ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG A2

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG
HỌC PHẦN
VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG A2
1
MỤC LỤC
Nội dung
2
CHƯƠNG 1
Thuyết tương đối
Số tiết: 3 (Lý thuyết: 2 tiết; bài tập, thảo luận: 1 tiết)
*) Mục tiêu:
- Hiểu được ý nghĩa của nguyên lí tương đối Einstein, nguyên lí về tính bất biến của ánh sáng.
- Hiểu và vận dụng được phép biến đổi Lorentz, tính tương đối của không gian và thời gian.
- Hiểu được khối lượng, động lượng tương đối tính, hệ thức EinStein và ứng dụng.
1.1. Các tiên đề Einstein
1.1.1. Nguyên lí tương đối
Mọi định luật vật lý đều như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính
1.1.2. Nguyên lí về sự bất biến của vận tốc ánh sáng
Vận tốc ánh sáng trong chân không đều bằng nhau đối với mọi hệ quy chiếu quán tính.
Nó có giá trị bằng c = 3.10
8
m/s và là giá trị vận tốc cực đại trong tự nhiên.
Theo cơ học cổ điển Niutơn, lực tương tác giữa một chất điểm nào đó với các chất điểm
khác chỉ phụ thuộc vào vị trí của chất điểm tại cùng thời điểm đó và tương tác được cho là
truyền đi tức thời. Tuy nhiên thực nghiệm đã chứng vận tốc truyền tương tác có giá trị hữu hạn.
Theo thuyết tương đối Einstein thì vận tốc truyền tương tác là như nhau trong mọi hệ quy chiếu
quán tính, nó là một hằng số phổ biến. Thực nghiệm chứng tỏ vận tốc này bằng vận tốc truyền
ánh sáng trong chân không. Trong thực tế ta thường gặp các vận tốc nhỏ hơn vận tốc ánh sáng
do đó trong cơ học cổ điển có thể coi vận tốc truyền tương tác là vô cùng lớn mà vẫn thu được
kết quả chính xác. Như vậy, về mặt hình thức, có thể chuyển từ thuyết tương đối Einstein sang
cơ học cổ điển bằng cách cho c → ∞ ở các công thức của cơ học tương đối tính.

1.2. Phép biến đổi Lorentz
1.2.1. Phép biến đổi Lorentz
Lorentz đã tìm ra phép biến đổi các tọa độ không gian và thời gian khi chuyển từ hệ quy
chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán tính khác. Nó dựa trên cơ sở là hai tiên đề Einstein.
Xét hai hệ quy chiếu quán tính K và K’. Tại thời điểm t = 0 thì O và O’ trùng nhau, hệ
K’ chuyển động thẳng đều với vận tốc V so với hệ K dọc theo trục Ox.
Gọi (x, y, z, t) là tọa độ và thời gian trong hệ K, (x’, y’, z’, t’) là tọa độ và thời gian
trong hệ K’. Theo phép biến đổi Lorentz ta có biến đổi từ hệ K’ sang hệ K:
2
2 2
2 2
' ; ' ; ' ; '
1 1
V
t x
x Vt
c
x y y z z t
V V
c c
+
−
= = = =
− −
(1.1)
Và biến đổi từ hệ K sang hệ K’:
2
2 2
2 2
' '

'
; '; ;
1 1
V
t x
x Vt
c
x y y z z t
V V
c c
+
+
= = = =
− −
. (1.2)
Vậy, nếu c → ∞ hay khi V/c → 0 thì các công thức (1.1), (1.2) sẽ chuyển thành:
' ; ' ; ' ; ' ;x x Vt y y z z t t= − = = =
và
' ; '; '; 'x x Vt y y z z t t= + = = =
.
Nghĩa là biến đổi thành các công thức của phép biến đổi Galileo. Các điều kiện trên
tương ứng với tương tác tức thời.
3
Khi V > c thì các tọa độ x, t sẽ trở thành ảo nghĩa là không thể có các chuyển động với
vận tốc lớn hơn vận tốc ánh sáng. Cũng không có trường hợp vận tốc bằng vận tốc ánh sáng do
khi đó mẫu số trong các công thức sẽ bằng không và công thức trở nên vô nghĩa.
1.2.2. Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galileo với thuyết tương đối Einstein.
Xét hai hệ quy chiếu quán tính K và K’. Hệ K’ chuyển động thẳng đều với vận tốc V so
với hệ K dọc theo trục Ox.
Theo phép biến đổi Galileo, thì thời gian diễn biến một quá trình vật lí trong K và K’ là

như nhau ( t = t’ ). Và khoảng cách giữa hai điểm 1 và 2 nào đó đo được trong hai hệ trên là như
nhau. Suy ra rằng vận tốc v của chất điểm đối với hệ K bằng v’ trong K’ cộng V: v = v’ + V.
Các kết quả trên là đúng khi v << c. Nhưng mâu thuẫn với thuyết tương đối. Vì theo
thuyết tương đối thì thời gian không có tính tuyệt đối tức là phụ thuộc vào hệ quy chiếu và khái
niệm đồng thời phụ thuộc hệ quy chiếu, tức là các hiện tượng xảy ra đồng thời ở trong hệ quy
chiếu quán tính này thì chưa chắc đã xảy ra đồng thời trong hệ quy chiếu quán tính khác.
Ví dụ: Bóng đèn đứng yên trong hệ K và đặt ở A gửi ánh sáng đến hai điểm B và C, xét
trong hai hệ K và K’ cho thấy định lí cộng vận tốc, một hệ quả của nguyên lí tương đối Galileo
không áp dụng được.
1.3. Các hệ quả của phép biến đổi Lorentz
1.3.1. Khái niệm về tính đồng thời và quan hệ nhân quả
Giả sử trong hệ K có hai biến cố A
1
(x
1
, y
1
, z
1
, t
1
) và A
2
(x
2
, y
2
, z
2
, t

2
) với x
1
≠ x
2
. Ta tìm
khoảng thời gian giữa hai hiện tượng đó trong hệ K’, chuyển động với vận tốc V so với hệ K
dọc theo trục x. Từ các công thức biến đổi Lorentz ta có:
( )
2 1 2 1
2
2 1
2
2
1
V
t t x x
c
t t
V
c
− − −
′ ′
− =
−
(1.3)
Từ đó suy ra rằng các hiện tượng xảy ra đồng thời trong hệ K (t
1
= t
2

) sẽ không đồng
thời xảy ra trong hệ K’ (t’
1
≠ t’
2
). Chỉ có trường hợp ngoại lệ là cả hai biến cố cùng xảy ra tại
những điểm có cùng giá trị x (x
1
= x
2
).
Như vậy khái niệm đồng thời là một khái niệm tương đối, hai biến cố có thể xảy ra
đồng thời trong hệ quy chiếu này nhưng có thể không đồng thời xảy ra trong hệ quy chiếu khác.
Ngoài ra, theo công thức (1.3) cũng có thể chỉ ra rằng dấu của (t’
2
- t’
1
) phụ thuộc vào dấu của
V(x
2
-x
1
) nghĩa là thứ tự xảy ra các biến cố này là hoàn toàn bất kì.
Tuy nhiên điều đang xét ở trên không áp dụng cho trường hợp các biến cố có mối quan
hệ nhân quả với nhau. Trong mối quan hệ này, nguyên nhân bao giờ cũng xảy ra trước kết quả
và quyết định sự ra đời của kết quả.
1.3.2. Sự co ngắn chiều dài (sự co ngắn Lorentz)
Xét một thanh đứng yên trong hệ K’ đặt dọc theo trục x’, độ dài của nó trong hệ K’
bằng:
0 2 1

.l x x
′ ′
= −
Gọi l là độ dài của nó đo trong hệ K. Ta xác định các vị trí đầu thanh trong hệ K tại
cùng thời điểm. Ta có:
2 2 1 1
2 1
2 2
2 2
; .
1 1
x Vt x Vt
x x
V V
c c
− −
′ ′
= =
− −
4
Với chú ý rằng t
1
= t
2
, ta được:
2
2 1
2 1 0
2
2

2
1
1
x x V
x x l l
c
V
c
−
′ ′
− = ⇒ = −
−
(1.4)
Vậy “Độ dài dọc theo phương chuyển động của thanh trong hệ quy chiếu mà thanh
chuyển động thì ngắn hơn độ dài của thanh ở trong hệ quy chiếu mà thanh đứng yên”. Nói một
cách khác, khi vật chuyển động kích thước cả nó bị co ngắn theo phương chuyển động.
Như vậy không gian có tính tương đối, nó phụ thuộc vào chuyển động. Trong trường
hợp vận tốc chuyển động nhỏ từ công thức (1.4) ta trở về kết quả của cơ học cổ điển, không
gian được coi là tuyệt đối không phụ thuộc vào chuyển động.
1.3.3. Sự giãn của thời gian
Cũng từ công thức Lorentz ta tìm được khoảng thời gian của một quá trình trong hai hệ K
và K’. Giả sử có một đồng hồ đứng yên trong hệ K’, xét một biến cố cùng xảy ra tại một điểm
A(x’, y’, z’) trong hệ K’. Khoảng thời gian giữa hai biến cố trên trong hệ K’ là : ∆t’ = t’
2
- t’
1
.
Ta tìm khoảng thời gian giữa hai biến cố trên trong hệ K. Áp dụng công thức (1.1) ta
được:
2

2
' 1 .
V
t t
c
∆ = ∆ −
(1.5)
Điều này có nghĩa là khoảng thời gian xảy ra biến cố trong hệ quy chiếu K’ chuyển
động bao giờ cũng ngắn hơn so với khoảng thời gian xảy ra biến cố đó trong hệ quy chiếu
đứng yên. Nghĩa là nếu hai hệ K và K’ cùng được gắn đồng hồ đo thời gian thì đồng hồ trong
hệ chuyển động sẽ chạy chậm hơn so với đồng hồ trong hệ đứng yên. Điều này nói lên rằng,
thời gian có tính chất tương đối, nó phụ thuộc vào chuyển động. Trong trường hợp vận tốc
chuyển động là nhỏ thì ta trở lại kết quả của cơ học cổ điển.
1.4. Động lực học tương đối tính
1.4.1. Phương trình cơ bản của chuyển động chất điểm
Theo thuyết tương đối, khi một vật chuyển động với vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng
thì khối lượng của vật thay đổi theo biểu thức:
0
2
2
1
m
m
v
c
=
−
, trong đó m
0
là khối lượng của vật

trong hệ quy chiếu mà nó đứng yên và được gọi là khối lượng nghỉ của vật. Phương trình của
định luật 2 Newton không thể mô tả chuyển động của chất điểm, trong lí thuyết tương đối ta
phải sử dụng phương trình tổng quát hơn:
( )
d
F mv
dt
=
r
r
, với m là khối lượng tương đối tính
của chất điểm. Nếu v << c thì phương trình trở thành phương trình của định luật 2 Newton.
1.4.2. Động lượng và năng lượng
Động lượng của một vật bằng:
0
2
2
1
m v
p mv
v
c
= =
−
r
r r
, khi v << c thì ta thu được biểu thức
cổ điển :
0
p m v=

r r
.
5
Hệ thức Einstein: E = mc
2
, có ý nghĩa là: Khối lượng là đại lượng đặc trưng cho mức
quán tính của vật, năng lượng là đại lượng đặc trưng cho mức độ vận động của vật. Hệ thức
Einstein có tác dụng nối liền mối quan hệ giữa hai đại lượng này.
1.4.3. Các hệ quả
1.4.3.1. Năng lượng nghỉ của vật: Là năng lượng của vật khi nó đứng yên
2
0
E m c=
Khi vật chuyển động thì nó có thêm động năng:
2 2 2
0 0
2
2
1
1
1
d
E mc m c m c
v
c
 
 ÷
 ÷
= − = −
 ÷

−
 ÷
 
.
1.4.3.2. Liên hệ giữa năng lượng và động lượng của vật:
2 2 2 2
0
.E m c p c= +
*) Tài liệu học tập chương 1
1. Lương Duyên Bình, Ngô Phú An, Lê Băng Sương và Nguyễn Hữu Tăng(2003), Vật lý đại
cương, tập 1, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
2. Lương Duyên Bình (2000), Bài tập vật lý đại cương, tập 1, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
*) Câu hỏi, bài tập và thảo luận chương 1
Câu 1. Nêu giới hạn ứng dụng của cơ học Newton.
Câu 2. Phát biểu hai tiên đề Einstein và viết biểu thức biến đổi Lorentz.
Câu 3. Giải thích sự co ngắn của chiều dài và sự trôi chậm lại của thời gian.
Câu 4. Phân tích tính tương đối của sự đồng thời giữa hai biến cố không có quan hệ nhân quả
với nhau.
Câu 5. Chứng tỏ cơ học Newton là trường hợp riêng của thuyết tương đối Einstein khi cho
v<<c hoặc coi rằng vận tốc ánh sáng c là vô cùng lớn.
Bài 1.1. Vật chuyển động phải có vận tốc bao nhiêu để người quan sát đứng trên hệ quy chiếu
gắn với trái đất thấy chiều dài của nó giảm đi 25%.
Bài 1.2. Tìm vận tốc của hạt Mezon để năng lượng toàn phần của nó lớn gấp 10 lần năng lượng
nghỉ của nó.
Bài 1.3. Khối lượng của êlectrôn chuyển động bằng hai lần khối lượng nghỉ của nó. Tìm vận
tốc chuyển động của nó.
Bài 1.4. Hạt Mezon trong tia vũ trụ có vận tốc bằng 0,95 lần vận tốc ánh sáng. Hỏi khoảng thời
gian của đồng hồ của người quan sát đứng trên trái đất ứng với khoảng thời gian sống 1 giây
của hạt Mezon là bao nhiêu?
Bài 1.5. Hạt êlectrôn phải chịu một hiệu điện thế tăng tốc bằng bao nhiêu để nó đạt được vận

tốc bằng 95% vận tốc ánh sáng.
Bài 1.6. Tìm hiệu điện thế tăng tốc hạt prôton để cho kích thước của nó trong hệ quy chiếu gắn
với trái đất giảm đi hai lần.
Bài 1.7. Để động năng của hạt bằng năng lượng nghỉ thì vận tốc của hạt bằng bao nhiêu.
*Đề tài thảo luận chương 1
1. Không gian và thời gian trong cơ học tương đối tính.
2. Động lực học tương đối tính.
6
CHƯƠNG 2
Lí thuyết lượng tử
Số tiết: 12 (Lý thuyết: 8 tiết; bài tập, thảo luận: 4 tiết)
*) Mục tiêu:
- Hiểu được thế nào là hiện tượng bức xạ nhiệt, các định luật phát xạ của vật đen tuyệt đối, thuyết
Phôtôn. Sự bế tắc của quang học sóng cổ điển trong giải thích bức xạ của vật đen tuyệt đối.
- Vận dụng được nội dung thuyết Planck và thành công của nó trong việc giải thích các định
luật của vật đen tuyệt đối. Giải thích được hiệu ứng Compton.
- Giải thích được các hiện tượng quang điện bằng thuyết Phôtôn.
- Thành lập được phương trình Schrodinger trong hố thế một chiều.
2.1. Phát xạ và hấp thụ. Các đại lượng đặc trưng. Định luật Kirchhoff
2.1.1. Bức xạ nhiệt cân bằng
Bức xạ là hiện tượng các vật bị kích thích phát ra sóng điện từ. Có nhiều dạng bức xạ
khác nhau do nhiều nguyên nhân khác nhau: Tác dụng nhiệt, tác dụng hóa học, do sự biến đổi
năng lượng trong mạch dao động điện từ…Tuy nhiên phát xạ do tác dụng nhiệt là phổ biến nhất
và được gọi là bức xạ nhiệt. Vậy: Bức xạ nhiệt là hiện tượng sóng điện từ phát ra từ những vật
bị kích thích bởi tác dụng nhiệt.
Khi vật phát ra bức xạ nhiệt năng lượng của nó giảm và nhiệt độ của nó cũng giảm theo.
Ngược lại, khi vật hấp thụ bức xạ thì năng lượng của nó tăng và nhiệt độ của nó cũng tăng.
Trong trường hợp năng lượng của vật mất đi do phát xạ bằng năng lượng của vật thu được do
hấp thụ thì nhiệt độ của vật sẽ không đổi theo thời gian và bức xạ nhiệt của vật cũng không đổi.
Trong trường hợp này, ta gọi là bức xạ nhiệt cân bằng và trạng thái này gọi là trạng thái cân

bằng nhiệt động.
2.1.2. Các đại lượng đặc trưng của bức xạ nhiệt cân bằng
2.1.2.1. Năng suất phát xạ toàn phần
Xét một vật đốt nóng được giữ ở nhiệt độ T không đổi (Hình 2.1). Diện tích dS của vật
phát xạ trong một đơn vị thời gian một năng lượng toàn phần là
T
d
φ
. Đại lượng:
T
T
d
R
dS
φ
=
(2.1)
Được gọi là năng suất phát xạ toàn phần của vật ở nhiệt độ T.
Đơn vị trong đơn vị SI là: W/m
2
2.1.2.2. Hệ số phát xạ đơn sắc
Bức xạ toàn phần do vật ở nhiệt độ T phát ra bao gồm nhiều bức
xạ đơn sắc, năng lượng bức xạ phân bố không đều đối với các bức xạ đơn
sắc có bước sóng khác nhau. Vì vậy, năng lượng bức xạ ứng với bước
sóng thay đổi từ λ đến λ + dλ chỉ là một vi phân của năng suất toàn phần. Đại lượng:
,
.
T
T
dR

r
d
λ
λ
=
(2.2)
Được gọi là hệ số phát xạ đơn sắc của vật ở nhiệt độ T, ứng với bước sóng λ. Nó phụ
thuộc vào bản chất, nhiệt độ của vật và bước sóng do vật phát ra.
7
dS
Hình 2.1
Hình 2.2. Đường đặc trưng của phổ phát xạ của vật
đen tuyệt đối
Hình 2.3. Đường đặc trưng phổ phát xạ của
vật đen tuyệt đối ở các nhiệt độ khác nhau
Đơn vị của hệ số phát xạ đơn sắc là W/m
3
. Bằng thực nghiệm, ta có thể xác định được
r
λ,T
từ đó xác định được năng suất phát xạ toàn phần của vật:
,
0
R .
T T T
R d r d
λ
λ
∞
= =

∫ ∫
(2.3)
2.1.2.3. Hệ số hấp thụ đơn sắc
Giả sử trong một đơn vị thời gian, chùm bức xạ đơn sắc có bước sóng nằm trong
khoảng từ λ đến λ + dλ gửi tới một đơn vị diện tích của vật một năng lượng là dΦ
λ,T
nhưng vật
đó chỉ hấp thụ một năng lượng là dΦ’
λ,T
thì tỉ số:
,
,
,
'
.
T
T
T
d
a
d
λ
λ
λ
φ
φ
=
(2.4)
Được gọi là hệ số hấp thụ đơn sắc của vật ở nhiệt độ T ứng với bước sóng λ. Nó phụ
thuộc vào bản chất của vật, nhiệt độ của vật và

bước sóng gửi tới. Thông thường a
λ,T
< 1, với
những vật có a
λ,T
= 1 thì được gọi là vật đen
tuyệt đối.
2.1.3. Định luật Kirrchoff
Giả sử hai vật có nhiệt độ khác nhau
được đặt vào một bình cách nhiệt. Khi đó sẽ
diễn ra quá trình bức xạ và hấp thụ nhiệt. Sau
một thời gian trạng thái cân bằng nhiệt động
được thiết lập và hai vật có cùng một nhiệt độ
T. Vật nào có khả năng phát xạ mạnh thì cũng
có khả năng hấp thụ mạnh, do đó Kirrchoff đã
đưa ra một định luật mang tên ông, có nội
dung: dW/dλ.
Tỉ số giữa hệ số phát xạ đơn sắc và hấp thụ đơn sắc của một vật ở trạng thái cân bằng
nhiệt động không phụ thuộc vào bản chất của vật mà chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ T của vật và
bước sóng λ của chùm bức xạ đơn sắc. Nghĩa là:
,
,
,
T
T
T
r
f
a
λ

λ
λ
=
(2.5)
Trong đó f
λ,T
là hàm số chung cho mọi vật nên được gọi là hàm phổ biến. Vì vật đen
tuyệt đối có hệ số hấp thụ bằng 1 nên hàm phổ biến của nó chính bằng hệ số phát xạ của vật.
Làm thí nghiệm với mô hình vật đen tuyệt đối người ta xác định được hệ số f
λ,T
.
2.2. Thuyết Planck. Công thức Planck. Các định luật phát xạ của vật đen tuyệt đối
2.2.1. Các định luật phát xạ của vật đen tuyệt đối
2.2.1.1. Định luật Stefan – Boltzmann
Hình 2.3 biểu diễn đường đặc trưng phổ
phát xạ của vật đen tuyệt đối ở các nhiệt độ khác
nhau. Khi nhiệt độ tăng thì diện tích giữa đường
đặc trưng với trục λ cũng tăng theo. Như vậy
năng suất phát xạ toàn phần của vật đen tuyệt đối
phụ thuộc vào nhiệt độ.
Stefan bằng lí thuyết và Boltzmann bằng
thực nghiệm đã tìm ra định luật biểu diễn mối
8
quan hệ giữa năng suất phát xạ toàn phần của vật đen tuyệt đối với nhiệt độ của nó:
4
.
T
R T
σ
=

(2.6)
Trong đó
8 2 4
5,6703.10 /W m K
σ
−
=
được gọi là hằng số Stefan – Boltzmann .
2.2.1.2. Định luật Wein
Ta thấy rằng mỗi đường đặc trưng đều có một cực đại ứng với giá trị xác định của bước
sóng, gọi là λ
max
. Khi nhiệt độ tăng thì λ
max
giảm. Đối với vật đen tuyệt đối thì những bức xạ có
bước sóng lân cận λ
max
thì mang nhiều năng lượng nhất:
ax
.
m
b
T
λ
=
(2.7)
Là biểu thức của định luật Wein. Trong đó
3
2,898.10 .b m K
−

=
được gọi là hệ số Wein.
2.2.2. Thuyết lượng tử năng lượng của Planck.
Các nguyên tử hay phân tử vật chất hấp thụ hay bức xạ năng lượng của bức xạ điện từ
gián đoạn, nghĩa là phần năng lượng hấp thụ hay bức xạ là bội số nguyên của một năng lượng
nhỏ xác định, gọi là lượng tử năng lượng hay quantum năng lượng. Mỗi lượng tử năng lượng
của một bức xạ tần số ν, bước sóng λ là:
.
hc
h
ε ν
λ
= =
(2.8)
Trong đó:
34
6,625.10 sh J
−
=
là hằng số Planck, c là vận tốc ánh sáng.
Xuất phát từ thuyết lượng tử Planck đã tìm ra hàm phổ biến:
2
,
2
2
.
1
T
h
kT

h
f
c
e
ν
ν
πν ν
=
−
(2.9)
Được gọi là công thức Planck, trong đó k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tuyệt đối của vật.
2.2.3. Thuyết phôtôn của Einstein
Thuyết lượng tử của Planck đã nêu lên quan điểm hiện đại về năng lượng, năng lượng
hấp thụ hay bức xạ điện từ mang tính gián đoạn, ta nói rằng năng lượng điện từ phát xạ hay hấp
thụ bị lượng tử hóa.
Nội dung thuyết phôtôn của Einstein:
a. Bức xạ điện từ gồm vô số những hạt rất nhỏ gọi là lượng tử ánh sáng hay phôtôn.
b. Với mỗi bức xạ điện từ đơn sắc nhất định các phôtôn đều giống nhau và mang cùng
một năng lượng:
hc
h
ε ν
λ
= =
.
c. Trong mọi môi trường kể cả trong chân không các phôtôn đều truyền đi với vận tốc
bằng c = 3.10
8
m/s.
d. Khi một vật hấp thụ hay phát xạ bức xạ điện từ có nghĩa là vật đó hấp thụ hay bức xạ

các photon.
e. Cường độ của chùm bức xạ tỉ lệ thuận với số phôtôn phát ra từ nguồn trong một đơn
vị thời gian.
2.2.4. Động lực học phôtôn
Khối lượng của phôtôn:
2 2
h h
m
c c c
ε ν
λ
= = =
(2.10)
Theo thuyết tương đối:
2
0
2
1
v
m m
c
= −
, do v = c, nên phôtôn có khối lượng nghỉ bằng không.
9
Hình 2.5. Đặc trưng V – A của tế bào quang
điện
Động lượng của phôtôn:
h h
p mc
c

ν
λ
= = =
(2.11)
2.3. Hiện tượng quang điện
2.3.1. Hiện tượng quang điện: Hiện tượng làm phóng ra các êlectrôn từ một tấm kim loại khi
rọi vào tấm kim loại đó một bức xạ điện từ thích hợp. Các êlectrôn bắn ra gọi là các quang
êlectrôn.
Thí nghiệm về hiện tượng quang điện được mô tả như trong Hình 2.4. Tế bào quang
điện chân không có K làm bằng kim loại cần nghiên cứu. Khi rọi chùm bức xạ điện từ đơn sắc
vào K làm bật ra các êlectrôn. Dưới tác dụng của điện trường, các êlectrôn này chuyển động có
hướng về A tạo thành dòng quang điện. Điều chỉnh biến trở để thay đổi hiệu điện thế giữa A và
K và đo dòng quang điện ta được đồ thị phụ thuộc giữa I và U
AK
(Hình 2.5).
+ I = 0, dòng quang điện bị triệt tiêu:

2
0
1
2
h e
e U m v=
(2.12)
2.3.2. Phương trình Einstein
Khi rọi một bức xạ điện từ thích hợp vào bề
mặt của một tấm kim loại, các êlectrôn tự do trong
kim loại sẽ hấp thụ phôtôn. Mỗi êlectrôn sẽ hấp thụ
một phôtôn và nhận được một năng lượng bằng hν.
Năng lượng này một phần sẽ chuyển thành công

thoát A cho êlectrôn ra khỏi kim loại, phần còn lại sẽ
biến thành động năng ban đầu của chúng. Các
êlectrôn gần bề mặt kim loại sẽ có động năng ban
đầu lớn hơn và công thoát nhỏ hơn. Do vậy, Einstein
thiết lập biểu thức phương trình Einstein cho hiện
tượng quang điện:
2
ax
2
m
mv
h A
ν
= +
(2.13)
2.3.3. Các định luật quang điện
* Định luật về giới hạn quang điện: Đối với
mỗi kim loại xác định, hiện tượng quang điện chỉ xảy
ra khi bước sóng hay tần số của bức xạ điện từ chiếu
tới nhỏ hơn bước sóng λ
0
hoặc tần số ν
0
xác định gọi
là giới hạn quang điện của kim loại đó.
Giới hạn quang điện phụ thuộc vào bản chất của kim
loại làm catot.
* Định luật về dòng quang điện bão hòa:
Cường độ dòng quang điện bão hòa tỉ lệ thuận với
cường độ chùm bức xạ chiếu tới.

* Định luật về động năng ban đầu cực đại của các quang êlectrôn: Động năng ban đầu
cực đại của các quang êlectrôn không phụ thuộc vào cường độ của chùm bức xạ chiếu tới mà
chỉ phụ thuộc vào tần số của chùm bức xạ đó.
2.4. Lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng. Hiệu ứng Compton. Sóng De Broglie
2.4.1. Hiệu ứng Compton
10
Hình 2.4. Thí nghiệm quang điện
2.4.1.1. Hiệu ứng Compton
Thí nghiệm Compton: Cho một chùm tia X có bước sóng λ rọi vào miếng graphit hay
paraphin…Khi đi qua chất này tia X bị tán xạ theo nhiều phương. Trong phổ tán xạ ngoài
những vạch ứng với bước sóng λ’>λ. Thực nghiệm chứng tỏ rằng λ’ không phụ thuộc vào bản
chất của chất được rọi bức xạ mà chỉ phụ thuộc vào góc tán xạ θ. Độ tăng bước sóng ∆λ = λ’-λ,
được xác định:
2
2 sin .
2
c
θ
λ λ
 
∆ =
 ÷
 
(2.14)
12
2,426.10
c
m
λ
−

=

là hằng số chung cho
tất cả các chất, được
gọi là hằng số
Compton.
Theo lí thuyết
sóng thì khi tia X
truyền đến thanh
graphit nó làm cho
các hạt mang điện
trong thanh (các
êlectrôn) dao động
với cùng tần số của tia X, do đó mọi bức xạ tán xạ về mọi phương phải có cùng tần số với bức
xạ tia tới. Như vậy lí thuyết sóng điện từ cổ điển không thể giải thích được hiệu ứng Compton.
2.4.1.2. Giải thích hiệu ứng Compton bằng thuyết lượng tử ánh sáng.
Có thể coi hiện tượng tán xạ tia X như một va chạm hoàn toàn đàn hồi giữa một phôtôn
và một êlectrôn trong chất mà tia X chiếu tới. Trong phổ tán xạ những vạch ứng với bước sóng
bằng bước sóng của tia X ứng với sự tán xạ trên những êlectrôn ở sâu bên trong nguyên tử, còn
những vạch ứng với λ’ > λ thì tương ứng với sự tán xạ của tia X lên các êlectrôn liên kết yếu
với hạt nhân. Năng lượng liên kết của các êlectrôn này rất nhỏ so với năng lượng của chùm tia
X chiếu tới, do vậy các êlectrôn có thể coi như tự do. Vì đây là sự va chạm đàn hồi giữa
êlectrôn tự do và phôtôn nên ta áp dụng hai định luật: bảo toàn năng lượng và bảo toàn động
lượng cho hệ kín. Giả thiết trước va chạm êlectrôn đứng yên, tia X có năng lượng lớn, khi tán
xạ trên êlectrôn tự do, tia X sẽ truyền năng lượng cho êlectrôn do vậy sau va chạm vận tốc của
êlectrôn sẽ rất lớn. Do đó ta phải áp dụng hiệu ứng tương đối tính cho trường hợp này. Xét
động lượng, năng lượng của phôtôn, êlectrôn trước và sau va chạm:
2 2
0
'

'
e
h m c h mc
p p p
ν ν
+ = +
= +
r r r
(2.15)
Gọi θ là góc giữa
p
r
và
p'
r
, và sử dụng các công thức cơ học tương đối tính, ta được:
2
' 2 sin
2
c
θ
λ λ λ
− =
Khi phôtôn đi sâu vào trong nguyên tử và va chạm với các êlectrôn liên kết mạnh với
hạt nhân, ta phải coi va chạm này là va chạm với các nguyên tử, công thức 2.15 vẫn đúng
nhưng phải thay khối lượng của êlectrôn bằng khối lượng của nguyên tử. Do đó hầu như
11
Hình 2.6. Thì nghiệm hiệu ứng Compton
Hì
nh 2.7. Thì nghiệm nhiễu xạ e qua khe hẹp

không thay đổi bước sóng. Như vậy trong bức xạ tán xạ có mặt những phôtôn với bước sóng
không đổi.
2.4.2. Giả thuyết DeBroglie (Đơbrơi): Một vi hạt tự do có năng lượng, động lượng xác định tương
ứng với một sóng phẳng đơn sắc, năng lượng của hạt liên hệ với tần số của sóng thông qua hệ thức
E h
ν ω
= = h
. Động lượng của vi hạt liên hệ với bước sóng của sóng theo hệ thức:
;
h
p hay p k
λ
= =
r
r
h
. Trong đó
k
r
là vectơ sóng, có phương chiều trùng với phương chiều truyền
sóng, độ lớn:
2
k
π
λ
=
. Sóng DeBroglie là sóng của vật chất, sóng của các vi hạt.
2.4.3. Lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng
Như chúng ta đã biết ánh sáng vừa có tính chất sóng, vừa có tính chất hạt. Tính chất
sóng của nó thể hiện ở các hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ, tính chất hạt thể hiện ở hiện tượng

quang điện và hiệu ứng Compton. Tính chất hạt của ánh sáng được Einstein thể hiện trong
thuyết phôtôn: ánh sáng là một chùm phôtôn, mỗi phôtôn là một lượng tử năng lượng có năng
lượng
E h
ν ω
= = h
và động lượng
;
h
p hay p k
λ
= =
r
r
h
. Như vậy các đại lượng đặc trưng
cho tính chất hạt liên hệ trực tiếp với các đại lượng đặc trưng cho tính chất sóng.
2.5. Hệ thức bất định Heisenberg
Xét thí nghiệm sự nhiễu xạ của chùm
êlectrôn qua một khe hẹp cho thấy. Tọa độ x của
hạt trong khe sẽ có giá trị nằm trong khoảng từ 0
đến b. Nói cách khác vị trí của hạt trong khe sẽ
được xác định với độ bất định ∆x ≈ b. Sau khi hạt
qua khe, hạt bị nhiễu xạ, phương động lượng
p
r

của hạt sẽ thay đổi, giá trị của nó theo phương x
nằm trong khoảng
0 sin

x
p p
ϕ
< <
.
Từ đó suy ra:
.
x
x p h∆ ∆ ≈
Và:
. ,
y
y p h∆ ∆ ≈
.
z
z p h∆ ∆ ≈
(2.16)
Hệ thức bất định Heisenberg là một trong những định luật cơ bản của cơ học lượng tử, hệ
thức này chứng tỏ rằng vị trí và động lượng của hạt không được xác định một cách đồng thời. Vị
trí của hạt càng xác định thì động lượng của hạt càng bất định và ngược lại. Vậy, ta chỉ có thể
đoán nhận khả năng vi hạt ở một trạng thái nhất định. Nói cách khác vi hạt chỉ có thể ở một trạng
thái nào đó với một xác suất, do đó quy luật vận động của vi hạt tuân theo vật lí thống kê.
Ngoài hệ thức bất định giữa vị trí và động lượng, trong cơ học lượng tử người ta còn tìm
ra hệ thức bất định giữa năng lượng và thời gian:
.E t h∆ ∆ ≈
. Ý nghĩa của hệ thức này là: nếu
năng lượng của hệ ở một trạng thái nào đó càng bất định thì thời gian để hệ tồn tại ở trạng thái đó
càng ngắn và ngược lại. Như vậy trạng thái có năng lượng bất định là trạng thái không bền.
2.6. Phương trình Schrodinger. Vi hạt trong hố thế một chiều
2.6.1. Phương trình Schrodinger (Srôđinhgơ)

Do hệ thức bất định nên để xác định trạng thái của vi hạt, ta phải sử dụng khái niệm
hàm sóng. Hàm sóng DeBroglie mô tả trạng thái của vi hạt có năng lượng và động lượng:
12
( ) ( )
0
( , ) exp exp .
i i
r t Et pr r Et
ψ ψ ψ
   
= − − = −
   
   
r rr r
h h
Suy ra
( )
0
exp
i
r pr
ψ ψ
 
=
 
 
r rr
h
Gọi E
đ

là động năng của hạt ta viết được:
2 2
E .
2 2
đ
mv p
m
= =
Qua biến đổi, ta được phương trình:
( ) ( )
2
2
E 0
đ
m
r r
ψ ψ
∆ + =
r r
h
(2.17)
Gọi là phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động tự do. Mở rộng phương trình cho
một hạt không tự do nghĩa là chuyển động trong một trường có thế năng U không phụ thuộc
thời gian, năng lượng của vi hạt E = E
đ
+ U thay vào (2.17) ta được:
( ) ( )
( )
( )
2

2
E 0
m
r U r r
ψ ψ
∆ + − =
r r r
h
(2.18)
Biết dạng cụ thể của U(r) thay vào phương trình ta tìm được
( )
,r E
ψ
r
. Nghĩa là xác
định được trạng thái và năng lượng của vi hạt. Khi năng lượng của hệ không biến thiên theo
thời gian ta nói đó là trạng thái dừng. Phương trình (2.18) được gọi là phương trình
Schrodinger cho trạng thái dừng.
Cho đến nay ta vẫn xét hạt chuyển động với vận tốc v << c, do đó phương trình (2.18)
mô tả chuyển động của hạt phi tương đối tính có khối lượng nghỉ khác không. Phương trình
Schrodinger mô tả sự vận động của vi hạt, có vai trò tương tự như các phương trình của các
định luật Newton trong cơ học cổ điển. Cần lưu ý rằng phương trình Schrodinger không được
chứng minh hay rút ra từ đâu. Nó được xây dựng trên cơ sở hàm sóng phẳng đơn sắc của ánh
sáng và giả thuyết sóng – hạt DeBroglie, do đó được coi như một tiên đề. Việc mở rộng
phương trình cho hạt tự do sang cho hạt chuyển động trong trường thế cũng được coi như tiên
đề hóa.
2.6. 2. Vi hạt trong hố thế một chiều
Xét trường hợp hạt nằm trong một giếng thế năng có thành cao vô hạn và chuyển động
theo phương x bên trong giếng thế. Thế năng U được xác định:
0 khi 0

khi ; 0
x a
U
x a x
< <

=

∞ ≥ ≤

Như vậy hạt chuyển động tự do bên trong giếng thế và không thể vượt ra khỏi giếng.
Phương trình Schrodinger cho hạt có dạng:
( )
( )
2
2
0
d x
k x
dx
ψ
ψ
+ =
;
2
2mE
k =
h
(2.19)
Nghiệm của phương trình này có dạng:

( )
Asin x cos xx k B k
ψ
= +
(2.20)
Trong đó A, B là các hệ số được rút ra nhờ điều kiện ban đầu của bài toán. Biện luận được:
( )
Asin x
n
n
x
a
π
ψ
=
và hằng số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa:
( )
2
0
2
x 1
a
x d A
a
ψ
= ⇒ =
∫
Như vậy hàm sóng được xác định hoàn toàn:
( )
2

sin x
n
n
x
a a
π
ψ
=
(2.21)
13
Năng lượng của hạt trong giếng thế:
2 2
2
2
.
2
n
E n
ma
π
=
h
(2.22)
Kết luận: Mỗi trạng thái của hạt ứng với một hàm sóng, năng lượng của hạt trong giếng ứng
với mỗi giá trị nguyên n nghĩa là biến thiên gián đoạn hay năng lượng bị lượng tử hóa.
Với n = 1 ta có mức năng lượng cực tiểu
2 2
1
2
0

2
E
ma
π
= ≠
h
ứng với hàm sóng
( )
1
2
sin xx
a a
π
ψ
=
. Nói chung hàm sóng khác không trong giếng và chỉ bằng không tại các
vị trí biên. Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau:
( )
2 2
1
2
2 1
2
n n
E E E n
ma
π
+
∆ = − = +
h

càng lớn khi a càng nhỏ, nghĩa là trong thế giới vi mô sự
lượng tử hóa càng rõ rệt.
- Mật độ xác suất tìm hạt trong giếng thế:
( )
2
2
2
sin
n
n x
x
a a
π
ψ
 
=
 ÷
 
. Mật độ xác suất
cực đại khi
sin 1
n x
a
π
= ±
.
Do đó xác suất tìm thấy hạt lớn nhất tại:
( )
*
2 1 , .

2
a
x m a m Z
n
= + < ∈
Xác suất tìm thấy hạt nhỏ nhất khi
sin 0
n x
a
π
=
, tại vị trí:
*
, .
ma
x a m Z
n
= < ∈


2.7. Hiệu ứng đường ngầm
Xét hạt mang năng lượng E chuyển động theo phương x từ trái sang phải đập vào hàng
rào thế năng. Theo quan niệm cổ điển nếu E < U
0
hạt không thể vượt qua hàng rào. Theo quan
điểm cơ học lượng tử hạt vẫn có thể xuyên qua hàng rào thế năng, hiệu ứng này gọi là hiệu ứng
đường ngầm.
14
(a) (b) (c)
Hình 2.8. Hạt trong giếng thế (a) Bốn mức năng lượng thấp nhất. (b) Các hàm sóng tương

ứng. (c) Các xác suất tìm thấy hạt tương ứng
Xét trường hợp hàng rào thế năng có dạng đơn giản:
0
0 khi 0
khi 0
0 khi x
x
U U x a
a
≤


= < <


≥

Phương trình Schrodinger đối với các miền như sau:
Miền I:
2
2 2
1
1 1 1
2 2
2
0;
x
d mE
k k
d

ψ
ψ
+ = =
h
Miền 2:
( )
2
2 2
2
2 2 2 0
2 2
2
0;
x
d m
k k U E
d
ψ
ψ
+ = = −
h
Miền 3:
2
2 2
3
3 3 3
2 2
2
0;
x

d mE
k k
d
ψ
ψ
+ = =
h
Trong miền I có cả sóng tới và sóng phản xạ, nghiệm Ψ
1
trong miền này nghiệm có
dạng:
( )
1 1
1 1 1
.
ik x ik x
x Ae B e
ψ
−
= +
(2.23)
Số hạng thứ nhất vế phải biểu diễn sóng tới truyền từ trái sang phải. Số hạng thứ hai
biểu diễn sóng phản xạ trên hàng rào thế năng, truyền ngược trở lại từ phải sang trái.
Nghiệm tổng quát trong miền 2:
( )
2 2
1 2 2
k x k x
x A e B e
ψ

−
= +
(2.24)
Nghiệm tổng quát trong miền 3:
( )
( ) ( )
1 1
1 3 3
ik x a ik x a
x A e B e
ψ
− − −
= +
(2.25)
Số hạng thứ nhất ở vế phải biểu diễn hàm sóng của sóng xuyên qua hàng rào truyền từ
trái sang phải, số hạng thứ hai biểu diễn sóng phản xạ từ vô cực về nhưng sóng này không có
nên có thể cho B
3
= 0.
Hệ số truyền qua hàng rào D được định nghĩa là tỉ số giữa số hạt xuyên qua được hàng
rào và số hạt đi tới hàng rào:
2
3
2
1
A
D
A
=
(2.26)

Hệ số phản xạ R được định nghĩa là tỉ số giữa số hạt phản xạ trên hàng rào với số hạt đi
tới hàng rào:
2
1
2
1
B
R
A
=
(2.27)
Do điều kiện bảo toàn số hạt nên ta phải có:
2 2 2
3 1 1
A B A+ =
, nên: D+R = 1
Xét điều kiện liên tục của hàm sóng tại các vị trí biên x = 0 và x = a, từ đó ta được hệ số
truyền qua:
( )
2
2
2
23
2 2
2
1
16
.
1
k a

A
n
D e
A
n
−
= =
+
(2.28)
Nếu
( )
2
2
2
16
1
n
n+
cỡ bằng 1 thì:
( )
0
2a
exp 2 .D m U E
 
≈ − −
 ÷
 
h
(2.29)
Từ (2.29) ta thấy rằng ngay khi U

0
> E thì D vẫn luôn khác không nghĩa là vẫn tồn tại
hạt xuyên qua hàng rào. Nếu D lớn thì lượng hạt xuyên qua hàng rào lớn và ngược lại nhưng
luôn là số khác không.
15
Hệ số D sẽ đáng kể khi a nhỏ nghĩa là hiện tượng xuyên qua hàng rào sẽ thể hiện rõ đối
với kích thước vi mô. Hiệu ứng đường ngầm thể hiện rõ tính chất sóng của vi hạt, điều này
không thể có đối với các hạt vĩ mô.
Hiệu ứng đường ngầm cho phép ta giải thích một số hiện tượng như hiện tượng phát
êlectrôn lạnh, hiện tượng phân rã hạt α.
Hiện tượng phát êlectrôn lạnh: êlectrôn muốn thoát ra khỏi kim loại thì nó cần phải có
năng lượng thắng được công cản, vượt qua hàng rào thế năng. Điều này có nghĩa là cần phải
nung nóng kim loại, tuy nhiên trong thực tế do hiệu ứng đường ngầm nên không cần phải nung
nóng thì trong kim loại vẫn có một số lượng các êlectrôn thoát ra khỏi bề mặt của nó gọi là hiện
tượng phát êlectrôn lạnh.
Hiện tượng phân rã hạt α: Trong hạt nhân nguyên tử các hạt nơtron và prôton liên kết
với nhau bằng lực hạt nhân. Do vậy có thể coi các hạt này nằm trong một giếng thế năng. Hạt α
gồm hai hạt prôton và nơtron, mặc dù năng lượng của hạt α nhỏ hơn độ cao rào thế năng nhưng
do hiệu ứng đường ngầm vẫn có những hạt p và n của hạt α vẫn thoát ra khỏi hạt nhân và bay ra
ngoài, hiện tượng này gọi là phân rã α.
2.8. Dao động tử điều hòa
Một vi hạt thực hiện dao động nhỏ điều hòa xung quanh vị trí cân bằng là một ví dụ về
dao động tử điều hòa lượng tử. Dao động của nguyên tử trong phân tử, của các ion quanh nút
mạng tinh thể…, là những ví dụ về dao động tử điều hòa lượng tử.
Xét một vi hạt dao động một chiều trong trường thế năng. Ta đã biết thế năng của dao
động điều hòa một chiều:
2 2 2
kx m x
U .
2 2

ω
= =
Phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa có dạng:
( )
( )
2
2 2
2 2
2
0
2
d x
m m x
E x
dx
ψ
ω
ψ
 
+ − =
 ÷
 
h
Biểu thức năng lượng của dao động tử điều hòa lượng tử:
n
1
E n ; n N.
2
ω
 

= + ∈
 ÷
 
h
Ta thấy rằng năng lượng của dao động tử lấy những giá trị gián đoạn nghĩa là năng
lượng của nó đã bị lượng tử hóa. Năng lượng thấp nhất của dao động tử ứng với n = 0 là:
0
1
E .
2
ω
=
h
Năng lượng này được gọi là năng lượng không, năng lượng không ứng với dao động
“không” của dao động tử. Nghĩa là khi T = 0K thì dao động tử vẫn dao động. Thực nghiệm đã
xác nhận bằng thí nghiệm tán xạ tia X. Tia X bị tán xạ là do những dao động trong mạng tinh
thể gây ra. Theo cơ học cổ điển thì khi nhiệt độ giảm thì biên độ dao động của vật giảm đến
không do đó sự tán xạ ánh sáng phải biến mất. Nhưng thực nghiệm lại chứng tỏ khi nhiệt độ
tiến tới 0K thì cường độ tán xạ tiến tới một giá trị tới hạn nào đó nghĩa là sự tán xạ vẫn xảy ra
và vẫn tồn tại trong mạng tinh thể dao động của các nguyên tử.
Sự tồn tại của năng lượng “không” cũng phù hợp với nguyên lí bất định Heisenberg.
Thực vậy nếu năng lượng của dao động tử bằng không thì tọa độ và vận tốc của hạt sẽ được xác
định một cách đồng thời (đều bằng không) và do đó trái với nguyên lí bất định. Sự tồn tại của
năng lượng “không” là biểu hiện rõ nhất của lưỡng tính sóng – hạt của vi hạt.
16
*) Tài liệu học tập chương 2
1. Lương Duyên Bình, Ngô Phú An, Lê Băng Sương và Nguyễn Hữu Tăng(2003), Vật lý đại
cương, tập 3, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
2. Lương Duyên Bình (2000), Bài tập vật lý đại cương, tập 3, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
*) Câu hỏi, bài tập và thảo luận chương 2

Câu 1. Phát biểu giả thuyết DeBroglie về lưỡng tính sóng – hạt của vi hạt
Câu 2. Viết phương trình Schrodinger cho vi hạt chuyển động tự do và vi hạt chuyển động
trong trường lực thế.
Câu 3. Phát biểu và nêu ý nghĩa của hệ thức bất định Heisenberg cho động lượng và vị trí.
Câu 4. Phân tích tại sao trong cơ học lượng tử khái niệm quỹ đạo của vi hạt không còn ý nghĩa.
Khái niệm quỹ đạo của vi hạt được thay thế bằng khái niệm gì.
Câu 5. Tìm biểu thức năng lượng và hàm sóng của vi hạt chuyển động trong giếng thế năng có
chiều cao vô hạn.
Bài 2.1. Hỏi nhiệt độ của lò nung bằng bao nhiêu biết mỗi giây lò phát ra một năng lượng bằng
8,28 calo qua một lỗ nhỏ có kích thước bằng 6,1cm
2
. Coi bức xạ từ lò được phát ra từ một vật
đen tuyệt đối.
Bài 2.2. Công thoát của kim loại dùng làm catôt của tế bào quang điện A = 5eV.
a. Tính vận tốc ban đầu cực đại của các quang êlectrôn khi catot được chiếu bằng ánh sáng có
λ = 0,2μm.
b. Tính hiệu điện thế hãm cần đặt vào anot và catot để không một êlectrôn nào thoát ra đến
được anot.
Bài 2.3. Phôtôn mang năng lượng 0,15MeV đến tán xạ trên êlectrôn tự do. Sau khi tán xạ bước
sóng chùm tán xạ tăng thêm ∆λ = 0,015A
0
. Xác định bước sóng của phôtôn và góc tán xạ.
Bài 2.4. Một vật đen tuyệt đối ở nhiệt độ T
1
= 2900K. Do vật bị nguội đi nên bước sóng ứng
với năng suất phát xạ cực đại thay đổi ∆λ = 9μm. Hỏi vật lạnh đến nhiệt độ bằng bao nhiêu?
Bài 2.5. Tìm năng lượng và động lượng của phôtôn ứng với bước sóng λ = 10
-12
m.
Bài 2.6. Tìm năng lượng và động lượng của phôtôn tán xạ biết phôtôn tới có bước sóng

12
5.10 m
λ
−
=
đến va chạm với êlectrôn tự do dưới góc bằng 60
0
.
Bài 2.7. Trong hiện tượng tán xạ Compton bức xạ tia X có bước sóng λ đến tán xạ trên êlectrôn
tự do. Tìm bước sóng đó cho biết động năng cực đại của êlectrôn bắn ra bằng 0,19MeV.
Bài 2.8. Êlectrôn chuyển động tương đối tính với vận tốc 2.10
8
m/s. Tìm:
a. bước sóng Debroglie của electron.
b. động lượng của electron.
Bài 2.9. Động năng của êlectrôn trong nguyên tử hiđrô có giá trị cỡ 10eV. Dùng hệ thức bất
định hãy đánh giá kích thước nhỏ nhất của nguyên tử hiđrô.
Bài 2.10. Êlectrôn có động năng E
đ
= 15eV chuyển động trong một giọt kim loại có kích thước
d = 10
-6
m. Xác định độ bất định về vận tốc của hạt đó.
Bài 2.11. Hạt vi mô có độ bất định về động lượng bằng 1% động lượng của nó. Xác định tỉ số
bước sóng Debroglie với độ bất định về tọa độ của hạt.
Bài 2.12. Tìm bước sóng Debroglie của hạt được tăng tốc bởi hiệu điện thế 1V.
Bài 2.13. Xác định bước sóng Debroglie của êlectrôn có động năng:
Bài 2.14. Viết phương trình Schrodinger của hạt vi mô:
a. Chuyển động một chiều trong trường thế: U = kx
2

/2.
17
b. Chuyển động trong trường tĩnh điện
2
0
ze
U .
4 r
πε
= −
*Đề tài thảo luận chương 2
1. Hàm sóng, ý nghĩa của hàm sóng. Xác suất tìm hạt trong không gian.
2. Vi hạt chuyển động trong hố thế một chiều có chiều cao hữu hạn.
18
CHƯƠNG 3
Nguyên tử
Số tiết: 7 (Lý thuyết: 5 tiết; bài tập, thảo luận: 2 tiết)
*) Mục tiêu:
- Vận dụng cơ học lượng tử nghiên cứu những tính chất của nguyên tử hiđrô và nguyên tử các
kim loại kiềm từ đó rút ra những kết luận cơ bản.
- Giải thích được hiệu ứng Zeeman
- Hiểu được khái niệm spin của êlectrôn và vai trò của nó trong việc tách vạch quang phổ
- Hiểu được qui luật phân bố của các êlectrôn trong bảng hệ thống tuần hoàn Mendeleev.
3.1. Nguyên tử Hiđrô.
Chúng ta sẽ nghiên cứu chuyển động của êlectrôn trong nguyên tử hiđrô trên cơ sở
phương trình Schrodinger. Bài toán đặt ra là tìm năng lượng và hàm sóng của nó, tìm ra câu
trả lời về phân bố của êlectrôn trong nguyên tử…, đồng thời so sánh các kết quả thu được với
các quan điểm trước đây.
3.1.1. Chuyển động của các êlectrôn trong nguyên tử hiđrô
Nguyên tử hiđrô gồm một hạt nhân mang điện tích +e được coi là đứng yên và một

êlectrôn chuyển động xung quanh. Ta lấy hạt nhân làm gốc O và r là khoảng cách từ êlectrôn
đến hạt nhân. Tương tác giữa hạt nhân và êlectrôn là tương tác culông:
2
0
e
U
4 r
πε
= −
Phương trình Schrodinger có dạng:
2
2
0
2
0
4
m ze
E
r
ψ ψ
πε
 
∆ + + =
 ÷
 
h
Giải phương trình này bằng phương pháp tách biến và áp dụng toán tử Laplace trong hệ
tọa độ cầu, người ta thu được một số kết quả là năng lượng của êlectrôn trong nguyên tử phụ
thuộc vào các số nguyên n:
( )

4
e
n
2
2 2
2
0
m e1 Rh
E
n n
2 4
πε
= − = −
h
(3.1)
Trong đó R là hằng số Rydberg (Ritbe), R = 3,27.10
15
s
-1
, đã được thực nghiệm kiểm
chứng, n có giá trị nguyên dương được gọi là số lượng tử chính.
Từ đó, ta tính được năng lượng ion hóa nguyên tử khoảng 13,5eV.
Hàm sóng của êlectrôn có dạng:
( ) ( ) ( )
n,l,m nl lm
r, , R r Y ,
ψ ψ θ ϕ θ ϕ
= =
(3.2)
Trong đó các số lượng tử có giá trị:

( )
n 1,2,3
l 0,1,2,3 , n 1
m 0, 1, 2, , l
=
= −
= ± ± ±
Dạng hàm sóng rất phức tạp. Ở đó: Hàm xuyên tâm
( )
nl
R r R=
, phụ thuộc vào hai số
lượng tử n, l trong đó l được gọi là số lượng tử quỹ đạo. Hàm
( )
lm
Y ,
θ ϕ
phụ thuộc vào l,m
trong đó m được gọi là số lượng tử từ.
3.1.2. Các kết luận
3.1.2.1. Năng lượng của êlectrôn trong nguyên tử hiđrô chỉ phụ thuộc vào số lượng tử n. Ứng với
mỗi giá trị của n có một mức năng lượng, như vậy năng lượng biến thiên gián đoạn, ta nói năng
lượng bị lượng tử hóa. Khi
n ;E 0→ ∞ →
, E < 0 do vậy khi tăng n thì năng lượng cũng tăng.
19
Hình 3.1: Quy luật quang phổ nguyên tử Hiđro
Mức năng lượng thấp nhất ứng với n = 1 là E
1
gọi là mức năng lượng cơ bản. Càng lên

cao các mức năng lượng càng xích lại và khi
n → ∞
thì năng lượng biến thiên liên tục.
3.1.2.2. Năng lượng ion hóa của nguyên tử hiđrô là năng lượng cần thiết để êlectrôn bứt ra
khỏi nguyên tử, nghĩa là êlectrôn sẽ chuyển từ mức năng lượng E
1
sang E
∞
.
3.1.2.3. Giải thích cấu tạo vạch quang phổ của hiđrô.
Khi không có kích thích bên ngoài êlectrôn bao giờ cũng tồn tại ở trạng thái cơ bản E
1
,
khi nhận kích thích êlectrôn nhận năng lượng và chuyển lên mức năng lượng cao hơn E
n
.
Êlectrôn chỉ tồn tại ở trạng thái đó trong thời gian rất ngắn 10
-8
s sau đó lại chuyển về trạng thái
có mức năng lượng thấp hơn E
m
. Trong quá trình chuyển mức êlectrôn phát ra sóng điện từ, tức
là phôtôn có năng lượng:
n m
2 2
Rh Rh
h E E .
n m
ν
= − = − +

(3.3)
Khi m = 1 các vạch trong công thức này lập thành một dãy có bước sóng trong vùng tử
ngoại gọi là dãy Laiman. Khi m = 2 thì các vạch trong dãy Banme một phần thuộc ánh sáng
nhìn thấy và một phần nằm trong vùng tử
ngoại, và khi m = 3 thì các vạch nằm trong
vùng hồng ngoại gọi là dãy pasen…
3.1.2.4. Trạng thái lượng tử của êlectrôn.
Trạng thái của êlectrôn được mô tả
bằng một hàm sóng phụ thuộc vào ba số
lượng tử l, m, n. Do đó khi ít nhất một trong
ba số lượng tử có giá trị khác nhau ta đã có
được một trạng thái khác. Ứng với mỗi giá
trị của n thì l có n giá trị khác nhau và ứng
với mỗi giá trị của l thì m có (2l+1) giá trị
khác nhau. Do đó với mỗi giá trị của n ta có
số trạng thái lượng tử bằng:
( )
( )
n 1
2
l 0
1 2n 1
2l 1 n n
2
−
=
+ −
+ = =
∑
(3.4)

Như vậy ứng với một số lượng tử n
nghĩa là ứng với mỗi giá trị năng lượng E
n
ta có n
2
trạng thái lượng tử
nlm
ψ
khác nhau
ta nói E
n
suy biến bậc n
2
.
Trạng thái E
1
có 1 mức lượng tử, trạng thái E
n
có n
2
trạng thái lượng tử, ta nói nó suy
biến bậc n
2
. Trạng thái E
1
gọi là trạng thái cơ bản, trạng thái lượng tử ở các mức năng lượng lớn
hơn gọi là các trạng thái kích thích.
Trạng thái lượng tử được kí hiệu theo số lượng tử, bằng nx, trong đó n là số lượng tử chính, x là
phụ thuộc vào số lượng tử quỹ đạo.
l 0 1 2 3

x s p d f
Ví dụ 2f nghĩa là số lượng tử chính n = 2, còn l = 3.
3.1.2.5. Xác suất tìm thấy êlectrôn trong thể tích dV: Do
2
nlm
ψ
là mật độ xác suất nên xác suất
tìm thấy êlectrôn trong thể tích dV là:
2 2 2
2 2
nlm nl lm
dV R Y r dr sin d d
ψ θ θ ϕ
=
20
Xét trạng thái cơ bản n = 1, l = 0 ta có:
2 2 3 2r / a 2
1,0 1,0
w R r 4a e r
− −
= =
Để tìm xác suất cực đại theo r ta đạo hàm w
1,0
theo r rồi cho biểu thức bằng 0. Ta tìm
được hai giá trị ứng với r = 0 và r = a. Giá trị r = 0 bị loại vì êlectrôn không thể bị rơi vào hạt
nhân. Giá trị r = a = 0,53.10
-10
m bằng bán kính của nguyên tử hiđrô trong quan niệm cổ điển.
Như vậy êlectrôn trong nguyên tử không chuyển động theo những quỹ đạo xác định mà bao
quanh hạt nhân như những đám mây, đám mây này dày đặc nhất ở khoảng cách ứng với xác

suất cực đại. Kết quả này phù hợp với lưỡng tính sóng hạt của vi hạt.
Êlectrôn cũng phân bố theo góc. Ở trạng thái s (l = 0, m = 0) xác suất tìm thấy êlectrôn:
2
0,0 0,0
w Y 1 / 4
π
= =
Không phụ thuộc vào góc, như vậy phân bố có tính đối xứng cầu ở trạng thái này.
3.2. Nguyên tử kim loại kiềm
3.2.1. Năng lượng của êlectrôn hóa trị trong nguyên tử kim loại kiềm
Các nguyên tử kim loại kiềm có hóa trị một, trong lớp vỏ ngoài cùng của các nguyên tử
này có một êlectrôn hóa trị liên kết yếu với hạt nhân. Nếu nguyên tử kim loại kiềm có Z
êlectrôn thì có (Z-1) êlectrôn ở lớp trong tạo thành lõi nguyên tử có điện tích +e, và một
êlectrôn ở bên ngoài mang điện tích –e chuyển động trong trường thế Coloumb được tạo thành
bởi lõi nguyên tử tương tự như nguyên tử hiđrô. Vì vậy về cơ bản các nguyên tử kim loại kiềm
có những tính chất giống như nguyên tử hiđrô, chúng đồng dạng với nguyên tử hiđrô nhưng
không giống nó hoàn toàn. Trong nguyên tử kim loại kiềm ngoài tương tác giữa êlectrôn hóa trị
với lõi nguyên tử thì còn có tương tác giữa êlectrôn hóa trị với các êlectrôn khác. Do đó năng
lượng của êlectrôn hóa trị trong nguyên tử kim loại kiềm khác chút ít so với nguyên tử hiđrô.
Khi tính thêm tương tác này cơ học lượng tử đã tìm ra biểu thức năng lượng của
êlectrôn hóa trị đối với kim loại kiềm:
( ) ( ) ( )
4
e
nl
2 2 2
2
l 0 l
m e1 Rh
E

n 2 4 n
πε
= − = −
+ ∆ + ∆
h
(3.5)
Trong đó
l
∆
là số hiệu chính phụ thuộc vào số lượng tử quỹ đạo l. Số hiệu chính này phụ thuộc
vào các trạng thái khác nhau. Như vậy năng lượng của êlectrôn hóa trị của kim loại kiềm phụ
thuộc vào số lượng tử chính và số lượng tử quỹ đạo. Sự phụ thuộc của năng lượng vào số lượng
tử quỹ đạo là sự khác biệt giữa kim loại kiềm và nguyên tử hiđrô. Trong cơ học lượng tử mức
năng lượng kí hiệu là nX. Trong đó n là số lượng tử chính, X phụ thuộc vào số lượng tử quỹ
đạo như sau:
l = 0 1 2 3
X= S P D F
Bảng 1: Mức năng lượng cho các lớp K,L,M:
N l Trạng thái Mức năng lượng Lớp
1 0 1s 1S K
2 0 2s 2S
1 2p 2P
3 0 3s 3S
M
1 3p 3P
2 3d 3D

21
3.2.2. Quang phổ của nguyên tử kim loại kiềm
Tương tự như nguyên tử hiđrô, khi có kích thích bên ngoài các êlectrôn hóa trị chuyển

từ mức năng lượng thấp lên mức năng lượng cao hơn. Nhưng các êlectrôn ở trạng thái này
không lâu (10
-8
s) sau đó chúng lại chuyển về trạng thái có mức năng lượng thấp hơn và phát ra
phôtôn có mức năng lượng hν. Sự phát phôtôn phải tuân theo quy tắc lựa chọn:
l 1∆ = ±
Từ đó, tần số bức xạ điện từ phát ra theo công thức:
hγ = 2S – nP Các vạch dãy chính
hγ = 2P – nS Các vạch dãy phụ II
hγ = 2P – nD Các vạch dãy phụ I
hγ = 3D – nF Các vạch dãy cơ bản
Các dãy trên người ta đã tìm thấy bằng thực nghiệm. Đồng thời từ lí thuyết, người ta
còn tìm thấy dãy hγ = 3D – nP và sau đó thực nghiệm đã xác nhận.
3.3. Mômen động lượng và mômen từ quỹ đạo. Hiệu ứng Zeeman thường
3.3.1. Mômen động lượng quỹ đạo
Tương tự như trong cơ học cổ điển êlectrôn chuyển động quanh hạt nhân nên có mômen
động lượng
L
r
. Nhưng êlectrôn quay quanh hạt nhân không có quỹ đạo xác định nên vectơ
L
r
không
có hướng xác định. Tuy nhiên
L
r
lại có giá trị xác
định, theo cơ học lượng tử giá trị đó là:

( )

L l l 1= +
h
(3.6)
Trong đó l là số lượng tử quỹ đạo. Vậy
số lượng tử quỹ đạo liên quan đến mômen
động lượng quỹ đạo, và ta nói mômen động
lượng quỹ đạo bị lượng tử hóa không gian ( tự
chứng minh).
Cơ học lượng tử còn chứng minh được
hình chiếu của mômen động lượng quỹ đạo
theo phương z bất kì luôn được xác định theo hệ thức:
z
L m=
h
, trong đó m là số lượng tử từ.
3.3.2. Mômen từ
Êlectrôn quay xung quanh hạt nhân tạo thành một dòng điện I có chiều ngược với chiều
chuyển động của êlectrôn. Dòng điện này có mômen từ
iS
µ
=
r
r
, trong đó
S
r
là vectơ diện tích.
Theo cơ học cổ điển êlectrôn chuyển động trên đường tròn bán kính r với tần số f thì cường độ
dòng điện: i = e.f và độ lớn mômen từ là
2

e.f . r .
µ π
=
Mômen động lượng quỹ đạo:
2 2
e e e
L m vr m r m 2 fr .
ω π
= = =
Như vậy nghĩa là mômen từ tỉ lệ với mômen động lượng quỹ đạo. Dưới dạng vectơ:
e
e
L
2m
µ
= −
r
r
Do L không có hướng xác định nên μ cũng không có hướng xác định. Hình chiếu của
mômen từ lên phương z bất kì bằng:
z z
e
e
L .
2m
µ
= −
(3.7)
22
Hình 3.2. mô men của e trong nguyên tử

Thay vào biểu thức (3.7) ta được:
z B
e
e
m m
2m
µ µ
= − = −
h
(3.8)
23 2
B
e
e
10 A.m
2m
µ
−
= =
h
gọi là manhêtông bo.
Như vậy: Hình chiếu mômen từ của êlectrôn lên phương z bất kì bao giờ cũng bằng một
số nguyên lần manheton Borh nghĩa là nó bị lượng tử hóa. Thường người ta chọn phương bất
kì là phương của vectơ mômen từ nên m được gọi là số lượng tử từ.
Cơ học lượng tử cũng chứng minh được rằng khi êlectrôn chuyển trạng thái thì số lượng
tử từ phải tuân theo quy tắc lựa chọn:
m 0, 1∆ = ±
. (3.9)
Hiện tượng lượng tử hóa mômen từ được xác nhận trong thí nghiệm vầ hiện tượng
Zeeman.

3.3.3. Hiệu ứng Zeeman thường
Thí nghiệm: Đặt nguồn khí hiđrô phát sáng vào giữa hai cực của nam châm điện. Nếu
quan sát các bức xạ phát ra theo phương vuông góc với vectơ từ trường B thì thấy mỗi vạch của
quang phổ hiđrô bị tách thành ba vạch sít nhau. Hiện tượng tách vạch phổ khi nguyên tử phát
sáng đặt trong từ trường gọi là hiệu ứng Zeeman.
Giải thích: Vì êlectrôn có mômen từ nên khi nguyên tử hiđrô đặt trong từ trường B thì
mômen từ có khuynh hướng sắp xếp song song với từ trường ngoài do đó êlectrôn có thêm
năng lượng phụ:
E B.
µ
∆ = −
r
r
Chọn z là phương của từ trường ngoài B thì:
z B
E B m B.
µ µ
∆ = − =
Như vậy khi nguyên tử hiđrô đặt trong từ trường ngoài thì năng lượng E’ của êlectrôn
còn phụ thuộc vào số lượng tử từ:
B
E' E m B.
µ
= +
(3.10)
Trong đó E là năng lượng của êlectrôn khi chưa đặt vào từ trường ngoài. Nếu êlectrôn
dịch chuyển từ trạng thái ứng với năng lượng E
2
’ sang trạng thái ứng với năng lượng E
1

’ thấp
hơn thì nó sẽ phát ra bức xạ điện từ có tần số:
( )
2 1 B
2 1 2 1
m m B
E E E E
'
h h h
µ
ν
−
′ ′
− −
= = +
(3.11)
Số hạng thứ nhất
2 1
E E
h
ν
−
=
là tần số của vạch quang phổ hiđrô khi chưa đặt vào trong từ
trường. Theo quy tắc chọn lựa đối với số lượng tử từ thì tần số ν’ có thể có ba giá trị:

B
B
B
h

'
B
h
µ
ν
ν ν
µ
ν

+


=



−

(3.12)
Điều này có nghĩa là một vạch quang phổ khi không có từ trường sẽ được tách thành ba
vạch khi có từ trường trong đó có một vạch giữa trùng với vạch cũ.
3.4. Thí nghiệm Stern – Gerlach. Spin của êlectrôn. Mô men toàn phần.
3.4.1. Thí nghiệm Stern – Gerlach
Thí nghiệm Stern-Gerlach bước đầu được coi là một thí nghiệm quan trọng giữa lý thuyết
cổ điển của nguyên tử và lý thuyết của Bohr-Sommerfeld. Bởi vì nó cho thấy rằng sự
23
Hình 3.3: Từ trường đều tổng
lực tác dụng bằng 0
lượng tử hóa không gian tồn tại một hiện tượng chỉ có ở lý thuyết cơ học lượng tử. Nó quyết định giữa
hai lớp học thuyết, cổ điển và lượng tử.

3.4.1.1. Mô tả thí nghiệm Stern-Gerlach
Bạc được bay hơi trong một lò điện. Các nguyên tử
bạc sau đó được phun vào chân không từ bên ngoài của
dụng cụ qua một lỗ nhỏ ở vách lò. Các nguyên tử mặc dù
trung hòa về điện nhưng lại có momen từ tạo thành một
chùm hẹp khi chúng đi qua một khe chuẩn trực. Sau đó,
chùm tia đi qua khoảng giữa hai cực của một nam châm
điện, rồi cuối cùng đến một tấm thủy tinh phát hiện.
Các mặt cực của nam châm được tạo dựng để làm cho từ trường
không đều nhất có thể được. Vì đối với trường đều, ta thấy rằng không
có một lực tổng hợp nào tác dụng lên lưỡng cực. Các cực hướng lên và
hướng xuống ở các cực có cùng độ lớn và chúng sẽ triệt tiêu bất kì sự
định hướng của lưỡng cực là như thế nào đi nữa.
3.4.1.2. Hiện tượng và giải thích
a) Hiện tượng quan sát:
Khi bắn chùm tia bạc đi qua khe chuẩn trực rồi qua từ trường không đều thì ta
thấy từ một chùm tia bạc tách ra thành hai chùm tia trên tấm phát hiện thủy tinh .
b) Giải thích:
Chùm tia bạc được phóng qua một từ trường không đều, vuông góc với hướng
chuyển động của chùm. Trong trường hợp khi từ trường chưa được tạo ra, trên màn phải
thấy vết của chùm tạo ra qua các khe S
1
, S
2
. Sau khi có từ trường, một lực xác định F
z
= µ
z
dB/dz
tác dụng lên các momen từ của các điện tử. Theo lý thuyết cổ điển,tương tác này phải cho ta sự mở rộng vết

của chùm. Các hướng của mômen từ của điện tử đều được cho phép nên phân bố cường độ của chùm phải
liên tục. Còn trong lý thuyết lượng tử, chỉ một số hữu hạn các hướng của của mômen từ trong từ trường
được cho phép mà thôi, từ đó ta cũng có một số hữu hạn các chùm thành phần được chia ra từ chùm chính.
Trong thí nghiệm của Stern-Gerlach với chùm các nguyên tử bạc, người ta đã thu được hai chùm thành
phần. Trong trạng thái cơ bản của bạc, bốn lớp được lấp đầy hoàn toàn, còn trong lớp thứ năm ta có một
điện tử. Mômen động lượng toàn phần của các điện tử từ các lớp bị lấp đầy bằng không và mômen động
lượng của điện tử ở lớp hóa trị quyết định cho giá trị của mômen động lượng quỹ đạo toàn phần, mômen
động lượng toàn phần có giá trị J = l + S, trong đó, l là mômen động lượng quỹ đạo, S là mômen động
lượng spin của êlectrôn. Trạng thái cơ bản của điện tử này có l = 0, vậy ta không có sự tách chùm do lượng
tử hóa liên quan với mômen động lượng quỹ đạo, vì lúc đó m
l
= 0. Vậy chỉ có spin của điện tử xác định cho
mômen động lượng và momen từ của toàn bộ nguyên tử ⇒ có sự tồn tại của spin.
3.4.2. Trạng thái và năng lượng của êlectrôn trong nguyên tử
Do có mômen spin nên mômen động lượng toàn phần J của êlectrôn bằng:
J L S= +
r
r r
(3.13)
Cơ học lượng tử chứng minh được giá trị của J bằng:
( )
J j j 1= +
h
(3.14)
j là số lượng tử toàn phần được xác định bởi:
1
j l
2
= ±
.

Do có xét đến spin nên trạng thái lượng tử của êlectrôn phụ thuộc vào 4 số lượng tử n, l, m, m
s
Hay
l, m, n, j , hai trạng thái lượng tử được coi là khác nhau nếu ít nhất một trong 4 số lượng tử khác
nhau. Trên đây ta đã tính được ứng với mỗi số lượng tử chính có n
2
trạng thái lượng tử khác
24
nhau. Nếu kể đến spin thì do m
s
= ±1/2, nên ứng với số lượng tử chính n có 2n
2
trạng thái
lượng tử khác nhau.

( )
n 1
2
l 0
2 2l 1 2n
−
=
+ =
∑
(3.15)
Sự có mặt mômen từ spin của êlectrôn cho phép ta giải thích vạch kép đôi trong quang
phổ kim loại kiềm. Các e chuyển động quanh hạt nhân tạo ra một từ trường đặc trưng bởi
mômen từ quỹ đạo. Mômen từ spin của e tương tác với từ trường đó tương tác này gọi là tương
tác spin quỹ đạo. Do tương tác này sẽ có một năng lượng phụ bổ sung vào biểu thức năng
lượng của êlectrôn, phụ thuộc vào sự định hướng của mômen từ spin. Do vậy năng lượng còn

phụ thuộc vào số lượng tử toàn phần j. Nói cách khác năng lượng của êlectrôn phụ thuộc vào 3
số lượng tử n, l, j. Nhận thấy rằng mỗi mức năng lượng (trừ mức S) bị tách thành hai mức ứng
với j = l-1/2 và j = l+1/2. Khoảng cách giữa các mức năng lượng này rất nhỏ. Cấu trúc
như vậy gọi là cấu trúc tế vi của các mức năng lượng.
3.4.3. Cấu tạo bội của vạch quang phổ
Trên cơ sở cấu trúc tế vi của các mức năng lượng ta có thể giải thích cấu tạo bội của
vạch quang phổ. Do năng lượng của e trong nguyên tử phụ thuộc vào 3 số lượng tử n, l, j nên
khi e chuyển từ mức năng lượng cao xuống mức năng lượng thấp hơn ngoài quy tắc lựa chọn
đối với l, còn phải tuân theo quy tắc lựa chọn đối với j:
j 0; 1∆ = ±
(3.16)
Lấy ví dụ sự tách vạch của kim loại kiềm. Khi chưa xét đến spin vạch đơn ứng với
chuyển mức:

h 2S 3P
ν
= −
Khi xét đến spin ta có vạch kép:
( )
2 2
1 1/ 2 1/ 2
h 2 S 3 P l 1, j 0
ν
= − ∆ = ∆ =

( )
2 2
1 1/ 2 3/ 2
h 2 S 3 P l 1, j 1
ν

= − ∆ = ∆ =
3.5. Hệ hạt đồng nhất. Nguyên lý loại trừ Pauli
3.5.1. Hệ hạt đồng nhất
Trong cơ học lượng tử ta thường gặp những hệ vi hạt giống hệt nhau như e, p…hệ hạt
đó được gọi là hệ hạt đồng nhất.
Hệ hạt đồng nhất có những tính chất tổng quát:
3.5.1.1. Trong hệ hạt đồng nhất các hạt không khác biệt nhau, do đó khi hoán vị vị trí các hạt
trạng thái của hệ không thay đổi.
Để đơn giản ta xét hệ gồm hai hạt đồng nhất. Trạng thái của mỗi hạt được đặc trưng bởi
bán kính r (x, y, z), ba số lượng tử n, l, m và số lượng tử spin s của hạt. Hàm sóng mô tả trạng
thái của hệ có dạng:
( )
1 1 1 2 2 2
n ,s ,r ;n ,s ,r
ψ
r r
.
Trong đó chỉ số 1 ứng với hạt thứ nhất và chỉ số 2 ứng với hạt thứ hai. Khi hoán vị vị trí
hai hạt này thì hệ không thay đổi. Do đó hàm sóng mô tả trạng thái của hệ lúc sau chỉ khác hàm
sóng mô tả trạng thái của hệ lúc trước một thừa số:
( ) ( )
1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2
n ,s ,r ;n ,s ,r n ,s ,r ;n ,s ,r
ψ λψ
=
r r r r
Vì hệ không thay đổi nên xác suất để tìm hệ cũng không thay đổi:
( ) ( )
2 2
2

1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2
n ,s ,r ;n ,s ,r n ,s ,r ;n ,s ,r
1
ψ λ ψ
λ
=
⇒ = ±
r r r r
25