Tom tat va bai tap Chuong I giai tich 11

Trường THPT Lê Hồng Phong GV: Nguyễn Văn Khỏi
I/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng
giác:

sin cos
tan cot
cos sin
x x
x x
x x
∗ = ∗ =
Bảng giá trị của các góc đặc biệt:

Góc
GTLG
0
0
(0)
30
0
(
6
π
)
45
0
(
4
π
)

60
0
(
3
π
)
90
0
(
2
π
)
Sin 0
1
2
2
2
3
2
1
Cos 1
3
2
2
2
1
2
0
B/ Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản:
( )

( )
+ α + α = ∀α∈
π
 
+ α α = ∀α ≠ ∈
 ÷
 
π
 
+ = + α ∀α ≠ + π ∈
 ÷
α
 
+ = + α ∀α ≠ π ∈
α
2 2
2
2
2
2
sin cos 1 R
tan .cot 1 k ,k Z
2
1
1 tan k ,k Z
cos 2
1
1 cotg k ,k Z
sin
Hệ quả:

• sin
2
x = 1-cos
2
x ; cos
2
x = 1- sin
2
x
• tanx=
1
cot x
;
1
cot
tan
x
x
=
• Sin
4
x + cos
4
x = 1 - 2sin
2
x.cos
2
x
• Sin
6

x + cos
6
x = 1 - 3sin
2
x.cos
2
x
C/ Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt:
a. Cung đối:
α
và
−α
cos( ) cos ; sin( ) sin
tan( ) tan ; cot( ) cot
−α = α −α = − α
−α = − α −α = − α
b. Cung bù:
α
và
π −α
sin( ) sin ; cos( ) cos
tan( ) tan ; cot( ) cot
π −α = α π −α = − α
π −α = − α π− α = − α
c. Cung sai kém nhau
π
:
α
và
π + α

tan( ) tan ; cot( ) cot
sin( ) sin ; cos( ) cos
π + α = α π+ α = α
π + α = − α π + α = − α
d. Cung phụ:
α
và
2
π
− α
sin cos ; cos sin
2 2
tan cot ; cot tan
2 2
π π
   
−α = α −α = α
 ÷  ÷
   
π π
   
−α = α − α = α
 ÷  ÷
   

e. Cung hơn kém nhau
2
π
:
α

và
2
π
+ α
sin cos ; cos sin
2 2
tan cot ; cot tan
2 2
π π
   
+ α = α + α = − α
 ÷  ÷
   
π π
   
+ α = − α + α = − α
 ÷  ÷
   
D/. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng:
 cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
 cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
 sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
 sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
 tan(a – b) =
tan tan
1 tan .tan
−
+
a b

a b

 tan(a + b) =
tan tan
1 tan .tan
+
−
a b
a b

CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 1
sinα
2
π
0
π
3
2
π
cosα
0
α
Trường THPT Lê Hồng Phong GV: Nguyễn Văn Khỏi
2. Công thức nhân đôi:
 sin2a = 2sina.cosa ⇒
1
sina.cosa= sin2
2
a
 cos2a = cos

2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2 sin
2
a
 tan2a =
2
2tan
1 tan−
a
a
3. Công thức nhân ba:
 sin3a = 3sina – 4sin
3
a cos3a = 4cos
3
a – 3cosa
4.Công thức hạ bậc:
 cos
2
a =
1 cos 2
2
a+
sin
2
a =

1 cos 2
2
a−
tan2a =
1 cos 2
1 cos 2
a
a
−
+
5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan
2
x
:
 sinx =
2
2
1
t
t+
 cosx =
2
2
1
1
t
t
−
+

 tanx =
2
2
1
t
t−
 cotx =
2
1
2
t
t
−
6. Công thức biến đổi tổng thành tích

a b a b
cosa cosb 2cos cos
2 2
+ −
   
+ =
 ÷  ÷
   

a b a b
cosa cosb 2sin sin
2 2
+ −
   
− = −

 ÷  ÷
   

a b a b
sina sinb 2sin c os
2 2
+ −
   
+ =
 ÷  ÷
   

a b a b
sina sin b 2cos sin
2 2
+ −
   
− =
 ÷  ÷
   

sin( )
tan tan ( , , )
cos .cos 2
±
± = ≠ + ∈
a b
a b a b k k Z
a b
π

π

sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin
+
+ = ≠ ∈
a b
a b a b k k Z
a b
π


sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin
− +
− = ≠ ∈
a b
a b a b k k Z
a b
π

sin cos 2 sin( ) 2 ( )
4 4
+ = + = −
a a a cos a
π π

sin cos 2 sin( ) 2 ( )

4 4
− = − = − +
a a a cos a
π π

cos sin 2 ( ) 2 sin( )
4 4
− = + = − −
a a cos a a
π π
7. Công thức biến đổi tích thành tổng
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b• = − + +
[ ]
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b• = − − +
[ ]
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
• = + + −
[ ]
1
sin .cos sin( ) sin( )

2
b a a b a b• = + − −
II/PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC :
1/ Phương trình lượng giác cơ bản:
2
) cosu = cosv u = v + k2 ) sinu = sinv ,k
2
c) tanu = tanv u = v + k ,k d) cotu = cotv u = v + k ,k
u v k
a b
u v k
= + π

⇔ ± π , κ∈ ⇔ ∈

= π− + π

⇔ π ∈ ⇔ π ∈
¢ ¢
¢ ¢
CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 2
Trường THPT Lê Hồng Phong GV: Nguyễn Văn Khỏi
Chú ý: a/ Nếu cung α thoả
sin
2 2
a
α
π π
α
=



−
< <


thì α gọi là arcsina cung có sin bằng a. Khi đó phương
trình sinx = a ⇔
sin 2
sin 2
x arc a k
k Z
x arc a k
π
π π
= +

∈

= − +


b/ Nếu cung α thoả
cos
0
a
α
α π
=



< <

thì α gọi là arccosa cung có cos bằng a. Khi đó phương
trình cos x = a ⇔
arccos 2
arccos 2
x a k
k Z
x a k
π
π
= +

∈

= − +

c/ Nếu cung α thoả
tan
2 2
a
α
π π
α
=



−

< <


thì α gọi là arctana cung có tan bằng a. Khi đó phương
trình tanx = a ⇔
arctan ,x a k k Z
π
= + ∈

d/ Nếu cung α thoả
cot
0
a
α
α π
=


< <

thì α gọi là arccota cung có cot bằng a. Khi đó phương
trình cotx = a ⇔
arccot ,x a k k Z
π
= + ∈
Một số phương trình đặc biệt:
sin 0 sin 1 2 sin 1 2
2 2
cos 0 1 2 1 2
2

x x k x x k x x k
x x k cosx x k cosx x k
π π
π π π
π
π π π π
⊕ = ⇔ = ⊕ = ⇔ = + ⊕ = − ⇔ = − +
⊕ = ⇔ = + ⊕ = ⇔ = ⊕ = − ⇔ = +
2/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
sin cosa x b x c+ =
Phương pháp giải:
2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos
a b c
a x b x c x x
a b a b a b
+ = ⇔ + =
+ + +
Đặt
2 2
2 2
sin
cos
a
a b
b
a b
α
α


=

+



=

+

đưa phương trình về dạng:
2 2
cos( )
c
x
a b
−β =
+
rồi tiếp tục giải.
Điều kiện có nghiệm
2 2 2
a b c+ ≥
3/Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác.
Dạng: a. t
2
+ b.t + c = 0 trong đó t có thể là một trong các hàm sinx, cosx, tanx, cotx.
Cách giải: Đặt t bằng hàm số lượng giác đã cho đưa về phương trình bậc 2 rồi giải tiếp.
Chú ý: với t = sinx hoặc t = cosx thì có điều kiện
1t ≤
.

4/.Phương trình đẳng cấp bậc 2 theo sinx và cosx:
* Dạng:
2 2
sin sin .cos cosa x b x x c x d+ + =
(1)
* Cách giải:
TH1: Xét xem cosx = 0 ⇔
2
x k
π
π
= +
có là nghiệm của (1) hay không ?
TH2: cosx ≠ 0 thay
( )
2 2
sin cosd d x x= +
, chia cả 2 vế phương trình cho
2
cos x
, sau đó đặt
tant x=
rồi đưa về phương trình bậc 2 theo biến tanx.
5/Phương trình bậc 2 đối xứng dạng:
( ) ( )
sin cos sin .cos 0A x x B x x C± + + =
CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 3
Trường THPT Lê Hồng Phong GV: Nguyễn Văn Khỏi
Cách giải: Đặt
( )

2
1
sin cos ; 2 2 sin .cos
2
t
t x x t x x
−
= ± − ≤ ≤ ⇒ = ±
. Đưa phương trình về
phương trình đại số theo t:
2
1
0
2
t
At B C
 
−
+ ± + =
 ÷
 
BÀI TẬP:
I – Phương trình lựơng giác cơ bản :
Giải các phương trình sau
1.
sin 2 cos 2 0x x− =

2.
sin 3 2 cos3 0x x+ =

3.
2
4sin 1x =

4 .
2 2
sin sin 2 1x x+ =

5.
sin 4
1
cos 6
x
x
=

6. sin 2x = 2cos x
7.
=
sin .cot 5
1
cos 9
x x
x
8.
tan3 tan 5x x=

9. ( 2cos x -1 )( sin x + cos x) =1
10.
sin 2

2 cos
1 sin
x
x
x
= −
+
II - Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác
Giải các phương trình sau
1.
cos 2 3sin 2x x+ =

2.
4 2
4sin 12 cos 7x x+ =

3.
2
25sin 100 cos 89x x+ =

4.
4 4
sin 2 cos 2 sin 2 cos 2x x x x+ =

5.
+
=
−
6 6
2 2

sin cos 1
tan 2
cos sin 4
x x
x
x x

6.
+ =
2
3
tan 9
cos
x
x
III – Phương trình bậc nhất với sin x và cos x
Giải các phương trình sau
1.
sin 3 3 cos3 2x x+ =

2.
2
1
sin 2 sin
2
x x+ =

3.
2sin17 3 cos 5 sin 5 0x x x+ + =

4.
2sin (cos 1) 3 cos2x x x− =
5.
3 sin 4 cos 4 sin 3 cosx x x x− = −

6.
3cos sin 2 3(cos 2 sin )x x x x− = +
7.
sin 3 cos sin 3 cos 2x x x x+ + + =
IV – Phương trình thuần nhất bậc hai ( Đẳng cấp bậc hai ) đối với sin x và cos x
Giải các phương trình
1)
2
2sin 2 2 3 sin 2 cos2 3x x x− =

2)
1
4sin 6 cos
cos
x x
x
+ =

3)
3
sin 3 2 cosx x=
4)
2 2
4sin 3 3 sin 2 2 cos 4x x x+ − =

5)
3 3
cos sin sin cosx x x x+ = −

6)
3
8cos ( ) cos3
3
x x
π
+ =
7)
3 1
8cos
sin cos
x
x x
= +

8)
3
2 sin ( ) 2 sin
4
x x
π
+ =

9)
sin 3 cos3 2 cos 0x x x+ + =
V – Phương trình đối xứng với sin x và cos x

Giải các phương trình

1 .
12(sin cos ) 4 sin cos 12 0x x x x+ − − =

2 .
sin 2 5(sin cos ) 1 0x x x+ + + =

3 .
5(1 sin 2 ) 11(sin cos ) 7 0x x x− − + + =
4 .
1
sin 2 (sin cos ) 0
2
x x x+ − + =
5 .
5(1 sin 2 ) 16(sin cos ) 3 0x x x− − − + =

6 .
3 3
2(sin cos ) (sin cos ) sin 2 0x x x x x+ − + + =
CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 4
Trường THPT Lê Hồng Phong GV: Nguyễn Văn Khỏi
7 .
1 1
(sin cos 1)(sin 2 )
2 2
x x x
−
− + + =

8 .
sin cos 4sin 2 1x x x− + =
9 .
sin cos sin 2 0x x x+ − =

10 .
2(sin cos ) tan cotx x x x+ = +

11 .
cot tan sin cosx x x x− = +

12 .
2sin 2 1 sin cos
2sin 2 1 sin cos 1
x x x
x x x
+ +
=
− + −

VI – Phương trình lượng giác khác
A- phương trình giải bằng cách dặt ẩn phụ
Bài 1 : Giải các phương trình
1.
+ + =
2
1
cot 1 0
sin

x
x
2.
− + =
2
1 2 5
tan 0
2 cos 2
x
x
B- Sử dụng công thức hạ bậc
Bài 2 : Giải các phương trình
1.
2 2 2 2
sin sin 3 cos 2 cos 4x x x x+ = +
3.
2 2 2
sin sin 2 sin 3 0x x x+ − =
2.
2 2 2
3
sin sin 2 sin 3
2
x x x+ + =
4 .
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x+ =

C – Phương trình biến đổi về tích
Bài 3 : Giải phương trình
1 .
cos cos 2 cos3 cos 4 0x x x x+ + + =

2.
1 sin cos3 cos sin 2 cos2x x x x x+ + = + +

3.
3
2cos cos2 sin 0x x x+ + =

4 .
cos cos3 2cos5 0x x x+ + =
5 .
3 3
cos sin sin 2 sin cosx x x x x+ = + +

6 .
2 3
sin cos sin 0x x x+ + =
7.
2
1 sin
tan
1 cos
+
=
+

x
x
x

8 .
3 3
sin cos sin cosx x x x− = +
9 .
cos cos5
8sin sin 3
cos3 cos
x x
x x
x x
− =

10. sin x( 1+ cos x) = 1 + cos x + cos
2
x
D- Phương trình lượng giác có điều kiện
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
3 1
8cos
sin sin
x
x x
= +
2.
2

1 cos2
1 cot 2
sin 2
x
g x
x
−
+ =
3.
4 4
4
sin 2 cos 2
cos 4
tan( )tan( )
4 4
x x
x
x x
π π
+
=
− +
4.
2
cos (1 cot ) 3
3cos
2 sin( )
4
x x
x

x
π
+ −
=
−
5.
2
cos 2sin cos
3
2cos sin 1
x x x
x x
−
=
− −
6.
tan 3x= tan 5x

7.
tan2xtan7x=1
8.
sin 4x
1
co s 6x
=
9.
sin cot 5
1
cos9
=

x x
x
10.
3
sin( )
cos2
4
sin( 2 ) cos( )
2 4
x
x
x x
π
π π
+
=
− +

11.
cos3 .tan5 sin 7=x x x
12.
2
1 2sin 3 2 sin sin 2
1
2sin cos 1
x x x
x x
+ − +
=
−

13.
3 3
sin cos
cos2
2cos sin
x x
x
x x
+
=
−

CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 5
Trường THPT Lê Hồng Phong GV: Nguyễn Văn Khỏi
14.
1 1
2 2 sin( )
4 sin cos
x
x x
π
+ = +
15.
1 2(cos sin )
tan cot 2 cot 1
−
=
+ −
x x
x x x

16.
2
3tan3 cot 2 2tan
sin 4
+ = +x x x
x
17.
1 1
cos sin
cos sin
x x
x x
+ = +

18.
2 2
2 2
1 1
cos sin
cos sin
x x
x x
− = −
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
(Tổng hợp)
1/ cos
2
3x.cos2x – cos
2

x = 0
2/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
3/ cos
4
x + sin
4
x + cos
.
4






−
π
x
sin






−
4
3
π
x

-
2
3

= 0
4/ 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan
2
x
5/ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx.
6/ cotx – 1 =
2
1
sin
tan1
2cos
2
−+
+
x
x
x
sin2x.
7/ cotx – tanx + 4sin2x =
x2sin
2
8/
0
2
costan.
42

sin
222
=−






−
x
x
x
π
9/
32cos
2sin21
3sin3cos
sin5 +=






+
+
+ x
x
xx

x

với 0 < x < 2
π

10/ sin
2
3x – cos
2
4x = sin
2
5x – cos
2
6x
11/ cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0
với 0
≤≤ x
14
12/ cosx + cos2x + cos3x = sinx + sin2x +
sin3x
13/
26sin.222sin.3
2
−=− xx
.
14/ cos3x + sin7x = 2.
2
9
cos2
2

5
4
sin
22
xx
−






+
π

15/ sin
3
x + sinx.cosx = 1 – cos
3
x
16/ 2 + cos2x = 2tanx
17/ sinx.cosx + cos
2
x =
2
12 +
18/







−=






+
24
sin.3
42
3
sin
xx
ππ

19/ sin3x + cos2x =2 ( sin2x.cosx – 1)
20/ 4cosx – 2cos
2
x – cos2x – cos4x = 0
21/
1
2cos1
2sin
=
+
+

x
x
22/ cosx + sin2x = 0
23/ 2(cos
4
x – sin
4
x) + cos4x – cos2x = 0
24/ (5sinx – 2)cos
2
x = 3(1 – sinx)sin
2
x
25/ (2sinx – 1)(2cosx + sinx) = sin2x – cosx
26/ cos3x + 2cos2x = 1 – 2sinxsin2x
27/






+=






++







+
4
cos
6
cos
3
cos
πππ
xxx
28/ sin
3
x + cos
3
x = sinx – cosx
29/
xxx tansin.2
4
sin.2
22
−=







−
π
30/ 4cos
2
x – 2cos
2
2x = 1 + cos4x
31/ cos3x.sin2x – cos4x.sinx =
xx cos13sin
2
1
++
.
32/ (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 3) = 4sin
2
x
– 1
33/ cosx.cos7x = cos3x.cos5x
34/
3
2coscos
2sinsin
=
−
−
xx
xx

35/ sinx + sin2x + sin3x = 0
36/
x
xx
xx
2tan
8
13
sincos
sincos
22
66
=
−
+

37/ cos
2
x.sin
4
x + cos 2x = 2cosx(sinx + cosx)
– 1
38/ 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0
39/ cos2x + cosx(2tan
2
x – 1) = 2
40/ 3cos4x – 8cos
6
x + 2cos
2

x + 3 = 0
41/
1cos2
42
sin2cos)32(
2
−






−−−
x
x
x
π
= 1
42/
)sin1(2
cossin
)1(coscos
2
x
xx
xx
+=
+
−

43/ cotx = tanx +
x
x
2sin
4cos2
CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 6
Trường THPT Lê Hồng Phong GV: Nguyễn Văn Khỏi
44/
x
x
x
xx
2sin.8
1
2cot
2
1
2sin.5
cossin
44
−=
+

45/
x
xx
x
4
2

4
cos
3sin)2sin2(
1tan
−
=+
46/ tanx + cosx – cos
2
x = sinx(1 + tanx.tan
)
2
x
47/ sin(
1)cos. =x
π
48/ cos3x – sìnx =
3
(cos2x - sin3x)
49/ 2cos
2
x - sin2x + sinx – cosx = 0
50/ sin3x + cos2x = 1 + sinx.cos2x
51/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
52/ cos2x + 5sinx + 2 = 0
53/ cos
2
x.sin
2
x + cos2x = 2(sinx + cosx)cosx
– 1

54/ 8.sin
2
x + cosx =
3
.sinx + cosx
55/ 3cos2x + 4cos
3
x – cos3x = 0
56/ 1 + cosx – cos2x = sinx + sin2x
57/ sin4x.sin2x + sin9x.sin3x = cos
2
x
58/
0cossin1
=++
xx

59/
( )
1sin.sin22cossin1cos3
2
−=−−
xxxxx
60/
2cos.3
2
cos
2
sin
2

=+






+
x
xx

61/






−=






−
+
x
x
x 4

7
sin4
2
3
sin
1
sin
1
π
π
62/ 2sin
2
2x + sin7x – 1 = sinx
63/
0
sin22
cossin)sin(cos2
66
=
−
−+
x
xxxx
64/ cotx + sinx
4
2
tan.tan1 =







+
x
x

65/ cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0
CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 7