Một số bài bài tập về hình học tọa độ không gian

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 1
TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng
(P): x y z–3 2 –50+ = . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông
góc với mặt phẳng (P).
·
(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P)
Þ
(Q) có VTPT
P
n n AB, (0; 8 ; 12) 0
é ù
= = - - ¹
ë û
u u ur r
r r
Þ
Q y z( ) : 2 3 11 0+ - = .
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), 2 3 3 0P x y z( ):+ + + = . ĐS: Q x y z( ) : 2 2 0- + - =


Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
A B
(2;1;3), ( 1 ; 2 ; 1 )- và song song với đường thẳng
x t
d y t

z t
1
: 2
3 2
ì
= - +
ï
=
í
ï
= - -
î
.
·
Ta có BA ( 1 ; 3 ; 2 )=
uu r
, d có VTCP u ( 1 ; 2 ; 2)= -
r
.
Gọi n
r
là VTPT của (P)
Þ

n BA
n u
ì
^
í
^

î
uu r
r
r r

Þ
chọn n BA u,
é
( 10; 4; 1 )
ù
= = - -
ë û
uu r
r r
Þ
Phương trình của (P): x y z10 4 19 0- + - = .
Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d
1
( ) và d
2
( ) có phương trình:
x y z
d
1
1 1 2
( );
2 3 1
- + -
= = ,
x y z

d
2
4 1 3
( ):
6 9 3
- - -
= = . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa
(d
1
) và d
2
( ) .
·
Chứng tỏ (d
1
) // (d
2
). (P): x + y – 5z +10 = 0
Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
x y z x y z
2 2 2
2 6 4 2 0+ + - + - - = . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của
véc tơ v (1;6;2)=
r
, vuông góc với mặt phẳng x y z( ) : 4 11 0
a
+ + - = và tiếp xúc với (S).
·
(S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của ( )
a

là n ( 1 ; 4 ; 1 )=
r
.
Þ
VTPT của (P) là:
[ ]
P
n n v, (2; 1 ; 2 )= = -
r
r r

Þ
PT của (P) có dạng: x y z m2 2 0- + + = .
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d I P( ,()) 4=
m
m
21
3
é
=-
Û
ê
=
ë
.
Vậy: (P): x y z2 2 3 0- + + = hoặc (P): x y z2 2 21 0- + - = .
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng
x y z
d
1

1
( ):
1 2 3
+
= =
- -
và
x y z
d
2
1 4
( ):
1 2 5
- -
= = . Chứng minh rằng điểm M d d
1 2
, , cùng
nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.
·
d
1
qua M
1
(0; 1 ; 0 )- và có u
1
( 1 ; 2 ; 3 )= - -
r
, d
2
qua M

2
(0;1;4) và có u
2
(1;2;5)=
r
.
u u
1 2
; ( 4 ; 8 ; 4 ) 0
é ù
= - - ¹
ë û
r
r r
, M M
1 2
(0; 2; 4)=
uuuuuu r
Þ
u u M M
1 2 1 2
; . 0
é ù
=
ë û
uuuuuu r
r r
Þ
d d
1 2

, đồng phẳng.
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d d
1 2
,
Þ
(P) có VTPT n ( 1 ; 2 ; 1 )= -
r
và đi qua M
1
nên có
phương trình x y z2 2 0+ - + = . Kiểm tra thấy điểm M P(1; – 1; 1) ( )Î .


PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 2
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x y z3 3
2 2 1
- -
= = và mặt cầu
(S): x y z x y z
2 2 2
2 2 4 2 0+ + - - - + = . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và
trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).
·
(S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u (2; 2;1)=
r
.

(P) // d, Ox
Þ
(P) có VTPT
[ ]
n u i, (0;1; 2)= = -
r
r r
Þ
PT của (P) có dạng:
y
z D2 0- + = .
( P ) t i ếp xúc với (S)
Û
d I P R( ,()) =
Û

D
2 2
1 4
2
1 2
- +
=
+
Û
D 3 2 5- =
Û

D
D

3 2 5
3 2 5
é
= +
ê
= -
ë
Þ
(P): y z2 3 2 5 0- + + = hoặc (P): y z2 3 2 5 0- + - = .
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x y
2 2 2
2 4 4 0+ + + - - = và
mặt phẳng (P): x z 3 0+ - = . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M( 3; 1; 1 )-
vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
·
(S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT
P
n ( 1 ; 0 ; 1 )=
r
.
PT (Q) đi qua M có dạng: A x B y C z A B C
2 2 2
( 3 ) ( 1 ) ( 1 ) 0 , 0- + - + + = + + ¹
(Q) tiếp xúc với (S)
Û
d I Q R A B C A B C
2 2 2
( ,()) 4 3= Û - + + = + + ( * )
Q P
Q P n n A C C A( ) ( ) . 0 0^ Û = Û + = Û =-

r r
( * * )
Từ (*), (**)
Þ
B A A B B A AB
2 2 2 2
5 3 2 8 7 10 0- = + Û - + =
Û

A
B A B2 7 4= Ú =-
·
Với
A B
2= . Chọn B = 1, A = 2, C = –2
Þ
PT (Q): x y z2 2 9 0+ - - =
·
Với
A B
7 4= Chọn B = –7, A = 4, C = –4
Þ
PT (Q): x y z4 7 4 9 0- - - =
Câu hỏi tương tự:
a) Với S x y z x y z
2 2 2
( ) : 2 4 4 5 0+ + - + - + = , P x y z M( ) : 2 6 5 0 , (1; 1; 2)+ - + = .
ĐS: Q x y z( ) : 2 2 6 0+ + - = hoặc Q x y z( ) :11 10 2 5 0- + - = .
Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x y z
2 2 2

–24 2 –30+ + + + = .
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có
bán kính r 3= .
·
(S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox
Þ
(P): ay + bz = 0.
Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I.
Suy ra: –2a – b = 0 Û b = –2a (a ¹ 0)
Þ
(P): y – 2z = 0.
Câu 9. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x y z
2 2 2
2 2 2 –1 0+ + + - + =
và đường thẳng
x y
d
x z
2 0
:
2 6 0
ì
- - =
í
- - =
î
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu
(S) theo một đường tròn có bán kính r 1= .
·
(S) có tâm I( 1; 1; 1 )- - , bán kính R = 2.

PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d a b c
2 2 2
0 ( 0)+ + + = + + ¹ .
Chọn M N d(2; 0; 2), ( 3; 1 ; 0 )- Î .


Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 3
Ta có:
M P
N P
d I P R r
2 2
( )
( )
( ,())
ì
Î
ï
Î
í
ï
= -
î
Û

a
b c a b d a b
a b c a b d a b
,2 ( ), 3 ( 1 )

17 7 ,2 ( ), 3 (2)
é
= = - + = - -
ê
= - = - + = - -
ë
+ Với (1)
Þ
(P): x y z 4 0+ - - = + Với (2)
Þ
(P): x y z7 17 5 4 0- + - =
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
x y z
1
1
:
2 1 1
D
-
= =
-
,
x y z
2
:
1 1 1
1
D
-
= =

- -
và mặt cầu (S): x y z x y z
2 2 2
–22 4 –30+ + + + = . Viết phương trình
tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng D
1
và D
1
.
·
(P): y z 3 3 2 0+ + + = hoặc (P): y z 3 3 2 0+ + - =
Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
x y z x y z
2 2 2
2 4 6 11 0+ + - + - - = và mặt phẳng (
a
) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (
b
) song song với (
a
) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn
có chu vi bằng
p
6
p
= .
·
Do (
b

) // (
a
) nên (
b
) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D ¹ 17)
(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6
p
nên có bán kính r = 3.
Khoảng cách từ I tới (
b
) là h = R r
2 2 2 2
5 3 4- = - =
Do đó
D
D
D
D (loaïi)
2 2 2
2.1 2 ( 2) 3
7
4 5 12
17
2 2 ( 1 )
+ - - +
é
=-
= Û - + = Û
ê
=

ë
+ + -
Vậy (
b
) có phương trình x y z2 2 – – 7 0+ = .
Câu hỏi tương tự:
a)
y z x y zS x
2 2
2 4 6 11 0
2
( ):+ + + + - - =
, x y z( ):2 2 19 0+ - + =
a
,
p
8
p
= .
ĐS: x y z( ) : 2 2 1 0+ - + =
b


PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 4
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách
Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông
góc với mặt phẳng (Q): x y z 0+ + = và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2 .
·
PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng:

A
x By Cz 0+ + = ( v ới A B C
2 2 2
0+ + ¹ ) .
·
Vì (P)
^
(Q) nên:
A
B C1. 1. 1. 0+ + =
Û
C A B= - - ( 1 )
·
d M P( ,()) 2=
Û

A
B C
A B C
2 2 2
2
2
+ -
=
+ +
Û

A
B C A B C
2 2 2 2

( 2 ) 2 ( )+ - = + + ( 2 )
Từ (1) và (2) ta được: AB B
2
8 5 0+ =
Û

B
A B
0 ( 3 )
8 5 0 (4)
é
=
ê
+ =
ë
·
Từ (3): B = 0
Þ
C = –A. Chọn A = 1, C = –1
Þ
(P): x z 0- =
·
Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8
Þ
C = 3
Þ
(P): x y z5 8 3 0- + = .
Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D :
x y z1 3
1 1 4

- -
= = và
điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường
thẳng D, đồng thời khoảng cách d g i ữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng 4.
·
Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: ax by cz b2 0+ + + = (a b c
2 2 2
0+ + ¹ )
D
đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP u ( 1 ; 1 ; 4 )=
r
Ta có:
a b c
P
a b
d A P d
a b c
2 2 2
4 0
( )
5
4
( ;())
ì
+ + =
ï
ì
D
+
Û

í í
=
=
î
ï
+ +
î
P
Û

a
c
a c
4
2
ì
=
í
=-
î
.
·
Với a c4= . Chọn a c b4, 1 8= = Þ =-
Þ
Phương trình (P): x y z4 8 16 0- + - = .
·
Với a c2= Chọn a c b2 , 1 2= = - Þ =
Þ
Phương trình (P): x y z2 2 4 0+ - + = .
Câu hỏi tương tự:

a) Với
x y z
M d
1
: ; (0;3; 2), 3
1 1 4
D
-
= = - = .
ĐS: P x y z( ) : 2 2 8 0+ - - = hoặc P x y z( ) : 4 8 26 0- + + = .
Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
x t
d y t
z
( ) : 1 2
1
ì
=
ï
= - +
í
ï
=
î
và điểm
A
( 1 ; 2 ; 3 )- . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3.
·
(d) đi qua điểm M(0; 1 ; 1 )- và có VTCT u ( 1 ; 2 ; 0 )=

r
. Gọi n a b c( ; ; )=
r
với a b c
2 2 2
0+ + ¹
là VTPT của (P) .
PT mặt phẳng (P): a x b y c z ax by cz b c( 0) ( 1 ) ( 1 ) 0 0- + + + - = Û + + + - = (1).
Do (P) chứa (d) nên: u n a b a b. 0 2 0 2= Û + = Û =-
r r
( 2 )
( )
a b c b c
d A P b c b c
a b c b c
2 2
2 2 2 2 2
3 2 5 2
,() 3 3 3 5 2 3 5
5
- + + +
= Û= Û = Û + = +
+ + +

( )
b bc c b c c b
2
2 2
4 4 0 2 0 2Û - + = Û - = Û = ( 3 )
Từ (2) và (3), chọn b 1=-

Þ
a c2, 2= =-
Þ
PT mặt phẳng (P): x y z2 2 1 0- - + = .


Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 5
Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M N I( 1; 1; 0 ), (0;0; 2), (1; 1; 1)- - . Viết
phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3 .
·
PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d a b c
2 2 2
0 ( 0)+ + + = + + ¹ .
Ta có:
M P
N P
d I P
( )
( )
( ,()) 3
ì
Î
ï
Î
í
ï
=
î
Û

a
b c a b d a b
a b c a b d a b
,2 , ( 1 )
5 7 ,2 , (2)
é
= - = - = -
ê
= = - = -
ë
.
+ Với (1)
Þ
PT mặt phẳng (P): x y z 2 0- + + =
+ Với (2)
Þ
PT mặt phẳng (P): x y z7 5 2 0+ + + = .
Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với
A
( 1 ; 1 ; 2 )- , B( 1 ; 3 ; 0 ) ,
C( 3 ; 4 ; 1 )- , D( 1 ; 2 ; 1 ) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C
đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
·
PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d a b c
2 2 2
0 ( 0)+ + + = + + ¹ .
Ta có:
A P
B P

d C P d D P
( )
( )
( ,()) ( ,())
ì
Î
ï
Î
í
ï
=
î
Û

a b c d
a b d
b c d a b c d
a b c a b c
2 2 2 2 2 2
2 0
3 0
3 a 42
ì
- + + =
ï
+ + =
ï
í
- + + + + + +
=

ï
ï
+ + + +
î

Û

b
a c a d a
c a b a d a
2 , 4 , 7
2 , , 4
é
= = =-
ê
= = =-
ë
+ Với b a c a d a2 , 4 , 7= = =-
Þ
(P): x y z2 4 7 0+ + - = .
+ Với c a b a d a2 , , 4= = =-
Þ
(P): x y z2 4 0+ + - = .
Câu hỏi tương tự:
a) Với
A
B C D( 1 ; 2 ; 1 ) , ( 2 ; 1 ; 3 ) , (2; 1 ; 1 ) , (0;3;1)- - .
ĐS: P x y z( ) : 4 2 7 15 0+ + - = hoặc P x z( ) : 2 3 5 0+ - = .
Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm
A

( 1 ; 2 ; 3 ) , B(0; 1 ; 2 )- ,
C(1; 1; 1) . Viết phương trình mặt phẳng P( ) đi qua
A
và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách
từ B đến P( ) bằng khoảng cách từ C đến P( ) .
·
Vì O
Î
(P) nên P ax by cz( ) : 0+ + = , với a b c
2 2 2
0+ + ¹ .
Do A
Î
(P)
Þ
a b c2 3 0+ + = (1) và d B P d C P b c a b c( ,()) ( ,()) 2= Û - + = + + ( 2 )
Từ (1) và (2)
Þ
b 0= hoặc c 0= .
·
Với b 0= thì a c3=-
Þ
P x z( ) : 3 0- =
·
Với c 0= thì a b2=-
Þ
P x y( ) : 2 0- =
Câu hỏi tương tự:
a) Với
A

B C( 1 ; 2 ; 0 ) , (0; 4; 0), (0; 0; 3) . ĐS: x y z6 3 4 0- + + = hoặc x y z6 3 4 0- + = .
Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm
A
(1; 1; 1 )- , B(1; 1; 2) ,
C( 1 ; 2 ; 2)- - và mặt phẳng (P): x y z2 2 1 0- + + = . Viết phương trình mặt phẳng ( )
a
đi qua
A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB IC2= .
·
PT ( )
a
có dạng: ax by cz d 0+ + + = , với a b c
2 2 2
0+ + ¹
Do
A
(1; 1; 1 ) ( )
a
- Î nên: a b c d 0+ - + = ( 1 ) ; P( ) ( )
a
^ nên a b c2 2 0- + = (2)
IB IC2= Þ d B d C( ,()) 2 ( ;())
a a
=
Þ

a
b c d a b c d
a b c a b c
2 2 2 2 2 2

2 2 2
2
+ + + - + - +
=
+ + + +


PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 6

a b c d
a b c d
3 3 6 0
( 3 )
5 2 3 0
é
- + - =
Û
ê
- + - + =
ë
Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau :
TH1 :
a b c d
a b c b a c a d a
a b c d
0
1 3
2 2 0 ; ;
2 2

3 3 6 0
ì
+ - + =
- -
ï
- + = Û = = - =
í
ï
- + - =
î
.
Chọn a b c d2 1 ; 2 ; 3= Þ = - = - =-
Þ
( )
a
: x y z2 2 3 0- - - =
TH2 :
a b c d
a b c b a c a d a
a b c d
0
3 3
2 2 0 ; ;
2 2
5 2 3 0
ì
+ - + =
-
ï
- + = Û = = =

í
ï
- + - + =
î
.
Chọn a b c d2 3 ; 2 ; 3= Þ = = =-
Þ
( )
a
: x y z2 3 2 3 0+ + - =
Vậy: ( )
a
: x y z2 2 3 0- - - = hoặc ( )
a
: x y z2 3 2 3 0+ + - =
Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d
1 2
, lần lượt có phương
trình
x y z
d
1
2 2 3
:
2 1 3
- - -
= = ,
x y z
d
2

1 2 1
:
2 1 4
- - -
= =
-
. Viết phương trình mặt phẳng cách
đều hai đường thẳng d d
1 2
, .
·
Ta có d
1
đi qua A(2;2;3) , có
d
u
1
(2;1;3)=
r
, d
2
đi qua B( 1 ; 2 ; 1 ) và có
d
u
2
(2; 1 ; 4 )= -
r
.
Do (P) cách đều d d
1 2

, nên (P) song song với d d
1 2
,
Þ

P
d d
n u u
1 2
, (7; 2 ; 4)
é ù
= = - -
ë û
r
r r
Þ
PT mặt phẳng (P) có dạng: x y z d7 2 4 0- - + =
Do (P) cách đều d d
1 2
, suy ra d A P d B P( ,()) ( ,())=
Û

d d7.2 2.2 4.3 7.1 2.2 4.1
69 69
- - + - - +
= d d d
3
2 1
2
Û - = - Û =

Þ
Phương trình mặt phẳng (P): x y z14 4 8 3 0- - + =
Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d
1 2
, lần lượt có phương
trình
x t
d y t
z
1
1
: 2
1
ì
= +
ï
= -
í
ï
=
î
,
x y z
d
2
2 1 1
:
1 2 2
- - +
= =

-
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song
với d
1
và d
2
, sao cho khoảng cách từ d
1
đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d
2
đến (P).
·
Ta có : d
1
đi qua
A
( 1 ; 2 ; 1 ) và có VTCP u
1
( 1 ; 1 ; 0 )= -
r
d
2
đi qua B(2;1; 1 )- và có VTCP là u
2
( 1 ; 2 ; 2 )= -
r
Gọi n
r
là VTPT của (P), vì (P) song song với d
1

và d
2
nên n u u
1 2
, ( 2 ; 2 ; 1 )
é ù
= = - - -
ë û
r
r r
Þ
Phương trìnht (P): x y z m2 2 0+ + + = .
m
d d P d A P
1
7
( ,()) ( ;())
3
+
= = ;
m
d d P d B P
2
5
( ,()) ( ,())
3
+
= =
d d P d d P
1 2

( ,()) 2 ( ,())= m m7 2. 5Û + = +
m m
m m
7 2( 5 )
7 2(5 )
é
+ = +
Û
ê
+ = - +
ë
m m
17
3 ;
3
Û = - =-
+ Với m 3=-Þ P x y z( ) : 2 2 –30+ + = + Với m
17
3
=-Þ P x y z
17
( ) : 2 2 0
3
+ + - =


Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 7
Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
A

(0; 1 ; 2 )- , B( 1 ; 0 ; 3 ) và tiếp xúc với mặt cầu (S): x y z
2 2 2
( 1 ) ( 2) ( 1 ) 2- + - + + = .
·
(S) có tâm I( 1 ; 2 ; 1 )- , bán kính R 2= .
PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d a b c
2 2 2
0 ( 0)+ + + = + + ¹
Ta có:
A P
B P
d I P R
( )
( )
( ,())
ì
Î
ï
Î
í
ï
=
î
Û

a
b c a b d a b
a b c a b d a b
, , 2 3 ( 1 )
3 8 , , 2 3 (2)

é
= - = - - = +
ê
= - = - - = +
ë
+ Với (1)
Þ
Phương trình của (P): x y 1 0- - =
+ Với (2)
Þ
Phương trình của (P): x y z8 3 5 7 0- - + =
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
A
(2; 1 ; 1 )- . Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
·
Ta có d O P OA( ,()) £ . Do đó d O P OA
max
( ,()) = xảy ra OA P( )Û ^ nên mặt phẳng (P)
cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có OA (2; 1 ; 1 )= -
uu u r
Vậy phương trình mặt phẳng (P): x y z2 6 0- + - =
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có
phương trình:
x y z1 1
2 1 3
- -
= = . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d
và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
·

Gọi H là hình chiếu của A trên d
Þ
d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của
H lên (P), ta có
A
H H I³
Þ
HI lớn nhất khi
A I
º . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A
và nhận AH
u u u r
làm VTPT
Þ
(P): x y z7 5 77 0+ - - = .
Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số
{
x t y t z t2 ; 2 ; 2 2= - + = - = + . Gọi D là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d)
và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa
D và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất.
·
Gọi (P) là mặt phẳng chứa
D
, thì P d( ) ( )
P
hoặc P d( ) ( )É . Gọi H là hình chiếu vuông
góc của I trên (P). Ta luôn có IH IA£ và IH AH^ .
Mặt khác
d d P d I P IH
H P

( ,()) ( ,())
( )
ì
= =
í
Î
î
Trong (P), IH IA£ ; do đó maxIH = IA H AÛ º . Lúc này (P) ở vị trí (P
0
)
^
IA tại A.
Vectơ pháp tuyến của (P
0
) là
(
)
n IA 6; 0; 3= = -
r u ur
, cùng phương với
(
)
v 2; 0; 1= -
r
.
Phương trình của mặt phẳng (P
0
) là: x z x z2 ( 4) 1.( 1 ) 2 9 0- - + = - - = .
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x y z

d
1 2
:
2 1 2
- -
= = và điểm
A
(2; 5; 3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn
nhất.
·
PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d a b c
2 2 2
0 ( 0)+ + + = + + ¹ .
(P) có VTPT n a b c( ; ; )=
r
, d đi qua điểm M( 1 ; 0 ; 2 ) và có VTCP u (2;1; 2)=
r
.


PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 8
Vì (P)
É
d nên
M P
nu.
( )
ì
0

Î
í
=
î
r r

Þ

a
c d
a b c
2 0
2 2 0
ì
+ + =
í
+ + =
î
Þ

c
a b
d a b
2 (2 )
ì
= - +
í
= +
î
. Xét 2 trường hợp:

TH1: Nếu b = 0 thì (P): x z 1 0- + = . Khi đó: d A P( ,()) 0= .
TH2: Nếu b
¹
0. Chọn b 1= ta được (P): ax y a z a2 2 (2 1 ) 2 2 0+ - + + + = .
Khi đó:
d A P
a a
a
2 2
9 9
( ,()) 3 2
8 4 5
1 3
2 2
2 2
= = £
+ +
æ ö
+ +
ç ÷
è ø
Vậy d A Pmax ( ,()) 3 2=
Û
a a
1 1
2
2 4
0+ = Û = Khi đó: (P): x y z4 3 0- + - = .
Câu hỏi tương tự:
a)

x y z
d A
1 1 2
: , (5;1; 6)
2 1 5
- + -
= = . ĐS: P x y z( ) : 2 1 0+ - + =
b)
x y z
d A
1 2
: , ( 1 ; 4 ; 2 )
1 1 2
- +
= =
-
. ĐS: P x y z( ) : 5 13 4 21 0+ - + =
Câu 26. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; 1 ; 2 )- và N( 1 ; 1 ; 3 )- . Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K(0; 0; 2) đến mặt phẳng (P)
là lớn nhất.
·
PT (P) có dạng:
A
x B y C z Ax By Cz B C( 1 ) ( 2) 0 2 0+ + + - = Û + + + - =
A B C
2 2 2
( 0)+ + ¹
N P A B C B C A B C( 1 ; 1 ; 3 ) ( ) 3 2 0 2- Î Û - + + + - = Û = +
P B C x By Cz B C( ) : (2 ) 2 0Þ + + + + - = ; d K P
B

C BC
B
( ,())
2 2
4 2 4
=
+ +
·
Nếu B = 0 thì d(K, (P)) = 0 (loại)
·
Nếu B 0¹ thì
B
d K P
B C BC
C
B
2 2 2
1 1
( ,())
2
4 2 4
2 1 2
= = £
+ +
æ ö
+ +
ç ÷
è ø
Dấu “=” xảy ra khi B = –C. Chọn C = 1. Khi đó PT (P): x y z– 3 0+ + = .

Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 9
Dng 4: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n gúc
Cõu 27. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (a ) cha ng thng ():
x y z1
1 1 2
-
= =
- -
v to vi mt phng (P) : x y z2 2 1 0- - + = mt gúc 60
0
. Tỡm ta giao
im M ca mt phng (a) vi trc Oz.
ã
() qua im
A
( 1 ; 0 ; 0 ) v cú VTCP u ( 1 ; 1 ; 2)= - -
r
. (P) cú VTPT n
Â
= - -(2; 2 ; 1 )
r
.
Giao im M m(0; 0; ) cho
A
M m( 1 ; 0 ; )= -
uuuu r
. (
a

) cú VTPT n AM u m m, ( ; 2 ; 1 )
ộ ự
= = -
ở ỷ
u u u r u r
r
(
a
) v (P): x y z2 2 1 0- - + = to thnh gúc 60
0
nờn :

( )
n n m m
m m
2
2
1 1 1
cos , 2 4 1 0
2 2
2 4 5
Â
= = - + =
- +
r r

m 2 2= - hay m 2 2= +
Kt lun : M(0;0;2 2)- hay M(0;0;2 2)+
Cõu 28. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng ( P ) i qua giao
tuyn d ca hai mt phng x y( ) : 2 1 0=

a
, x z( ) : 2 0
b
= v to vi mt phng
Q x y z( ) : 22 1 0+ = mt gúc
j
m
2 2
cos
9
j
=
ã
Ly
A
B d( 0; 1; 0 ) , (1; 3; 2 ) ẻ . (P) qua A
ị
PT (P) cú dng:
A
x By Cz B 0+ + = .
(P) qua B nờn:
A
B C B3 2 0+ + =
ị

A
B C(2 2 )= - +
ị
P B C x By Cz B( ) : (2 2 ) 0- + + + =

B C B C
B C B C
2 2 2
2 2 2 2
2 2
cos
9
3 (2 2 )
j
- - - +
= =
+ + +

B BC C
2 2
13 8 5 0+ = .
Chn C B B
5
1 1 ;
13
= ị = = .
+ Vi B C 1= =
ị
P x y z( ) : 4 1 0- + + =
+ Vi B C
5
, 1
13
= =
ị

P x y z( ) : 23 5 13 50- + + = .
Cõu 29. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im
A B
( 1 ; 2 ; 3 ) , (2; 1 ; 6)- - - - v mt
phng P x y z( ) : 2 3 0+ + - = . Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha AB v to vi mt
phng (P) mt gúc a tho món
3
cos
6
a
= .
ã
PT mt phng (Q) cú dng: ax by cz d a b c
2 2 2
0 ( 0)+ + + = + + ạ .
Ta cú:
A Q
B Q
( )
( )
3
cos
6
a
ỡ
ẻ
ù
ẻ
ù
ớ

ù
=
ù
ợ


a b c d
b c d
a b c
a b c
2 2 2
2 3 0
2a 6 0
2 3
6
1 4 1
ỡ
- + - + =
ù
- - + =
ù
ớ
+ +
ù
=
ù
+ + + +
ợ

a
b c b d b
a b c d b
4 , 3 , 15
, 0,
ộ
= - = - =-
ờ
= - = =-
ở
ị
Phng trỡnh mp(Q): x y z4 3 15 0- + + = hoc (Q): x y 3 0- - = .
Cõu hi tng t:
a)
A B
(0; 0;1), (1; 1; 0 ) , P Oxy
1
( ) ( ), cos
6
a
= .
S: (Q): x y z2 1 0- + - = hoc (Q): x y z2 1 0- - + = .


PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 10
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x y z
d
x y z

3 0
:
2 4 0
ì
+ + - =
í
+ + - =
î
. Viết
phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc
0
60
a
= .
·
ĐS: P x y z( ) : 2 2 2 0+ + - - = hoặc P x y z( ) : 2 2 2 0- - - + =
Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P x y z( ) : 5 2 5 1 0- + - = và
Q x y z( ) : 4 8 12 0- - + = . Lập phương trình mặt phẳng
R
( ) đi qua điểm M trùng với gốc tọa
độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc
0
45=
a
.
·
Giả sử PT mặt phẳng (R): ax by cz d a b c
2 2 2
0 ( 0)+ + + = + + ¹ .
Ta có:

R
P a b c( ) ( ) 5 2 5 0^ Û - + = (1);
·
a b c
R Q
a b c
0
2 2 2
4 8 2
cos(( ),( ) ) cos 45
2
9
- -
= Û =
+ +
( 2 )
Từ (1) và (2)
Þ

a c
a ac c
c a
2 2
7 6 0
7
é
=-
+ - = Û
ê
=

ë

·
Với a c=-: chọn a b c1 , 0, 1= = =-
Þ
PT mặt phẳng
R
x z( ) : 0- =
·
Với c a7= : chọn a b c1 , 20, 7= = =
Þ
PT mặt phẳng
R
x y z( ) : 20 7 0+ + =
Câu hỏi tương tự:
a) Với P x y z Q Oyz M
0
( ) : 2 0, ( ) ( ), (2; 3;1), 45- - = º - =
a
.
ĐS:
R
x y( ) : 1 0+ + = hoặc
R
x y z( ) : 5 3 4 23 0- + - =
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:
x y z
1
1 1 1
:

1 1 3
D
- + -
= =
-
và
x y z
2
:
1 2 1
D
= =
-
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
1
D
và
tạo với
2
D
một góc
0
30=
a
.
·
Đáp số: (P): x y z5 11 2 4 0+ + + = hoặc (P): x y z2 2 0- - - = .
Câu hỏi tương tự:
a) Với
x y z

1
2
:
1 1 1
D
-
= =
-
,
x y z
2
2 3 5
:
2 1 1
D
- - +
= =
-
,
0
30=
a
.
ĐS: (P): x y z2 2 2 0- - + = hoặc (P): x y z2 4 0+ + - =
b)
x y z
1
1 1
:
2 1 1

D
- +
= =
-
,
x y z
2
2 1
:
1 1 1
D
- +
= =
-
,
0
30=
a
.
ĐS: (P): x y z( 1 8 114) 21 ( 1 5 2 114) ( 3 114) 0+ + + + - - =
hoặc (P): x y z( 1 8 114) 21 ( 1 5 2 114) ( 3 114) 0- + + - - + =
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M( 1 ; 2 ; 3 ) và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là
0 0
45 , 30 .
·
Gọi n a b c( ; ; )=
r
là VTPT của (P). Các VTCP của trục Ox, Oy là i j( 1 ; 0 ; 0 ) , (0;1;0)= =
r r

.
Ta có:
Ox P
Oy P
2
sin( ,())
2
1
sin( ,())
2
ì
=
ïïï
í
ï
=
ï
î
Û

a
b
c b
2
ì
=
í
=
î

Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 11
PT mt phng (P): x y z2( 1 ) ( 2) ( 3 ) 0- + - - = hoc x y z2( 1 ) ( 2) ( 3 ) 0- - + - - =
Cõu 34. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (Q): x y z2 5 0+ - + = v ng
thng
x y z
d
1 1 3
:
2 1 1
+ + -
= = . Vit phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng d v to
vi mt phng (Q) mt gúc nh nht.
ã
PT mt phng (P) cú dng: ax by cz d a b c
2 2 2
0 ( 0)+ + + = + + ạ . Gi
ã
P Q( ( ),( ) )=
a
.
Chn hai im M N d( 1 ; 1 ; 3 ) , ( 1 ; 0 ; 4 )- - ẻ . Ta cú:
M P c a b
N P d a b
( )
( ) 7 4
ỡ ỡ
ẻ = - -
ị

ớ ớ
ẻ = +
ợ ợ

ị
(P): ax by a b z a b( 2 ) 7 4 0+ + - - + + =
ị

a b
a ab b
2 2
3
cos .
6
5 4 2
a
+
=
+ +
TH1: Nu a = 0 thỡ
b
b
2
3 3
cos .
2
6
2
a
= =

ị

0
30=
a
.
TH2: Nu a
ạ
0 thỡ
b
a
b b
a a
2
1
3
cos .
6
5 4 2
a
+
=
ổ ử
+ +
ỗ ữ
ố ứ
. t
b
x
a

= v f x
2
( ) cos
a
=
Xột hm s
x x
f x
x x
2
2
9 2 1
( ) .
6
5 4 2
+ +
=
+ +
.
Da vo BBT, ta thy f x
0 0
min ( ) 0 cos 0 90 30
a
= = = >
a

Do ú ch cú trng hp 1 tho món, tc a = 0. Khi ú chn b c d1 , 1 , 4= = = .
Vy: (P):
y z
4 0- + = .

Cõu hi tng t:
a) Vi (Q): x y z2 2 30+ + = ,
x y z
d
1 2
:
1 2 1
- +
= =
-
. S: P x y z( ) : 2 5 30+ + + = .
b) Vi
x y z
Q Oxy d
1 2
( ) ( ), :
1 1 2
- +
= =
-
. S: P x y z( ) : 3 0- + - = .
c) Vi Q x y z( ) : 2 2 0- - - = ,
x t
d y t
z t
: 1 2
2
ỡ
=-
ù

= - +
ớ
ù
= +
ợ
. S: P x y z( ) : 3 0+ + - = .
Cõu 35. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im M N( 1 ; 1 ; 3 ) , (1;0;4)- - v mt phng
(Q): x y z2 5 0+ - + = . Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua M, N v to vi (Q) mt gúc
nh nht.
ã
S: P y z( ) : 4 0- + = .
Cõu hi tng t:
a) M N Q Oxy( 1 ; 2 ; 1 ) , ( 1 ; 1 ; 2 ) , ( ) ( )- - . S: P x y z( ) : 6 3 5 7 0+ + - = .
Cõu 36. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng
x t
d y t
z t
1
: 2
2
ỡ
= -
ù
= - +
ớ
ù
=
ợ
. Vit phng
trỡnh mt phng (P) cha ng thng d v to vi trc Oy mt gúc ln nht.

ã
PT mt phng (P) cú dng: ax by cz d a b c
2 2 2
0 ( 0)+ + + = + + ạ . Gi
ã
P Oy( ( ), )=
a
.


PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 12
Chọn hai điểm M N d( 1 ; 2 ; 0 ) , (0; 1 ; 2 )- - Î . Ta có:
M P c a b
N P d a b
( ) 2
( ) 2
ì ì
Î = -
Þ
í í
Î = - +
î î

Þ
(P):
a b
ax by z a b2 0
2
-

+ + - + =
Þ

b
a b ab
2 2
2
sin
5 5 2
a
=
+ -
.
TH1: Nếu b = 0 thì
0
0=
a
.
TH2: Nếu b
¹
0 thì
a a
b b
2
2
sin
5 5 2
a
=
æ ö

+ -
ç ÷
è ø
. Đặt
a
x
b
= và f x
2
( ) sin=
a
.
Xét hàm số
f x
x x
2
4
( )
5 2 5
=
- +
. Dựa vào BBT, ta được f x x
5 1
max ( )
6 5
= Û =
Þ

0
0>

a
.
Vậy
a
lớn nhất khi
a
b
1
5
= . Chọn a b c d1 , 5 , 2, 9= = = - =
Þ
(P): x y z5 2 9 0+ - + = .

Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
x y z
d
1
1 2
:
1 2 1
- +
= =
-
và
x y z
d
2
2 1
:
2 1 2

+ -
= =
-
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
sao cho góc giữa mặt phẳng
(P) và đường thẳng d
2
là lớn nhất.
·
d
1
đi qua M( 1 ; 2 ; 0 )- và có VTCP u ( 1 ; 2 ; 1 )= -
r
.Vì d P
1
( )Ì nên M P( )Î .
PT mặt phẳng (P) có dạng:
A
x B y Cz( 1 ) ( 2) 0- + + + = A B C
2 2 2
( 0)+ + ¹
Ta có: d P u n C A B( ) . 0 2Ì Û = Û = +
r r
.
Gọi
·
( P d
2
( ), )=

a

Þ

A B A B
A
AB B
A AB B
2
2 2
2 2
4 3 1 (4 3 )
sin .
3
2 4 5
3. 2 4 5
+ +
= =
+ +
+ +
a
TH1: Với B = 0 thì sin
2 2
3
=
a

TH2: Với B
¹
0. Đặt

A
t
B
= , ta được:
t
sin
t t
2
2
1 (4 3 )
.
3
2 4 5
+
=
+ +
a
Xét hàm số
t
f t
t t
2
2
(4 3 )
( )
2 4 5
+
=
+ +
. Dựa vào BBT ta có: f t

25
max ( )
7
= khi t 7=-
Û

A
B
7=-
Khi đó f
5 3
sin ( 7 )
9
= - =
a
.
So sánh TH1 và TH2
Þ

a
lớn nhất với
5 3
sin
9
=
a
khi
A
B
7=

Þ
Phương trình mặt phẳng (P) : x y z7 5 90 - + - = .
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x y z
d
1 2 1
:
1 1 1
+ - +
= =
-
và điể m
A
(2; 1 ; 0 )- . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng
(Oxy) một góc nhỏ nhất.
·
ĐS: P x y z( ) : 2 1 0+ + - = .


Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 13
Cõu 39. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (Q): x y z2 2 0- + + = v im
A
(1; 1; 1 )- . Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im A, vuụng gúc vi mt phng (Q) v
to vi trc Oy mt gúc ln nht.
ã
S: P y z( ) : 0+ = hoc P x y z( ) : 2 5 6 0+ + - = .
Dng 5: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n tam giỏc
Cõu 40. Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho im A(4; 5; 6). Vit phng trỡnh mt
phng (P) qua A, ct cỏc trc ta ln lt ti I, J, K m A l trc tõm ca tam giỏc IJK.

ã
Gi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) ị
x
y z
P
a b c
( ) : 1+ + =
IA a JA b
J
K b c IK a c
(4 ;5;6), (4;5 ;6)
(0; ; ), ( ;0;)
= - = -
= - = -
uu r u ur
u u r u u r

ị
a b c
b c
a c
4 5 6
1
5 6 0
4 6 0
ỡ
+ + =
ùùù
ớ
- + =

ù
- + =
ù
ợ
ị a b c
77 77 77
; ;
4 5 6
= = =
Vy phng trỡnh mt phng (P): x y z4 5 6 77 0+ + - = .
Cõu hi tng t:
a) Vi A(1; 1; 1). S: (P): x y z 3 0- - + =
Cõu 41. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1). Mt phng (P) thay i
qua AM ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0). Chng minh
rng:
bc
b c
2
+ = . T ú, tỡm b, c din tớch tam giỏc ABC nh nht.
ã
PT mp (P) cú dng:
x
y z
b c
1.
2
+ + = Vỡ M P( )ẻ nờn
b c
1 1 1
1

2
+ + =


bc
b c
2
+ = .
Ta cú
A
B b( 2 ; ;0)-
uu u r
,
A
C c( 2 ; 0 ; )
u u u r
Khi ú S b c b c
2 2 2
( )= + + + .
Vỡ b c bc b c bc
2 2 2
2 ; ( ) 4+ + nờn S bc6 .
M bc b c bc bc2 ( ) 4 16= + ị . Do ú S 96 . Du "=" xy ra

b c 4= = .
Vy: Smin 96= khi b c 4= = .
Cõu 42. Trong khụng gian to Oxyz, cho im
A
(2; 2; 4) v mt phng P( ):x y z 4 0+ + + = .
Vit phng trỡnh mt phng (Q) song song vi (P) v (Q) ct hai tia Ox, Oy ti 2 im B,

C sao cho tam giỏc ABC cú din tớch bng 6.
ã
Vỡ (Q) // (P) nờn (Q): x y z d d0 ( 4)+ + + = ạ . Gi s B Q Ox C Q Oy( ) , ( )= ầ = ầ
ị
B d C d d( ;0;0),(0; ;0)( 0)- - < .
ABC
S AB AC
1
, 6
2
ộ ự
= =
ở ỷ
u
u ur uuur

d 2=-
ị
Q x y z( ) : 2 0+ + - = .
Cõu 43. Trong khụng gian to Oxyz, cho cỏc im
A B
( 3; 0 ; 0 ) , ( 1 ; 2 ; 1 ) . Vit phng trỡnh mt
phng (P) qua A, B v ct trc Oz ti M sao cho tam giỏc ABC cú din tớch bng
9
2
.
ã
S: P x y( ) : 2 2z 3 0+ - - = .

PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 14
Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng
Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ
nhất.
·
Giá sử
A
a Ox B b Oy C c Oz( ;0;0) , (0; ;0) , (0;0; )Î Î Î a b c( , , 0)> .
Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng:
x y z
a b c
1+ + = .
Ta có: M P(9;1;1) ( )Î
Þ

a
b c
9 1 1
1+ + = (1);
OAB C
V abc
1
6
= ( 2 )
( 1 )
Û
abc bc ac ab9= + + ≥ abc
2

3
3 9 ( )
Û
abc abc abc
3 2
( ) 27.9( ) 243³ Û ³
Dấu "=" xảy ra
Û

a
bc ac ab
b
c
a b c
27
9
3
9 1 1
1
3
ì
=
ì
= =
ï
ï
Û =
í
í
+ + =

ï
ï
=
î
î
Þ
(P):
x
y z
1
27 3 3
+ + = .
Câu hỏi tương tự:
a) Với M( 1 ; 2 ; 4 ) . ĐS:
x y z
P( ) : 1
3 6 12
+ + =
Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M( 1 ; 2 ; 3 ) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức
OA OB OC
2 2 2
1 1 1
+ +
có giá trị
nhỏ nhất.
·
ĐS: P x y z( ) : 2 3 14 0+ + - = .
Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(2; 5;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OA OB OC+ + có giá trị nhỏ

nhất.
·
ĐS:
x y z
P( ) : 1
2 6 10 5 10 15 3 6 15
+ + =
+ + + + + +
.


Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 15
TKG 02: VIT PHNG TRèNH NG THNG
Dng 1: Vit phng trỡnh ng thng bng cỏch xỏc nh vect ch phng
Cõu 1. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng
x y z
d
1 1 2
:
2 1 3
+ - -
= = v mt
phng P : x y z 1 0- - - = . Vit phng trỡnh ng thng D i qua
A
(1; 1; 2)- , song song
vi mt phng P( ) v vuụng gúc vi ng thng d .
ã

d

P
u u n;
ộ
(2;5; 3 )
ự
= = -
ở ỷ
uu r u u r
r
.
D
nhn u
r
lm VTCP
ị

x y z1 1 2
:
2 5 3
D
- - +
= =
-

Cõu 2. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng (d) cú phng trỡnh:
{ x t=-;
y t
1 2= - + ;
z t
2= + ( t Rẻ ) v mt phng (P): x y z2 2 3 0- - - = .Vit phng

trỡnh tham s ca ng thng D nm trờn (P), ct v vuụng gúc vi (d).
ã
Gi A = d
ầ
(P )
ị

A
( 1 ; 3 ; 1 )- .
Phng trỡnh mp(Q) qua A v vuụng gúc vi d: x y z2 6 0- + + + =
D
l giao tuyn ca (P) v (Q)
ị

D
:
{
x t y z t1 ; 3 ; 1= + = - = +
Cõu 3. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im M(2; 1; 0) v ng thng D:
x y z1 1
2 1 1
- +
= =
-
. Lp phng trỡnh ca ng thng d i qua im M, ct v vuụng gúc
vi D.
ã
u (2;1; 1 )
D
=

-
r
. Gi H = d
ầ

D
. Gi s H t t t( 1 2 ; 1 ; )+ - + -
ị
MH t t t(2 1 ; 2 ; )= - - -
u u u u r
.
MH u
D
^
u u u u r
r

t t t2 ( 2 1 ) ( 2) ( ) 0- + - - - =

t
2
3
=
ị

d
u MH3 ( 1 ; 4 ; 2)= = - -
u u u u r
r
ị

d:
x t
y t
z t
2
1 4
2
ỡ
= +
ù
= -
ớ
ù
=
ợ
.
Cõu 4. Trong khụng gian vi h trc to Oxyz, cho mt phng (P): x + 2y 2z + 1 = 0 v hai
im A(1;7; 1), B(4;2;0). Lp phng trỡnh ng thng (D) l hỡnh chiu vuụng gúc ca
ng thng AB trờn (P).
ã
Gi (Q) l mt phng qua A, B v vuụng gúc vi (P)
ị
(Q): 8x + 7x + 11z 46 = 0.
(D) = (P) ầ (Q) suy ra phng trỡnh (D).
Cõu 5. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca
ng thng
x z
d
x y z
2 0

:
3 2 3 0
ỡ
- =
ớ
- + - =
ợ
trờn mt phng P x y z: 2 5 0- + + = .
ã
PTTS ca d:
x t
y t
z t
4
3
7
2
2
ỡ
=
ù
= - +
ớ
ù
=
ợ
. Mt phng (P) cú VTPT n ( 1 ; 2 ; 1 )= -
r
.
Gi

A
d P( )= ầ
ị
A
11
4 ; ;2
2
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
. Ta cú B d B P
3 3
0 ; ;0 , 0 ; ;0 ( )
2 2
ổ ử ổ ử
- ẻ - ẽ
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
.
Gi H x y z( ; ; ) l hỡnh chiu vuụng gúc ca B trờn (P). Ta tỡm c H
4 7 4
; ;
3 6 3
ổ ử
- -
ỗ ữ
ố ứ
.

PP to trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 16
Gi
D
l hỡnh chiu vuụng gúc ca d trờn (P)
ị

D
i qua A v H
ị

D
cú VTCP u HA3 (16;13;10)= =
u u u r
r
ị
Phng trỡnh ca
D
:
x t
y t
z t
4 16
11
13
2
2 10
ỡ
= +
ù

= +
ớ
ù
= +
ợ
.
Cõu hi tng t:
a) Vi
x y z
d
1 1 2
:
2 1 3
+ - -
= = , P x y z( ) : 3 2 5 0- + - = . S:
x m
y m
z m
1 23
: 2 29
5 32
D
ỡ
= +
ù
= +
ớ
ù
= +
ợ

Cõu 6. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, gi A, B, C ln lt giao im ca mt phng
(
)
: 62 3 6 0P x y z+ + - = vi Ox, Oy, Oz. Lp phng trỡnh ng thng d i qua tõm
ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ng thi vuụng gúc vi mt phng (P).
ã
Ta cú: P Ox A P Oy B P Oz C( ) ( 1 ; 0 ; 0 ) ; ( ) (0;3;0); ( ) (0;0;2)ầ = ầ = ầ =
Gi
D
l ng thng vuụng gúc (OAB) ti trung im M ca AB; (
a
) l mt phng trung
trc cnh OC; I tõm mt cu ngoi tip t din OABC. Ta cú: I ( )
D
= ầ
a

ị
I
1 3
; ;1
2 2
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
.
Gi J tõm ng trũn ngoi tip
D
ABC thỡ IJ
^

(ABC) , nờn d chớnh l ng thng IJ .
ị
Phng trỡnh ng thng d:
x t
y t
z t
1
6
2
3
2
2
1 3
ỡ
= +
ù
ù
ớ
= +
ù
ù
= +
ợ
.
Cõu 7. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho 3 im
A
B C( 1 ; 2 ; 1 ) , (2;1;1); (0;1;2)- v
ng thng
x y z
d

1 1 2
:
2 1 2
- + +
= =
-
. Lp phng trỡnh ng thng
D
i qua trc tõm ca
tam giỏc ABC, nm trong mt phng (ABC) v vuụng gúc vi ng thng d.
ã
Ta cú AB AC AB AC( 1 ; 1 ; 2 ) , ( 1 ; 1 ; 3 ) , ( 1 ; 5 ; 2)
ộ ự
= - = - - ị = - - -
ở ỷ
u u ur uuur u u ur uuur

ị
phng trỡnh mt phng (ABC): x y z5 2 9 0+ + - =
Gi trc tõm ca tam giỏc ABC l H a b c( ; ; ) , khi ú ta cú h:

( )
B H AC
a b c a
CH AB a b c b H
a b c c
H ABC
. 0
2 3 2
. 0 3 0 1 (2;1;1)

5 2 9 1
ỡ
=
ỡ ỡ
- + = =
ù
ù ù
= + - = = ị
ớ ớ ớ
ù ù ù
+ + = =
ẻ
ợ ợ
ợ
u u u r uuur
uuur u u ur
Do ng thng
D
nm trong (ABC) v vuụng gúc vi (d) nờn:
ABC
ABC d
d
u n
u n u
u u
, (12; 2; 11)
D
D
D
ỡ

^
ộ ự
ị = = -
ớ
ở ỷ
^
ợ
r r
r r r
r r
.
Vy phng trỡnh ng thng
x y z2 1 1
:
12 2 11
D
- - -
= =
-



Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 17
Dng 2: Vit phng trỡnh ng thng liờn quan n mt ng thng khỏc
Cõu 8. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(2; 1; 0) v ng thng d cú phng
trỡnh
x y z
d
1 1

:
2 1 1
- +
= =
-
. Vit phng trỡnh ca ng thng D i qua im M, ct v
vuụng gúc vi ng thng d v tỡm to im MÂ i xng vi M qua d.
ã
PTTS ca d:
x t
y t
z t
1 2
1
ỡ
= +
ù
= - +
ớ
ù
=-
ợ
. d cú VTCP u (2;1; 1 )= -
r
.
Gi H l hỡnh chiu ca M trờn d
ị
H t t t( 1 2 ; 1 ; )+ - + -
ị
MH t t t(2 1 ; 2 ; )= - - + -

u u u u r
Ta cú MH
^
d

MH u. 0=
u u u u r
r

t
2
3
=
ị
H
7
1 2
; ;
3 3 3
ổ ử
- -
ỗ ữ
ố ứ
, MH
1 4 2
; ;
3 3 3
ổ ử
= - -
ỗ ữ

ố ứ
u u
u u r
Phng trỡnh ng thng
D
:
x y z2 1
1 4 2
- -
= =
- -
.
Gi M
Â
l im i xng ca M qua d
ị
H l trung im ca MM
Â

ị
M
8 5 4
; ;
3 3 3
ổ ử
Â
- -
ỗ ữ
ố ứ
.

Cõu hi tng t:
a)
x y z
M d
3 1 1
( 4 ; 2 ; 4 ) ; :
2 1 4
+ - +
- - = =
-
. S:
1 3
:
3 2 1
+ -
D = =
-
x
y z

Trong khụng gian cho im A(-4;-2;4) v ng thng (d) cú phng trỡnh: x = -3 + 2t; y = 1
- t; z = -1 + 4t; t
ẻ
R. Vi t p h ng trỡnh ng th ng (
D
) i qua A; c t v vuụng gúc v i (d).
Cõu 9. Trong khụng gian Oxyz, cho ng thng
x y z
d
1 1

:
1 2 1
- +
= =
-
v hai im
A
( 1 ; 1 ; 2)- ,
B( 1 ; 0 ; 2 )- . Vit phng trỡnh ng thng D qua A, vuụng gúc vi d sao cho khong cỏch
t B ti D l nh nht.
ã
d cú VTCP
d
u ( 1 ; 2 ; 1 )= -
r
. Gi (P) l mt phng i qua A v vuụng gúc vi d. Gi H l
hỡnh chiu vuụng gúc ca B lờn (P) khi ú ng thng
D
i qua A v H tha YCBT.
Ta cú: (P): x y z2 5 0+ - - = . Gi s H x y z( ; ; ) .
Ta cú:
d
H P
B H u cuứng phửụng
( )
,
ỡ
ẻ
ớ
ợ

uuur
r

ị
H
1 8 2
; ;
3 3 3
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ

ị
u AH3 ( 2 ; 5 ; 8 )
D
=
= -
u u u r
r
ị
Phng trỡnh
D
:
x
y z1 1 2
2 5 8
- - +
= =
-
.

Cõu 10. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng
x y z1 1
:
2 3 1
+ +
D = =
-
v hai im
A
( 1 ; 2 ; 1 ) ,- B( 3 ; 1 ; 5 )- - . Vit phng trỡnh ng thng d i qua im A v ct ng thng
D sao cho khong cỏch t B n ng thng d l ln nht.
ã
Gi s d ct
D
ti M M t t t( 1 2 ;3; 1 )ị - + - - , AM t t t AB( 2 2 ;3 2 ; ), (2; 3 ; 4)= - + - - = - -
u u u r u u ur
Gi H l hỡnh chiu ca B trờn d. Khi ú d B d BH B A( , ) = Ê . Vy d B d( , ) ln nht bng BA
H A AM AB AM AB. 0 ^ =
u u u r u u ur
t t t t2 ( 2 2 ) 3 ( 3 2) 4 0 2 - + - - + = =
M( 3 ; 6 ; 3 )ị -
ị
PT ng thng
x y z
d
1 2 1
:
1 2 1
- - +
= =

-
.


PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 18
Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường
thẳng D:
x
y z1 1
2 1 2
+ -
= =
-
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và cắt đường
thẳng D tại điểm C sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất.
·
Phương trình tham số của
D
:
x t
y t
z t
1 2
1
2
ì
= - +
ï
= -

í
ï
=
î
. Điểm C
Î

D
nên C t t t( 1 2 ;1 ;2)- + - .
AC t t t AB( 2 2 ; 4 ;2); (2; 2 ; 6 )= - + - - = -
u u u r u u ur
;
A
C AB t t t, ( 24 2 ;12 8 ;12 2 )
é ù
= - - - -
ë û
u u u r u u ur
AC AB t t
2
, 2 18 36 216
é ù
Þ = - +
ë û
u u
u r u u ur
Þ
S AC AB
1
,

2
é ù
=
ë û
u u
u r u u ur
= t
2
18( 1 ) 198- + ≥ 198
Vậy Min S = 198 khi t 1= hay C(1; 0; 2)
Þ
Phương trình BC:
x y z3 3 6
2 3 4
- - -
= =
- - -
.
Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
x y z
d
1 2 2
:
3 2 2
+ - -
= =
-
và mặt
phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng D song song với mặt phẳng
(P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (d).

·
Đường thẳng (d) có PTTS:
x t
y t
z t
1 3
2 2
2 2
ì
= - +
ï
= -
í
ï
= +
î
. Mặt phẳng (P) có VTPT n ( 1 ; 3 ; 2)=
r
Giả sử N(
-
1 + 3t ; 2
-
2t ; 2 + 2t)
Î
d
Þ
MN t t t( 3 3 ; 2 ;2 2)= - - -
u u u u r
Để MN // (P) thì MN n t. 0 7= Û =
u u u ur r

Þ
N(20;
-
12; 16)
Phương trình đường thẳng
D
:
x y z2 2 4
9 7 6
- - -
= =
-

Câu hỏi tương tự:
a)
x y z
d
1 2
:
1 2 1
- -
= = , P x y z( ) : 3 2 2 0+ + + = , M(2; 2; 4) . ĐS:
x y z1 3 3
:
1 1 1
D
- - -
= =
-

b)
x y z
d
2 2
:
1 3 2
- +
= = , P x y z( ):2 1 0+ - + = , M( 1 ; 2 ; – 1 ) . ĐS:
1 2 1
:
2 9 5
- - +
D = =
- -
x
y z

c)
x y z2 4 1
3 2 2
- + -
= =
-
, P x y z( ) : 3 2 3 2 0- - - = , M( 3; 2 ; 4)- - . ĐS:
x y z3 2 4
:
5 6 9
- + +
D = =
-

Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng x y z( ) : 3 2 29 0
a
- + - = và hai
điểm
A
(4;4;6) B, (2;9;3). Gọi
E F
, là hình chiếu của
A
và B trên ( )
a
. Tính độ dài đoạn
E F
. Tìm phương trình đường thẳng
D
nằm trong mặt phẳng ( )
a
đồng thời
D
đi qua giao
điểm của
AB
với ( )
a
và
D
vuông góc với
AB
.

·
AB n( 2 ; 5 ; 3 ) , ( 3 ; 2 ; 1 )= - - = -
uu u r
r
a
, AB AB n
19
sin( ,()) cos( , )
532
a
= =
u
u u r
r
a

EF AB AB AB AB
2
361 171
.cos( ,()) 1 sin ( ,()) 38 1
532 14
a a
= = - = - =
AB
cắt ( )
a
tại K(6; 1 ; 9 )- ; u AB n, ( 1 ; 7 ; 1 1 )
D a
é ù
= =

ë û
uu r u u ur u u r
. Vậy
x t
y t
z t
6
: 1 7
9 11
D
ì
= +
ï
= - +
í
ï
= +
î


Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 19
Cõu 14. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho 2 mt phng (P), (Q) v ng thng (d) ln
lt cú phng trỡnh:
x y z
P x y z Q x y z d
1 1
( ) : 2 0 , ( ) : 3 3 1 0 , ( ):
2 1 1
- -

- + = - + + = = = . Lp
phng trỡnh ng thng D nm trong (P) song song vi mt phng (Q) v ct ng thng
(d).
ã
(P), (Q) ln lt cú VTPT l
P
Q P Q
n n n n( 1 ; 2 ; 1 ) , ( 1 ; 3 ; 3 ) , ( 3 ; 2 ; 1 )
ộ ự
= - = - ị = - - -
ở ỷ
r
r r r
PTTS ca (d): x t y t z t1 2 , , 1= + = = + . Gi A = (d)
ầ
(
D
)
ị

A
t t t( 1 2 ; ;1 )+ + .
. Do A
è
(P) nờn: t t t t1 2 2 1 0 2+ - + + = =-
ị

A
( 3 ; 2 ; 1 )- - -
Theo gi thit ta cú:

P
P Q
Q
u n
u n n
u n
, ( 3 ; 2 ; 1 )
D
D
D
ỡ
^
ộ ự
ị = = - - -
ớ
ở ỷ
^
ợ
r r
r r r
r r
Vy phng trỡnh ng thng
x y z3 2 1
( ):
3 2 1
D
+ + +
= = .
Cõu 15. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho 3 im
A

B C( 1 ; 2 ; 1 ) , (2;1;1), (0;1;2)- v
ng thng
x y z
d
1 1 2
( ):
2 1 2
- + +
= =
-
. Lp phng trỡnh ng thng D i qua trc tõm ca
tam giỏc ABC, nm trong mt phng (ABC) v vuụng gúc vi ng thng (d).
ã
Ta cú AB AC AB AC( 1 ; 1 ; 2 ) , ( 1 ; 1 ; 3 ) , ( 1 ; 5 ; 2)
ộ ự
= - = - - ị = - - -
ở ỷ
u u ur uuur u u ur uuur
ị
phng trỡnh (ABC): x y z5 2 9 0+ + - =
Gi trc tõm ca
D
ABC l H a b c( ; ; )
B H AC
a b c a
CH AB a b c b H
H ABC a b c c
. 0
2 3 2
. 0 3 0 1 (2;1;1)

( ) 5 2 9 1
ỡ
=
ỡ ỡ
- + = =
ù
ù ù
= + - = = ị
ớ ớ ớ
ù ù ù
ẻ + + = =
ợ ợ
ợ
u u u r uuur
uuur u u ur
Do (
D
)
è
(ABC) v vuụng gúc vi (d) nờn:
ABC
ABC d
d
u n
u n n
u u
, ( 1 2 ; 2 ; 11)
D
D
D

ỡ
^
ộ ự
ị = = -
ớ
ở ỷ
^
ợ
r r
r r r
r r
ị
PT ng thng
x y z2 1 1
:
12 2 11
D
- - -
= =
-
.
Cõu 16. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x y z2 5 0+ - + = , ng
thng
x y z
d
3 1 3
:
2 1 1
+ + -
= = v im

A
( 2 ; 3 ; 4 )- . Vit phng trỡnh ng thng D nm
trờn (P), i qua giao im ca d v (P), ng thi vuụng gúc vi d. Tỡm im M trờn D sao
cho khong cỏch AM ngn nht.
ã
Gi B = d
ầ
(P)
ị
B( 1 ; 0 ; 4 )- . Vỡ
P
d
( )
D
D
ỡ
è
ớ
^
ợ
nờn
P
d
u n
u u
D
D
ỡ
^
ớ

^
ợ
r
r
r r
.
Do ú ta cú th chn
P d
u n u
1
, ( 1 ; 1 ; 1 )
3
D
ộ ự
= = - -
ở ỷ
r
r r

ị
PT ca
D
:
x t
y t
z t
1
4
ỡ
= - +

ù
=-
ớ
ù
= -
ợ
.
Gi s M t t t( 1 ; ;4)
D
- + - - ẻ
ị
AM t t t
2
2
1 26 26
3 2 9 3
3 3 3
ổ ử
= - + = - +
ỗ ữ
ố ứ
Du "=" xy ra

t
1
3
=

M
2 1 11

; ;
3 3 3
ổ ử
- -
ỗ ữ
ố ứ
. Vy AM t GTLN khi M
2 1 11
; ;
3 3 3
ổ ử
- -
ỗ ữ
ố ứ
.
Cõu hi tng t:


PP to trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 20
a) P x y z( ) : 2 2 9 0+ - + = ,
x t
d y t
z t
1
: 3 2
3
ỡ
= -
ù

= - +
ớ
ù
= +
ợ
. S: : 1
4
=
ỡ
ù
D =-
ớ
ù
= +
ợ
x t
y
z t
Cõu 17. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im
A
( 3; 1 ; 1 )- , ng t h ng
x y z2
:
1 2 2
D
-
= = , m t p h n g P x y z( ) : 5 0+ - = . V i t p h ng trỡnh c a ng th n g d i
qua i m A , n m trong ( P) v h p v i ng th ng
D
m t gúc

0
45 .
ã
Gi
d
u u,
D
r r
ln lt l cỏc VTCP ca d v
D
;
P
n
r
l VTPT ca ( P).
t
d
u a b c a b c
2 2 2
( ; ; ), ( 0)= + + ạ
r
. Vỡ d nm trong ( P) nờn ta cú :
P d
n u^
r r

ị
a b c 0+ =

b a c = + ( 1 ).

Theo gt: d
0
( , ) 45
D
=


a
b c
a b c a b c
a b c
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 ( 2 ) 9 ( )
2
.3
+ +
= + + = + +
+ +
(2)
Thay (1) vo ( 2) ta cú :
a
c ac c c
2
15
14 30 0 0 ;
7
+ = = =-
+ Vi c 0= : chn a b 1= =

ị
PTTS ca d l :
x t
y t
z
3
1
1
ỡ
= +
ù
=-
ớ
ù
=
ợ
+ Vi
a
c
15
7
=-: chn a c b7 , 15, 8= = - =-
ị
.PTTS ca d l:
x t
y t
z t
3 7
18
115

ỡ
= +
ù
=-
ớ
ù
=
ợ
.
Cõu 18. Trong khụng gian to Oxyz, cho ng thng d:
x y z3 2 1
2 1 1
- + +
= =
-
v mt phng
(P): x y z 2 0+ + + = . Gi M l giao im ca d v (P). Vit phng trỡnh ng thng D
nm trong mt phng (P), vuụng gúc vi d ng thi khong cỏch t M ti D bng 42 .
ã
PTTS d:
x t
y t
z t
3 2
2
1
ỡ
= +
ù
= - +

ớ
ù
= - -
ợ
M( 1 ; 3 ; 0 )ị - . (P) cú VTPT
P
n (1; 1; 1)=
r
, d cú VTCP
d
u (2;1; 1 )= -
r
Vỡ D nm trong (P) v vuụng gúc vi d nờn VTCP
d P
u u n, (2; 3 ; 1 )
D
ộ ự
= = -
ở ỷ
r
r r

Gi N(x; y; z) l hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn D , khi ú MN x y z( 1 ; 3 ; )= - +
u u u u r
.
Ta cú
MN u
N P
MN
( )

42
D
ỡ
^
ù
ẻ
ớ
ù
=
ợ
u u u u r
r


x y z
x y z
x y z
2 2 2
2 0
2 3 11 0
( 1 ) ( 3 ) 42
ỡ
+ + + =
ù
- + - =
ớ
ù
- + + + =
ợ
ị

N(5; 2; 5) hoc N(3; 4; 5)
ã
Vi N(5; 2; 5)
ị
Phng trỡnh ca
x y z5 2 5
:
2 3 1
- + +
D = =
-

ã
Vi N(3; 4; 5)
ị
Phng trỡnh ca
x y z3 4 5
:
2 3 1
+ + -
D = =
-
.
Cõu 19. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (
a
): x y z 1 0+ - - = , hai ng
thng (D):
x y z1
1 1 1
-

= =
- -
, (DÂ):
x y z 1
1 1 3
+
= = . Vit phng trỡnh ng thng (d) nm


Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 21
trong mt phng (
a
) v ct (DÂ); (d) v (D) chộo nhau m khong cỏch gia chỳng bng
6
2
.
ã
(
a
) cú VTPT n (1; 1; 1 )= -
r
, (
D
) cú VTCP u ( 1 ; 1 ; 1 )
r
D
= - -
ị
(

D
)
^
(
a
) .
Gi
A
( ) ( )
D
Â
= ầ
a

ị

A
(0;0; 1 )- ; B ( ) ( )
D
= ầ
a

ị
B( 1 ; 0 ; 0 )
ị
AB ( 1 ; 0 ; 1 )=
uu u r
Vỡ (d)
è
(

a
) v (d) ct (
DÂ
) nờn (d) i qua A v (
D
)
^
(
a
) nờn mi ng thng nm trong
(
a
) v khụng i qua B u chộo vi (
D
).
Gi
d
u a b c( ; ; )=
r
l VTCP ca (d)
ị

d
u n a b c. 0= + - =
r r
(1)
v
d
u
r

khụng cựng phng vi AB
uu u r
(2)
Ta cú: d d d B d( , ) ( , )
D
=
ị

d
d
AB u
u
,
6
2
ộ ự
ở ỷ
=
u
u u r
r
r



b a c
a b c
2 2
2 2 2
2 ( ) 6

2
+ -
=
+ +
(3)
T (1) v (3)
ị
ac 0=


a
c
0
0
ộ
=
ờ
=
ở
.
ã
Vi a 0= . Chn b c 1= =
ị

d
u (0;1;1)=
r
ị

x

d y t
z t
0
:
1
ỡ
=
ù
=
ớ
ù
= - +
ợ
ã
Vi c 0= . Chn a b 1= - =
ị

d
u ( 1 ; 1 ; 0 )= -
r
ị

x t
d y t
z
:
1
ỡ
=
ù

=-
ớ
ù
=-
ợ
.


PP to trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 22
Dng 3: Vit phng trỡnh ng thng liờn quan n hai ng thng khỏc
Cõu 20. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh ng vuụng gúc chung ca hai
ng thng:
x y z
1
7 3 9
:
1 2 1
D
- - -
= =
-
v
2
D
:
x t
y t
z t
3 7

1 2
1 3
ỡ
= +
ù
= -
ớ
ù
= -
ợ
.
ã
Phng trỡnh tham s ca
1
D
:
x t
y t
z t
7 '
3 2 '
9 '
ỡ
= +
ù
= +
ớ
ù
= -
ợ

Gi M v N ln lt l giao im ca ng vuụng gúc chung vi
D
1
v
D
2
ị
M(7 + t
Â
;3 + 2t
Â
;9 t
Â
) v N(3 7t;1 + 2t;1 + 3t)
VTCP ln lt ca
D
1
v
D
2
l a
r
= (1; 2; 1) v b
r
= (7;2;3)
Ta cú:
MN a MN a
MN b MN b
. 0
. 0

ỡ ỡ
ù ù
^ =

ớ ớ
^ =
ù ù
ợ ợ
u u u ur r uuuur r
uuuur r uuuur r
. T õy tỡm c t v t
Â

ị
To ca M, N.
ng vuụng gúc chung
D
chớnh l ng thng MN.
Cõu hi tng t:
a) Vi
x t
y t
z
1
3
( ) : 1 2
4
D
ỡ
= +

ù
= - +
ớ
ù
=
ợ
,
x t
y t
z
t
2
2 2 '
( ) : 2 '
2 4 '
D
ỡ
= - +
ù
=
ớ
ù
= +
ợ
. S:
x y z
x y z
2 10 47 0
:
326 0

D
ỡ
+ =
ớ
+ + =
ợ
Cõu 21. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh ng thng d i qua im
(
)
M 4 ; 5 ; 3- - v ct c hai ng thng:
x y
d
y z
1
2 3 11 0
:
2 7 0
ỡ
+ + =
ớ
- + =
ợ
v
x y z
d
2
2 1 1
:
2 3 5
- + -

= =
-
.
ã
Vit li phng trỡnh cỏc ng thng:
x t
d y t
z t
1
1 1
1
5 3
: 7 2
ỡ
= -
ù
= - +
ớ
ù
=
ợ
,
x t
d y t
z t
2
2 2
2
2 2
: 1 3

1 5
ỡ
= +
ù
= - +
ớ
ù
= -
ợ
.
Gi
A
d d B d d
1 2
,= ầ = ầ
ị

A
t t t
1 1 1
(5 3 ; 7 2 ; )- - + , B t t t
2 2 2
(2 2 ; 1 3 ;1 5 )+ - + - .
MA t t t
1 1 1
( 3 9 ; 2 2 ; 3 )= - + - -
u u u r
, MB t t t
2 2 2
(2 6 ; 3 4 ; 5 2)= + + - -

u u u r
MA MB t t t t t t t t t t t
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2
, ( 13 8 13 16; 13 39 ; 13 24 31 48)
ộ ự
= - - + + - + - - + +
ở ỷ
u u u r uuur
M, A, B thng hng

MA MB,
u u u r uuur
cựng phng

MA MB, 0
ộ ự
=
ở ỷ
u u u r uuur
r


t
t
1
2
2
0
ỡ
=

ớ
=
ợ
ị

A B
( 1 ; 3 ; 2 ) , (2; 1 ; 1 )- - -
ị
AB ( 3 ; 2 ; 1 )= -
uu u r
ng thng d qua M(4; 5; 3) v cú VTCP AB ( 3 ; 2 ; 1 )= -
uu u r
ị

x t
d y t
z t
4 3
: 5 2
3
ỡ
= - +
ù
= - +
ớ
ù
= -
ợ

Cõu hi tng t:

a) M(1;5;0),
x y z
d
1
2
:
1 3 3
-
= =
- -
,
x t
d y t
z t
2
: 4
1 2
ỡ
=
ù
= -
ớ
ù
= - +
ợ
. S:
b) M(3; 10; 1) ,
x y z
d
1

2 1 3
:
3 1 2
- + +
= = ,
x y z
d
2
3 7 1
:
1 2 1
- - -
= =
- -
S:
x t
d y t
z t
3 2
: 10 10
1 2
ỡ
= +
ù
= -
ớ
ù
= -
ợ

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 23
Câu 22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1 2
,
D D
và mặt phẳng (
a
) có
phương trình là
x t
x y z
y t x y z
z t
1 2
2
1 1 2
: 5 3 , : , ( ) : 2 0
1 1 2
D D a
ì
= +
- + +
ï
= + = = - + + =
í
ï
=
î

. Viết phương
trình đường thẳng d đi qua giao điểm của
1
D
với (
a
) đồng thời cắt
2
D
và vuông góc với trục
Oy.
· Toạ độ giao điểm A của (
a
) và
1
D
thoả mãn hệ
x t t
y t x
A
z t y
x y z z
2 1
5 31
( 1 ;2 ; 1 )
2
2 0 1
ì ì
= + =-
ïïï ïïï

= +=
Û Þ -
í í
= =
ï ï
- + + = =-
ï ï
î î
Trục Oy có VTCP là j (0;1;0)=
r
. Gọi d là đường thẳng qua A cắt
2
D
tại
B t t t( 1 ; 1 ; 2 2 )+ - + - + . AB t t t d Oy AB j t AB( ; 3 ; 2 1 ) ; 0 3 ( 3 ; 0 ; 5 )= - - ^ Û = Û = Þ =
u u ur u u ur r u u ur
Đường thẳng d đi qua A nhận AB ( 3 ; 0 ; 5 )=
uu u r
làm VTCP có phương trình là
x u
y
z u
1 3
2
1 5
ì
= +
ï
=
í

ï
= - +
î
.
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
x t
d y t
z t
1
1
: 1 2
1 2
ì
= +
ï
= +
í
ï
= +
î
, đường thẳng
2
d
là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x y2 – –1 0= và (Q): x y z2 2 –50+ + = . Gọi I là giao
điểm của d d
1 2
, . Viết phương trình đường thẳng d
3
qua điểm A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai
đường thẳng d d

1 2
, lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I.
·
PTTS của
{
d x t y t z t
2
: '; 1 2 '; 3 2 '= = - + = - . I d d
1 2
= Ç
Þ
I(1;1;1) .
Giả sử: B t t t d C t t t d t t
1 2
( 1 ;1 2 ;1 2 ) , ( '; 1 2 ';3 2 ') ( 0, ' 1 )+ + + Î - + - Î ¹ ¹
D
BIC cân đỉnh I
Û

IB IC
AB AC[ , ] 0
ì
=
í
=
î
u u
u r uuur u r

Û

t
t '
1
ì
2
=
í
=
î
Þ
Phương trình
{
d x y z t
3
: 2 ; 3 ; 1 2= = = +
Câu 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z4 –311 0+ = và hai
đường thẳng d
1
:
x
1 -
=
y
3
2
-
=
z
1

3
+
,
x 4
1
-
=
y
1
=
z
3
2
-
. Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo
nhau. Viết phương trình đường thẳng D nằm trên (P), đồng thời D cắt cả d
1
và d
2
.
·
Toạ độ giao điểm của d
1
và (P): A(–2;7;5). Toạ độ giao điểm của d
2
và (P): B(3;–1;1)

Phương trình đường thẳng
D
:
x y z2 7 5
5 8 4
+ - -
= =
- -
.
Câu 25. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương
trình (P): x y z3 12 3 5 0+ - - = và (Q): x y z3 4 9 7 0- + + = , (d
1
):
x y z5 3 1
2 4 3
+ - +
= =
-
, (d
2
):
x y z3 1 2
2 3 4
- + -
= =
-
. Viết phương trình đường thẳng (D) song song với hai mặt phẳng (P),
(Q) và cắt (d
1
), (d

2
).
·
(P) có VTPT
P
n ( 1 ; 4 ; 1 )= -
r
, (Q) có pháp vectơ
Q
n ( 3 ; 4 ; 9)= -
r


PP to trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 24
( d
1
) cú VTCP u
1
(2; 4 ; 3 )= -
r
, (d
2
) cú VTCP u
2
( 2 ; 3 ; 4)= -
r
Gi:
P Q
P d P P

Q d Q Q
u u
1
1
1 1 1
1 2 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ),( ) ( )
( ) ( ), ( ) ( )
D
D
ỡ
= ầ
ù
ẫ
ù
ớ
ẫ
ù
=
ù
ợ
P
P
r r
ị
(
D
) = ( P
1

)
ầ
(Q
1
) v (
D
) // (
D
1
)
(
D
) cú vect ch phng
P Q
u n n
1
[ ; ] ( 8 ; 3 ; 4)
4
= = - -
r
r r
( P
1
) cú cp VTCP u
1
r
v u
r
nờn cú VTPT:
P

n u u
1 1
[ ; ] (25; 32; 26)= =
r
r r
Phng trỡnh mp (P
1
): 25(x + 5) + 32(y 3) + 26(z + 1) = 0 x y z25 32 26 55 0 + + + =
(Q
1
) cú cp VTCP u
2
r
v u
r
nờn cú VTPT:
Q
n u u
1 2
[ ; ] (0;24; 18)= = -
r
r r
Phng trỡnh mp (Q
1
) : x y z0( 3 ) 24( 1 ) 18( 2) 0- + + - - =
y x
4 3 10 0 - + =
Ta cú: P Q
1 1
( ) ( ) ( )

D
= ầ
ị
phng trỡnh ng thng (
D
) :
x
y z
y z
25 32 26 55 0
4 3 10 0
ỡ
+ + + =
ớ
- + =
ợ
Cõu 26. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P): x y z2 2 30+ = v hai
ng thng (d
1
) , ( d
2
) l n lt cú phng trỡnh
x y z4 1
2 2 1
- -
= =
-
v
x y z3 5 7
2 3 2

+ + -
= =
-
.
Vit phng trỡnh ng thng (
D
) song song vi mt phng (P), ct d
1
( ) v d
2
( ) ti A v
B sao cho AB = 3.
ã

A d
1
( )ẻ ị
A
t t t(4 2 ;1 2 ; )+ + - ; B d B t t t
2
( ) ( 3 2 ; 5 3 ;72 )
  Â
ẻ ị - + - + -
A
B t t t t t t( 7 2 2 ; 6 3 2 ;72 )
  Â
= - + - - + - - +
uu u r
,
P

n (2; 1 ; 2 )= -
r
.
T gi thit ta cú:
P
AB n
AB
. 0
3
ỡ
=
ớ
=
ợ
uu u r
r


t
t
2
1
Â
ỡ
=
ớ
=-
ợ

ị

A AB(2; 1 ; 1 ) , ( 1;2;2)- = -
uu u r
.
ị
Phng trỡnh ng thng (
D
) :
x
y z2 1 1
1 2 2
- + -
= =
-
.
Cõu 27. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P): x y z2 1 0- + + = v hai
ng thng
x y z
d
1
1 2 3
:
2 1 3
- + -
= = ,
x y z
d
2
1 1 2
:
2 3 2

+ - -
= = . Vit phng trỡnh ng
thng D song song vi (P), vuụng gúc vi d
1
v ct d
2
ti im E cú honh bng 3.
ã
d
1
cú VTCP u
1
(2;1;3)=
r
, d
2
cú VTCP u
2
(2; 3; 2)=
r
, (P) cú VTPT n (2; 1 ; 1 )= -
r
.
Gi s
D
cú VTCP u a b c( ; ; )=
r
,
E d
2

ẻ cú
E
x 3=
ị

E
( 3 ; 1 ; 6 )- .
Ta cú:
P
u n
uu
d
1
1
( )
. 0
. 0
D
D
ỡ
ỡ
=

ớ ớ
=
^
ợ
ợ
r r
r r

P


a
b c
a b c
2 0
2 3 0
ỡ
- + =
ớ
+ + =
ợ


a
c
b c
ỡ
=-
ớ
=-
ợ

ị
Chn u (1; 1; 1 )= -
r
ị
PT ng thng
D

:
{
x t y t z t3 ; 1 ; 6= + = - + = - .
Cõu 28. Trong khụng gian Oxyz, cho hai ng thng d d
1 2
( ), ( ) v mt phng (P) cú phng
trỡnh:
x y z
d
1
1 2
( ):
1 2 1
+ +
= = ,
x y z
d
2
2 1 1
( ):
2 1 1
- - -
= = ; P x y z( ) : 2 5 0+ - + = . Lp phng
trỡnh ng thng (d) song song vi mt phng (P) v ct d d
1 2
( ), ( ) ln lt ti A, B sao cho
di on AB nh nht.


Trn S Tựng PP to trong khụng gian

Trang 25
ã
t
A
a a a B b b b( 1 ; 2 2 ; ), (2 2 ;1 ;1 )- + - + + + +
ị
AB a b a b a b( 2 3 ; 2 3 ; 1 )= - + + - + + - + +
uu u r
Do AB // (P) nờn:
P
AB nb a(1; 1; 2) 4^ = - = -
uu u r
r
. Suy ra: AB a a( 5 ; 1 ; 3 )= - - - -
uu u r
AB a a a a a
2 2 2 2 2
( 5 ) ( 1 ) ( 3 ) 2 8 35 2 ( 2) 27 3 3= - + - - + - = - + = - +
Suy ra:
a
AB
b
2
min 3 3
2
ỡ
=
=
ớ
=-

ợ
,
A
(1;2;2), AB ( 3 ; 3 ; 3 )= - - -
uu u r
.
Vy
x y z
d
1 2 2
:
1 1 1
- - -
= = .

Cõu 29. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng
x y z
d
1
8 6 10
( ):
2 1 1
+ - -
= =
-

v
x t
d y t
z t

2
( ) : 2
4 2
ỡ
=
ù
= -
ớ
ù
= - +
ợ
. Vit phng trỡnh ng thng ( d ) song song vi trc Ox v ct ( d
1
)
ti A, ct ( d
2
) ti B. Tớnh AB.
ã
Gi s:
A
t t t
1 1 1
( 8 2 ;6 ;10 )- + + -
ẻ
d
1
, B t t t
2 2 2
( ;2 ; 4 2 )- - +
ẻ

d
2
.
ị
AB t t t t t t
2 1 2 1 2 1
( 2 8 ; 4);2 14)= - + - - - + -
uu u r
.
AB i, ( 1 ; 0 ; 0 )=
uu u r
r
cựng phng


t t
t t
2 1
2 1
4 0
2 14 0
ỡ
- - - =
ớ
+ - =
ợ


t
t

1
2
22
18
ỡ
=-
ớ
=
ợ

ị

A B
( 52; 16;32), ( 1 8 ; 16;32)- - - .
ị
Phng trỡnh ng thng d:
{
x t y z52 ; 16; 32= - + = - = .
Cõu 30. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng: (d
1
):
x t
y t
z t
23 8
10 4
ỡ
= - +
ù
= - +

ớ
ù
=
ợ
v (d
2
):
x y z3 2
2 2 1
- +
= =
-
. Vit phng trỡnh ng thng (d) song song vi trc Oz v ct c hai
ng thng (d
1
), (d
2
).
ã
Gi s
A
t t t
1 1 1
( 23 8 ; 10 4 ; )- + - +
ẻ
d
1
, B t t t
2 2 2
( 3 2 ; 2 2 ; )+ - -

ẻ
d
2
.
ị

A
B t t t t t t
2 1 2 1 2 1
(2 8 26; 2 4 8 ; )= - + - - + -
uu u r
AB // Oz


A
B k cuứng phửụng,
uu u r
r


t
t
t
2
t
1
2 1
2 8 26 0
2 4 8 0
ỡ

- + =
ớ
- - + =
ợ


t
t
1
2
17
6
5
3
ỡ
=
ù
ớ
ù
=-
ợ
ị
A
1 4 17
; ;
3 3 6
ổ ử
-
ỗ ữ
ố ứ

ị
Phng trỡnh ng thng AB: x y z t
1 4 17
; ;
3 3 6
ỡ
= - = = +
ớ
ợ
Cõu 31. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) v
ng thng (d):
x y z
x y z
6 3 2 0
6 3 2 24 0
ỡ
- + =
ớ
+ + - =
ợ
. Vit phng trỡnh ng thng D // (d) v ct cỏc
ng thng AB, OC.
ã
Phng trỡnh mt phng (
a
) cha AB v song song d: (
a
): 6x + 3y + 2z 12 = 0
Phng trỡnh mt phng (

b
) c h a OC v song song d: (
b
): 3x 3y + z = 0