Chuyên đề 3 : Dạy học hình biểu diễn của một hình không gian trong quan hệ vuông góc

TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
Chuyên đề 3 : Dạy học hình biểu diễn của một hình không
gian trong quan hệ vuông góc
I. Mở đầu
Trong dạy học Toán, đi cùng với việc bồi dưỡng tư duy là việc bồi dưỡng trí tưởng
tượng không gian cho học sinh. Không có trí tượng không gian thì không có sự sáng tạo
nào hết. Bởi vì cái được sáng tạo là cái mới, cái chưa có nên phải tưởng tượng ra nó. Còn
các nhà khoa học cũng cho rằng trong khoa học sáng tạo, “trí tưởng tượng quan trọng
hơn hiểu biết”.
Hình học không gian là một bộ môn Toán học nghiên cứu các tính chất của những
hình trong không gian. Việc nghiên cứu các hình trong không gian dựa trên hình biểu
diễn của chúng trên mặt phẳng. Việc biểu diễn các hình không gian trên mặt phẳng là
công việc thực sự khó khăn, mới mẻ đối với học sinh khi học Hình học không gian.
Giáo dục Toán học nhằm phát triển suy luận và vun trồng cho học sinh những khả
năng trừu tượng hóa, nó mang đến tính chặt chẽ trong tư duy và chính xác trong diễn đạt.
Nó đưa lại những hiểu biết và những kĩ năng trong lĩnh vực số và hình, đồng thời rèn
luyện những phương pháp làm việc, nó kích thích trí tưởng tượng.
Một yêu cầu quan trọng của việc dạy Hình học không gian là: thông qua việc cung
cấp tri thức và rèn luyện kĩ năng, chú ý phát triển các năng lực trí tuệ, trí tưởng tượng
không gian tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, tư duy thuật toán, kĩ năng tính toán, . . .
đồng thời rèn luyện các phẩm chất của tư duy như linh hoạt, độc lập, sáng tạo . . .
Phân môn Hình học không gian rất có điều kiện để phát triển trí tưởng tượng không
gian cho học sinh. Để góp phần giải quyết một số khăn trong việc vẽ hình biểu diễn của
hình không gian, rèn luyện một số kĩ năng tư duy trên hình biểu diễn của hình không
gian, đồng thời góp phần nâng cao và phát triển trí tưởng tượng không gian cho người
học.
Hình học không gian ở lớp 11 được thực hiện trong chương 2 và chương 3. Thực tế
cho thấy việc dạy học hình biểu diễn của một hình không gian cho học sinh không thể
hoàn thiện ngay trong những bài học đầu tiên mà được hoàn thiện dần trong suốt quá
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
trình học của các em. Bằng kinh nghiệm giảng dạy và tham khảo nhiều tài liệu, các giáo

viên trong tổ toán đã thực hiện nghiên cứu 3 chuyên đề liên qua tới dạy học hình biểu
diễn của hình không gian cho học sinh lớp 11.
Chuyên đề 1:
Trong chuyên đề này, tác giả đã giúp học sinh biết vẽ những hình trực quan, giúp
người học quan sát tốt kết hợp với tư duy logic để có thể nhận biết chính xác vị trí tương
đối của các đối tượng cơ bản (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) trên hình.
Chuyên đề 2:
Bằng việc tiếp nối và phát triển các kết quả của chuyên đề thứ nhất, tác giả đã giúp
học sinh nhận thức sâu hơn các tính chất được thể hiện trên hình, học sinh biết huy động
kiến thức cũng như áp dụng các kết quả trong hình học phẳng để chứng minh các bài toán
quan hệ song song.
Khác với quan hệ song song, hình biểu diễn của hình không gian không còn thể hiện
đúng các tính chất vuông góc như trong hình học phẳng nữa. Để làm được các bài toán
chứng minh hay tính toán trong chương này yêu cầu người học phải tập trung cao độ kết
hợp với trí tưởng tượng không gian tốt mới có thể giải được. Nhằm giúp học sinh hoàn
thiện hơn trong cách vẽ hình và tư duy trên hình, tôi tiếp tục thực hiện nghiên cứu chuyên
đề 3: “Dạy học hình biểu diễn của một hình không gian trong quan hệ vuông góc”
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
NỘI DUNG
I. Dạy học vẽ hình
Việc vẽ hình lên mặt phẳng là rất quan trọng song thường khó khăn đối với học
sinh. Ngay từ những tiết học đầu tiên giáo viên cần phải giúp học sinh làm quen dần với
việc biểu diễn này. Kĩ năng biểu diễn hình giúp học sinh phát triển trí tưởng tượng không
gian và nhận thức tốt hơn những quan hệ trong hình đó.
Thông qua việc vẽ hình sẽ giúp học sinh hiểu sâu hơn và có thể phân biệt được các
biểu tượng hình học một cách rõ ràng. Các biểu tượng không gian được khắc sâu và trở
thành điểm tựa vững chắc cho việc tiếp thu những biểu tượng không gian mới và nâng
cao trí tưởng tượng không gian.
Hình không gian rất đa dạng, muôn hình muôn vẽ, ở mỗi góc độ quan sát khác nhau
sẽ cho những hình biểu diễn cũng khác nhau. Vì vậy khi vẽ hình, học sinh sẽ tiến hành

các hoạt động phân tích thử, vẽ thử, sau đó nhìn nhận ra những điểm chưa tốt của hình vẽ
và rút kinh nghiệm, đồng thời người học luôn phải tính toán để thể hiện tốt hơn các chi
tiết của bài toán trên hình biểu diễn.
Xét một số ví dụ cụ thể:
 Khi vẽ hình chóp : Ngoài một số các yêu cầu cơ bản như: vẽ đáy hơi dẹt, không nên
vẽ đáy quá rộng, các mặt bên và mặt đáy của hình chóp phải thoáng, không nên vẽ
mặt đáy là những tam giác đặc biệt, hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành, hình
vuông, hình chữ nhật nên vẽ mặt đáy dẹt với góc nhọn bé hơn hoặc bằng 45
0
, không
nên vẽ những hình có quá nhiều nét đứt. Khi sang chương “Quan hệ vuông góc” cần
chú ý thêm cho học sinh nên vẽ đường cao song song với lề vở. Chẳng hạn:
• Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy:

Cũng không nên vẽ
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
• Hình chóp đều hoặc với những bài toán đã xác định chân đường cao dưới mặt
đáy nên vẽ đường cao song song với lề vở để dễ hình dung.
Đối với trường hợp này nên vẽ đáy trước, vẽ đường cao sau đó mới vẽ các cạnh bên.
Học sinh cũng cần tính toán lấy đỉnh trên đường cao sao cho các mặt bên và mặt chéo
đều thoáng; tránh trường hợp vẽ các hình không trực quan sẽ gặp nhiều bất cập khi tư
duy trên hình như khó phán đoán ra kết quả, nhầm lẫn trong các thao tác phân tích.
Chẳng hạn:
A
S
G
O
Hai hình trên là những hình không tốt, khi tưởng tượng để phân tích, tư duy trên
hình sẽ khó khắc sâu các tính chất: AG và SO là các đường cao, nhìn nhận các tam giác
vuông… do đó hạn chế trí tưởng tượng không gian của các em.

 Vẽ hình biểu diễn của hình hộp
+ Hình hộp, đặc biệt là các hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương là
những hình rất quen thuộc trong cuộc sống. Hình biểu diễn của hình hộp cũng phức tạp
hơn hình chóp rất nhiều.
+ Ngay từ tiết học đầu tiên giáo viên cũng nên rèn luyện cho học sinh vẽ hình biểu
diễn của hình hộp.
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
+ Hình biểu diễn của hình hộp sẽ là hình biểu diễn “tốt” nếu các chi tiết cơ bản của
hình hộp được biểu diễn đúng và trực quan như: các cạnh bên song song với nhau, các
mặt bên và mặt đáy phải thoáng, các mặt chéo không quá dẹt, các đường chéo không bị
trùng với các cạnh của hình hộp …
+ Học sinh rất hay vẽ các hình hộp có các đường chéo bị che khuất bởi các cạnh của
mặt đáy chẳng hạn:
A
C
D
A’
B’
D’
C’
B
A
C
D
A’
B’
D’
C’
B
Thông thường đa số học sinh chưa có kinh nghiệm nên thường vẽ hình biểu

diễn của hình lập phương như sau:
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
Trong đó mặt phẳng (ADD’A’) là hình vuông, còn ABCD là hình bình hành với góc
ở đỉnh A xấp xỉ 45
0
. Hình biểu diễn đó không tốt vì khi đó hai đường chéo B’D, A’C và
hai đường thẳng A’B’, CD gần như trùng nhau. Hình biểu diễn đó sẽ tốt hơn nếu góc ở
đỉnh A của hình bình hành ABCD được vẽ lớn hơn hoặc bé hơn 45
0
.
+ Một số điểm chú ý khi vẽ hình biểu diễn của hình hộp:
• Nên vẽ đáy hơi dẹt, không nên vẽ đáy quá rộng.
• Nên vẽ đáy ABCD trước, sau đó vẽ cạnh bên AA’; tính toán, phân tích lấy đỉnh A’ trên
cạnh bên sao cho đường chéo A’C của hình hộp không bị che khuất bởi cạnh CD.
• Đối với những trường hợp không cho ở dạng đặc biệt thì không nên vẽ hình biểu diễn ở
dạng đặc biệt. Học sinh quen với việc vẽ hình hộp đứng nên khi bài toán chỉ cho hình hộp
thì lại vẽ hình biểu diễn của hình hộp đứng và khi chứng minh rất dễ nhầm sang sử dụng
các tính chất của hình hộp đứng dẫn đến giải bài toán sai.
• Kỹ năng đổi đỉnh cũng giúp học sinh nhanh chóng tìm ra hình biểu diễn tốt cho
bài toán. Chẳng hạn với bài toán: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Xác định giao
điểm của A’C với hai mặt phẳng (AB’D’) và (BDC’). Hình đã cho học sinh có thể biểu
diễn như các hình sau:
A
C
C’
D’
B’
B
A’
D

a
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
D
C
A’
D’
B’
A
B
C’
b
A
D
C
C’
B’
A’
D’
B
c
Hình a) là hình biểu diễn không đẹp, không trực quan sẽ gây khó khăn cho học sinh
tiến hành tưởng tượng và phân tích trên hình khi giải toán. Trong hình b, hai miền tam
giác AB’D’ Và BDC’ che lấp nhau. Biểu diễn như hình c) là thuận lợi nhất cho việc giải
bài toán hơn. Giáo viên cần chỉ rõ cho học sinh thấy hình b và hình c là như nhau nhưng
thay đổi vị trí các đỉnh.
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
Việc hướng dẫn cho học sinh lựa chọn và vẽ những hình biểu diễn “tốt” có ý nghĩa
rất quan trọng, góp phần rất lớn vào việc giảm bớt những khó khăn khi giải các bài toán
không gian và hiện tượng mệt mỏi khi học bộ môn này. Đó cũng là điều kiện thuận lợi
góp phần nâng cao và phát triển trí tưởng tượng không gian cho học sinh. Những hình

biểu diễn không tốt sẽ hạn chế sự phát triển trí tưởng tượng không gian và dễ gây ra hiện
tượng mệt mỏi, chán nản khi không tìm ra phương pháp giải các bài toán không gian do
các em không thể tưởng tượng được không gian khi quan sát hình vẽ.
Các ví dụ sau đây sẽ chỉ ra một số các hiện tượng sai lầm khi học sinh không biết
cách vẽ hình biểu diễn trực quan dẫn đến gặp khó khăn khi giải toán.
Ví dụ 3: ( Bài 30 – Hình học 11 nâng cao – trang 117)
Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a, góc tạo bởi cạnh bên
và mặt phẳng đáy bằng 30
0
. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A’B’C’) thuộc
đường thẳng B’C’.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.
b) Chứng minh hai đường thẳng AA’ và B’C’ vuông góc với nhau. Tính khoảng cách
giữa chúng.
Đối với bài toán này học sinh thường vẽ hình như sau:
A’
B’
C’
B
C
A
A’
B’
C’
B
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
A
H
H
C

Sai lầm của các em đó là: Vẽ hình lăng trụ trước, thậm chí là vẽ hình lăng trụ đứng,
sau đó mới biểu diễn AH.
Theo bài ra thì AH phải là đường cao, nhưng do thói quen của học sinh là vẽ hình
lăng trụ trước nên khi biểu diễn AH không trực quan. Do đó khó hình dung và dẫn đến
những sai lầm khi giải toán. Chẳng hạn:
• Với câu a, khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là AH, tuy nhiên do không nhìn
nhận ra nên học sinh dễ nhầm đường cao là AA’ hay đường cao hạ từ đỉnh A xuống mặt
đáy.
• Góc giữa cạnh bên AA’ với (A’B’C’) chính là góc giữa hai đường thẳng AA’ và
A’H, nhưng học sinh không thấy được A’H là hình chiếu của AH nên dẫn tới xác định góc
sai.
• Để tính AH học sinh phải dựa vào tam giác AA’H là tam giác vuông tại H nhưng
học sinh dễ nhầm với tam giác vuông tại A.
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
Những sai lầm này của học sinh chủ yếu do các em chưa có kinh nghiệm vẽ hình và
do trí tưởng tượng không gian kém. Do đó trước mỗi bài toán giáo viên nên hướng dẫn
cho học sinh cách vẽ hình, nhấn mạnh những điểm quan trọng:
B’
C’
H
A
B
C
A’
• Với các bài toán đã cho đường cao nên ưu tiên biểu diễn đường cao. Với bài toán
này nên vẽ đáy A’B’C’ trước, lấy điểm H thuộc B’C’. Vẽ đường thẳng vuông góc với
(A’B’C’) tại H. Trên đường thẳng đó lấy điểm A, nối AA’.
• Các chi tiết còn lại được biểu diễn thông qua các quan hệ song song, tỉ số độ dài.
Chẳng hạn từ B’, C’ vẽ các đường thẳng song song với AA’.Các đỉnh còn lại được xác
định dựa vào quan hệ song.

Khi biểu diễn hình một cách trực quan, học sinh sẽ tiến hành các thao tác tư duy một
cách thuận lợi vào việc giải bài toán không còn nhiều khó khăn nữa.
Để bồi dưỡng trí tưởng tượng không gian cho học sinh, đứng trước mỗi bài toán
không gian giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh kết hợp vẽ hình với các phép phân tích,
so sánh.
Ví dụ 4: Cho tứ diện SABC có SBC là các tam giác đều cạnh a. SA = a, AB = AC = a
2
. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC).
Thông thường học sinh sẽ vẽ hình trước rồi mớA
B
C
M
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
S
H
• i tính toán.
• Học sinh đã quen với một hình chóp đỉnh S, đáy là tam giác ABC hơn nữa cũng
dễ dàng tính được diện tích tam giác ABC, do đó việc tính thể tích quy về tính đường cao
SH. Tuy nhiên việc tính SH là khá khó khăn.
Nếu linh động người học sẽ có sự phân S
C
A
B
• tích (trên hình vẽ thử) như sau:
SA = SB =a, AB =a
2
=> ∆SAB vuông tại S.
SA = SC = a, AC = a
2
=> ∆SAC vuông tại S.

⇒ AS ⊥ (SBC) ⇒ AS là đường cao và SA = a.
Từ đó học sinh vẽ hình khác trực quan hơn và việc giải bài toán là rất đơn giản.
Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD). Gọi B’,C’,D’ lần lượt là hình chiếu của A lên các cạnh SB, SC, SD.
A
S
D’
B’
C’
B
C
D
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
O
a) Chứng minh A, B’,C’,D’ đồng phẳng.
b) Chứng minh bốn điểm A, B’,C’,D’ cùng thuộc một đường tròn
Học sinh thường vẽ hình theo thứ tự các dữ kiện bài toán:
Với hình vẽ này, khi chứng minh câu a học sinh rất khó hình dung bốn điểm A,
B’,C’,D’ được biểu diễn trên hình vẽ là đồng phẳng vì vậy sẽ gặp khó khăn trong việc tìm
lời giải.
Tuy nhiên, nếu vẽ hình thử và quan tâm đến kết luận của bài toán, sử dụng phép
phân tích ngược học sinh sẽ vẽ hình chính xác và tốt hơn.
A
S
D’
B’
C’
B
C
D

O
I
Khi A , B’, C’, D’ đồng phẳng thì ba mặt phẳng (AB’C’D’), (SAC), (SBD) đôi một
cắt nhau theo ba giao tuyến SO, B’D’, AC’ ⇒ ba đường thẳng này đồng quy. Từ đó suy
ra hình trên là sai.
Học sinh có thể vẽ bằng cách xác định B’, D’ trước; Sau đó xác định giao điểm I của
B’D’ với SO, khi đó C’ = AI ∩ SC .
Vẽ hình đúng sẽ dễ dàng cho việc tìm lời giải của bài toán một cách chính xác hơn.
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
Hình vẽ có vai trò quan trọng trong dạy học Hình học không gian. Khi học những
khái niệm, định lí hình vẽ đúng giúp học sinh dễ nhận dạng các định lí. Khi học giải toán,
hình vẽ đúng và tốt giúp học sinh hiểu rõ bài toán và giảm bớt sự trừu tượng của các hình
biểu diễn cũng như của yêu cầu bài toán, do đó có thể tìm ra lời giải dễ dàng và nhanh
chóng hơn. Vì vậy chúng ta cần thường xuyên chú ý hướng dẫn cho học sinh vẽ hình
đúng và trực quan.
Công việc rèn luyện cho học sinh vẽ hình biểu diễn phải được thực hiện liên tục
xuyên suốt quá trình học tập Hình học không gian, kể cả trong giải toán Hình không gian.
Đứng trước mỗi bài toán giáo viên cần tổ chức cho học sinh luyện tập vẽ hình, kết hợp trí
tưởng tượng với các thao tác phân tích, so sánh các dữ kiện cũng như yêu cầu bài toán,
bao quát bài toán để có thể vẽ được hình đúng và tốt nhất. Sự tinh tuý của các hình trong
không gian là điều kiện cho học sinh vừa củng cố vừa khai thác triệt để các biểu tượng
không gian,vừa tích luỹ được nhiều kinh nghiệm quý báu góp phần bồi dưỡng và không
ngừng nâng cao các thao tác tư duy và trí tưởng tượng không gian, bồi dưỡng thế giới
quan và tư duy linh hoạt cho học sinh.
Cũng cần phải nói rằng hình biểu diễn trong sách giáo khoa và hình vẽ của thầy giáo
trên bảng trong các giờ lên lớp nhất thiết phải là các ví dụ mẫu mực về cách vẽ hình biểu
diễn, do đó người thầy cũng phải luôn luôn trau dồi kĩ năng vẽ hình tốt.
II. Dạy học tách bộ phận phẳng ra khỏi không gian
Khi giải một bài toán Hình học không gian thông thường ta tiến hành trên từng bộ
phận mặt phẳng. Do đó để học sinh dễ hiểu và tiện theo dõi giáo viên nên hướng dẫn học

sinh tách riêng phần mặt phẳng cần nghiên cứu ra khỏi không gian phức tạp của bài toán.
Nhiều khi tách bộ phận phẳng giúp học sinh tìm lời giản đơn giản hơn nhiều và tạo sự
thuận lợi khi áp dụng các tính chất của Hình học phẳng.
Ví dụ 1 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Xác
định giao điểm G của AC’ và mặt phẳng (BDA’). Chứng minh G là trọng tâm tam giác
BDA’
Giải:
+ Xác định G = AC’ ∩ (BDA’)C
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
A
B
D
B’
D’
C’
A’
O
G
O = AC ∩ BD ⇒ A’O = (AA’C’C) ∩ (BDA’).
G = AC’ ∩ A’O ⇒ G = AC’ ∩ (A’BD).
+ Chứng minh G là trọng tâm tam giác BDA’.
Ta chứng minh = hay chứng minh G là trọng tâm tam giác AA’C. (1)
Để chứng minh (1) ta nên dựa vào mặt phẳng (ACC’A’).
Tách mặt phẳng (ACC’A’) ra khỏi hình hộp và biểu diễn trên mặt phẳng.
Bây giờ ta áp dụng tính chất của Hình học phẳng chứng minh G là trọng tâm tam giác
AA’C trở nên đơn giản.C
A
C’
A’
K

O
G
Đặt K = AC’ ∩ A’C ⇒ K là trung điểm của A’C.
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
G = AK ∩ A’O ⇒ G là trọng tâm tam giác AA’C ⇒ = ⇒G là trọng tâm ÄBDA’.
Hoạt động vẽ hình biểu diễn của hình không gian là bước đi từ trực quan sinh động
đến tư duy trừ tượng”. Từ việc quan sát các mô hình cụ thể , qua một quá trình tái hiện
lại, tưởng tượng lại biểu tượng không gian mới vẽ được hình biểu diễn của hình không
gian lên mặt phẳng. Hoạt động tách bộ phận phẳng ra khỏi không gian chính là bước đi:
từ tư duy trừu tượng trở về thực tiễn. Từ một mô hình không gian trừu tượng người học
phải hình dung ra hình dạng đúng, trực quan của bộ phận phẳng đó để có thể biểu diễn
riêng rẽ ra mặt phẳng một cách chính xác các quan hệ của nó như trong thực tế.
A
S
D’
B’
C’
B
C
D
O
A’
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (α)
cắt SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng:
+ = + .
Giải:
+ Dựng mặt phẳng (α) = (A’B’C’D’).
Lấy 3 điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC. Khi đó D = (A’B’C’) ∩
SD.
+ Xét riêng mặt phẳng (SAC). Từ C kẻ CK // A’C’ (K ∈ SO). Từ A kẻ AH // A’C’ (H ∈

SO).C’
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
S
A’
C
A
H
K
O
I
Do AH // A’C’ ⇒ =
CK // A’C’ ⇒ = .
Ä AOH = ÄCOK (g.c.g) ⇒ OH = OK.
Ta có + = + = = = (1)
Tương tự nếu xét mặt phẳng (SBD) ta có: + = (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: (Bài 45 - Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao - trang 43)
Cho tứ diện đều ABCD, AA
1
là đường cao của tứ diện. Gọi I là trung điểm của AA
1
.
Mặt phẳng (BCI) chia tứ diện đã cho thành hai tứ diện. Tính tỉ số hai bán kính của mặt
cầu ngoại tiếp của hai tứ diện đó.
Giải:
+ Tứ diện ABCD đều, AA
1
⊥ (BCD) ⇒ A
1
là trọng tâm ∆BCD.

Gọi M là trung điểm của BC ⇒ AA
1
⊂ (AMD).
J
B
D
C
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
A
I
M
A
1
N
MI ∩ AD = I ⇒ (BCI) ∩ AD = J ⇒ (BCI) chia ABCD thành hai tứ diện JBCD và
JABC.
A
M
O
1
D
F
A
1
E
K
J
I
D
1

+ Gọi O
1
, O
2
lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện JBCD và JABC. Khi đó
O
1
là giao AA
1
với đường trung trực của JD; O là giao của DD với đường trung trực của
AJ (trong đó DD là đường cao của tứ diện ABCD). Dễ thấy
DD ⊂ (AMD) ⇒ O ∈ (AMD).
Việc tính tỉ số hai bán kính được quy về thực hiện trên (AMD).
+ Tách mặt phẳng (AMD) ra khỏi không gian. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của DJ
và AJ.
Dựng AK // A
1
J. Ta có
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
= = 1 ⇒ AJ = JK.
=

= 2
⇒ DK = 2JK = 2AJ
⇒ AJ = JD ⇒ AJ = AD = (với a là cạnh của tứ diện ABCD)
∆AO
1
E ∼ ∆ADA
1
⇒ = ⇒ O

1
E = .
Dễ dàng tính được: AM = MD = a ⇒ A
1
D = , AA
1
= , AE = AD -
ED = AD - DJ = AD - . AD = .a ⇒ OE = .
Tam giác ∆AO
1
E ∼ ∆DO
2
F ⇒ = = = ⇒ O
2
F = O
1
E = a.
R = OD = OE + ED = (.a) + (a) = ⇒ R = a.
R = O
2
A = OF + FA = (a) + ( a) = ⇒ R =
⇒ = = (ĐPCM)
Như vậy bài toán càng phức tạp thì việc tách bộ phận phẳng ra khỏi không gian càng
cần thiết. Ngay cả với những học sinh giỏi có trí tưởng tượng không gian phát triển cũng
khó có thể tư duy tốt trên trên một hình không gian có nhiều dữ kiện và nhiều đường nét
phức tạp. Khi tách bộ phận phẳng ra khỏi không gian các dữ kiện của bài toán được thể
hiện đầy đủ, tường minh, chính xác nên người học dễ tư duy bằng những kĩ năng đã biết
trong Hình học phẳng, do đó tạo hứng thú học tập cho học sinh.
Việc tách bộ phận phẳng ra khỏi không gian góp phần phát triển trí tưởng tượng
không gian, và ngược lại để tách bộ phận phẳng ra khỏi không gian cũng đòi hỏi người

học phải có trí tưởng tượng không gian phát triển cao mới có thể thực hiện được. Thật
vậy, bộ phận phẳng được tách ra không chỉ là mặt xung quanh hay mặt đáy của hình
không gian mà còn có thể là các mặt thiết diện được cắt bởi mặt phẳng với hình, khối
không gian, do đó phát triển trí tưởng tượng không gian. Mặt khác, để nhìn nhận ra bộ
phận phẳng cần tách và biểu diễn những mối quan hệ trong mặt phẳng một cách như vốn
có của nó mà trong hình không gian các tính chất này không được bảo toàn. Do đó đòi
hỏi người học phải có trí tưởng tượng không gian phát triển đến một mức độ nhất định
mới có thể làm được.
Dạy học tách bộ phận phẳng ra khỏi không gian để rèn luyện cho học sinh cách
quan sát tinh tế theo chiều sâu đối với những mô hình trừu tượng trong học tập cũng như
trong thực tiễn; hiểu một cách sâu sắc hơn biểu tượng cũng như các kiến thức của Hình
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
không gian. Do đó thành thạo kĩ năng này trí tưởng tượng không gian sẽ đạt đến một tầm
cao mới.
Bồi dưỡng năng lực tách bộ phận phẳng ra khỏi không gian tạo điều kiện phát triển
năng lực tách các bộ phận, các chi tiết ra riêng rẽ để nghiên cứu; từ đó người học có thể
hiểu sâu các biểu tượng không gian. Trong các ngành khoa học kĩ thuật để nghiên cứu,
chế tạo máy móc, người ta phải biểu diễn từng chi tiết của các trang thiết bị ra mặt phẳng
để nghiên cứu, tính toán tỉ mỉ đến từng chi tiết nhỏ. Vì vậy bồi dưỡng năng lực tách bộ
phận phẳng ra khỏi không gian góp phần đào tạo những con người cẩn thận, thông minh,
sáng tạo phục vụ cho sự phát triển của đất nước.
III. ỨNG DỤNG VÀO GIẢNG DẠY VÀ HIỆU QUẢ CỦA CHUYÊN ĐỀ
Không những trao đổi về nội dung, ý tưởng của các chuyên đề, các giáo viên trong
tổ toán, đặc biệt là các thầy cô dạy chương trình toán 11 đã phối kết hợp với nhau đưa ra
những phương pháp giảng dạy những nội dung đã được nghiên cứu một cách hợp lý nhất
với mục tiêu “lấy người học làm trung tâm”. Đặc biệt, chúng tôi không những nghiên cứu
các tài liệu tham khảo về lý thuyết và bài tập, mà còn tích cực nghiên cứu phương pháp
giảng dạy tích cực kết hợp với những ứng dụng của các phần mềm hỗ trợ dạy học Hình
học không gian như cabri 3D v2, ketpast tạo được hứng thú mạnh mẽ đối với người học.
Riêng đối với chuyên đề 3, những ví dụ tác giả đưa ra đã được đưa vào giảng dạy

tại lớp 11A5 và 11A4, những sai lầm của các em đúng như tác giả đã phân tích. Sau khi
khắc phục những sai lầm này, kết quả học tập của các em đã cho thấy hiệu quả của đề tài.
Cụ thể:
Kết quả kì thi tháng 3
Giỏi khá Trung bình Yếu
Số lượng
Tỉ lệ
Kết quả kì thi học kì 2
Giỏi khá Trung bình Yếu
Số lượng
Tỉ lệ
TiH-THCS-THPT NGÔ THỜI NHIỆM - QUẬN 9 - TPHCM GV: Lê Thị Hương
KẾT LUẬN
Hình học không gian luôn là sự e ngại của người học, kể cả các em học sinh lớp
12. Việc dạy học hình học không gian chính là dạy cho các em biết vẽ hình, biết tư duy
thao tác trên hình và liên hệ trở lại được với thực tiễn. Chuyên đề 3, tác giả đã làm rõ
những sai lầm thường gặp của học sinh, cách khắc phục khi vẽ hình biễu diễn của hình
không gian, cũng như một vài cách thức dạy học mà tác giả cho rằng có thể phát triển trí
tượng tượng không gian cho các em một cách hợp lý, có chiều sâu tư duy. Đây là kết quả
nghiên cứu tài liệu, phương pháp giảng dạy kết hợp với nghiên cứu tâm lí lứa tuổi và trên
cơ sở tôn trọng mục tiêu giáo dục của đất nước.
Do giới hạn đề tài trong chương trình lớp 11, nên đây chưa thể gọi là “hoàn thiện”
về các vấn đề về hình biểu diễn của hình không gian. Lên lớp 12 các em sẽ tiếp tục các
thao tác như cắt, ghép hình, mối liên hệ giữa các hình hình học,… Tác giả hy vọng đề tài
sẽ giúp các em có những cơ sở về kiến thức một cách vững chắc để tiếp tục học các kiến
thức hình học lớp 12 tốt hơn.