Gioi hạn vô cực của hàm số

GiỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
KiÓm tra bµi cò:
CH1: Cho hµm sè sau
T×m: vµ
(nÕu cã)


≤


2
x - 2x + 3 khi x 2
f(x) =
4x - 3 khi x > 2
→ →
+ -
x 2 x 2
lim f(x), lim f(x)
→x 2
lim f(x)
CH2: TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
→+∞
=
4 3
1
4
x
4x - 2x + x
a) I lim
2x + 3x - 8
→−∞

=
2
2
x
x + 2x + 9
b) I lim
3x + 1
GiI HN Vễ CC CA HM S
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm:
II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực:
III. Giới hạn vô cực của hàm số:
1. Giới hạn vô cực:
Định nghĩa: (SGK)
Cho y=f(x) xác định trên (a;+); Với dãy số
(x
n
) bất kì, x
n
>a và x
n
+, ta có f (x
n
)-
Ta nói hàm số y=f (x) có giới hạn là - khi x+
Kí hiệu: hay f (x)- khi
x+
( )f x
+
=
x

lim
2. Một vài giới hạn đặc biệt:
a) với k nguyên d ơng
+

k
x
lim x = +
b) với k là số lẻ


k
x
lim x = -
c) với k là số chẵn


k
x
lim x = +
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực:
a. Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x):
L>0
+
-
L<0
+
-
0
xx

lim f(x)
0
xx
lim g(x)
0
xx
lim f(x)g(x)
b. Quy tắc tìm giới hạn của th ơng:
Dấu của
g(x)
L

Tuỳ ý
L>0
0
+
-
L<0
+
-
0
xx
lim g(x)
0
xx
lim f(x)
0
xx
f(x)
lim

g(x)
L>0
+ +
- -
L<0
+ -
- +
0
xx
lim f(x)
0
xx
lim g(x)
0
xx
lim f(x)g(x)
Dấu của
g(x)
L

Tuỳ ý 0
L>0
0
+
+
-
-
L<0
+
-

-
+
0
xx
lim g(x)
0
xx
lim f(x)
0
xx
f(x)
lim
g(x)
Các quy tắc trên vẫn đúng cho các tr ờng hợp
, , +
+ -
0 0
x x , x x x x
GiI HN Vễ CC CA HM S
III. Giới hạn vô cực của hàm số:
1. Giới hạn vô cực:
Định nghĩa: (SGK)
2. Một vài giới hạn đặc biệt:
a) với k nguyên d ơng
+

k
x
lim x = +
b) với k là số lẻ

k
x
lim x = -
c) với k là số chẵn


k
x
lim x = +
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực:
L>0
+ +
- -
L<0
+ -
- +
0
xx
lim f(x)
0
xx
lim g(x)
0
xx
lim f(x)g(x)
Dấu của g(x)
L

Tuỳ ý 0
L>0
0
+
+
-
-
L<0
+
-
-
+
0
xx
lim g(x)
0
xx
lim f(x)
0
xx
f(x)
lim
g(x)
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau

3 2
x +
a) lim (-x + 7x + x - 6)

+

x 2
3x - 5
b) lim
x - 2
Giải:


ữ

3 2 3
3
x + x +
7 6
a) lim (-x +7x - 6) = lim x -1+ -
x x
Vì và

= +
3
x +
lim x


ữ

3
x +
7 6
lim -1+ - = -1 < 0
x x

3 2
x +
lim (-x + 7x + x - 6) = -

+
x 2
3x - 5
b) lim
x - 2
Ta có , x-2>0 với mọi x>2
2
+
x
lim (x - 2) = 0
2
+
x
lim (3x - 5) = 3.2 - 5 = 1 > 0


+
x 2
3x - 5
lim = +
x - 5
GiI HN Vễ CC CA HM S
III. Giới hạn vô cực của hàm số:
1. Giới hạn vô cực:

Định nghĩa: (SGK)
2. Một vài giới hạn đặc biệt:
a) với k nguyên d ơng
+

k
x
lim x = +
b) với k là số lẻ


k
x
lim x = -
c) với k là số chẵn


k
x
lim x = +
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực:
L>0
+ +
- -
L<0
+ -
- +
0
xx
lim f(x)

0
xx
lim g(x)
0
xx
lim f(x)g(x)
Dấu của g(x)
L

Tuỳ ý 0
L>0
0
+
+
-
-
L<0
+
-
-
+
0
xx
lim g(x)
0
xx
lim f(x)
0
xx
f(x)

lim
g(x)
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau

4 3
x -
a) lim (x - 2x + 4x + 7)

+
2
x 3
x - 5x + 1
b) lim
x - 3

-
2
x 3
x - 5x + 1
c) lim
x - 3
+
2
x
-3x + 4x + 1
d) lim
x + 5
Hoạt động nhóm:
Nhóm I, III: làm câu a và b
Nhóm II, IV: làm câu c và d

3.TÍNH
a)
( )
7x5x3lim
23
x
+−
−∞→
b)
3
32
x
x2xlim −
+∞→
c)
( )






−
+
−
→
3x2
1x2
.
1x

2
lim
2
1x
d)
12x3x2lim
4
x
+−
+∞→
?
?
4.TÍNH
a)
2x
1x2
lim
2x
−
+
−
→
b)
2x
2xx
lim
2
2x
−
−+

−
→
c)
1x
5x
lim
2
3
x
+
−
+∞→
d)
x21
xx
lim
4
x
−
−
−∞→
?
?
5.TÍNH
a.







−
→
2
0x
x
1
x
1
lim






−
−
−
−
→
4x
1
2x
1
lim
2
2x
b.
( )

( )
2x3x.1x
5
lim
2
1x
+−−
→
c.
= ?
= ?
GiI HN Vễ CC CA HM S
III. Giới hạn vô cực của hàm số:
1. Giới hạn vô cực:
Định nghĩa: (SGK)
2. Một vài giới hạn đặc biệt:
a) với k nguyên d ơng
+

k
x
lim x = +
b) với k là số lẻ


k
x
lim x = -
c) với k là số chẵn

k
x
lim x = +
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực:
L>0
+ +
- -
L<0
+ -
- +
0
xx
lim f(x)
0
xx
lim g(x)
0
xx
lim f(x)g(x)
Dấu của g(x)
L

Tuỳ ý 0
L>0
0
+
+
-
-

L<0
+
-
-
+
0
xx
lim g(x)
0
xx
lim f(x)
0
xx
f(x)
lim
g(x)
Luyện tập:
Bài 1:
Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

2
2
x 3
2x + 7
a) lim
(x - 3)
A. + B C. 0 D. 2

2
x 1

x - 1
b) lim
x - 1

1
A. + B C. D. 0
2

-
x 2
-3x + 1
c) lim
x - 2
7
3
4
A. B.+ C. - D.

2
x -
2 - x
d) lim
x
2 A. 0 B C. D. +
GiI HN Vễ CC CA HM S
III. Giới hạn vô cực của hàm số:
1. Giới hạn vô cực:
Định nghĩa: (SGK)
2. Một vài giới hạn đặc biệt:
a) với k nguyên d ơng

+

k
x
lim x = +
b) với k là số lẻ


k
x
lim x = -
c) với k là số chẵn


k
x
lim x = +
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực:
L>0
+ +
- -
L<0
+ -
- +
0
xx
lim f(x)
0
xx
lim g(x)

0
xx
lim f(x)g(x)
Dấu của g(x)
L

Tuỳ ý 0
L>0
0
+
+
-
-
L<0
+
-
-
+
0
xx
lim g(x)
0
xx
lim f(x)
0
xx
f(x)
lim
g(x)
Bài 2: Tính các giới hạn sau:

2
x 5
x + 4x - 5
a) lim
x + 5

2
x 2
4x + 1 - 3
b) lim
x - 4
1


3
x 0
1+ x
c) lim
x
3
2 2 7 1x x

+ +
x 0
d) lim
x - 1

5 3
5 4 2

x +
-6x + 7x - 4x + 3
e) lim
8x - 5x + 2x - 1
3 4 1
7 2
x
x x

+ +
+ + +
2
2
x -
x
f) lim
4x