CHUYÊN đề PHƯƠNG TRÌNH mũ và PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

Chñ §Ò : PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
A. Các phương pháp giải cơ bản.
Dạng 1. Phương trình cơ bản
a) Phương trình mũ cơ bản có dạng:
( )f x
a m=
, trong đó
0, 1a a> ≠
và m là số đã cho.
• Nếu
0m
≤
, thì phương trình
( )f x
a m=
vô nghiệm.
• Nếu
0m
>
, thì phương trình
( )f x
a m=

mxf
a
log)( =⇔
.
b) Phương trình lôgarit cơ bản có dạng:
log ( )
a
f x m=

, trong đó m là số đã cho.
• Phương trình có điều kiện xác định là f(x) > 0 (
0, 1a a> ≠
).
• Với mọi m, phương trình
log ( )
a
f x m= ⇔
m
axf =)(
.
Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số
Sử dụng công thức: với
10 ≠< a
•
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x= ⇔ =
.
•
( )
( ) 0 ( )
log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
f x g x
f x g x
f x g x
>


= ⇔

=


hoÆc > 0
Dạng 3. Phương pháp đặt ẩn phụ
• Nếu đặt
ta
x
=
điều kiện
0>t
.Khi đó
22
ta
x
=
,
33
ta
x
=
, …
• Nếu trong phương trình có hai hạng tử
x
a
và
x

b
sao cho
cba
xx
=.
thì ta đặt
ta
x
=
khi đó
t
c
b
x
=
.
Dạng 4. Phương pháp lôgarit:Thường áp dụng cho phương trình mũ dạng tích với các cơ số khác
nhau và số mũ khác nhau. Ví dụ
755.3
1
2
=
+xx
Dạng 5. Phương pháp sử dụng tính đồng biến và nghịch biến của hàm số
• Nếu
1>a
thì
x
ay =
,

xy
a
log=
là các hàm số đồng biến.
• Nếu
10 << a
thì
x
ay =
,
xy
a
log=
là các hàm số nghịch biến
• Nếu f(x)
’
>0
Kx ∈∀
thì hàm số
)(xfy =
đồng biến trên K
• Nếu f(x)
’
<0
Kx ∈∀
thì hàm số
)(xfy =
nghịch biến trên K
Giả sử giải phương trình: f(x)=g(x)
Sử dụng tính chất hàm số đồng biến nghịch biến ta xét:

+Nếu hàm số y=f(x) đồng biến và hàm số y=g(x) nghịch biến hoặc là hàm hằng thì phương
trình đã cho có nghiệm duy nhất.
+ Khi đó nếu f(x
0
)=g(x
0
) thì
0
xx =
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ:
1323 +−= x
x

B. Bài tập áp dụng
Bài 1. Phương trình cơ bản
Giải các phương trình sau:
1.
1 2
3 2.3 25
x x+ −
− =
7.
1 2 2 1
1 1
2.5 .4 .5 4
5 4
x x x x+ + + +
− − =
2.

1 2 2
3.2 2.5 5 2
x x x x+ − −
+ = +
8.
( ) ( )
2 1 1 1
3 10 6 4.10 5 10 6
x x x x x+ + − −
− + = −
3.
2
log 1 log log 2
4 6 2.3
x x x+ +
− =
9.
( ) ( )
5 3
3
log 2 log 2log 2x x x− = −
1
4.
3 1
4 7 16
0
7 4 49
x x−
   
− =

 ÷  ÷
   
10.
( ) ( )
2 2
1
log log 1 4 2
4
x
x x
x
−
+ − + =
+
5.
2 3
2.5 5 375 0
x x+ +
− + =
11.
2
log 16 log 7 2
x
x
− =
6.
5 7
3 2 5 2 32
x x− −
− =

12.
( )
( )
2
8 8
4
2log 2 log 2 1
3
x x x+ − + =
Bài 2.
Giải các phương trình sau:
1.
2 3
3 3
1
9 27 81
3
x
x x x
−
+
 
=
 ÷
 
6.
( )
( )
2
5 5

log 6 4 2log 4x x x− − = +
2.
4 2 2 4
log log log log 2x x+ =
7.
( )
− = −
5
1
2 log 1 log log
2
x x x
3.
1 2 1
3.13 13 2 5.2
x x x x+ + +
+ − =
8.
( )
= + −
2
9 3 3
2 log log .log 2 1 1x x x
4.
( )
2
5
5
1
log 2 3 log

3
x
x x
x
−
+ − =
+
9.
( ) ( )
2 3
4 8
2
log 1 2 log 4 log 4x x x+ + = − + +
5.
( )
( )
2
2
4 4 4
log 1 log 1 log 2x x x− − − = −
Bài 3.
Giải các phương trình sau:
1.
9 10.3 9 0
x x
− + =
16.
(
)
(

)
cos cos
5
7 4 3 7 4 3
2
x x
+ + − =
2.
2 2
4 6.2 8 0
x x
− + =
17.
(
)
(
)
4 15 4 15 8
x x
− + + =
3.
2 2 2
15.25 34.15 15.9 0
x x x
− + =
18.
( ) ( )
7 3 5 7 3 5 14.2
x x
x

+ + − =
4.
2 2
sin cos
9 9 10
x x
+ =
19.
( )
2
25
5
log 5 1
log 7
7 0
x
x
−
− =
5.
( ) ( )
2 3 2 3 4
x x
+ + − =
20.
3
log 3 .log 1 0
x
x x + =
6.

3
5
log log 3
2
x
x + =
21.
8
2
4 16
log 4
log
log 2 log 8
x
x
x x
=
7.
82
3loglog
2 2 5 0
xx
x x
−
+ − =
22.
( )
2 5
1 2log 5 log 2
x

x
+
+ = +

8.
1 2
5 5.0,2 26
x x− −
+ =
23.
2 2
log log 5
5 2. 15
x
x
+ =
9.
25 12.2 6,25.0,16 0
x x x
− − =
24.
( )
( )
3
log log log log 2 0x x
+ − =
10.
1 3
3
64 2 12 0

x x
+
− + =
25.
( ) ( )
1
3
log 3 1 .log 3 3 6
x x
+
− − =
11.
log log5
25 5 4.
x
x= +
26.
9 8.3 7 0
x x
− + =
12.
1
4 4 3.2
x x x x+ +
− =
27.
2 1 1
1
.4 21 13.4
2

x x
− −
+ =
13.
2 2
sin cos
2 5.2 7
x x
+ =
28.
1 1 1
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + =
14.
2
cos2 cos
4 4 3
x x
+ =
29.
3 3 3
25 9 15 0
x x x
− + =
15.
( )
2
log 9 2 3
x

x
− = −
Bài 4.
Giải các phương trình sau:
2
1.
1 2 1
4.9 3 2
x x− +
=
4.
3
2
3 .2 6
x
x
x+
=
5.
2 1
1
5 .2 50
x
x
x
−
+
=
2.
2

2
2 .3 1,5
x x x−
=
5.
3 2
2 3
x x
=
Bài 5.
Giải các phương trình sau:
1.
4 9 25
x x x
+ =
4.
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3
2 log 1 4 1 log 1 16 0x x x x
+ + + + + − =
2.
( )
9 2 2 .3 2 5 0
x x
x x
+ − + − =
5.
( )
( )

2
log 6 4 log 2x x x x
+ − − = + +
3.
( )
2 2
3.25 3 10 5 3 0
x x
x x
− −
+ − + − =
6.
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3
3 log 2 4 2 log 2 16x x x x
+ + + + + =
Bài tập nâng cao.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
9.
10.
11.

12.

(
)
(
)
2 3 2 3 2
x x
x
+ + − =
3