 1
ln
32
e
e
I x xdx
Giải:
Đặt
2
4
3
2ln
ln
4
dx
du x
u x
x
x
dv x
v
Khi đó
4 4
2 3
1
1
1 1
ln . ln .
1
4 2 4 2
e
e
x e
I x x x dx I
Tính
3
1
1
ln .
e
I x x dx
Đặt
3 4
ln
4
dx
du
u x
x
dv x
x
v
Khi đó
4 4 4
3 4
1
1
1 1 3 1
ln .
1 1
4 4 4 16 16
e
e e
x e e
I x x dx x
Vậy
4 4 4 4
1
1 1 3 1 5 1
.
4 2 4 2 16 32
e e e e
I I
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
5
- Đôi khi tính TPTP ta còn gặp trường hợp lập lại tích phân ban đầu (tích phân luân hồi) hoặc gặp một
tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân
Ví dụ 1: (TN – 2007) Tính tích phân sau:
2
1
ln
e
x
I dx
x
Giải:
Đặt
2
ln
2ln
ln
dx
u x
du x
x
dx
dv
v x
x
Khi đó
2
2
1
ln
ln .ln 2 1 2
1
e
e
x
I x x dx I
x
Đến đây ta coi như một phương trình bậc nhất theo I ta được
1
3
I
Chú ý:
- Đương nhiên ta có thể làm bằng phương pháp biến đổi số
Đặt ln
dx
t x dt
x
. Đổi cận
1
1 0
x e t
x t
Khi đó
1
3
2
0
1
1
0
3 3
t
I t dt
Hoặc: Đưa vào vi phân như sau
2 3
2
1 1
ln ln 1
ln ln
1
3 3
e e
e
x x
I dx xd x
x
- Để tránh tích TPTP 2 lần ta có thể biến đổi số trước bằng cách đặt ln
t
t
e x
t x
e dt dx
sau đó mới TPTP
Ví dụ 2: Tính tích phân sau
4
2
0
(sin cos 1)
(1 cos )
x
e x x
I dx
x
Giải:
4 4 4
1 2
2 2
0 0 0
(sin cos 1) sin
1 cos
(1 cos ) (1 cos )
x x x
e x x e e x
I dx dx dx I I
x
x x
Tính
4
2
2
0
sin
(1 cos )
x
e x
I dx
x
Đặt
2
sin
1
1 cos
1 cos
x
x
u e
du e dx
x
dv dx
v
x
x
Khi đó
4
4
2 1
0
1
4
1 cos 1 cos 2
2
0
1
2
x x
e e e
I dx I
x x
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
6
Vậy
4
2
1
2
2
1
2
e
I I
Chú ý:
Nếu như ta tính đồng thời
1 2
và
I I
thì cũng ra nhưng vừa mất công mà lại dài nên ta chọn tính
1
I
hoặc
2
I
để
làm triệt tiêu đi
2
I
hoặc
1
I
…Tùy vào từng bài để ta chọn (kinh nghiệm thôi)
- Thông thường ta sử dụng CT (1) vì nó dễ nhìn hơn là CT (2)
MỘT SỐ DẠNG CỤ THỂ
Dạng 1: Tính tích phân
n
I P x Q x dx
với
n
P x
là một đa thức bậc n và
2 2
1 1
; ;sin ;cos ; ,
cos sin
x x
x x
x
Q e
x
x
a
Đặt
n
P x
Q x dx
u
dv
(Nếu
n
P x
có bậc n thì ta phải tính tích phân từng phần n lần (mỗi lần
n
P x
sẽ giảm 1
bậc))
Đặc biệt:
- Khi
ln ;ln ;log ;ln
n
m
x x x f x
Q x
Đặt
n
Q x
P x dx
u
dv
(nếu
ln
n
Q x x
ta phải tính n lần tích phân)
- Khi
sin ln ;cos ln ;sin log ;cos log
a a
x xQ x
x x
Đặt
n
Q x
P x dx
u
dv
(thường thì người ta chọn
1;
k
n
P x Q x x
cho đơn giản)
Chú ý:
Trong dạng này chúng ta sẽ gặp tích phân luân hồi (Sau khi tính tích phân lần thứ hai sẽ trở về tích phân
ban đầu)
Loại 1: Khi
2 2
1 1
;
cos sin
Q x
x x
Bài tập giải mẫu:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
7
Bài 1: Tính tích phân sau
3
2
4
sin
xdx
I
x
Giải:
Đặt
2
cot
sin
u x
du dx
dx
v x
dv
x
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
3 3
2
4 4
9 4 3
1 1 3
3 3
cot cot . ln sin ln
3 36 2 2
sin
3
4 4
xdx
I x x xdx x
x
Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)
3 3
2
4 4
cot
sin
xdx
I xd x
x
Bài 2: Tính tích phân sau
3
2
0
cos
x
I dx
x
Giải:
Đặt
2
tan
cos
u x
du dx
dx
v x
dv
x
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
3 3 34
2
0 0 0 0
cos
3 sin 3
tan tan
3
3 cos 3 cos
cos
0
3 3
ln cos ln 2
3
3 3
0
d x
x x
I dx x x xdx dx
x x
x
x
Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)
3 3
2
0 0
tan
cos
x
I dx xd x
x
Bài tập tự giải có hướng dẫn:
Bài 1: (HVNH HCM – 2000) Tính tích phân sau
1
2
0
sin
cos
x x
I dx
x
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
8
HD:
Đặt
2
sin
1 cos
1
tan
cos
u x x
du x dx
dv dx
v x
x
Hoặc
- Tách thành tổng hai tích phân
1 2
3 3 3
2 2 2
0 0 0
sin sin
cos cos cos
I I
x x xdx x
I dx dx
x x x
Tính
1
I
bằng TPTP và tính
2
I
bằng đổi biến số
- Sử dụng trực tiếp công thức (2) ta có
1 1
2
0 0
sin
sin tan
cos
x x
I dx x x d x
x
Bài 2: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau:
4
0
1
ln 2
1 cos2 8 4
x
I dx
x
HD:
Sử dụng công thức nhân đôi
2 2
1 cos2 1 2cos 1 2cos
x x x
Khi đó
4
2
0
1
2
cos
x
I dx
x
. Đặt
2
tan
cos
u x
du dx
dx
v x
dv
x
Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)
Ta có
4 4 4
2
0 0 0
1 1 1 1
(tan ) tan tan ) ln ln2
4 4
2 2 2 4 8 4
2cos
0 0
x
I dx xd x x x xdx
x
Bài 3: (HVKTMM 2000) Tính tích phân sau:
1
2
0
tan tan1 ln cos1 0,5
I x xdx
HD:
Phân tích
1 1
2
0 0
cos
x
I dx xdx
x
Đặt
2
tan
cos
u x
du dx
dx
v x
dv
x
Chú ý: Công thức
2
2
1
tan 1
cos
x
x
Bài 4: Tính tích phân sau:
2
0
1 sin 2
xdx
I
x
HD:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
9
Biến đổi
2
1 sin 2 1 cos 2 2cos
2 4
x x x
rồi mới TPTP
Loại 2: Khi
sin ;cos
Q x x x
Chú ý: Đối với dạng này ta có thể sử dụng phương pháp hệ số bất định
Nếu bậc của
P x
bằng hoặc lớn hơn 3 ta nên giải theo phương pháp sau:
Bước 1: Ta có ( )cos ( )sin ( )cos
I p x xdx A x x B x x C
, (1)
(A(x) và B(x) cùng bậc với
P x
)
Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1) :
( )cos '( ) ( ) sin ( ) '( ) cos
p x x A x B x A x B x
Sử dụng phương pháp hệ số bất định tìm được A(x) và B(x)
Bước 3: Thay A(x) và B(x) vào (1) rồi kết luận.
(Có thể áp dụng cách này cho các dạng cos
ax
e bxdx
; sin
ax
e bxdx
)
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: Tính tích phân sau
1
2 2
0
sin .
I x x dx
Giải:
1 1 1 1
2 2 2 2 2
0 0 0 0
1 cos2 1 1
sin . cos 2
2 2 2
x
I x xdx x dx x dx x x dx
Sử dụng công thức (2) ta được
2
1
1
3
1
2 2
0
0 0
0
1 1 1
(sin2 ) sin2 2 in2 .
6 4 6 4
x
x d x x x xs xdx
2
1
1
2 2 2 3 2
0
0 0
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(cos2 ) cos2 cos2 sin(2 )
0
6 6 6 6
4 4 4 8 4
xd x x x xdx x
Bài 2: (ĐHDB – 2006) Tính tích phân sau
2
0
( 1)sin 2
I x xdx
Giải:
Đặt
1
1
sin 2
cos2
2
du dx
u x
dv xdx
v x
Khi đó
2
2 2
0 0
0
1 1 1 1 1
cos 2 cos2 sin 2 1
2 2 4 2 2 4 4
x
I x xdx x
Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
10
2 2
0 0
1
( 1)sin 2 1 cos 2
2
I x xdx x d x
Bài 3: Tính tích phân sau
2
4
0
cos
I xdx
Giải:
Đặt
2
2
t x x t dx tdt
Đổi cận
2
0 0,
4 2
x t x t
Sử dụng công thức (2)
Khi đó
2 2 2
0 0 0
2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2
2
0
I t tdt td t t t xdx
Vậy
2
I
.
Bài 4: Tính nguyên hàm
3 2
( 2 3)sin
I x x x xdx
Giải:
3 2 3 2 3 2
( 2 3)sin (a )cos (a' ' ' ')sin
I x x x xdx x bx cx d x x b x c x d x C
(1)
Lấy đạo hàm hai vế của (1):
3 2 3 2
3 2
( 2 3)sin [ ' (3 ') (2 ') ']cos
[ (3 ' ) (2 ' ) ' ]si
n (2)
x x x x a x a b x b c x c d x
ax a b x b c x c d x
Đồng nhất đẳng thức trên ta được hệ :
' 0
3 ' 0
2 ' 0
' 0
a
a b
b c
c d
và
' 1
3 ' 1
2 ' 2
' 3
a
a b
b c
c d
Giải hệ trên tìm được :
1; 1; 4; 1; ' 0; ' 3; ' 2; ' 4
a b c d a b c d
Vậy
3 2 2
( 4 1)cos (3 2 4)sin
I x x x x x x x C
.
Hoặc:
Đặt
2
3 2
3 2 2
2 3
sin
cos
du x x dx
u x x x
dv xdx
v x
Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)
3 2 3 2
( 2 3)sin ( 2 3) cos
I x x x xdx x x x d x
Bài tập tự giải có hướng dẫn:
Bài 2: (ĐHM ĐC – 1998) Tính nguyên hàm sau:
3
sin 2 cos 6 sin 12 cos 12sin
I x xdx x x x x x x x C
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
11
HD:
Đặt
t x
sau đó mới TPTP
Bài 3: (ĐHAN – D 1999) Tính tích phân sau:
2 2 2
0
sin 4
I x xdx
HD:
Hạ bậc và sử dụng TPTP
Ta có
2 2 2
0 0 0
1 1
1 cos2 cos2
2 2
I x x dx x dx x xdx
Bài 4: (ĐHBKHN – 1994) Tính tích phân sau:
2
2
2
0
1
cos
16 4 2
I x xdx
HD:
Hạ bậc và sử dụng TPTP
Ta có
2 2
0 0
1
.cos2
2
I xdx x xdx
. Tính
2
1
0
.cos2
I x xdx
Đặt
sin 2
cos2
2
du dx
u x
x
dv xdx
v
Bài 5: (TN – 2005) Tính tích phân sau:
2
2
0
( sin )cos
I x x xdx
HD:
Đặt
2
( sin )
1 s
co
in 2
sin
s
x x
xdx
du x dx
u
dv
v x
Chú ý:
Để đơn giản ta nên tách thành tổng hai tích phân
1 2
2 2 2
2 2
0 0 0
( sin )cos cos sin cos
I I
I x x xdx x xdx x xdx
Tính
1
I
bằng TPTP và tính
2
I
bằng đổi biến số
Bài 7: (DB ĐH – D 2004) Tính tích phân sau:
2
2
4
0
sin 4
2
I x xdx
HD:
Đặt
1
2
2
t x dt dx dx tdt
x
sau đó mới TPTP
Bài 8: (ĐHKTHN – 2001) Tính tích phân sau:
3
3
3
0
sin 3 6
I xdx
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
12
HD:
Đặt
2
3
2
3
1
3
3
t x dt dx dx t dt
x
sau đó mới TPTP
Bài 9: (ĐHDB – D 2005 – ĐHCĐ – 1998 ) Tính tích phân sau:
2
2
2
2
0
1 1 5
2 1 cos 1
8 4 2 8 8
I x xdx
HD:
Sử dụng công thức hạ bậc
2
1 cos2
cos
2
x
x
Khi đó
1 2
2 2 2
0 0 0
1 cos2 1 1
2 1 2 1 2 1 cos 2
2 2 2
I I
x
I x dx x dx x xdx
Tính
1
I
bằng cách sử dụng trực tiếp bảng nguyên hàm và tích
2
I
bằng TPTP
Đặt
2
sin
2 1
c 2
2
2
os
x
xd
d
x
u dx
u
x
v
dv
Bài 10: (ĐH Mở - 1997) Tính tích phân sau
2
2
0
1 sin
I x xdx
HD:
Đặt
2
1 2
co
sin
s
x
xd
u
du xdx
v x
v xd
Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)
2 2
2 2
0 0
1 sin 1 cos
I x xdx x d x
Bài 11: (TN – 2004) Tính tích phân sau
2
2
0
2
sin cos
2 3
I x x xdx
HD:
Đặt
2
1 sin 2
sin
cos
sin
du x dx
u x x
dv xdx
v xdx
Chú ý:
- Tách thành tổng hai tích phân thì đơn giản hơn
- Có thể sử dụng trực tiếp công thức (2)
Bài 12: Tính các tích phân sau
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
13
a. (ĐHDB – 2007)
2
2
2
0
cos 2
4
I x x dx
b.
3 2
4
2
1
1
sin
384 32 4
I x x dx
Bài 13: Tính tích phân sau:
2
1
1
4
cos 1 2
I xdx
HD:
Đặt 1
t x
sau đó mới TPTP
Bài 14: Tìm các nguyên hàm sau
a.
2
ln cos
cos
x
I dx
x
Đs:
ln cos tan tan
I x x x x C
b.
cos ln
I x dx
Đs:
cos ln sin ln
2
x
I x x C
c.
2
sin
I x xdx
Đs:
2
1 1
sin 2 cos2
4 4 8
x
I x x x C
(ĐHL_1999)
Loại 3: Khi
,
x x
Q x e a
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: Tính tích phân sau
1
0
x
I xe dx
.
Giải:
Cách 1:
Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
Khi đó
1 1
1 1
0 0
0 0
( 1) 1
x x x x
I xe dx xe e dx x e
.
Cách 2:
1 1 1
/ 1 1
/
0 0
0 0 0
( 1) 1
x x x x x
I xe dx x e dx xe x e dx x e
.
Bài 2: Tính tích phân sau
1
0
x
I xe dx
.
Giải:
Đặt
1
2
2
t x dt dx dx tdt
x
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
14
Khi đó
1 1 1
1 1
2 2
0 0
0 0 0
2 2 2 2 4 2 2
t t t t t
I t e dt t e te dt e te e dt e
Bài 3: Tính tích phân sau
1
2
0
x
I x e dx
Giải:
Đặt
2
2
x
x
du xdx
u x
v e
dv e dx
Khi đó
1 1 1
2 2
0 0 0
1
2 2
0
x x x x
I x e dx x e xe dx e xe dx
Tiếp tục tính:
1
0
x
J xe dx
Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
Khi đó
1 1
0 0
1
1
0
x x x
J xe dx xe xe dx
Vậy
2
I e
Bài 4: Tính tích phân sau
2
sin
0
sin 2
x
I e xdx
Giải:
Ta có
2 2
sin sin
0 0
sin 2 2 sin cos
x x
I e xdx e x xdx
Đặt
sin cos
t x dt xdx
Đổi cận
0
0
1
2
x
t
t
x
Khi đó
1
2
sin
0 0
2 sin cos 2
x t
I e x xdx te dt
Đặt
t t
u t du dt
dv e dt v e
Khi đó
1 1
0 0
1 1 1
1
0 0 0
t t t t t
I te dt te e dt te e
Vậy
2
I
Bài 5: Tính tích phân sau
3
1
5
0
x
I x e dx
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
15
Giải:
Đặt
3 2 2
3
3
dt
t x dt x dx x dx
Đổi cận
0 0
1 1
x t
x t
Khi đó
3
1 1 1
5
0 0 0
1 1
1 1 1 1 1
0 0
3 3 3 3 3 3
x t t t t
e
I x e dx te dt te e dt e
Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)
3 3
1 1
5 3 2
0 0
1
2
x x
I x e dx x e d x
Bài 6: (TN – 2008) Tính tích phân sau
1
0
1
x
I x e dx
Giải:
Cách 1:
Đặt
1
x
x
u x
du dx
dv e dx
v e x
Khi đó
1
2
0
1 1
3
1
0 0
2 2
x x x
x
I x e x e x dx e e
Cách 2:
1 1 1
0 0 0
1
x x
J
I x e dx xe dx xdx
Tính
1
0
x
J xe dx
đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
… bạn đọc tự giải
Cách 3:
Làm nhanh
1 1
0 0
1
x x
I x e dx xd e x
…bạn đọc tự giải
Bài 8: (ĐH – D 2006) Tính tích phân sau
1
2
0
2
x
I x e dx
Giải:
Đặt
2
2
1
2
x
x
du dx
x
e
u
e
v
dv
Khi đó
1 1
1
2 2
2 2 2
0 0
0
1 1 1 5 3
( 2) 1
2 2 2 4 4
x x x
e e
I x e e dx e
Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
16
1 1
2 2
0 0
1
2 2
2
x x
I x e dx x d e
Bài 13: Tính tích phân sau
ln 2
0
.
x
J x e dx
Giải:
Đặt
x x
dx v e
u x du dx
dv e
Khi đó
ln 2
ln 2
ln 2
0
0
0
1 ln 2
. .
2
x x x x
J xe e dx x e e
Bài tập tự giải có hướng dẫn:
Bài 1: Tính tích phân sau:
3
2
2
3
0
3. 5
sin5
34
x
e
I e xdx
HD:
Đặt
3
3
5cos5
sin5
3
x
x
du xdx
u x
e
dv e dx
v
Bài 2: (ĐHHH HCM – 1999) Tính tích phân sau:
2 2
2 1 2 3 4
x x
I x x e x x e C
HD:
Đặt
2
2 1
x
u x x
dv e dx
Bài 3: (ĐHCĐ – 1998) Tính tích phân sau:
1
2
2
2
0
5 1
1
4
x
e
I x e dx
HD: (TPTP 2 lần)
Đặt
2
2
2
1
2
2
1
x
x
du x dx
x
e
e dx
u
v
dv
Bài 4: (HVKTQY – 1997) Tính tích phân sau:
2
2
0
x
I xe dx
HD:
Đặt
2 2
2
x x
u du dx
dv v
x
e dx e
Bài 5: (ĐHKT HN – 1999) Tính tích phân sau:
2
2
sin 3
0
1
.sin .cos 1
2
x
I e x xdx e
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
17
HD:
Phân tích
2 2
2 2
sin 3 sin 2
0 0
.sin .cos .sin cos 1 sin
x x
I e x xdx e x x x dx
Đặt
2
sin sin cos
2
dt
t x x xdx
sau đó mới TPTP
Bài 6: Tính tích phân sau:
2
3
3 1
2
0
1
x
x e
I dx
x
HD:
Phân tích
2 2
3 3
3 1 2 1
2 2
0 0
1 1
x x
x e x e
I dx xdx
x x
Đặt
2 2
2
1
1
x t
t x
xdx tdt
sau đó mới TPTP
Bài 7: (ĐHDB – B 2002) Tính tích phân sau:
0
2
3
2
1
3 4
1
7
4
x
I x e x dx
e
HD:
Đặt
2
4
3
3
2
3
1
2 4
1
x
x
du
x
dx
u x
e
dv e dx
v x
Chú ý: Để đơn giản ta có thể tách làm tổng hai tích phân như sau
1 2
0 0 0
2 2
3 3
1 1 1
1 1
x x
I I
I x e x dx xe dx x x dx
Tính
1
I
bằng TPTP và
2
I
bằng biến đổi số
Bài 8: (ĐHQGHCM – 1996) Tính các tích phân sau:
a.
1
0
1
x
I xe dx
b.
1
2
0
2
x
I x e dx e
Loại 4: Khi
ln ;ln ;log ;ln
n
m
Q x x x x f x
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: Tính tích phân sau
1
2
0
ln( 1)
( 2)
x
I dx
x
Giải:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
18
Đặt
2
1
ln( 1)
1
1
2
2
u x
du dx
x
dx
dv
v
x
x
.
Khi đó
1
1
0
1
1 1
ln 1 ln2
0
2 1 2 3
dx
I x I
x x x
Tính
1 1 1
1
0 0 0
1
1 4
ln ln
0
( 1)( 2) 1 2 2 3
dx dx dx x
I
x x x x x
.
Vậy I = –
1
3
ln2 + ln
4
3
Chú ý:
- Để cho đơn giản ta có thể biển đối số
2
2
x t
t x
dx dt
sau đó mới TPTP
Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)
1 1
2
0 0
ln( 1) 1
ln 1
2
( 2)
x
I dx x d
x
x
Bài 2: Tính tích phân
1
ln
e
I x xdx
Giải:
Cách 1:
Đặt
2
ln
2
dx
du
u x
x
dv xdx
x
v
Khi đó
2 2 2 2
1 1
1 1
ln ln
1 1
2 2 2 4 4
e e
e e
x e x e
I x xdx x xdx
.
Cách 2:
/
2 2 2
1 1 1
1
1 1
ln ln . ln
2 2 2 4
e
e e e
x x e
I x xdx x dx x xdx
.
Vậy
2
1
4
e
I
.
Bài 3: Tính tích phân sau
2
5
1
ln
x
I dx
x
Giải:
Đặt
5
4
ln
1
1
4
dx
u x
du
x
dv dx
v
x
x
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
19
Khi đó
2
2
2 2
5 4 5 4
1
1 1
1
ln ln 1 ln2 1 1 15 4ln 2
4 64 4 256
4 4
x x dx
I dx
x x x x
Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)
2 2
5 4
1 1
ln 1 1
ln
4
x
I dx xd
x x
Bài 4: Tính tích phân sau
1
2
0
ln 1
I x x dx
Giải:
Cách 1:
Đặt
2
1 2
t x dt xdx
Đổi cận
0 1
1 2
x t
x t
Khi đó
1 2
2
0 1
1
ln 1 ln
2
I x x dx tdt
Đặt
ln
dx
u t
du
t
dv dt
v t
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần
2 2
1 1
2
ln ln 2ln 2 1
1
tdt t t dt
Vậy
1
2
0
1
ln 1 ln 2
2
I x x dx
Cách 2:
Đặt
2
2
2
2
1
l
2
n 1
x
du dx
u x
x
x
v d
x
d
v
x
….bạn đọc tự giải
Bài 5: Tính tích phân sau
2
1
(2 1)ln
I x xdx
Giải:
Đặt
2
ln
(2 1)
dx
du
u x
x
dv x dx
v x x
.
Khi đó
2 2
2 2
2 2 2
1 1
1 1
1
( )ln 2ln 2 ( 1) 2ln 2 2ln2
2 2
x x x
I x x x dx x dx x
x
.
Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)
2 2
2
1 1
(2 1)ln ln
I x xdx xd x x
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
20
Bài 6: (ĐHH – D 1998) Tính tích phân sau
2
2
1
ln
x
I dx
x
Giải:
Đặt
2
1
2
ln
1
1
dx
du
u x
x
dx
dv x dx
x
v
x
x
.
Khi đó
2 2 2
2
2
1 1 1
2
1 1 1 1
ln ( ). ln 2 ln 2
1
2 2
dx dx
I x x dx
x x x x
1
2 2
1 1 1 1 1
ln 2 ln 2 ln 2
1 1
2 1 2 2 2
x
x
.
Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)
2
2
2
1
1
ln 1
ln
x
I dx xd
x
x
Bài 7: Tìm nguyên hàm .
1
)1ln(
2
2
dx
x
xxx
I
Giải:
Viết I dưới dạng .
1
)1ln(
2
2
dx
x
x
xxI
Đặt
1
1
.
1
1
1
1
1ln
2
22
2
2
2
xv
x
dx
dx
xx
x
x
du
dx
x
x
dv
xxu
Khi đó
2 2 2 2
1ln 1 1ln 1 .
I x x x dx x x x x C
Bài 8: (ĐH – D 2010) Tính tích phân sau
1
3
2 ln
e
I x xdx
x
Giải:
Ta có
1 2
1 1 1
3 1
2 ln 2 ln 3 ln .
e e e
I I
I x xdx x xdx x dx
x x
Tính
1
1
ln
e
I x xdx
. Đặt
2
ln
2
dx
du
u x
x
dv xdx
x
v
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
21
Khi đó
2 2 2 2
1
1
1 1
1 1 1
ln
2 2 2 2 2 4
e e
e
x e x e
I x xdx
Tính I
2
: Đặt t = lnx
dx
dt
x
Đổi cận khi x = 1 ; t = 0 và khi x = e ; t = 1.
Khi đó
1
1
2
2
0
0
1
2 2
t
I tdt
. Vậy
2
2
2
e
I
Chú ý: Có thể đặt luôn như sau
2
ln
3
2
3ln
dx
u x
du
x
dv x dx
v x x dx
x
Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)
2
1 1
3
2 ln ln 3ln
e e
I x xdx xd x x
x
Bài 9: (ĐH – B 2009) Tính tích phân sau
3
2
1
3 ln
1
x
I dx
x
HD:
Đặt
2
3 ln
1
1
1
dx
u
du
x
dx
dv
v
x
x
x
Khi đó
3 3
1 1
3 3
3 ln 3 ln3 3 1 1 3 ln3 3 ln3 3
ln ln
1 1
1 ( 1) 4 2 1 4 1 4 4 2
x dx x
I dx
x x x x x x
Cách 2:
Phân tích
2 2 2
3 ln 3 ln
1 1 1
x x
x x x
Khi đó
3 3 3
2 2 2
1 1 1
3 ln ln
3
( 1) ( 1) ( 1)
x dx x
I dx dx
x x x
Tính
3
3
1
2
1
1
3 3
3
( 1) 4
( 1)
dx
I
x
x
Và
3
2
2
1
ln
( 1)
x
I dx
x
Đặt
2
ln
1
( 1)
1
dx
u x
du
x
dx
dv
v
x
x
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
22
Khi đó
3
3 3 3
2
1
1 1 1
ln ln3 ln3 3
ln
1 ( 1) 4 1 4 2
x dx dx dx
I
x x x x x
Vậy
3
(1 ln3) ln 2
4
I
Bài tập tự giải có hướng dẫn:
Bài 1: (TN – 2007) Tính tích phân sau:
2
1
ln 1
3
e
x
I dx
x
HD:
Đặt
2
ln
2ln
ln
dx
u x
du x
x
dv
v x
dx
x
Chú ý:
Để tránh tích TPTP 2 lần ta có thể biến đổi số trước bằng cách đặt ln
t
t
e x
t x
e dt dx
sau đó mới TPTP
Bài 2: (ĐH – D 2008) Tính tích phân sau:
2
3
1
ln
x
I
x
HD:
Đặt
3
2
ln
1
2
dx
u x
du
d
x
dv
v
x
x
x
Khi đó
2
2
1
2 3
1
1 1 3 2ln2
ln
16
2 2
I x dx
x x
Bài 3: (ĐH – D 2004) Tính tích phân sau:
3
2
2
ln 3ln3 2
I x x dx
HD:
Đặt
2
2
2 1
ln
x
u
du
x x
dx
x x
dv dx
v x
Chú ý:
Nếu phân tích
2
ln ln 1 ln ln 1
x x x x x x
thì tính toán sẽ đơn giản nhưng dài hơn
Bài 4: (ĐHDB – B 2005) Tính tích phân sau:
3
2
1
2 1
ln
9
e
e
I x xdx
HD:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
23
Đặt
2 3
ln
3
dx
du
u x
x
dv x dx x
v
Bài 5: (ĐHDB – 2005) Tính tích phân sau:
2 3
1
2 1
ln
9 9
e
I x xdx e
Đặt
2
ln
u x
dv x dx
Bài 6: (HVKTQS – 1997) Tính tích phân sau:
1
2
0
3 3
ln 1 . ln3
4 12
I x x x dx
HD:
Đặt
2
2
2
2
ln 1
2 1
2
1
x
du dx
u
x
dv x d
x
x
v
x x
x
Bài 7: (ĐH NN – 1997) Tính tích phân sau:
2
1
ln
0
1
e
e
x
I dx
x
HD:
Đặt
2
1
ln
1
1
dx
u
du
x
dx
dv
v
x
x
x
Bài 8: (ĐH HP – 1997) Tính tích phân sau:
2
1
1 ln
e
I x dx
HD:
Đặt
2
1 ln
2 1 ln
dx
du x
u
x
dv dx
v x
x
Chú ý: Nếu khai triển
2
2
1 ln 1 2ln ln
x x x
thì tính toán sẽ đơn giản nhưng dài hơn
Bài 9: (ĐHHH TPHCM – 2000) Tính tích phân sau:
2
2
1
ln 1
3
ln3 3ln 2
2
x
I dx
x
HD:
Đặt
2
ln 1
1
1
dx
u
du
x
dx
v
x
x
d
v
x
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
24
Bài 10: Tính tích phân sau:
3
2
0
1
ln 5 14ln14 5ln5 9
2
I x x dx
HD:
Đặt
2
ln 5
u x
dv xdx
Hoặc: Đặt
2
5
t x
sau đó mới TPTP
Bài 11: Tính tích phân sau:
3 3
1
1 2 11
ln
9 18
e
x e
I xdx
x
HD:
Phân tích
3
2
1 1
x
x
x x
sau đó đặt
2
ln
1
u x
dv x dx
x
Bài 12: Tính tích phân sau:
2
0
2 7 ln 1 24ln3 14
J x x dx
HD:
Đặt
ln 1
2 7
u x
dv x dx
Bài 13: Tính tích phân sau:
2
2
2
0
1
ln
1
x
I x dx
x
HD:
Đặt
3
2
2
2
2
4
1
2
1
ln
1
x
du dx
x
x
u
x
dv xdx
x
v
Để đơn giản ta có thể biến đổi số trước bằng cách đặt
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
t
x
t
x
x
xd
t
t
x
sau đó mới TPTP
Bài 14: (PVBCTT – 1998) Tính tích phân sau:
3
2
1
5 1
.ln
27 27
e
e
I x x dx
HD: (TPTP 2 lần)
Đặt
2
3
2
2ln
ln
3
dx
du x
u x
x
x
dv x
v
x d
Chú ý:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email:
DĐ: 01694 013 498
25
Để tránh tích TPTP 2 lần ta có thể biến đổi số trước bằng cách đặt ln
t
t
e x
t x
e dx dx
sau đó mới TPTP
Bài 15: (ĐHH – 1998) Tính tích phân sau:
2
2
1
ln 1
l ln 2
2
x
I dx
x
HD:
Đặt
2
ln
u x
dx
dv
x
Bài 16: (ĐHDB – 2006) Tính tích phân sau:
2
1
5
2 ln ln4
4
I x x dx
HD:
Đặt
ln
2
u x
dv x
Bài 17: (ĐHCT – D 1997) Tính tích phân sau:
1
2
0
1 10 1
ln 1 3ln3 ln2
3 6
I x dx
x
HD:
Đặt
2
1
ln 1u
x
dv x dx
Bài 18: (ĐHL HCM– 2001) Tính tích phân sau:
10
2
2
1
50 99
lg 50
ln10
4ln 10
I x xdx
HD: TPTP 2 lần
Đặt
2
lg
u x
dv xdx
Chú ý:
Để đơn giản ta sử dụng công thức đổi loga như sau
2
2
ln
lg
ln10
x
x
Loại 5: Khi
sin ln ;cos ln ;sin log ;cos log
a a
Q x x x x x
Bài 1: Tính tích phân sau
2
2
1
cos (ln )
e
I x dx
.
Giải:
Ta có
2 2
2
1 1
1 1 1
1 cos(2ln ) ( 1) cos(2ln )
2 2 2
e e
I x dx e x dx
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
