Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Chương V : ĐẠO HÀM

Tiết 63:Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1/ Ví dụ mở đầu :
Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga.
Quãng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời
gian t (phút). Ở những phút đầu tiên hàm số đó là . Hãy tính
vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian [t; to]
với to=3 và t=2; t=2,5; t= 2,9; t=2,99; t=3,1 ; t=4.
+ Công thức tính vận tốc :
+ Trong khoảng thời gian từ t
0
đến t
1

bi di chuyển được quãng đường là :
M
0
M
1
= s(t) – (t
0
)
Công thức tính
vận tốc ?
Trong khoảng thời

gian từ t
0
đến t
1

đoàn tàu di chuyển
được quãng đường
bao nhiêu?
2
s t=
0 0
( )v t t t= +
s
v
t
=
Nhà ga
Mo
to
M1
t
Vận tốc tại thời
điểm to là bao
nhiêu?
+ Vận tốc tại thời điểm to:
+ Công thức tính vận
tốc trung bình:
0
0
( ) ( )

tb
s t s t
v
t t
−
=
−

1/ Ví dụ mở đầu :
0
tb
0
s(t) s(t )
v
t t
−
=
−
+ Vận tốc trung bình là:
Khi | t

– t
0
| càng
nhỏ (tức là t
1
dần
về t
0
), có nhận xét

gì về v
tb
và v(t
0
) ?
Vậy vận tốc thức thời là :
0
0
0
t t
0
s(t) s(t )
v(t ) lim
t t
→
−
=
−
+ Khi t – t
0
càng nhỏ (tức là t dần về t
0
) thì
v
tb
càng gần v(t
0
)
Tiết 63: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

M T SỘ Ố
M T SỘ Ố


BÀI TOÁN D N Đ N KHÁI Ẫ Ế
BÀI TOÁN D N Đ N KHÁI Ẫ Ế
NI M Đ O HÀMỆ Ạ
NI M Đ O HÀMỆ Ạ
Vận tốc tức
Vận tốc tức
thời
thời


Cường độ
Cường độ
dòng điện tức
dòng điện tức
thời
thời
Tốc độ phản
Tốc độ phản
ứng hóa học
ứng hóa học
tức thời
tức thời


0
0

0
( ) ( )
( ) lim
t t
s t s t
v t
t t
→
−
=
−
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
t t
Q t Q t
I t
t t
→
−
=
−
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
t t

f t f t
C t
t t
→
−
=
−
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x
x x
→
−
−
Tiết 63: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

1/ Ví dụ mở đầu :
Tiết 63: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

2/ Đạo hàm của hàm số tại một điểm :
a/ Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm :

Định nghĩa : SGK/185
0
0
0

x x
0
f (x) f (x )
f '(x ) lim
x x
→
−
=
−
(1)
0
x 0
y
f '(x ) lim
x
∆ →
∆
=
∆
Hay (2)
Đặt ∆x = x – x
0
(số gia của biến số tại điểm x
0
)
∆y = f(x) – f(x
0
) = f(x
0
+ ∆x) – f(x

0
) (số gia tương ứng
của hàm số ứng với số gia ∆x tại điểm x
0
)
Tiết 63: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

2/ Đạo hàm của hàm số tại một điểm :
a/ Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm :

Ví dụ : Tính số gia của hàm số y = x
2
ứng với số gia ∆x
của biến số tại điểm x
0
= - 2
Giải :
Đặt f(x) = x
2

∆y = f(x
0
+ ∆x) – f(x
0
)
= f(-2

+ ∆x) – f(-2)
= (-2

+ ∆x)
2
– (-2)
2
= ∆x(∆x – 4)
Tiết 63: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Dựa vào định nghĩa đạo
hàm của hàm số, hãy nêu
các bước để tính đạo
hàm của hàm số tại một
điểm x
0
?

Bước 1 : Giả sử ∆x là số gia của đối số tại xo. Tính ∆y
theo công thức: ∆y = f(x
0
+ ∆x) – f(x
0
)
2/ Đạo hàm của hàm số tại một điểm :
a/ Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm :
b/ Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa :
x 0
y
lim
x
∆ →
∆

∆

Bước 3 :Tìm giới hạn

Quy tắc :

Ví dụ : Tính đạo hàm của hàm số y = x
2
– 3x tại điểm x
0
= 5.
Tiết 63: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bước 2 :Tìm tỉ số
y
x
∆
∆

2/ Đạo hàm của hàm số tại một điểm :
a/ Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm :
b/ Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa :

Ví dụ : Tính đạo hàm của hàm số y = x
2
– 3x tại điểm x
0
= 5.
Giải :
∆y = f(x

0
+ ∆x) – f(x
0
) = f(5 + ∆x) – f(5)
= (5 + ∆x)
2
– 3(5 + ∆x) – 10
= ∆x(∆x + 7)
x 0 x 0 x 0
y x( x 7)
lim lim lim ( x 7) 7
x x
∆ → ∆ → ∆ →
∆ ∆ ∆ +
= = ∆ + =
∆ ∆
Vậy f’(5) = 7
Đặt f(x) = x
2
– 3x
Tiết 63: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

2/ Đạo hàm của hàm số tại một điểm :
a/ Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm :
b/ Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa :
Nếu hàm số y = f(x) có
đạo hàm tại điểm x
0
thì
f(x) liên tục tại điểm x

0

hay không ?
Tiết 63: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

2/ Đạo hàm của hàm số tại một điểm :
a/ Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm :
b/ Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa :

Nhận xét : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x
0
thì
f(x) liên tục tại điểm x
0.

Ví dụ : Tính đạo hàm của hàm số y = x
2
– 3x tại điểm x
0
= 5.

Quy tắc :
Tiết 63: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Bước 1: Giả sử là số gia của đối số tại
x
0
, Tính:
Bước 2: Lập tỉ số
Bước 3: Tìm
x∆

( ) ( )
0 0
.y f x x f x∆ = + ∆ −
x
y
∆
∆
x
y
x
∆
∆
→∆ 0
lim

3/ Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm
và tính liên tục của hàm số
a)Định lý: Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x
0


thì
nó liên tục tại x
0
.
b) Chú ý:
-
Một hàm số gián đoạn tại x
0
thì

không có đạo hàm tại điểm đó.
-
Một hàm số liên tục tại x
0

có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
Tiết 63: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 1 : Số gia của hàm số y = x
2
– 1 tại điểm x
0
= 1 ứng với số gia
∆x = - 0,1 là :
D. 11,1
Câu 3 : Đạo hàm của hàm số y = x
2
+ 2x tại điểm x
0
= -3 là :
D. - 4
D. 2
C ng c - Bài t p v nhàủ ố ậ ề
C ng c - Bài t p v nhàủ ố ậ ề
Câu 2: Số gia của hàm số: y = x
2
+ 2 tại điểm x
0
= 2 ứng với số

gia là:
A
.

0
,
0
1
B
.


-
0
,
9
9
C
.


-
0
,
2
1
A
.

5

B
.

1
3
C
.

9
D
.

1
1
,
1

C ng c - Bài t p v nhàủ ố ậ ề
C ng c - Bài t p v nhàủ ố ậ ề
1)Hiểu rõ định nghĩa đạo hàm tại một điểm.
2) Nắm vững quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa.
3) Biết định lý về sự tồn tại của đạo hàm và
tính liên tục của hàm số.
* Bài tập về nhà: 1, 2, 3, 4 (SGK – trang 156)
* Nội dung:

Cho hàm số
Cho hàm số
a) Chứng minh hàm số liên tục tại
a) Chứng minh hàm số liên tục tại
b) Hàm số có đạo hàm tại hay không ?
b) Hàm số có đạo hàm tại hay không ?
Tại sao ?
Tại sao ?
2
khi 0
( )
khi 0
x x
f x
x x

− ≤
=

>

0
0x =
0
0x =
B
B
ài tập
ài tập
:

: