Hệ thống các công thức lượng giác đáng nhớ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (525.14 KB, 5 trang )
LNG GIC 11 GIO VIấN: Lấ VN TUYN
1
Ch-ơng I: Hàm số l-ợng giác
A. Các công thức cần nhớ
1. Công thức cơ bản
1 sin 1x
1 cos 1x
sin( + k2) = sin; cos( + k2) = cos;
tan( +k) = tan; cot( + k) = cot
* Hàm số
sinyx
có:
TXĐ:
RD
;
TGT:
1;1
;
Tuần hoàn với chu kì:
2T
là hàm số lẻ
* Hàm số
cosyx
có:
TXĐ:
RD
;
TGT:
1;1
;
Tuần hoàn với chu kì:
2T
; là hàm số chẵn
* Hàm số
tanyx
có:
TXĐ:
kkRD ;
2
\
;
TGT:
R
Tuần hoàn với chu kì:
T
; là hàm số lẻ
* Hàm số
cosyx
có:
TXĐ:
kkRD ;\
;
TGT:
R
;
Tuần hoàn với chu kì:
T
; là hàm số lẻ
2. Các hằng đẳng thức l-ợng giác cơ bản
22
sin cos 1
tan .cot 1
2
2
1
1 tan
cos
2
2
1
1 cot
sin
3. Các công thức có liên quan đặc biệt
a. Cung đối nhau
sin(-) = - sin cos(-) = cos
tan(-) = - tan cot(-) = -cot
b. Cung bù nhau
sin( - ) = sin cos( - ) = - cos
tan( - ) = - tan cot( - ) = - cot
c. Cung phụ nhau
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
d. Cung hơn kém
sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
e. Cung hơn kém
2
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
3. Công thức cộng
cos cos cos sin sina b a b a b
cos cos cos sin sina b a b a b
LNG GIC 11 GIO VIấN: Lấ VN TUYN
2
sin sin cos cos sina b a b a b
sin sin cos cos sina b a b a b
4. Công thức nhân đôi
sin2 2sin cosx x x
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sinx x x x x
2
2tan
tan2
1 tan
x
x
x
5. Công thức hạ bậc
2
1 cos2
sin
2
x
x
2
1 cos2
cos
2
x
x
6. Công thức nhân ba
3
sin3 3sin 4sinx x x
3
cos3 4cos 3cosx x x
2
2
3 tan tan
tan3
1 3tan
xx
x
x
7. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos .cos cos cos
2
x y x y x y
1
sin .sin cos cos
2
x y x y x y
1
sin .cos sin sin
2
x y x y x y
8. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos .cos
22
x y x y
xy
sin
tan tan
cos cos
xy
xy
xy
cos cos 2sin .sin
22
x y x y
xy
sin
tan tan
cos cos
xy
xy
xy
sin sin 2sin .cos
22
x y x y
xy
sin
cot t
sin sin
xy
x co y
xy
sin sin 2cos .sin
22
x y x y
xy
sin
cot t
sin sin
yx
x co y
xy
9. Công thức rút gọn: asin x + bcos x
2 2 2 2
sin cos .sin .cosa x b x a b x a b x
2 2 2 2
sin cos .sin .cosa x b x a b x a b x
Đặc biệt:
sin cos 2sin 2cos
44
x x x x
sin cos 2sin 2cos
44
x x x x
Mở rộng:
2
cot tan
sin2
xx
x
cot tan 2cot2x x x
10. Công thức tình sin ; cos; tan theo
tan
2
LNG GIC 11 GIO VIấN: Lấ VN TUYN
3
Đặt
tan
2
t
ta có:
2
2
sin
1
t
t
2
2
1
cos
1
t
t
2
2
tan
1
t
t
B phần bài tập
I. Hàm số l-ợng giác:
Các dạng bài tập cơ bản
1. Dạng 1: Tìm TXĐ của hàm số l-ợng giác
* Ph-ơng pháp giải: Sử dụng tính chất:
- Các hàm số
sin , cosy x y x
xác định với mọi
Rx
- Hàm số:
tanyx
xác định với mọi
kkx ;
2
- Hàm số:
cotyx
xác định với mọi
kkx ;
Ví dụ: Tìm TXĐ của hàm số:
1
sin
4
y
x
Lời giải:
Hàm số có nghĩa
sin 0 ,
4 4 4
x x k x k k
Vậy TXĐ của hàm số là:
\,
4
D k k
Ví dụ 2: Tìm TXĐ của hàm số:
sin cos
cot 1
xx
y
x
Lời giải:
Hàm số xác định khi:
,
cot 1
4
xk
xk
k
x
xk
Vậy TXĐ của hàm số là:
\ | ,
4
D x x k x k k
và
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1)
1
2cos 1
y
x
2)
tan
2
x
y
3)
2
sin
2
x
y
x
4)
cot2yx
5)
2
1
cos
1
y
x
6)
cos 1yx
7)
sin
cos 1
x
y
x
8)
1
sin
y
x
9)
sin 2yx
10)
1
tan
sin
yx
x
11)
1
2cos 1
y
x
12)
tan
2
x
y
13)
2
sin
2
x
y
x
14)
cot2yx
15)
cos 1yx
16)
1 sin
cos3
x
y
x
17)
1 cos
sin
x
y
x
18)
sin
cos
x
y
x
19)
2
tan 5
3
yx
20)
cos2yx
21)
sin 3yx
22)
1
siny
x
23)
2
cos 4yx
24)
1 cos
sin
x
y
x
LNG GIC 11 GIO VIấN: Lấ VN TUYN
4
25)
2 cos3yx
26)
cot
3
yx
27)
tan 2
6
yx
28)
32
sin
21
x
y
x
29)
2
tan 3
5
yx
30)
1
cot 2
3
yx
31)
22
3
sin cos
y
xx
32)
11
sin cos
y
xx
33)
2
cos cos3
y
xx
34)
1 sin
1 cos
x
y
x
35)
sin2 1yx
36)
tan .cos
2
yx
37)
2 cos
1 sin
x
y
x
38)
2
1 cot
3
tan 3
4
x
y
x
39)
1 tan4
2sin 2
x
y
x
40)
1 cos
cot
6 1 cos
x
yx
x
41)
2
1
2 sin
tan 1
yx
x
42)
2
1 tan 2
3
cot 1
x
y
x
2.Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số
y f x
:
Định nghĩa: Cho hàm số
y f x
có TXD là: D
* Hàm số
fx
chẵn
x D x D
fx
(D là tập đối xứng)
f -x
* Hàm số
fx
lẻ
x D x D
fx
(D là tập đối xứng)
f -x
* Ph-ơng pháp giải:
B-ớc 1: Tìm TXĐ D của hàm số
Nếu D không là tập đối xứng thì ta kết luận ngay hàm số
y f x
không chẵn, không
lẻ.
Nếu D là tập đối xứng ta thực hiện tiếp b-ớc 2:
B-ớc 2: Với mọi
xD
, nếu
Nếu
f x f x
thì hàm số
y f x
là hàm chẵn.
Nếu
f x f x
thì hàm số
y f x
là hàm lẻ.
Nếu
f x f x
thì hàm số
y f x
là hàm không chẵn, không lẻ.
L-u ý tính chất:
*
xxRx sin)sin(;
*
xxRx cos)cos(;
*
xxkkRx tan)tan(;,
2
\
*
xxkkRx cot)cot(;,\
Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của hàm số:
sin3yx
Lời giải:
TXĐ:
RD
là tập đối xứng
RxRx
Ta có:
sin3 sin 3 sin3f x x x x f x
Vậy hàm số là hàm số lẻ.
LNG GIC 11 GIO VIấN: Lấ VN TUYN
5
Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
1)
sin2yx
2)
cos3yx
3)
tan2yx
4)
siny x x
5)
1 cosyx
6)
siny x x
7) y = cos5x; 8) y = tanx + 2sinx; 9)
sin3x
y
x
;
10) y = sinx + cosx. 11)
tan
sin
x
y
x
12)
sin2yx
13)
cos2y x x
14)
cos coty x x
15)
sin3yx
16)
siny x x
17)
siny x x
18)
tan2yx
19)
tan2 sin3y x x
20)
sin2 cosy x x
21)
3
1 cos .sin( 2 )
2
y x x
22)
22
cos .sin tany x x x
23)
cos( ) cos( )
44
y x x
24)
11
sin sin
22
y x x
25) y = tanx + cotx 26) y = xsinx 27) y = sin|x|
28) y = |sinx| 29) y = x 2sinx 30)
2
cos2x
y
x
31)
2
tan 1yx
32)
cos2 sin
4
y x x
33)
3
2cos 2
3
yx
34)
2
cos2
cot
tan
x
yx
x
35)
3
cos tany x x
36)
3
1 sinyx
3. Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
Ph-ơng pháp: Dựa vào TGT của các hàm số l-ợng giác
Chú ý: * Hàm số
sin , cosy x y x
có TGT là:
1;1
* Hàm số
tan , coty x y x
có TGT là:
R
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
3 1 cosyx
Lời giải:
Ta có
1 cos 1 0 1 cos 2 0 1 cos 2 0 1 cos 2x x x x
3 3 1 cos 3 2x
Vậy
3Maxy
đạt đ-ợc
cos 1 2 ,x x k k
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1)
3 2 sinyx
2)
cos cos
3
y x x
3)
2
cos 2cos2y x x
4)
2cos 1yx
5)
2 sinyx
a) y = 2sinx + 1 6) y = 1 3cos2x
7)
2
sin 7
3
yx
8)
sin 5 8
2
yx
9)
3 sin 2yx
10) y = 5 2|cosx| 11)
2
2
4
sin 3
y
x
12)
cos cos
3
y x x
13) y = sin2xcos2x 14)
2
3
sin cos2 5
2
y x x
15)
2
cos 2cos2y x x
16)
22
5 2sin cosy x x
17)
1 sin2 2yx
18)
3sin 1
6
yx
