ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 11-TỈNH BÌNH ĐỊNH 2010-2011

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BÌNH ĐỊNH
Môn: TOÁN LỚP 11.
Năm học: 2010 – 2011.
(Thời gian làm bài: 150 phút)
1. Giải phương trình:
3
sin 2 sin
4
x x
π
 
− =
 ÷
 
2. Cho P(x), Q(x) là hai đa thức hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện P(x
3
) + x.Q(x
3
) chia
hết cho x
2
+ x + 1. Gọi d là ước chung lớn nhất của hai số P(2011) và Q(2011). Chứng
minh d chia hết cho 2010.
3. Cho hàm số f khả vi trên
[ ]
0;1
và thỏa mãn f(0)=0; f(1)=1. Chứng minh rằng: tồn tại
hai số phân biệt
( )
, 0;1a b ∈
sao cho

( ). ( ) 1f a f b
′ ′
=
.
4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Vẽ đường cao OH của tứ
diện. Đặt
·
·
·
·
· ·
, , , , , .A CAB B ABC C BCA AOH BOH COH
α β γ
= = = = = =
Chứng minh rằng:
2 2 2
sin sin sin
sin 2 sin 2 sin 2A B C
α β γ
= =
.
5. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
( )
2
1 1 1
.
a b c
a b c
b c a a b c
   

+ + ≥ + + + +
 ÷  ÷
   
************ HẾT ************