Bồi dưỡng một số thành phần của TDST thông qua dạy học giải một số bài toán về phương pháp tọa độ trong không gian

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung khoá luận tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
tới cô giáo ThS. Hoàng Thị Thanh – giảng viên khoa Toán – Lý – Tin đã tận
tình hướng dẫn tôi hoàn thành khoá luận này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong khoa Toán – Lý – Tin, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Lý – Tin, Phòng Đào
tạo Đại học, Phòng khảo thí và đảm bảo chất lượng giáo dục, Trung tâm Thông
tin Thư viện Trường Đại học Tây Bắc, các thầy cô giáo và các em học sinh lớp
12C, 12D trong trường THPT Thuận Châu – Sơn La, cùng các bạn sinh viên
K51 ĐHSP Toán đã nhiệt tình động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành
khoá luận.
Với khoá luận này, tôi mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô
giáo và các bạn sinh viên để khoá luận hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2014
Người thực hiện
Sinh viên: Nguyễn Thị Hướng













BẢNG KÍ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Từ viết tắt
Dịch là
TDST
Tư duy sáng tạo
HS
Học sinh
THPT
Trung học phổ thông
PPTĐ
Phương pháp toạ độ
TDDH
Tư duy dạy học
VTCP
Vecto chỉ phương
VTPT
Vecto pháp tuyến
PTTS
Phương trình tham số
PTTQ
Phương trình tổng quát
HĐ
Hoạt động
ĐH
Đại học
CĐ
Cao đẳng
TB
Trung bình
GV

Giáo viên








MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu 2
5. Phương pháp nghiên cứu 2
6. Cấu trúc đề tài 2
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4
1.1. Tư duy sáng tạo 4
1.1.1. Tư duy 4
1.1.2. Sáng tạo 4
1.1.3. Khái niệm tư duy sáng tạo 5
1.2. Các thành phần của tư duy sáng tạo 6
1.2.1. Tính mềm dẻo 6
1.2.2. Tính nhuần nhuyễn 8
1.2.3. Tính độc đáo 9
1.3. Biểu hiện của TDST trong học tập môn Toán 10
1.4. Dạy học giải bài toán 14
1.4.1. Mục đích của việc dạy học giải bài toán 14

1.4.2. Vị trí, chức năng của bài tập toán 14
1.4.3. Dạy học phương pháp chung để giải bài toán 15
1.5. Nội dung phương pháp tọa độ trong không gian 18
1.6. Thực tiễn dạy học ở trường phổ thông 19
1.6.1. Điều tra đối với giáo viên 19
1.6.2. Điều tra đối với học sinh 20
CHƢƠNG 2. BỒI DƢỠNG MỘT SỐ THÀNH PHẦN CỦA TƢ DUY
SÁNG TẠO THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 22
2.1. Trong quá trình dạy học cần lựa chọn, bổ sung những bài tập nhằm bồi
dưỡng từng yếu tố cụ thể của TDST 22
2.1.1. Những bài tập bồi dưỡng tính mềm dẻo của TDST 22
2.1.1.1. Dạng bài tập có nhiều cách giải 22
2.1.1.2. Bài tập có nội dung biến đổi 24
2.1.1.3. Dạng bài tập khác loại 26
2.1.1.4. Dạng bài tập có tính đặc thù 30
2.1.1.5. Dạng bài tập mở 31
2.1.2. Những bài tập bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn của TDST 33
2.1.2.1. Dạng bài tập có nhiều giải pháp giải quyết trên nhiều góc độ khác nhau
33
2.1.2.2. Dạng bài tập có nhiều kết quả 35
2.1.2.3. Dạng bài tập câm 37
2.1.3. Những bài tập bồi dưỡng tính độc đáo của TDST 37
2.1.3.1. Dạng bài tập không theo mẫu 37
2.1.3.2. Dạng bài toán ngụy biện, dạng toán có liên hệ thực tiễn 39
2.2. Khai thác bài tập nhằm bồi dưỡng TDST kết hợp với các hoạt động trí tuệ
khác 43
2.2.1. Khai thác, đề xuất bài toán mới từ bài toán cũ hoặc lời giải mới từ bài toán
cũ 44
2.2.2. Nhìn bài toán đã cho dưới góc độ khác nhau với bài toán ban đầu 47

2.2.3. Lựa chọn công cụ thích hợp để giải quyết bài toán 47
CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 49
3.1. Mục đích của thực nghiệm 49
3.2. Phương pháp thực nghiệm 49
3.3. Nội dung thực nghiệm 49
3.4. Đối tượng thực nghiệm 49
3.5. Tổ chức thực nghiệm 49
3.6. Kết quả thực nghiệm 50
3.7. Kết quả rút ra từ thực nghiệm 51
KẾT LUẬN 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO 53
PHỤ LỤC

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay ở Việt Nam, cũng như ở nhiều nước trên thế giới, giáo dục được
coi là quốc sách hàng đầu, là động lực để phát triển kinh tế xã hội. Nhiệm vụ và
mục tiêu cơ bản của giáo dục là đào tạo ra những con người phát triển toàn diện
về mọi mặt, không những có kiến thức tốt mà còn vận dụng được kiến thức linh
hoạt sáng tạo trong từng tình huống công việc, trang bị cho thế hệ trẻ những
phẩm chất, kĩ năng hoạt động và học tập năng động, nhanh nhẹn, đặc biệt đòi
hỏi TDST ở mỗi cá nhân nói riêng và cộng đồng nói chung. Giáo dục đòi hỏi ở
thế hệ trẻ tư duy sáng tạo là cần thiết. Nhưng sáng tạo là gì? Tư duy sáng tạo là
gì? Bồi dưỡng TDST cho học sinh trong dạy học như thế nào?
Tư duy sáng tạo nhằm tìm ra biện pháp, kích hoạt khả năng sáng tạo và tăng
cường khả năng tư duy cho cá nhân hay tập thể cộng đồng, giúp giải quyết một
số vấn đề nan giải, khó khăn. Các vấn đề này không chỉ giới hạn trong lĩnh vực
kinh tế, chính trị, xã hội, nghệ thuật,… mà còn thuộc lĩnh vực toán học đòi hỏi
TDST nhiều, một lĩnh vực hết sức quan trọng trong việc rèn luyện TDST, phát

triển trí thông minh cho học sinh. Môn toán có vai trò đặc biệt trong việc rèn
luyện TDST cho HS THPT. Các bài toán về PPTĐ trong không gian tạo cho học
sinh có nhiều cơ hội để thử thách bản thân rèn luyện TDST, giải toán nhanh.
Chủ đề toạ độ trong không gian cho phép học sinh tiếp cận những kiến thức
hình học phổ thông một cách gọn gàng, sáng sủa và có hiệu quả một cách nhanh
chóng, tổng quát, đôi khi không cần đến hình vẽ. Nó tạo ra nhiều cơ hội để phát
triển tư duy sáng tạo, trừu tượng, năng lực phân tích, tổng hợp cho học sinh.
Thực tế giảng dạy chủ đề toạ độ trong không gian ở trường THPT còn mang
nặng tính cung cấp những thuật toán cụ thể để giải toán, nói cách khác là chủ
yếu cung cấp khối lượng kiến thức mà chưa chú ý đến việc rèn luyện tư duy
sáng tạo cho học sinh. Có thể khẳng định là việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho
học sinh là cần thiết với mọi đối tượng học sinh chứ không phải chỉ dành cho
đối tượng học sinh khá giỏi.
Với các lý do nêu trên, để góp phần bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học
sinh bậc THPT, tôi chọn đề tài nghiên cứu “Bồi dưỡng một số thành phần của
TDST thông qua dạy học giải một số bài toán về phương pháp tọa độ trong
không gian” . Hy vọng khóa luận có thể là tài liệu tham khảo hữu ích góp phần
trong việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay ở các trường THPT.


2
2. Mục đích nghiên cứu
Bồi dưỡng một số thành phần của TDST thông qua dạy học giải một số
bài toán về PPTĐ trong không gian.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu một số bài tập về tọa độ trong không gian để bồi dưỡng một
số yếu tố của TDST
- Đề xuất một số giải pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng một số thành
phần của TDST.
- Thử nghiệm sư phạm nhằm bước đầu đánh giá tính khả thi của biện

pháp đã đề xuất.
4. Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu quá trình dạy học giải bài toán về PPTĐ trong không gian.
4.2. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu biện pháp bồi dưỡng một số thành phần của tư duy sáng tạo
cho học sinh thông qua việc xây dựng và khai thác một số bài tập PPTĐ trong
không gian.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
Nghiên cứu, tìm hiểu và phân tích các tài liệu, các công trình nghiên cứu
khoa học liên quan đến TDDH.
5.2. Phương pháp điều tra quan sát
Nghiên cứu, tìm hiểu việc bồi dưỡng TDST cho HS ở một số trường
THPT qua một số bài toán về PPTĐ trong không gian.
5.3. Phương pháp thử nghiệm sư phạm
Đánh giá tính khả thi của biện pháp đã đề xuất.
6. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, mục lục, danh mục các tài liệu tham khảo, kết luận thì
khóa luận gồm 3 chương.

3
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2: Bồi dưỡng một số yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo thông qua
dạy học nội dung phương pháp tọa độ trong không gian.
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm.

4
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tƣ duy sáng tạo
1.1.1. Tư duy
Theo từ điển Bách khoa toàn thư Việt Nam, tư duy là sản phẩm cao nhất
của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt trong bộ não người.Tư duy phản
ánh tích cực hiện tượng hiện thực khách quan dưới dạng các khái niệm, sự phán
đoán, lí luận.
Theo tâm lí học đại cương, “tư duy” là một quá trình nhận thức phản ánh
những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật của sự
vật hiện tượng khách quan mà trước đó ta chưa biết.
Tư duy là một hành động. Mỗi hành động tư duy là một quá trình giải
quyết một nhiệm vụ nào đó nảy sinh trong quá trình nhận thức hay trong hoạt

động thực tiễn.
Xét theo mức độ sáng tạo của tư duy thì có 2 loại: tư duy algôrit và tư duy
ơrixtic.
+ Tư duy algôrit là loại tư duy diễn ra theo một chương trình, một cấu trúc
loogic có sẵn, theo một khuôn khổ nhất định. Loại tư duy này có cả ở người và
rôbôt (người máy).
+ Tư duy ơrxtic là loại tư duy sáng tạo có tính chất cơ động linh hoạt,
không tuân theo một khuôn mẫu cứng nhắc nào. Loại này liên quan đến trực
giác và khả năng sáng tạo của con người.
Cả 2 loại tư duy này có quan hệ chặt chẽ với nhau, bổ sung cho nhau,
giúp con người nhận thức sâu sắc và đúng đắn về thế giới.
1.1.2. Sáng tạo
Theo định nghĩa từ điển, sáng tạo là tìm ra những cái mới, cách giải quyết
mới, không bị gò bó, không phụ thộc vào cái đã có, cái mới có thể là cái mới
khác với cái cũ, cái đã biết, và có lợi ích là tốt, có giá trị lớn hơn cái cũ, cái đã
biết. Do đó sự sáng tạo là cần thiết cho mọi lĩnh vực khác nhau của cuộc sống.
Theo nghĩa thông thường, sáng tạo là một tiến trình phát hiện ra các ý
tưởng và quan niệm mới, hay một kết hợp mới giữa các ý tưởng và quan niệm
đã có. Hay đơn giản hơn, sáng tạo là một hành động làm nên những cái mới. Với
cách hiểu đó thì cái quan trọng nhất đối với sáng tạo là phải có các ý tưởng. Một

5
quá trình sáng tạo trải qua 4 giai đoạn: chuẩn bị, ấp ủ, bừng sáng, chứng kiến.
Quá trình sáng tạo của con người lúc nào cũng bắt đầu từ ý tưởng mới, bắt đầu
từ TDST của con người.
1.1.3. Khái niệm tư duy sáng tạo
TDST là tài nguyên cơ bản nhất của mỗi con người, là hạt nhân của sự
sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục.
TDST là hoạt động nhận thức mà nó đem lại một cách nhìn nhận hay giải
quyết mới mẻ đối với một vấn đề hay tình huống nào đó. Trong học tập môn

toán TDST là một dạng tư duy độc lập để tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu
quả giải quyết vấn đề cao, đó là khả năng phát hiện ra vấn đề mới, tìm ra hướng
đi mới, tạo ra kết quả mới với các giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc
duy nhất.
Nói đến quan hệ giữa các khái niệm: “tư duy tích cực”, “tư duy độc lập”
và “tư duy sáng tạo” có thể biểu diễn quan hệ đó dưới dạng những vòng tròn
đồng tâm.


TDST là tư duy độc lập và tư duy tích cực, nhưng không phải mọi tư duy
tích cực là tư duy độc lập và không phải mọi tư duy độc lập là tư duy sáng tạo.
Ví dụ: Một học sinh chăm chú nghe thầy giảng, cố gắng hiểu bài, đó là tư
duy tích cực. Thay vì giải thích cho HS hiểu, thầy giáo yêu cầu HS tự phân tích
định lý theo sách giáo khoa và tự tìm hiểu cách chứng minh đã có đó là tư duy
độc lập. Trường hợp HS tự khám phá, tự tìm ra được cách chứng minh mà HS
đó chưa biết thì đó là TDST.
Nhiều nghiên cứu đã đưa ra các cấu trúc khác nhau của TDST, tuy nhiên,
có thể hiểu TDST của HS biểu hiện trong học tập môn toán được đặc trưng bởi 3
yếu tố cơ bản sau:
Tư duy tích cực
Tư duy độc lập
Tư duy sáng tạo

6
* Tính mềm dẻo: Là khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này
sang hoạt động trí tuệ khác
* Tính nhuần nhuyễn: Là khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều
góc độ và tình huống khác nhau.
* Tính độc đáo: Là khả năng tìm và giải quyết phương thức giáo dục lạ
hoặc duy nhất.

1.2. Các thành phần của tƣ duy sáng tạo
1.2.1. Tính mềm dẻo
Đó là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri
thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, có khả năng
định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự
vật mới trong những mối liên hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản
chất của sự vật và điều phán đoán.
Tính mềm dẻo của tư duy của HS trong học tập môn toán được biểu hiện
bởi những yếu tố cơ bản sau đây:
+ Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác,
vận dụng linh hoạt các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa,
khái quát hóa, cụ thể hóa và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn,
tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp
thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại.
+ Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những
kinh nghiệm, kiến thức, kĩ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới trong
đó đã có những yếu tố thay đổi; có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của
những kinh nghiệm, những phương pháp, những suy nghĩ đã có từ trước.
+ Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng
mới của đối tượng quen biết.
* Các bài tập chủ yếu rèn luyện tính mềm dẻo của tư duy:
+ Dạng bài tập có nhiều cách giải;
+ Dạng bài tập có nội dung biến đổi;
+ Dạng bài tập khác loại;
+ Dạng bài tập có tính đặc thù;
+ Dạng bài tập mở;

7
Ví dụ: Viết phương trình tham số dạng tổng quát của mặt phẳng
 

P
đi
qua
 
A 1;0;1
,
 
B 2;1;2
và vuông góc với mặt phẳng
 
Q :x 2y 3z 0  
.
Giải:
Nhận thấy
 
AB 1;1;1
là một VTCP của
 
P
và
 
 
Q
n 1;2;3
cũng là một
chỉ phương của
 
P
.
 

AB 1;1;1

và
 
Q
n
không cùng phương.
Ta lập được phương trình tham số của
 
P
:

 
P:
 
 
 
12
12
12
x 1 t t 1
y 2t t 2
z 1 3t t 3
  





  



Từ phương trình tham số của
 
P
ta có thể lập được phương trình tổng
quát của
 
P
theo những cách sau:
Cách 1: Khử các tham số
12
t ,t
giữa các PTTS của
 
P
.
Bước 1: Lấy
     
1
1 2 x y 1 t 4    

Bước 2: Lấy
     
1
2 3 y z 1 t 5     

Bước 3: Lấy
   
4 5 x 2y z 2    

x 2y z 2 0    
là PTTQ của (P).

Cách 2: Gọi
n
là VTPT của
 
P
. Khi đó :

 
 
Q
2 3 3 1 1 2
n AB n , , 1,2, 1
1 1 1 1 1 1

     



Khi đó PTTQ của (P) đi qua
 
A 1,0,1
và có VTPT
 
n 1,2, 1
có dạng

     
1 x 1 2 y 0 1 z 1 0 x 2y z 2 0           

Cách 3: Sử dụng tích hỗn tạp

   
 
 
     
Q
M x,y,z P D AM,n ,AB 0
x 1 y z 1
1 2 3 0 2 x 1 z 1 3y 2 z 1 3 x 1 y 0
1 1 1
x 2y z 2 0
  

            
    


8
Vậy PTTQ của
 
P
là
x 2y z 2 0   
.
Đây chính là quá trình phân tích, tổng hợp, nhìn nhận bài toán dưới nhiều
góc độ cho ta nhiều cách giải khác nhau. Qua đó thể hiện tính mềm dẻo của tư

duy.
1.2.2. Tính nhuần nhuyễn
Là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp các yếu tố riêng lẻ của
tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết về ý tưởng mới. Tính nhuần nhuyễn
được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng trong
một đơn vị thời gian.
Tính nhuần nhuyễn của tư duy trong học tập môn toán đối với HS được
biểu hiện qua các yếu tố cơ bản sau:
+ Có tính đa dạng về các phương pháp xử lí khi giải toán. Đó là khả năng
tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau.
+ Có khả năng em xét đối tượng dưới nhiều cạnh khác nhau, có cách nhìn
sinh động từ nhiều phía đối với các sự vật và hiện tượng thay vì việc nhìn nhận
sự vật, hiện tượng một cách bất biến, phiến diện, cứng nhắc.
* Các bài tập rèn luyện tính nhuần nhuyễn của TDST
+ Dạng bài tập có nhiều giải pháp giải quyết trên nhiều góc độ khác nhau
+ Dạng bài tập có nhiều kết quả
+ Dạng bài tập “câm”.
Ví dụ: Cho đường thẳng
 
d
có phương trình

 
2x y z 3 0
d:
x y z 1 0
   


   



Hãy viết PTTS của đường thẳng đó.
Giải:
Cách 1: Đặt
x 2t
.
Khi đó PTTS của đường thẳng (d) có dạng:
x 2t
y 3t 2
z t 1



  






9
Cách 2: Ta chọn 2 điểm thuộc đường thẳng
 
d
. Giả sử 2 điểm đó là
   
A 0,2, 1 ,B 2, 1,0
. Khi đó:
 

d
đi qua
 
A 0,2, 1
và có VTCP
 
AB 2, 3,1


x 2t
y 2 3t
z 1 t



  


  

là PTTS của đường thẳng (d).
1.2.3. Tính độc đáo
Tính độc đáo của tư duy của học sinh trong giải toán thể hiện qua các yếu
tố cơ bản sau:
+ Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới;
+ Khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng
như không có liên hệ với nhau;
+ Khả năng tìm ra những giải pháp lạ mặc dù đã biết những giải pháp
khác.
*) Các bài tập rèn luyện tính độc đáo của TDST:

+ Dạng bài tập không theo mẫu;
+ Dạng bài tập ngụy biện, dạng toán có liên hệ thưc tiễn.
Ví dụ: (Dạng bài tập không theo mẫu)
Cho hình hộpABCD.A’B’C’D’ biết
 
A 1,0,1
’
 
B 2,1,2
,
 
D 1, 1,1
,
 
C' 4,5, 5
. Tính tọa độ các đỉnh còn
lại của hình hộp.
Giải:
Đặt
 
C x,y,z
, ta có:
AC AB AD


   
   
   
 
x 1 2 1 1 1 x 2

y 0 1 0 1 0 y 0 C 2,0,2
z 1 2 1 1 1 z 2
DD' CC'
      


         


     





Gọi
 
D a,b,c

   
a 1,b 1,c 1 2,5, 7     

C' (4; 5; -5)
D'
D (1; -1; 1)
A (1; 0; 1)
B (2; 1; 2)
B'
A'

10

 
a3
b 4 D' 3,4, 6
c6



   





Tương tự:

 
 
CC' BB' B' 4,6, 5
AB A'B' A' 3,5, 6
  
  

Vậy tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp là
 
C 2,0,2
,
 
A' 3,5, 6

,
 
B' 4;6; 5
,
 
D' 3;4; 6
.
Các yếu tố đặc trưng cơ bản của TDST nói trên không tách rời nhau mà
trái lại chúng có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng
dễ dàng chuyển từ HĐ trí tuệ này sang HĐ trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều
kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và nhiều tình huống
khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác
nhau mà có thể tìm được phương án lạ, độc đáo (tính độc đáo). Các yếu tố này
lại có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn
thiện, tinh nhạy cảm vấn đề. Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên tạo TDST đỉnh
cao nhất trong các hoạt động của con người.
1.3. Biểu hiện của TDST trong học tập môn Toán
Để tập dượt cho HS bước đầu làm quen với HĐ sáng tạo, ta không đòi hỏi
ở mức độ cao mà chỉ cần HS vận dụng sáng tạo nội dung kiến thức với phương
pháp trong quá trình giải toán, mức độ được sắp xếp trong mức độ tăng dần của
hoạt động TDST. Có thể thấy các biểu hiện của TDST trong việc giải bài toán ở
các điểm sau:
Biểu hiện 1: Vận dụng trực tiếp những kiến thức đã học trong hoàn cảnh mới.
Ví dụ: Tìm một VTPT của các mặt phẳng sau:
a)
 
P
:
12
1 2 1 2

12
x 1 2t 3t
y 3 2t 3t ,(t ,t R)
z 2 t 2t
  


   


  


b)
 
P :2x y 4z 5 0   




11
Giải:
a) Mặt phẳng trên được cho dưới dạng tham số, khi đó
 
P
có một cặp
VTCP là:

 
 

a 2,2,1
b 3, 3,2








Do đó, VTPT
n
của
 
P
được xác định bởi:

n
=
 
2 1 1 2 2 2
a b , , 7,7,0
3 2 2 3 3 3
   
  




b) Nhận thấy mặt phẳng trên được cho dưới dạng tổng quát với

 
2
2
2 1 4  
>0
nên có VTPT là
 
n 1,2,3 .

Biểu hiện 2: Vận dụng trực tiếp một phương pháp đã biết trong một hoàn cảnh
mới.
Thông thường, người ta cho rằng, khi đã biết phương pháp, thuật giải
thì không có tính sáng tạo trong đó. Nhưng đối với HS THPT thì chúng ta lại
đòi hỏi tính sáng tạo ở khía cạnh vận dụng, tức là đứng trước một bài toán,
người HS phải biết vận dụng linh hoạt các thao tác trí tuệ như phân tích, tổng
hợp… Để nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen biết, tránh được sự rập
khuôn, máy móc.
Ví dụ: Tìm một cặp VTCP của mặt phẳng sau
 
P:
x 2y 3z 5 0   

Giải:
Ta đã biết, nếu mặt phẳng
 
P
được cho dưới dạng tham số thì dễ dàng
xác định được một cặp VTCP của
 
P

. Nhưng bài toán trên, mặt phắng
 
P

được cho dưới dạng tổng quát nên ta có thể linh hoạt giải bài toán này như sau:
Mặt phẳng
 
P
có một VTPT là
 
n 1,2,3 .

Gọi
 
1 2 3
a a ,a ,a
là một VTCP của
 
P
, ta có:

 
1 2 3
a n 0 a 2a 3a 0 1     

Ta đi tìm bộ ba thứ nhất
 
1 2 3
a ,a ,a
thỏa mãn

 
1

Cho
3
a0
,
1
a2

2
a1  
Ta được VTCP thứ nhất
 
a 2, 1,0


12
Tìm bộ ba thứ hai
 
1 2 3
a ,a ,a
thỏa mãn (1)
Cho
2 1 3
a 0,a 3 a 1    
. Ta được VTCP thứ hai
 
b 3,0, 1

Nhận thấy
a,b
là hai vector không cùng phương
Vậy một cặp VTCP của
 
P
là :
 
 
a 2, 1,0
b 3,0, 1








Biểu hiện 3: Cách giải sáng tạo bằng cách giải bài toán tương đương.
Mức độ này cao hơn hai mức độ ở trên vì trong tình huống này HS gặp lại
những bài toán không được chuẩn bị trước về kiến thức hoặc phương pháp, bắt
buộc HS phải vận dụng vốn kiến thức và hiểu biết của mình qua đặc biệt hóa,
khái quát hóa, phân tích…để hình dung ra con đường giải quyết vấn đề.
Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm
 
M 0;1;0

đến đường thẳng
 

d
, biết:

 
d:
x 1 t
y 2t ,t R
z 1 2t






  


Với bài toán này, ta nhận thấy bài toán tìm khoảng cách từ điểm
 
M 0;1;0

đến đường thẳng
 
d
được xác định bằng cách thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm VTCP
 
1 2 3
a a ,a ,a
của

 
d
và một điểm
 
 
0 0 0
A x ,y ,z d .

Ta có
   
a 1,2,2 ;A 1,0, 1

Bước 2: Khoảng cách từ
M
đến đường thẳng
 
d
được tính
22
2
m A m A m A m A
m A m A
2 3 3 1
12
y y z z z z x x
x x y y
2
d
a a a a
aa

3
   

   

Ví dụ 2: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm
 
M 1;3;2
và
có cặp VTCP là
 
a 2; 1;2
,
 
b 3; 2;1
.
Giải :
Nhận thấy, để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) ta thường gặp
bài toán đơn giản nhất là: lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và nhận
một vecto nào đó làm VTPT. Vậy ta có thể chuyển bài toán trên về bài toán đơn
giản tương đương và giải bài toán đó như sau:

13
Mặt phẳng
 
P
có cặp VTCP
a,b
.

 
 
P
1 2 2 2 2 1
n a b , , 3;4; 1
2 1 1 3 3 2
   
     




Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

     
3 x 1 4 y 3 z 2 0     
3x 4y z 13 0    

Biểu hiện 4: Vận dụng nhiều kiến thức và phương pháp
Ví dụ: Cho 3 điểm
 
A 1;0;0
,
 
B 0;2;0
,
 
C 2;0;2
trong không gian Oxyz. Viết
phương trình tổng quát của mặt phẳng

 
ABC
.
Giải:
Cách 1: Trước tiên ta lập ta lập phương trình tham số của mặt phẳng
 
ABC
qua
A
và có hai VTCP là
   
AB 1;2;0 ,AC 1;0;2


 
 
 
 
12
1 1 2
2
x 1 t t 1
ABC : y 2t 2 ,t ,t R
z 2t 3
  


  






Từ phương trình tham số trên ta thay
 
2
,
 
3
vào
 
1
được
2x y z 2 0   
là phương trình tổng quát của mặt phẳng
 
ABC
.
Cách 2: Gọi
n
là VTPT của
 
P
. Khi đó:
 
n AB AC 4;2; 2   

Suy ra, mặt phẳng
 
ABC

qua
 
A 1;0;0
và có VTPT là
 
n 4;2; 2
có
dạng:
     
4 x 1 2 y 0 2 z 0 0     
hay
2x y z 2 0   
.
Cách 3: Giả sử PTTQ của mặt phẳng (ABC) có dạng
 
ax by cz d 0 *   

Vì
A,B,C
nằm trên mặt phẳng
 
ABC
nên ta có hệ:

ad
a d 0
d
2b d 0 b
2
2a 2c d 0

d
c
2







    


  







14
Thay
a,b,c
vào
 
*
ta được
2x y z 2 0   
là phương trình tổng quát

của
 
ABC
.
Cách 4: Sử dụng tích hỗn tạp
Gọi
   
 
M x;y;z ABC D AM,AB,AC 0  


x 1 y z
1 2 0 0 2x y z 2 0
1 0 2

       
là PTTQ của mặt phẳng
 
ABC
.
1.4. Dạy học giải bài toán
1.4.1. Mục đích của việc dạy học giải bài toán
Toán học là một môn học tương đối khó và trừu tượng. Do đó, việc dạy
học giải bài toán là một việc làm khá quan trọng trong học toán. Không phải bài
toán nào cũng có công thức cụ thể để giải mà nó đòi hỏi TDST ở bản thân người
học sinh.Vậy dạy học giải bài toán để làm gì?
Dạy học giải bài toán giúp cho HS rèn luyện tính TDST trong giải toán,có
thể phân tích, nghiên cứu, nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau để
tìm ra được cách giải hợp lý nhất, tối ưu nhất, đơn giản nhất và dễ hiếu nhất,
nâng cao tính độc lập, sáng tạo trong giải toán.

1.4.2. Vị trí, chức năng của bài tập toán
Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích
dạy học ở trường phổ thông.Vì vậy tổ chức có hiệu quả trong việc giải bài tập
toán học có vai trò quyết định dối với chất lượng dạy học toán học.
Vai trò của bài tập toán thể hiện trên 3 bình diện:
- Bình diện mục tiêu dạy học
+ Hình thành củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau
trong quá trình dạy học, kể cả những kĩ năng ứng dụng vào thực tiễn.
+ Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những hoạt động tư duy, hình
thành những phẩm chất trí tuệ.
+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập và phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
- Trên bình diện nội dung dạy học trong bài tập toán là giá mang hoạt
động liên hệ với những nội dung nhất định, là một phương tiện cài đặt nội dung

15
để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó được trình bày trong phần
lý thuyết.
- Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt
động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện
các mục tiêu dạy học khác, khai thác tốt những bài học như vậy góp phần tổ
chức cho HS học tập và bằng hoạt động tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo
được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Như vậy, bài tập toán học có vai trò rất quan trọng, không chỉ phát triển
năng lực tư duy của HS, đặc biệt rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành phẩm
chất, tư duy khoa học mà còn kiểm tra đánh giá mức độ, kết quả dạy và học,
đánh giá khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển của HS .
Bài toán về phương pháp tọa độ trong không gian, mang đầy đủ chức
năng của một bài tập toán học.
1.4.3. Dạy học phương pháp chung để giải bài toán

Việc trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát
hiện cách giải bài toán có thể và cần thiết.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
Polya (1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn
dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:
Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
 Phát biểu đề bài dưới những dạng kiến thức khác nhau để hiểu rõ nội
dung bài toán
 Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh
 Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài
Bƣớc 2: Tìm cách giải
 Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một
bài toán cũng tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay
một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng
dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán
quỹ tích, v.v…

16
 Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc
biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên quan.
 Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải
hợp lí nhất.
Bƣớc 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bước theo trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải
 Nghiên cứu sâu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải
 Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Ví dụ: Cho hai đường thẳng
d
và
d'
có phương trình là:
2x y 1 0
d:
x y z 1 0
  


   

,
d':
3x y z 3 0
2x y 1 0
   


  


Viết PTTQ của mặt phẳng
 
P
đi qua hai đường thẳng
d
và
d'

.
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Phân biệt cái đã cho, cái phải tìm, phải chứng minh của bài toán như sau:
Cái đã biết: Bài toán đã cho phương trình của hai đường thẳng
d
và
d'
,biết
 
d,d' P .

Cái phải tìm: PTTQ của
 
P.

Bước 2: Tìm cách giải
Cách 1: Dựa vào kiến thức về chùm mặt phẳng và cách xác định mặt phẳng
(một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó) ta có thể giải bài
toán như sau:
Ta chọn điểm
 
A 0;1;4
, nhận thấy
Ad
A d'






Vậy, từ bài toán
 
P
đi qua hai đường thẳng
d
và
d'
ta đưa về bài toán
 
P

đi qua điểm
A
và chứa đường thẳng
d
.
Ta có
d (P)
suy ra
 
P
thuộc chùm mặt phẳng tạo bởi
d
có dạng:
(P):2x y 1 m(x y z 1) 0      


17

 
(2 m)x 1 m y mz 1 m 0(*)       

Mặt khác
A (P) (2 m) 0 (1 m) 1 4m 1 m 0          
m1  

Thay
m1
vào
 
*
ta được
 
P :x 2y z 2 0   
.
Cách 2: Ta xác định được tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là
13
I( ;0; )
22

. Gọi
 
M x;y;z (P)
.
Nhận thấy
m,n
theo thứ tự là hai VTCP của
d
và

d'
cùng với
IM
có giá
nằm trên mặt phẳng
 
P
nên ta có thể sử dụng tích hỗn tạp để giải bài toán này
như sau:
Ta có:
 
1 0 0 2 2 1
m , , 1; 2; 3
1 1 1 1 1 1

   




Và
 
1 1 1 3 3 1
n , , 1; 2; 5
1 0 0 2 2 1
   
    




Khi đó,
 
M x;y;z (P)
 
D IM,m,n 0


13
x y z
22
1 2 3
1 2 5

  
  
x 2y z 2 0    

Ta có thể kiểm tra lời giải bằng cách rà soát lại từng bước làm, từng bước
thay tọa độ.
Bước 3: Trình bày lời giải (Tương tự phân tìm cách giải)
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Vậy, một cách tổng quát: Cho hai đường thẳng phân biệt
d
và
d'
đồng
phẳng(
d d'
hoặc

d
cắt
d'
), để xác định phương trình mặt phẳng chứa cả hai
đường thẳng ta còn có thể thực hiện theo cách sau:
Bước 1: Chọn hai điểm
A,B
theo thứ tự thuộc
d
và
d'

Bước 2: Tìm một VTCP
a
của
d
. Khi đó, mặt phẳng
 
P
qua
A
và có
hai VTCP là
a,AB
. VTPT của mặt phẳng được tính bằng tích có hướng của hai
VTCP này.

18
1.5. Nội dung phƣơng pháp tọa độ trong không gian
Nội dung phương pháp tọa độ nằm trong chương trình hình họclớp 12.

Trong chương trình hình học ở trường THPT hiện nay, phương pháp tọa độ
được xem là phương pháp toán học cơ bản nhất được kết hợp cùng với phương
pháp tổng hợp (lớp 11) để nghiên cứu những đối tượng và quan hệ hình học
trong không gian.
Trước hết hoàn chỉnh về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng mà HS đã
giới thiệu sơ lược ở lớp 10. Phương pháp tọa độ trong không gian nghiên cứu 3
vấn đề: hệ tọa độ trong không gian, phương trình đường thẳng, phương trình mặt
phẳng. HS nắm được công thức tọa độ của vec-tơ, của một điểm, công thức
khoảng cách giữa 2 điểm, biểu thức tọa độ của các phép toán vec-tơ, cách lập
phương trình của một đường thẳng, mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến
một đường thẳng (mặt phẳng).
Trong không gian, nội dung của phương pháp tọa độ được bổ sung thêm
phép tính tích vec-tơ của 2 vec-tơ, tích hỗn tạp của 3 vec-tơ, biểu thức tọa độ
của chúng và các diều kiện cộng tuyến của 2 vec-tơ, điều kiện đồng phẳng của 3
vec-tơ biểu thị bằng những công thức tọa độ.
Dạy học giải bài toán bằng phương pháp tọa độ trong không gian ở lớp 12
cần liên hệ chặt chẽ với những kiến thức hình học phẳng lớp 11.VD: Góc


giữa đường thẳng
d
và mặt phẳng
 
P
là góc giữa đường thẳng
d
và hình chiếu
của nó trên
 
P

.
Việc giải toán bằng phương pháp tọa độ nhằm rèn luyện cho HS vận dụng
tổng hợp những kiến thức trên lĩnh vực này.
Thứ nhất, nhằm tập cho HS quen làm việc với những dạng xác định khác
nhau của yếu tố hình học. Tập luyện cho HS thành thạo cách chuyển từ dạng
phương trình tham số của đường thẳng sang PTTQ và ngược lại.
Điều quan trọng trong khi giải bài tập là rèn luyện cho HS khả năng nhận
biết trong trường hợp nào cần dùng loại phương trình nào, loại công thức nào
nhằm củng cố kiến thức và kĩ năng cơ bản cho HS.
Qua đặc điểm về PPTĐ trong không gian, ta thấy được với hệ thống bài
tập rất đa dạng, phong phú. Thông qua từng loại yếu tố cụ thể của TDST, HS
nắm vững được kiến thức, linh động, sáng tạo hơn trong giải toán, tạo hứng thú,
tìm tòi học hỏi hơn cho HS.
Ví dụ: Cho 2 đường thẳng
d
,
d'
và mặt phẳng
 
P
có phương trình như sau:

19
x 2t
d: y 1 t
z 3 t










x y 2 0
d':
x z 1 0
  


  

và
 
P :x y z 0  
.
Gọi
 
Q
là mặt phẳng chứa
d
và song song với
 
P
.Tìm tọa độ giao điểm
M
của
 
Q

và
d'
.
Hướng dẫn giải:
Trước hết, hướng dẫn HS có nhận xét sau: Đường thẳng
d
có một VTCP là
 
u 2; 1; 1
vuông góc với
 
n 1;1;1
. Vì vậy,
d
sẽ song song với
 
P
hoặc nằm
trong
 
P
.
Nhưng ta nhận thấy
 
N 0;1;3
thuộc
d
nhưng không thuộc
 
P

, do
đó
d (P)
. Suy ra, có một mặt phẳng
 
Q
chứa
d
và song song với
 
P
.
Mặt
 
Q
qua
N
và có VTPT
 
n 1;1;1
có phương trình
x y z 4 0   

Khi đó, tọa độ giao điểm
M
là nghiệm của hệ phương trình:

x y z 4 0 x 3
x y 2 0 y 1
x z 1 0 z 2

    


     


   


Vậy
 
M 3; 1;2

Thứ hai: Thông qua những bài toán cụ thể, dần cho học sinh nắm được quy
trình giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ mà các khâu quan trọng là:
- Chọn hệ tọa độ thích hợp;
- Phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ tọa độ;
- Dùng các kiến thức tọa độ để giải bài toán;
- Phiên dịch kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học.
Việc tạo điều kiện, cơ hội cho HS thường xuyên ôn tập, củng cố những
kiến thức, kĩ năng đã học là cần thiết để dần hình thành và phát triển năng lực
giải toán cho HS.
1.6. Thực tiễn dạy học ở trƣờng phổ thông
1.6.1. Điều tra đối với giáo viên
- Mục đích điều tra: Bước đầu tìm hiểu việc rèn luyện TDST cho HS thông
qua việc dạy học giải một số bài toán về phương pháp tọa độ trong không gian.

20
- Đối tượng điều tra: Giáo viên đang trực tiếp giảng dạy môn toán ở
trường THPT Trần Phú gồm 10 giáo viên, THPT Hồng Lam gồm 14 giáo viên.

Kết quả như sau:
Bảng 1: Đội ngũ giáo viên toán của 2 trường THPT
Tên
Trường
THPT
Số
Lượng
Tuổi nghề
Hệ đào tạo
Trình độ chuyên
môn
1-10
10-20
Trên
20
Trên
ĐH
ĐH
CĐ
Giỏi
Khá
TB
Trần
Phú

10

4

4

2

2

8

0

4

6

0
Hồng
Lam

14

6

5

3

0

14

0

4

10

0

1.6.2. Điều tra đối với học sinh
- Đối tượng điều tra: HS lớp 12 ở hai lớp 12A1, 12A2.
Khó khăn lớn nhất của HS THPT nói chung là chưa linh hoạt trong việc
giải một số bài toán về tọa độ trong không gian, dễ chán nản, ngại làm khi
gặp bài toán giải một số bài toán về phương pháp tọa độ trong không gian ở
dạng khó.
Bảng 1
STT
Tên trường
Lớp
Sĩ số
Kết quả học tập
Khá - Giỏi
TB
Yếu kém
1
THPT
Trần Phú
12A1
45
28
11
6

2
THPT
Hồng Lam
12A2
42
25
12
5