Một số kỹ năng giải các bài toán về bất đẳng thức

Một số kỹ năng giải các bài toán bất đẳng thức

Trong ch-ơng trình toán học trung học phổ thông, các bài toán về bất đẳng thức luôn thu hút đ-ợc nhiều đối t-ợng
học sinh, bởi vì đây là phần khó và thú vị của toán học. Điều đặc biệt là một bài bất đẳng thức khó có thể giải đ-ợc
bằng những cách ấn t-ợng khi áp dụng những bất đẳng thức đơn giản nh- : Cauchy, Bunhia -Copxki, Chebysep hay
bất đẳng thức hoán vị. Trong đó bất đẳng thức Cauchy và Bunhia Copxki là hai bất đẳng thức đ-ợc sử dụng rộng rãi
nhất trong ch-ơng trình toán học phổ thông. Tuy nhiên việc nhận dạng và biến đổi hai bất đẳng thức này là không
hề đơn giản.
Xuất phát từ nhu cầu thực tế ,chúng tôi nêu ra một số ph-ơng pháp biến đổi và những biến dạng có ứng dụng
hay trong giải toán của bất đẳng thức Cauchy và Bunhia-Copxki đồng thời nêu ra con đ-ờng tu duy mạch lạc về kĩ
thuật biến đổi của hai bất đẳng thức này ,đ-a chúng ta đến với những lời giải hay và ấn t-ợng.
I. Kĩ thuật chọn điểm rơi khi sử dụng BĐT Cauchy.
Nh- chúng ta đã biết, BĐT Cauchy là BĐT thức đ-ợc sử dụng rất rộng rãi trong ch-ơng trình toán học THPT.
Đặc biệt là trong các bài toán về chứng minh bất đẳng thức, nó đã thể hiện rõ -u điểm của mình. BĐT Cauchy
không yêu cầu ng-ời sử dụng một trình độ quá cao về các kĩ thuật phân tích và biến đổi, mà chỉ cần ở mức độ trung
bình là có thể sử dụng đ-ợc BĐT này.
Vâng, Cauchy là một BĐT khá cổ điển mang dáng đấp khá đơn giản, dể sử dụng trong cả việc lựa chọn đối t-ợng
và xét dấu = xảy ra. Tuy nhiên trong quá trình học tập, chúng tôi nhận thấy rằng, chính điều đơn giản này của
BĐT Cauchy lại luôn gây ra cho học sing những sai lầm không đáng có. Điều kiện dấu bằng xảy ra của BĐT
Cauchy luôn là con dao hai l-ỡi, nó có thể giúp ta giải bài toán nhanh hơn, chính xác hơn, nh-ng cũng có thể biến
toàn bộ bài giải của chúng ta về con số 0.
Sai lầm về dấu = trong BĐT Cauchy th-ờng đến d-ới hai dạng sau đây:
- Dấu = của BĐT Cauchy không xảy ra.
- Dấu = xảy ra không thuộc vùng giá trị chúng ta đang xét.
Do vậy, trong khi áp dụng BĐT Cauchy, chúng ta phải rất l-u tâm đến điều này. Ví dụ đầu tiên d-ới đây sẽ giúp
các bạn hình dung rõ hơn:
VD1: Với x

2, tìm GTNN của P =
x

1
+ 4x.
Khi nhìn thấy đề bài này, nhiều bạn sẽ nghĩ ngay tới việc sử dụng BĐT Cauchy trực tiếp cho 2 số
x
1
và 4x với hi
vọng khử hết đ-ợc x.
Tuy nhiên sai lầm lại từ chính chỗ đấy:
P =
x
1
+ 4x

2
x
x
4.
1
= 4 .
Dấu = xảy ra


x
1
= 4x

x=
2
1
không nằm trong vùng mà ta đang xét là x

2 .
Do vậy khi gặp tình huống này, học sinh tuy đã nhận ra sai lầm trong phép Cauchy trực tiếp, nh-ng vẫn luống
cuống vì không tìm đ-ợc h-ớng giải quyết tiếp theo. ở đây, để xét cho tổng quát, ta có thể tách 4x=ax+bx
và dùng BĐT Cauchy cho
x
1
và ax :
P =
x
1
+ ax + bx

2
ax
x
.
1
+ bx = 2
a
+ bx

2
a
+ 2b ( x

2).


Dấu = xảy ra

2
1
x
ax
x









4
1
2
a
x
.

Khi đã xác định đ-ợc a và b, ta sẽ thay quay trở lại bài toán và sử dụng BĐT Cauchy một cách bình th-ờng :

Ta có :
P =
x
1
+
4
x
+
4
15x


2
4
.
1 x
x
+
4
15x
= 1 +
4
15x


2
17
.
Dấu = xảy ra

x=2.
Vậy GTNN của P là
2
17
khi x = 2.
Bằng cách phân tích gián tiếp nh- trên, ta đã biết đ-ợc P đạt GTNN khi x=2, giá trị này đ-ợc gọi là điểm rơi của
bài toán. Khi đó nếu chúng ta sử dụng các BĐT trung gian trong bài giải của mình, các bạn luôn phải chú ý đến
điều kiện để dấu = của các BĐT này xảy ra chính là điểm rơi của bài toán.
Để sử dụng BĐT Cauchy trong bài này, ta phải tách 4x thành
4
x
+
4
15x
, vì khi sử dụng BĐT Cauchy cho
x
1
và
4
x
thì dấu = của BĐT Cauchy xảy ra khi x=2 chính là điểm rơi của bài toán.

Ph-ơng pháp phân tích và sử dụng BĐT Cauchy nh- vậy đ-ợc gọi là ph-ơng pháp chọn điểm rơi của BĐT Cauchy.

Nhiều bạn khi xem xong VD1 sẽ thắc mắc rằng có phải nhất thiết phải làm nh- vậy không, trong khi chúng ta vẫn
có thể giải bài toán này một cách dễ dàng hơn bằng các ph-ơng pháp khác nh- sử dụng tính chất của hàm số, các
kiến thức về giới hạn, - Đúng vậy chọn điểm rơi không phải là cách duy nhất để giải quyết bài toán trên, tuy nhiên
hãy cứ tiếp tục đến với ví dụ 2 d-ới đây, bạn sẽ thấy ngay điều chúng tôi muốn nói.

VD2: Tìm GTLN của biểu thức

A =
3
3
)( cba
+
3
3
)( cab
+
3
3
)( bac


với a,b,c là các số thực d-ơng thỏa mãn a+b+c = 3.
Sau khi các bạn đọc xong đề bài này, tôi có thể khẳng định rằng nếu không sử dụng kĩ thuật chọn điểm rơi, bạn
gần nh- không thể giải ra bài này bằng một ph-ơng pháp nào khác. Chúng ta cùng đến với lời giải d-ới đây :
Để có thể làm mất căn bậc ba, ta phải sử dụng Cauchy cho 3 số. Vì đây là một BĐT hoán vị vòng quanh ( vai trò
của các biến là nh- nhau ) nên rất có thể dấu = xảy ra khi a = b = c = 1. Tuy nhiên để cho chính xác ta cứ nhân
thêm các số

,,
vào tích
3
)( cba
và sử dụng BĐT Cauchy :

A =
3

333
)(
3
)(
3
)(
3







baccabcba






3
333
.3
)(
3
3)(
3
3)(
3

3







baccabcba




3
.3
)(
3
)(
3
)(
3







baccabcba

=
3
3
))(2(


cba
=
3
3
)2(3



(1).

Dấu = xảy ra

)(
3
)(
3
)(
3
bac
cab
cba


















6

3
1cba


Khi đó, thay vào (1) ta đ-ợc A


3
18
, dấu = xảy ra

a = b = c = 1.
Tuy nhiên khi đã quen với ph-ơng pháp này rồi,khi bạn đã tự tin với khả năng của mình, sau khi dự đoán đ-ợc
điểm rơi, bạn nên lựa chọn các số

,,
cho phù hợp với dấu = của BĐT Cauchy, có nghĩa là:
Tìm

,,
sao cho khi a = b = c = 1 thì
)(
3
cba

6
3

Nếu chọn
1,2,6

, ta sẽ đ-ợc bài làm hoàn chỉnh:

Ta có:
A =
3
333
12
).(2.2).(2.2).(2.2 baccabcba
(
3
3
ta đ-a xuống d-ới mẫu)


CụSi

3
123

)(22)(22)(22 baccabcba

=
3
18


Dấu = xảy ra

a = b = c = 1.

Qua hai ví dụ trên, chúng ta có thể thấy -u điểm của ph-ơng pháp chọn điểm rơi, nó luôn đi kèm với BĐT
Cauchy và không thể tách rời. Khi nào bạn có ý định sử dụng BĐT Cauchy, hãy tự hỏi rằng : Dấu = của BĐT
Cauchy có xảy ra hay không, và nó có trùng với dấu = của bài toán hay không . Những câu hỏi nh vậy sẽ làm bạn
luôn cảnh giác với các đối t-ợng đ-ợc sử dụng trong BĐT Cauchy, khi đó ta có thể dễ dàng sử dụng các kĩ thuật
nh- tách, ghép, nhân thêm, chia bớt, để cân bằng các vế khi sử dụng BĐT Cauchy .

Cuối cùng để kết thúc kĩ thuật chọn điểm rơi chúng ta sẽ đến với một ví dụ rất hay về kĩ thuật này, mà nếu
không sử dụng kĩ thuật này, bài toán gần nh- không còn cách giải khác :


VD3 : Cho a,b,c d-ơng thoã mãn ab+bc+ac = 1,
Chứng minh :

3
6
1
b
a

+
3
6
1
c
b

+
3
6
1
a
c




abc
1
.

Việc dự đoán dấu = xảy ra là không thể thiếu trong các bài toán chứng minh bài toán có sử dụng BĐT Cauchy ,
ở bài này dấu bằng xảy ra khi a = b = c =
3
1
(Do vai trò của các biến nh- nhau).
Dựa vào điều kiện của đề bài ab+bc+ac=1, để làm xuất hiện tổng này, ta phải phân tích thành nhân tử nh- sau :
VT =
3
)61(

1
ab
a

+
3
)61(
1
bc
b

+
3
)61(
1
ac
c


Để làm mất căn bậc ba ta phải sử dụng BĐT Cauchy cho 3 số và sử dụng ph-ơng pháp chọn điểm rơi bằng
cách nhân thêm vào vế trái số

,

sao cho khi a = b = c =
3
1
thì

=

.
a
1
= 1 + 6ab






3
3


, vì vậy ta
phải nhân thêm vào vế trái
3
:

3
.VT =
3
)61.(
3
.3 ab
a

+
3

)61.(
3
.3 bc
b

+
3
)61.(
3
.3 ac
c






3
61
3
361
3
361
3
3 ac
c
bc
b
ab
a

=
3
)(6)
111
(312 acbcab
cba

=
3
)
111
(318
cba


=
3
3
18
abc

( vì
abcabc
acbcab
cba
1111

).

=
abc
abc
3
318




abc
acbcab
3
3
27
)(
18
3


( vì
acbcab
3
2
)(3 abc
).

=
abc
3
.

Vậy
3
.VT


abc
3


VT


abc
1
( đpcm )


Dấu = xảy ra


3
1
cba
.

Với phần trên chúng ta đã tìm hiểu về kĩ thuật chọn điểm rơi của bất đẳng thức Cauchy, tuy nhiên không phải lúc
nào bất đẳng thức Cauchy cũng cho kết quả nh- ta mong muốn.Có thể trong quá trình giải toán tất cả chúng ta đều
biết cách áp dụng Cauchy một cách bình th-ờng, nh-ng ít ai biết đến một kĩ thuật rất độc đáo và có ứng dụng rất
hay trong giải toán bất đảng thức: đó là ph-ơng pháp Côsi ng-ợc dấu.
Ngay khi nghe tên ph-ơng pháp này sẽ có rất nhiều bạn thắc mắc về ph-ơng pháp này: ng-ợc dấu là nh- thế nào,sử
dung nó trong Côsi nh- thế nào là câu hỏi mà chúng se trả lời trong phần này.
Ta đi xét ví dụ đầu tiên:
VD: Cho a,b,c>0 thoả mãn a+b+c=3, chứng minh rằng

2
3
111
222





a
c
c
b
b
a


Với nền tảng về bất đẳng thức Côsi hiện có ta nghĩ ngay đến việc Côsi cho mẫu số. Tuy nhiên việc này lại đ-a
đến cho chúng ta một kết quả không nh- ý muốn:

bb 21

2

từ đó ta có
b
a
b
a
21
2


.T-ơng tự với hai số hạng còn lại ta thu đ-ợc:

2
3
8
3
222111
3
222





abc
abc
a
c
c

b
b
a
a
c
c
b
b
a

Ta có thể thấy rằng, vấn đề ở đây là khi ta cosi cho mẫu số thì dấu của bất đẳng thức lập tức đổi chiều mà đây lại
là điều mà ta không mong muốn ,nên ta phải tìm cách để khắc phục điều này.
ở đây,do dấu của bất đẳng thức ng-ợc với điều ta mong muốn nên ta sẽ tìm cách đ-a dấu trừ về tr-ớc để bất
đẳng thức đảo chiều một lần nữa. Muốn làm đ-ợc việc này ta thực hiện phép chia tử cho mẫu,nhằm mục đích tạo ra
phân thức có mẫu số đã cho tuy nhiên lai có dấu trừ phía tr-ớc.


2211
2
2
2
2
ab
a
b
ab
a
b
ab
a

b
a




(1)


T-ơng tự với hai số hạng còn lại:

)2(
2211
2
2
2
2
cb
b
c
bc
b
c
bc
b
c
b

2211
2
2
2
2
ac
c
a
ca
c
a
ca
c
a
c




(3)
Cộng vế theo vế (1) (2) (3) ta có


2
3
3
)(
2

1
3
222111
2
222








cbacabcab
cba
a
c
c
b
b
a

(Sử dụng BĐT quen thuộc:

cabcabcba 3
2
)

Từ bài toán trên ta có thể thấy rằng kĩ thuật Cosi ng-ợc tuy là mới mẻ nh-ng cũng rất đơn giản và hơn hết nó giải
quyết đ-ợc nhiều bài toán khó mà khi giải bằng các cách khác th-ờng rất khó và phức tạp.Đặc biệt Cosi ng-ợc dấu

mang lại hiệu quả cao với những bài BĐT hoán vị.Một điều không thể quên ở đây là điều kiện xảy ra dấu bằng
Tr-ớc khi làm bất kì một bài toán nào hay áp dụng một BĐT nào ta cũng phải dự đoán tr-ớc dấu bằng của nó và so
sánh với dấu bằng của các BĐT khác và của cả bài toán để tránh khỏi việc dấu bằng của bài toán không xảy ta.
Với ví dụ 1 ta đã có b-ớc mở đầu về Cosi ng-ợc dấu, ta đi xét tiêp ví dụ 2 để hiểu rõ hơn về ph-ơng pháp này.

Cho a,b,c>0 và a+b+c=3.Chứng minh rằng:



3
1
1
1
1
1
1
222









a
c
c
b

b
a

Rõ ràng đây là một bất đẳng thức hoán vị vầt cũng dễ dàng nhận ra rằng không thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức
cosi hay bất cứ một bất đẳng thức nào khác.Do vậy ,điều ta nghĩ đến ở đây là Cosi ng-ợc dấu:

T-ơng tự nh- ví dụ 1 ta cũng thực hiện phép chia tử cho mẫu và sau đó tách thành hai phần và ử dụng Cosi cho
mẫu số:


2
1
2
)1(
1
1
)1(
)1(
1
1
2
2
2
2
bab
a
b
ab
a
b

ba
a
b
a










Cũng làm nh- vậy với hai số hạng sau ta có

2
1
2
)1(
1
1
)1(
)1(
1
1
2
2
2
2

ccb
b
c
bc
b
c
cb
b
c
b











2
1
2
)1(
1
1
)1(
)1(
1

1
2
2
2
2
aca
c
a
ca
c
a
ac
c
a
c











Cộng vế theo vế các BĐT thức ta có
VT
3
2

3
)(
3
2
3
2






bca
cba
cbacabcba
cba

(áp dụng BĐT

cabcabcba 3
2
)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
Bài toán sẽ đi vào bế tắc khi ta không nhận ra và sử dụng hợp lí kĩ thuật Côsi ng-ợc.
Kĩ thuật này th-ờng đ-ợc sử dụng trong những bài toán mà khi ta côsi mẫu thức thì dấu của BĐT không nh- mong
đợi, lúc này chính là lúc ta cần dùng đến kĩ thuật Côsi ng-ợc dấu.

Tóm lại, qua các ví dụ trên để sử dụng đ-ợc cosi ng-ợc thì ta cần có b-ớc phân tích hợp lí mà cụ thể là thực hiên
phép chia tử cho mẫu và dùng BĐT côsi nh- bình th-ờng .Kĩ thuật côsi ng-ơc tuy khá đơn giản nh-ng mang lại
hiệu quả cao , giúp giải quyết đ-ợc một số bài BĐT thức khó một cách gọn gàng và rất chính xác do vậy mong rằng

các bạn chú ý tới kĩ thuật này để áp dụng vào bài làm của mình.

ĐTHSG TOAN2011