đồ án tự động hóa Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học của vật rắn trong không gian

CHƯƠNG 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT CHUNG VỀ PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC
CỦA VẬT RẮN TRONG KHÔNG GIAN
2.1 Ma trận cosin chỉ hướng
2.1.1 Định nghĩa ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn
Cho vật rắn B và hệ quy chiếu R = {
)0(
3
)0(
2
)0(
1
e,e,e

}. Trong đó
)0(
3
)0(
2
)0(
1
e,e,e

là
ba véc tơ đơn vị trên các trục Ox
0
, Oy
0
, Oz
0 .
Ta gắn chặt vật rắn vào một hệ

quy chiếu R = {
321
e,e,e

}, với
321
e,e,e

là ba véc tơ đơn vị trên các trục Az,
Ay, Az, (Hình 2.1).
`
Định nghĩa ma trận vuông cấp ba
A=










3
)0(
32
)0(
31
)0(
3

3
)0(
22
)0(
21
)0(
2
3
)0(
12
)0(
11
)0(
1
e.ee.ee.e
e.ee.ee.e
e.ee.ee.e



(2.1)
được gọi là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B đối với hệ quy chiếu R
0
.
30
A
O
H×nh 2.0
y
0

z
0
x
0
B
y
1
z
1
x1
z
y
)0(
1
e

)0(
3
e

)0(
2
e

2
e

1
e


3
e

x
1
Nếu ta đưa vào ký hiệu
a
ij
=
e

)0(
i
.
j
e

= cos(
e

)0(
i
.
j
e

), với (i,j = 1,2,3) (2.2)
Thì ma trận cosin chỉ hướng (2.1) có dạng
A =











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
(2.3)
Từ định nghĩa trên, trong hệ quy chiếu R
0
ta có các hệ thức hiên hệ:
)0(
331
)0(
221
)0(
1111
eaeaeae

++=
)0(
332

)0(
222
)0(
1122
eaeaeae

++=
(2.4)
)0(
333
)0(
223
)0(
1133
eaeaeae

++=
Nếu ta ký hiệu e
i
là ma trận cột gồm các phần tử của véc tơ
i
e

trong hệ qui
chiếu R
0
.
Ta có:
e
1











=
31
21
11
a
a
a
, e
2










=

32
22
12
a
a
a
, e
3










=
33
23
13
a
a
a
(2.5)
Tìm ma trận cosin chỉ hướng (2.3) có dạng:
A = [e
1,
e

2
, e
3
] (2.6)
Ma trận cosin chỉ hướng A còn được gọi là ma trận quay của vật rắn.
2.1.2 Một vài tính chất cơ bản của ma trận cosin chỉ hướng
a) Tính chất 1: ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao.
Theo công thức (2.6):
A = [e
1,
e
2
, e
3
]
Ma trận cosin chỉ hướng A là ma trận cột có ba cột là ba véc tơ trực chuẩn.
Do đó A là ma trận trực giao.
Do tính chất của ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao nên A.A
T
= E.
Từ đó nhận được 6 phương trình liên hệ giữa các thành phần của ma trận
cosin chỉ hướng như sau:
1aaa
2
31
2
21
2
11
=++

0aaaaaa
323122211211
=++
31
1aaa
2
32
2
22
2
12
=++

0aaaaaa
333123211311
=++

1aaa
2
33
2
23
2
13
=++

0aaaaaa
333223221312
=++

Do vậy chỉ có 3 thành phần của ma trận cosin chỉ hướng là độc lập.
b)Tính chất 2: Định thức của ma trận cosin chỉ hướng det(A)=1
Từ hệ thức A.A
T
= E ta suy ra:
det(A.A
T
)= det(A). det(A
T
)= det(E)=1
Do: det(A)=det(A
T
) nên ta có det(A)=
1
±
. Ta có thể chứng minh det(A)=1.
c)Tính chất 3: Ma trận cosin chỉ hướng có Ýt nhất một trị riêng
1
1
=λ
2.1.3 Ý nghĩa của ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn
Xét một hệ qui chiếu R
0
và R có cùng gốc O. Trong đó hệ qui chiêú R
0
≡
Ox
0
y
0

z
0
là hệ qui chiếu cố định, Hệ qui chiếu R
≡
Oxyz gắn liền với vật rắn B.
Lấy điểm P bất kỳ thuộc vật rắn B. Vị trí của điểm P được xát định bởi vectơ
định vị
OP
=
p
r
.(Hình 2.1)

Hình 2.1
Ký hiệu các toạ độ của điểm P trong hệ qui chiếu động Oxyz là x
p
, y
p
, z
p
, các
toạ độ của điểm P toạ độ hệ qui chiếu cố định Ox
0
y
0
z
0
là
0
p

x
, y
0
p
, z
0
p
.
Ta có hệ thức sau:
)0(
3
)0(
p
)0(
2
)0(
p
)0(
1
)0(
pp
e.ze.ye.xr

++=
(2.7)
3p2p1pp
e.ze.ye.xr

++=
(2.8)

z
x
y
0
y
x
0
z
0
P
B
32
Thế các biểu thức (2.4) vào hệ thức (2.8) ta được:

+++=
)e.ae.ae.a(xr
)0(
331
)0(
221
)0(
111pp

(2.9)

+++
)e.ae.ae.a(y
)0(
332
)0(

222
)0(
112p


)e.ae.ae.a.(z
)0(
333
)0(
223
)0(
113p

++
Hay:
+++=
)z.ay.ax.a(er
p13p12p11
)0(
1p

(2.10)

+++
)z.ay.ax.a(e
p23p22p21
)0(
2


)z.ay.ax.a(e
p33p32p31
)0(
3
++

So sánh các biểu thức (2.7), và (2.10) ta suy ra hệ phương trình:
p13p12p11
)0(
p
z.ay.ax.ax
++=

p23p22p21
)0(
p
z.ay.ax.ay
++=
(2.11)

p33p32p31
)0(
p
z.ay.ax.az
++=
Hệ phương trình (2.11) có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau;






















=










p
p

p
333231
232221
131211
)0(
p
)0(
p
)0(
p
z
y
x
.
aaa
aaa
aaa
z
y
x
(2.12)
Từ hệ phương trình (2.12) ta rót ra kết luận sau:
Ma trận cosin chỉ hướng A biến đổi các toạ độ của điển P bất kỳ thuộc vật
rắn trong hệ quy chiếu động Oxyz sang các toạ độ của điểm P đó trong hệ quy
chiếu cố định Ox
0
y
0
z
0

2.2 Các ma trận quay cơ bản
Ta quy ước hướng quay đơn là hướng ngược chiều kim đồng hồ nh hình vẽ
( Hình 2.2)
33

Các phép quay quanh trục x,y,z của hệ toạ độ vuông góc Oxyz được là phép
quay cơ bản.
Ta tìm ra ma trận quay của phép quay quanh trục mét góc ϕ (Hình 2.3).

Theo công thức định nghĩa (2.1) ta có:
A
x0
(ϕ) =










3
)0(
32
)0(
31
)0(
3

3
)0(
22
)0(
21
)0(
2
3
)0(
12
)0(
11
)0(
1
e.ee.ee.e
e.ee.ee.e
e.ee.ee.e



(2.13)
A
x0
(ϕ) =











ϕϕ
ϕ−ϕ
cossin0
sincos0
001
` (2.14)
H×nh 2.2
z
O
x
y
y
e
z
H×nh 2.3
y
0
z
0
)0(
3
e

`
3
e


34
ψ
θ
ϕ
Ma trận (2.14) được gọi là ma trận quay của phép quay cơ bản quanh trục x
0
bằng cách tương tự ta xác định được các ma trận quay cơ bản quanh các trục
y
0
và z
0
(Hình 2.4).
A
y0
(ψ) =










ψψ−
ψψ
cos0sin
010

sin0cos
, A
z0
(θ)=










θθ
θ−θ
100
0cossin
0sincos
(2.15)
Từ các công thức (2.14), (2.15) ta dễ dàng tính được:
detA
x0
(ϕ) = detA
y0
(ψ) = detA
z0
(θ)
Hình 2.4
2.3 Vận tốc góc của vật rắn

x
y
x
0
y
0
)0(
2
e

`
2
e

θ
`
x
z
x
0
z
0
)0(
3
e

`
3
e


ψ
1
e

35
Vật rắn B chuyển động trong hệ qui chiếu cố định Ox
0
y
0
z
0
. Lấy D là một điểm
nào đó thuộc vật rắn B. Gắn chặt vào vật rắn B hệ qui chiếu động Dxyz. Lấy
P là một điểm bất kỳ thuộc vật rắn B nh hình vẽ (2.5).
-Gọi
p
v

và
D
v

là vận tốc của điểm P và diểm D bất kỳ trên hệ cố định R
0

-Gọi A là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B đối với hệ R
0
[1].
Từ hình vẽ ta có:
pDp

srr

+=
(2.16)
Đạo hàm phương trình (2.16) trong hệ qui chiếu cố định R
0
ta được:
dt
sd
dt
rd
dt
rd
p
R
D
R
p
R
0
0
0



+=
(2.17)

P
S


Hình 2.5
Theo công thức định nghĩa vận tốc góc của vật rắn [1] ta có:
dt
sd
p
R
0

=
p
sx

ω
36
0
x
0
z
0
y
0
x

y

z

D
P

P
D
Thay vào công thức (2.17):
pDp
sxvv


ω+=
(2.18)
Biểu thức 2.46 dưới dạng ngôn ngữ đại số:
p
R
D
R
p
R
s
~
000
ωvv
+=
(2.19)
Mặt khác ta biểu diễn phương trình (2.16) dưới dạng đại số:
p
R
D
R
p
R
000

srr
+=
(2.20)
Do A là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B nên:
pp
R
0
A.ss
=
(2.21)
s
p:
là dạng đại số của véc tơ
p
s

trên hệ động Dxyz
Vậy:
pD
R
p
R
00
A.srr
+=
(2.22)
Đạo hàm phương trình (2.22) theo t ta được :
pD
R
p

R
00
A.svv
+=
(2.23)
Vì A là ma trận cosin chỉ hướng nên là ma trận trực giao. Từ công thức (2.21)
ta suy ra:
p
R
T
p
R
1
p
00
sAsAs
==
−
(2.24)
Thay (2.24) vào (2.23) ta được:
p
R
T
D
R
p
R
000
. sA.Avv
+=

(2.25)
So sánh (2.19) và (2.25) ta có :
ω
~
=
T
.AA

(2.26)
Nh vậy nếu biết ma trận cosin chỉ hướng A của vật rắn B và ma trận
A

, ta có
thể xác định được các thành phần vận tốc góc của vật rắn B theo công thức
(2.26).

37
38