Ôn thi ĐH-Các công thức lượng giác

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Định nghĩa

Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến
Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:
với
Đẳng thức Pytago
Các đẳng thức sau dựa vào định lý Pytago
Đẳng thức thứ 2 và 3 có thể suy ra từ đẳng thức đầu bởi chia nó cho cos²(x) và sin²(x).
Tổng và hiệu của góc
định lí Ptolemaios
Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng công thức Euler.
với
và
Công thức góc bội
Bội hai
Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.
Công thức gíc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2)
cũng vậy.
Tổng quát
Nếu Tn là đa thức Chebyshev bậc n thì
công thức de Moivre :
Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:
Hay theo công thức hồi quy:
sin(nx) = 2sin((n − 1)x)cos(x) − sin((n − 2)x) cos(nx) = 2cos((n − 1)x)cos(x) − cos((n − 2)x)
Bội ba
Ví dụ của trường hợp n = 3:
sin(3x) = 3sin(x) − 4sin3(x) cos(3x) = 4cos3(x) − 3cos(x)
Công thức hạ bậc

Giải các phương trình ở công thức bội cho cos2(x) và sin2(x), thu được:
Công thức góc chia đôi
Thay x/2 cho x trong công thức trên, rồi giải phương trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu được:
Dẫn đến:
Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:
Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:
Suy ra:
Nếu
thì:
and and
Phương pháp dùng t thay thế như trên hữu ích trong giải tích để chuyển các tỷ lệ thức chứa sin(x) và
cos(x) thành hàm của t. Cách này giúp tính đạo hàm của biểu thức dễ dạng.
Biến tích thành tổng
Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy ra.
Biển tổng thành tích
Thay x bằng (x + y) / 2 và y bằng (x – y) / 2 trong công thức trên, suy ra:
Hàm lượng giác nghịch đảo
Dạng số phức
với
Tích vô hạn
Trong các ứng dụng với hàm đặc biệt , các tích vô hạn sau có ích:
Đẳng thức số
Cơ bản
Richard Feynman từ nhỏ đã nhớ đẳng thức sau:
Tuy nhiên nó là trường hợp riêng của:
Đẳng thức số sau chưa được tổng quát hóa với biến số:
.
Đẳng thức sau cho thấy đặc điểm của số 21:
Một cách tính pi có thể sựa vào đẳng thức số sau, do John Machin tìm thấy: