HE THUC VIET VA DUNG DUNG

Chuyeân ñeà
Toå Toaùn

Giải phương trình: x
2
– 6 x + 5 = 0 bằng 2 cách
(bằng công thức nghiệm và bằng cách đưa về pt tích)
Giải:
KIỂM TRA BÀI CŨ
Giải bằng cách đưa về phương trình tích:
Ta có: x
2
– 6 x + 5 = 0 ⇔ x
2
– x – 5x + 5 = 0
⇔ x( x – 1 ) – 5 ( x – 1 ) = 0
⇔ ( x – 1 ) ( x – 5 ) = 0
Phương trình có 2 nghiệm:
1 2
x 1;x 5= =

’
= b’
2
– ac = 9 – 5 = 4 > 0 ⇒
∆
,
2=
Vậy pt có hai nghiệm phân biệt là:

∆
, ,
1
b 3 2
x 5
a 1
− + +
= = =
∆
, ,
2
b 3 2
x 1
a 1
− − −
= = =
;

Ta có : a = 1 , b’= -3 , c = 5
Giải bằng công thức nghiệm

Tiết 56 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. HÖ thøc vi- Ðt
Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx +c = 0
(a#0) có nghiệm thì dù đó là hai nghiệm
phân biệt hay nghiệm kép ta đều có thể
viết các nghiệm đó dưới dạng:
a

b
x,
a
b
x
22
21
∆−−
=
∆+−
=
H y tÝnh : x·
1
+x
2
=
x
1
. x
2
=
Làm trên phiếu học tập

1. HÖ thøc vi- Ðt
1 2
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆

+ = +
( )
2
2
2
b b
a
b
a
− + ∆ + − − ∆
=
−
= =
-
b
a
1 2
.
2 2
b b
x x
a a
   
− + ∆ − − ∆
= ×
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
2 2 2
2 2

2
( 4 )
4 4
4
4
b b b ac
a a
ac
a
−∆ − −
= =
= =
c
a
Tiết 56 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1. HÖ thøc vi- Ðt
Phrăng-xoa Vi-ét là nhà Toán học- một
luật sư và là một nhà chính trị gia nổi
tiếng người Pháp (1540 - 1603). Ông đã
phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm
và các hệ số của phương trình bậc hai
và ngày nay nó được phát biểu thành
một định lí mang tên ông .
F.Viète
Tiết 56 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
§Þnh lÝ vi- Ðt
NÕu x
1
, x

2

lµ hai nghiÖm cña ph
¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c= 0 (a≠0) th×







=
−=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21

1. Hệ thức vi ét
p dng:
Bit rng cỏc phng trỡnh sau cú
nghim, khụng gii phng trỡnh,
hóy tớnh tng v tớch ca chỳng:
a/ 2x

2
- 9x + 2 = 0
b/ -3x
2
+ 6x -1 = 0
Giải
a/ x
1
+ x
2
=
x
1
.x
2
= 1
( )
9
9
2 2

=
b/ x
1
+ x
2
=
x
1
.x

2
=
6
2
3

=

1 1
3 3

=

áp dụng
Tit 56 H THC VI-ẫT V NG DNG
Định lí vi- ét
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của ph
ơng trình ax
2
+ bx + c= 0 (a0) thì

=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
Vỡ pt cú nghim nờn
theo h thc Vi ột ta cú

Hoạt Động nhóm
T 1 và t 3 ( Làm ?2 )
Cho phơng trình 2x
2
- 5x+3 = 0 .
a) Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a+b+c.
b) Chứng tỏ x
1
= 1 là một nghiệm của ph
ơng trình.
c) Dùng định lý Vi- ét để tìm x
2.
.
T 2 và t 4 ( Làm ?3)
Cho phơng trình 3x

2
+7x+4=0.
a) Chỉ rõ các hệ số a,b,c của phơng
trình v tính a-b+c
b) Chứng tỏ x
1
= -1 là một nghiệm của
phơng trình.
c) Tìm nghiệm x
2.
1. Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của phơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì







=
=+
a

c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
Tit 56 H THC VI-ẫT V NG DNG
Nh nh lớ Vi ột nu bit 1 nghim
ca pt thỡ cú th suy ra nghim kia
Ta xột 2 trng hp c bit sau

1. HÖ thøc vi Ðt
§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiÖm
cña ph¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c= 0 (a≠0)
th× :








=
−=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
¸p dông
Tæng qu¸t 1 : NÕu ph¬ng tr×nh
ax
2
+bx+c= 0 (a≠ 0 ) cã a+b+c=0 th× ph
¬ng tr×nh cã m«t nghiÖm x
1
=1, cßn
nghiÖm kia lµ
c
a
x
2
=
Ho¹t §éng nhãm
T 1 vµ t 3 ( ổ ổ Lµm ?2 )
Trả lời:
Phương trình 2x
2

-5x + 3 = 0
a/ a =2 ; b = - 5 ; c = 3
a+b+c =2+(-5)+3=0
b/ Thay x=1 vào phương trình ta được:
2+(-5)+3=0
Vậy x=1 là một nghiệm của phương
trình
c/ Ta có x
1
.x
2
= c/a = 3/2 => x
2
= 3/2
Tiết 56 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa
tổng các hệ số với 2 nghiệm của pt?

1. HÖ thøc vi Ðt
§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiÖm
cña ph¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c= 0 (a≠0) th×








=
−=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
¸p dông
Tæng qu¸t 1 : NÕu ph¬ng tr×nh
ax
2
+bx+c= 0 (a≠ 0 ) cã a+b+c=0 th× ph
¬ng tr×nh cã m«t nghiÖm x
1
=1, cßn
nghiÖm kia lµ
c
a
x
2
=
Tæng qu¸t 2: NÕu ph¬ng tr×nh

ax
2
+bx+c=0 (a≠0 ) cã a-b+c = 0 th× ph
¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x
1
= -1, cßn
nghiÖm kia lµ
x
2
=
c
a
−
Ho¹t §éng nhãm
Tổ 2 và tổ 4:
Phương trình 3x
2
+7x + 4= 0
a/ a =3 ; b = 7 ; c = 4
a-b+c =3 + (- 7) + 4 = 0
b/ Thay x= -1 vào phương trình ta
được: 3+(-7)+4=0
Vậy x= -1 là một nghiệm của phương
trình
c/ Ta có x
1
.x
2
= c/a = 4/3 => x
2

= -4/3
Tiết 56 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa
các hệ số với 2 nghiệm của pt?

1. Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của phơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx

21
21
áp dụng
?4:Tính nhẩm nghiệm của phơng trình
a/ - 5x
2
+3x +2 =0;
b/ 2004x
2
+ 2005x+1=0
b/ 2004x
2
+2005x +1=0
có a=2004 ,b=2005 ,c=1
=>a-b+c=2004-2005+1=0
x
2
= -
1
2004
Vậy x
1
= -1,
a/ -5x
2
+3x+2=0 có a=-5, b=3, c=2
=>a+b+c= -5+3+2= 0.
Vậy x
1
=1,

2
2 2
5 5
x

= =

Tổng quát 1 : Nếu phơng trình
ax
2
+bx+c= 0 (a 0 ) có a+b+c=0 thì ph
ơng trình có môt nghiệm x
1
=1, còn
nghiệm kia là
c
a
x
2
=
Tổng quát 2: Nếu phơng trình
ax
2
+bx+c=0 (a0 ) có a-b+c = 0 thì ph
ơng trình có một nghiệm x
1
= -1, còn
nghiệm kia là
x
2

=
c
a

Tit 56 H THC VI-ẫT V NG DNG
Lời giải

1.HÖ thøc vi Ðt
§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiÖm
cña ph¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c= 0(a≠0) th×







=
−=+
a
c
x.x
a

b
xx
21
21
¸p dông
Tæng qu¸t 1 :(SGK)
Tæng qu¸t 2:(SGK)
2. T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch
cña chóng :
Tiết 56 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Hệ thức Vi-ét cho ta biết cách
tính tổng và tích của hai nghiệm
phương trình bậc hai
Ngược lại nếu biết tổng của
hai số bằng S và tích của chúng
bằng P thì hai số đó là nghiệm
của phương trình nào?

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của phơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì

=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2. Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P
thì hai số đó là hai nghiệm của phơng
trình x
2
Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
+ Cho hai số có tổng l S và tích
bằng P. Gọi một số là x thì số kia là

x(S x) = P
Nếu = S
2
- 4P 0,
thì phơng trình (1) có nghiệm.Các nghiệm
này chính là hai số cần tìm.
áp dụng
Ví dụ 1: Tìm hai số, biết tổng của chúng
bằng 27, tích của chúng bằng 180.
Giải :
Hai số cần tìm là nghiệm của phơng trình.
x
2_
27x +180 = 0
= 27
2
- 4.1.180 = 729-720 = 9 >0
12
2
327
15
2
327
21
=

==
+
=
x,x

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12
S -x .
Theo giả thiết ta có phơng trình
<=> x
2
- Sx + P= 0 (1)
Tit 56 H THC VI-ẫT V NG DNG

9
=
= 3

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm
của phơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì







=

=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2. Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P
thì hai số đó là hai nghiệm của phơng
trình x
2
Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
áp dụng
?5. Tìm hai số biết tổng của chúng
bằng 1, tích của chúng bằng 5.
Giải
Hai số cần tìm là nghiệm của phơng
trình : x
2
- x + 5 = 0

= (-1)
2
4.1.5 = -19 < 0.
Phơng trình vô nghiệm.
Vậy không có hai số nào có tổng bằmg 1
và tích bằng 5.
Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của phơng
trình x
2
-5x+6 = 0.
Giải.

= 25 24 = 1>0
Vì: 2+3 =5; 2.3 = 6,
nên x
1
= 2, x
2
= 3 là hai nghiệm
của phơng trình đã cho.
Tit 56 H THC VI-ẫT V NG DNG

Ngoi 2 cỏch gii phn kim tra. Qua bi hc ny ta cú th gii pt
x
2
6x + 5 = 0 bng 2 cỏch na?ú l nhng cỏch no?
* Dựng iu kin a+b+c=0 hoc a-b+c=0 tớnh nhm nghim
Giải
Ta có a=1, b= - 6, c=5
=>a + b + c = 1+(- 6) + 5 = 0.

Nờn phng trỡnh cú hai nghim l:
1 2
1; 5
c
x x
a
= = =
* Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm.
Vì : 1 + 5 = 6 và 1. 5 = 5
nên x
1
=1 ,x
2
= 5 là hai nghi m c a
phơng trình
Giải
= 9 5 = 4>0

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét:
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của phơng
trình ax
2
+ bx + c= 0 (a0) thì

=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2.Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phơng trình x
2
Sx
+ P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0

Luyện tập
Bài tập 25: Đối với mỗi phơng trình sau,
kí hiệu x
1
và x
2
là hai nghiệm (nếu có).
Không giải phơng trình, hãy điền vào
những chỗ trống ( ).
a/ 2x
2
- 17x+1= 0, = x
1
+x
2
=
x
1
.x
2
=
b/ 5x
2
- x- 35 = 0, = x
1
+x
2
=
x
1

.x
2
=
c/ 8x
2
- x+1=0, = x
1
+x
2
=
x
1
.x
2
=
d/ 25x
2
+ 10x+1= 0, = x
1
+x
2
=
x
1
.x
2
=
281
17
2

1
2
701
1
5
-7
-31
0
2
5

1
25
Khụng cú
Khụng cú
Tit 56 H THC VI-ẫT V NG DNG

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Chọn câu trả lời đúng :
B
A
C
D
x
2
- 2x + 5 = 0
x
2
+ 2x – 5 = 0
x

2
- 7x + 10 = 0
x
2
+ 7x + 10 = 0
sai
ún
g
Đ
Sai
Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình nào:

Tớnh nhaồm nghieọm cuỷa caực phửụng trỡnh sau
. 4x
2
-

6x + 2 = 0 => x
1
= ; x
2
=
.
2x
2
+ 3x + 1 =0 => x
1
= ; x
2
=

1
2
1
1/2
- 1 -1/2

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét:
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của phơng
trình ax
2
+ bx + c= 0 (a0) thì







=
=+
a
c
x.x

a
b
xx
21
21
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2.Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phơng trình x
2
Sx
+ P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
Hng dn v nh:
a) Bi va hc:
-Hc thuc nh lớ Vi-ột v
cỏch tỡm hai s bit tng v tớch.
-Nm
vng cỏch nhm nghim: a+b+c=0;
a-b+c=0
-Trng hp tng v tớch
ca hai nghim ( S v P) l nhng s
nguyờn cú giỏ tr tuyt i khụng quỏ
ln.

Tit 57 BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
BTVN: 26,27 28 /tr53, 29/tr54 (SGK)

HƯỚNG DẪN BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài: 28 (SGK) Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
b/ u+v= -8, u.v = -105 c/ u+v=2, u.v=9
Chú ý: u+v= S và uv= P
-Hai số u và v là hai nghiệm của phương trình:
x
2
– Sx + P=0 (Δ = S
2
- 4P 0≥ )
Bài 29: (SGK) Không giải phương trình ,hãy tính tổng và tích các
nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau: .
a/ 4x
2
+ 2x - 5 = 0 b/ 9x
2
- 12x + 4 = 0
c/ 5x
2
+ x + 2 = 0 d/ 159x
2
- 2x -1 = 0
Chú ý: -Xét phương trình có nghiệm : (hay ac < 0)
-Rồi tính tổng x
1
+x
2 ;

tích x
1
x
2
0
∆ ≥
b) Tiết sau:
Tiết 57 : luyện tập (các em sử dụng hệ thức Vi-ét chuẩn bị
trước các bài tập 30 đến 33 (SGK/ tr 54) )


Chuyeân ñeà
Toå Toaùn

1. Hệ thức vi ét
Định lí vi- ét
Nếu x
1
, x
2

là hai nghiệm của phơng
trình ax
2
+ bx + c= 0 (a 0) thì

=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
Giải
áp dụng
Tit 56 H THC VI-ẫT V NG DNG

Khụng gii phng trỡnh hóy tớnh tng
v tớch hai nghim ca phng trỡnh
x
2
6x + 5 = 0 v tớnh nhm nghim
ca phng trỡnh.
Vỡ = 9 5 = 4>0
x
1
+ x
2
=
x
1

.x
2
=
( )
6
6
1
b
a


= =
5
5
1
c
a
= =
Suy ra: 1 + 5 = 6
1 . 5 = 5
Vy hai nghim ca phng trỡnh l:
x
1
=1 ; x
2
=5

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x
1

, x
2

là hai nghiệm
của phơng trình ax
2
+ bx + c= 0(a0) thì







=
=+
a
c
x.x
a
b
xx
21
21
áp dụng
Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)
2.Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phơng trình x
2
Sx
+ P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S
2
-4P 0
Bài 27/ SGK.Dùng hệ thức Vi-ét
để tính nhẩm các nghiệm của ph
ơng trình.
a/ x
2
7x+12= 0 (1)
b/ x
2
+7x+13=0 (2)
Nửa lớp làm câu a .
Nửa lớp làm câu b.
Giải
a/ =(7)
2
4.1.12 = 49 48 =1 > 0.
Vì : 3 + 4 = 7 và 3. 4 = 12
nên x
1
=3, x
2
= 4
là hai nghi m c a phơng trình

(1)
Tit 56 H THC VI-ẫT V NG DNG
b/ =(-7)
2
4.1.13 = 49 52 = -3 < 0.
V y: Phơng trình (2) vô nghiệm.

1.HƯ thøc vi Ðt
§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x
1
, x
2

lµ hai nghiƯm
cđa ph¬ng tr×nh ax
2
+ bx + c= 0(a≠0) th×







=
−=+
a
c
x.x
a

b
xx
21
21
¸p dơng
Tỉng qu¸t 1 :(SGK)
Tỉng qu¸t 2:(SGK)
2.T×m hai sè biÕt tỉng vµ tÝch
cđa chóng :
NÕu hai sè cã tỉng b»ng S vµ tÝch
b»ng P th× hai sè ®ã lµ hai nghiƯm cđa
ph¬ng tr×nh x
2
- Sx +
P = 0
§iỊu kiƯn ®Ĩ cã hai sè ®ã lµ S
2
-4P ≥0
Tiết 56 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
Hai số u và v là hai nghiệm của
phương trình: x
2
– 32x + 231 = 0
∆’ = 256 – 231 = 25 > 0
⇒ = 5
x
1
= 16 + 5 = 21
x
2

= 16 – 5 = 11
Vậy u = 21, v = 11 ho c u = 11,v = ặ
21
25
Bài tập: 28 (a) /SGK.
Tìm hai số u và v biết u +
v=32, u.v = 231.
Gi¶i

Tớnh nhaồm nghieọm cuỷa caực phửụng trỡnh sau
. 4x
2
-

6x + 2 = 0 => x
1
= ; x
2
=
. 2x
2
+ 3x + 1 =0 => x
1
= ; x
2
=
x
2
- 5x + 6 = 0 => x
1

= .; x
2
=
2x
2
+ x + 5 = 0 => x
1
= ; x
2
=.
x
2
+ 3x - 10 = 0 => x
1
=.; x
2
=
1
2
3
4
5
- 5
2
Khụng cú
Khụng cú
1
1/2
- 1
-1/2

32