Tiểu luận MỐI LIÊN HỆ GIỮA TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH – KHCN & QHĐN
BÀI TIỂU LUẬN
MÔN TRIẾT HỌC
MỐI LIÊN HỆ GIỮA
TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC
GVHD: TS. BÙI VĂN MƯA
HVTH:LÊ MINH TUẤN
MSHV: CH1301069
TPHCM, tháng08năm 2014
HVTH: Lê Minh Tuấn Page 1
MỞ ĐẦU
Triết học và toán học đóng vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực của đời
sống. Giữa chúng có mối quan hệ biện chứng sâu sắc thể hiện trong suốt quá trình
hình thành và phát triển của mỗi lĩnh vực. Mối quan hệ này được vận dụng như thế
nào để những người học toán (nói riêng) nghiên cứu toán học hiệu quả hơn và con
người (nói chung) nhận thức được thế giới sâu sắc hơn để phục vụ cho sự tồn tại và
phát triển của xã hội là một vấn đề đáng được quan tâm. Nếu triết học nghiên cứu
về sự vận động và phát triển của sự vật và hiện tượng thì toán học nghiên cứu về
những đối tượng và các tính chất bất biến của nó.Triết học là thành tựu nhận thức và
hoạt động thực tiễn cải tạo con người và loài người nói chung. Quá trình hình thành
và phát triển của triết học diễn ra quanh co, phức tạp và lâu dài.Trong quá trình đó,
toán học đã đóng góp một phần rất quan trọng.Trong bài viết ngắn này chúng ta sẽ
đề cập đến mối liên hệ giữa triết học và toán học ở một số khía cạnh có ích trong
việc nhận thức toán học và vài vận dụng trong đời sống.
Điều đó cho thấy rằng toán học và triết học có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.
Vì thời gian có hạn nên bài thu hoạch này chỉ nêu khái quát một số vấn đề:
• Vai trò của triết học đối với toán học.
• Tác động của toán học đối với sự hình thành và phát triển thế giới quan duy vật.
• Một số phân tích về nội dung toán học theo quan điểm duy vật biện chứng.

HVTH: Lê Minh Tuấn Page 2
NỘI DUNG
I - VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI TOÁN HỌC
Triết học là một trong những hình thái ý thức xã hội, là học thuyết về những
nguyên tắc chung nhất của tồn tại và nhận thức, của thái độ con người đối với thế
giới; là khoa học về những quy luật chung nhất của tự nhiên, xã hội và tư duy.
Hay định nghĩa khác: Triết học là hệ thống tri thức lý luận chung nhất của con
người về thế giới; về vị trí, vai trò của con người trong thế giới ấy.
Triết học có tác động rất lớn đối sự hình thành và phát triển của toán học.Triết
học cung cấp thế giới quan khoa học và phương pháp luận duy vật biện chứng nhằm
định hướng và cung cấp công cụ nhận thức cho sự phát triển của toán học.Đây là
quan niệm rất kinh điển mà ta không bàn thêm về tính đúng đắn của nó.Sau đây
chúng ta khai thác một vài khía cạnh cần thiết trong việc nhận thức toán học.
1. Toán học là kết quả của sự phản ánh thế giới hiện thực.
Toán học hình thành và phát triển do những nhu cầu thực tế của con người.
Toán học nghiên cứu những tương quan số lượng và các dạng không gian của thế
giới khách quan.Qua từng thời kì lịch sử toán học đã phát triển các đối tượng của nó
liên tục và phong phú nhờ sự vận động không ngừng của các sự vật hiện tượng
trong thực tiễn.Hầu hết các đối tượng của toán học, không trực tiếp thì cũng gián
tiếp, xuất phát từ thực tiễn. Dù cho con người có khám phá ra hay không thì chúng
vẫn tồn tại. Ví dụ:
• Các con số tương ứng với một lượng nào đó các sự vật trong thực tế như
trong lớp có ba mươi lăm học sinh, tương ứng với số 35, nếu thêm một học sinh
mới vào thì số tương ứng sẽ là 36, không thể là 37 được. Ta thấy rằng dù các số tự
nhiên ra đời ở những nơi khác nhau trên thế giới, được kí hiệu khác nhau nhưng bản
chất là như nhau.
• Các đối tượng hình học như đường tròn, elip, hyperbol, parabol lần lượt tương ứng
HVTH: Lê Minh Tuấn Page 3
với những hình ảnh trong thực tế như mặt trăng, mặt nước trong ly (hình trụ tròn)
khi nghiêng, bóng của ngọn đèn dầu hắt lên tường, sợi dây bị võng xuống.

Đối với hình học, C. Mác và Ăngghen cho rằng:“Các kết quả của hình học
không phải cái gì khác là những thuộc tính tự nhiên của các đường, của bề mặt và
của các vật thể, cũng như của những tổ hợp của chúng mà đại bộ phận đã có trong
tự nhiên từ lâu trước khi loài người xuất hiện” (xem 832, [3])
Điều này đã được các nhà sư phạm ứng dụng trong việc dạy toán cho học sinh,
từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng. Chẳng hạn: dạy phép cộng qua việc
đếm các que tính, dùng hình ảnh nền nhà mô phỏng mặt phẳng, hình ảnh trụ cờ
đứng trong sân trường mô phỏng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng,
Từ quan điểm toán học xuất phát từ thực tiễn ta có thể liên hệ với thực tế
những vấn đề toán học để dễ dàng nắm bắt hơn. Một ví dụ khá trực quan để nắm bắt
khái niệm đa tạp, khái niệm hàm số:
Người ta cần khảo sát các họa tiết trên một chiếc bình gốm cổ. Khi đó vì bình
gốm không phẳng nên ta không thể in một lượt tất cả họa tiết của nó lên một tờ giấy
nhưng ta có thể in từng phần họa tiết của bình gốm lên mặt giấy. Như vậy ở đây ta
có thể xem bề mặt bình gốm là đa tạp 2 chiều vì tại mỗi điểm trên bình có vùng hoa
văn chứa điểm đó tương ứng (đồng phôi) với một vùng trên tờ giấy (không gian
Euclide 2 chiều).
Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng tìm được một mô hình cho các đối
tượng toán học, bởi vì: đặc điểm đặc trưng của đối tượng toán học là tính trừu tượng
rất cao. Tính trừu tượng này thể hiện trước hết qua chính đối tượng toán học, chúng
được trừu xuất từ các sự vật, hiện tượng trong thực tiễn chứ không phải luôn là một
sự vật, hiện tượng cụ thể nào (ví dụ: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, ). Toán học chỉ
quan tâm đến tương quan số lượng và dạng không gian của chúng. Các khái niệm,
tính chất trong toán học được trình bày cho những đối tượng được trừu xuất và tính
HVTH: Lê Minh Tuấn Page 4
đúng đắn của các mệnh đề toán học được chứng minh theo tư duy logic từ tính đúng
đắn của các mệnh đề chứ không qua sự kiện thực tiễn.
Tính trừu tượng này ngày càng cao cùng với trình độ phát triển của toán học,
nhất là từ khi các kí hiệu toán học phát huy được sức mạnh của nó.Với các kí hiệu
toán học người ta có thể trình bày những vấn đề toán học mà không dùng đến sự

liên hệ thực tế nào.Điều này thể hiện mạnh mẽ trong việc nhóm Bourbaki muốn
trình bày tất cả các kiến thức toán học dưới dạng các tiên đề, kí hiệu.
Mặc dù, tính trừu tượng của toán học rất cao nhưng chúng đều bắt nguồn từ
thực tiễn và cuối cùng cũng sẽ phục vụ cho thực tiễn.Nhiều khái niệm toán học là
kết quả của các khái niệm xuất phát từ thực tế được trừu tượng hóa nhiều tầng lớp.
2. Thực tiễn là tiêu chuẩn chân lí trong toán học.
Từ chỗ toán học bắt nguồn từ thực tiễn, tính đúng đắn của nó cũng được kiểm
tra theo tiêu chuẩn xuất phát từ thực tiễn. Các công trình toán học, xét cho cùng, sẽ
được con người sử dụng để nhận thức và cải tạo thế giới, đó cũng là cách để thực
tiễn kiểm tra lại tính đúng đắn của tri thức toán học.
Một trong những tiêu chuẩn để xét giá trị của một công trình toán học là khả
năng ứng dụng vào đời sống. Tất nhiên, việc ứng dụng là trực tiếp hay gián tiếp,
dưới hình thức nào, trong lĩnh vực nào, mức độ và phạm vi ra sao thì khác nhau tùy
trường hợp. Nhưng nhìn chung chúng phải phục vụ được cho việc cải tạo thế giới
của con người (ngay cả phát triển tư duy, phục vụ cho nội bộ toán học vẫn có giá trị
thực tiễn ở một mức nào đấy).
Vận dụng điều này trong việc học toán ra sao? Sau đây là một số ví dụ:
• Ở mức độ đơn giản, ta thường kiểm tra mình làm đúng bài tập hay không bằng
cách tìm ra được một mô hình thực tế thể hiện được suy luận và kết quả của mình.
Hoặc trong chứng minh khẳng định nào đó sai bằng cách tìm phản ví dụ, ta thường
cố gắng tìm một mô hình thực tế (đúng) mà trái với điều được phát biểu.
HVTH: Lê Minh Tuấn Page 5
Thực tiễn có thể kiểm tra tính đúng đắn của các lí thuyết toán học ở những
hình thức khác nhau, mức độ khác nhau, thời gian khác nhau.Điều này dễ nhận thấy
vì các sự vật, hiện tượng rất đa dạng và phong phú, toán học xuất phát từ thực tiễn
nên cũng mang nhiều nội dung, đặc điểm khác nhau.Nhiều kết quả của toán học
không đúng trong thời điểm này nhưng đúng trong thời điểm khác.
3. Triết học cung cấp công cụ để nhận thức Toán học
Triết học thể hiện các quy luật chung nhất của sự phát triển của tự nhiên, xã
hội và tư duy con người. Toán học là kết quả của sự phản ánh thế giới hiện thực vào

đầu óc con người nên không nằm ngoài quy luật chung nhất của sự phát triển của tự
nhiên, xã hội và tư duy con người. Do đó triết học cung cấp cho ta công cụ để
nghiên cứu toán học. Vậy công cụ đó là gì? Tại sao lại cần đến công cụ đó?
Công cụ để nghiên cứu toán học là phép biện chứng duy vật. Phương pháp
luận duy vật biện chứng là phương pháp luận chung nhất cho mọi sự vật hiện tượng
trong tự nhiên, xã hội và tư duy con người. Do đó nó cũng được dùng để nhận thức
toán học. Lịch sử đã chứng minh được vai trò của phép biện chứng duy vật đối với
sự hình thành và phát triển của toán học.
Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn đánh giá rất cao phép biện chứng duy vật trong
việc nhận thức toán học. Ông đã chỉ ra nguồn gốc của các phát minh toán học trên
cơ sở phép biện chứng duy vật: “ Mọi phát minh toán học không phải là một việc
ngẫu nhiên mà là một bước nhảy vọt tất yếu kết thúc một quá trình tích lũy xã hội
thông qua một cá nhân hay tập thể và đều là kết quả của sự đấu tranh giữa hai mặt
đối lập.” (xem 73, [4]).
Trong đời sống thường ngày chúng ta vẫn vận dụng những quy luật triết học
vào trong nhận thức toán học hoặc vận dụng tư duy toán học để nhận thức những
vấn đề trong cuộc sống nhưng ở những mức độ và hiệu quả khác nhau, nhiều khi
không nhận ra. Do đó, việc nghiên cứu triết học sẽ cho chúng ta một sự chủ động
HVTH: Lê Minh Tuấn Page 6
trong việc nắm bắt và vận dụng các quy luật của triết học trong nhận thức toán học
và trong các hoạt động thường ngày.
II - TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT
TRIỂN THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT
Quan điểm duy vật biện chứng thúc đẩy toán học tiến lên.Ngược lại các phát
minh toán học củng cố cho quan điểm duy vật biện chứng.
1. Toán học góp phần hoàn thiện những tri thức triết học
Toán học cung cấp cho triết học những tri thức về mặt số lượng và hình thức
không gian của các sự vật, hiện tượng ở mức chính xác rất cao.Toán học có các đối
tượng là tương quan số lượng và dạng không gian của các sự vật, hiện tượng.Toán
học đã nghiên cứu những đặc điểm của các đối tượng này bằng những phương pháp

mang tính trừu tượng và khái quát rất cao.Vì thế mà tính đúng đắn của các tri thức
toán học không phụ thuộc vào một sự vật, hiện tượng cụ thể nào. Do đó, các tri thức
của nó dễ dàng đem phục vụ cho sự phát triển của các ngành khoa học khác.
Qua từng thời kì lịch sử toán học phản ánh ngày càng sâu sắc, chính xác về
mặt lượng của các đối tượng khác nhau. Do đó, toán học cung cấp tri thức cho
những lĩnh vực khác nhau của đời sống ngày càng hiệu quả.
Mỗi người, cuộc sống của mình, dù làm nghề gì cũng cần đến một số kiến
thức toán học, nhiều hay ít là tùy trường hợp. Vì thế việc học toán và nhất là các
phương pháp toán học, tư duy toán học rất cần thiết đối với mọi người.
2. Toán học góp phần điều chỉnh và hoàn thiện những nguyên tắc Triết học
Trong suốt quá trình hình thành và phát triển, toán học đã góp phần điều chỉnh
và hoàn thiện các nguyên tắc triết học để phù hợp và phản ánh đúng đắn bản chất
của sự vật hiện tượng.
Thời kì toán học của các đại lượng bất biến (nghiên cứu về các giá trị cố định):
Toán học góp phần vào sự hình thành cơ sở của logic hình thức. Nó giúp cho lập
luận được chính xác, chặt chẽ hơn.
HVTH: Lê Minh Tuấn Page 7
Thời kì toán học của các đại lượng biến thiên: giới hạn, liên tục, phép tính vi
phân, tích phân,…Điều này góp phần thay đổi về chất tư duy khoa học, giúp phát
triển logic biện chứng.
“Mỗi lần có một phát minh vạch thời đại, ngay cả trong lĩnh vực khoa học tự
nhiên, thì chủ nghĩa duy vật không tránh khỏi thay đổi hình thức của nó.”( xem 606,
[2])
3. Toán học là công cụ của nhận thức
Toán học không những giúp con người kiểm chứng các nguyên tắc nhận thức,
nó còn cho ta những công cụ thật khoa học để nghiên cứu thế giới tự nhiên. Từ lâu
toán học và phương pháp của nó được ứng dụng rộng rãi trong các nghiên cứu khoa
học. Loài người sử dụng toán học không chỉ để tính toán mà còn để khám phá
những tri thức mới. Toán học giúp cho con người có một cách thức khoa học để tìm
hiểu thế giới tự nhiên. Nếu như trước đây người ta phải phụ thuộc vào các sự kiện

thực tế mà ngẫu nhiên xảy ra thì nay con người nghiên cứu có mục đích, có kế
hoạch và còn có thể dự đoán các sự việc xảy ra.
Toán học được xem như là công cụ để nhận thức triết học.Trước đây, toán học
chưa được xem trọng, người ta chỉ xem việc học các môn tự nhiên là để nhận thức
được triết học. Và bởi mối quan hệ mật thiết giữa triết học và toán học mà nhiều nhà
toán học đồng thời là nhà triết học: Cantor, Descartes, D’Alembert, Các nhà toán
học và triết học cũng đánh giá cao vai trò của toán học trong việc nhận thức thế
giới. Descartes muốn áp dụng phương pháp quy nạp hợp lý của khoa học, nhất là
của toán học, vào triết học. Ông cho rằng “Trong khi tìm kiếm con đường thẳng đi
đến chân lý, chúng ta không cần phải quan tâm tới những gì mà chúng ta không thể
thấu đáo một cách chắc chắn như việc chứng minh bằng đại số và hình học”.
III - MỘT SỐ PHÂN TÍCH VỀ NỘI DUNG TOÁN HỌC THEO QUAN ĐIỂM
DUY VẬT BIỆN CHỨNG
1. Mối quan hệ giữa nội dung và hình thức trong toán học
HVTH: Lê Minh Tuấn Page 8
Trong toán học, nội dung là các tính chất xác định đối tượng toán học, còn
hình thức là phương thức tồn tại của đối tượng (như kí hiệu, mô hình, cách diễn đạt
đối tượng,…). Nội dung và hình thức trong toán học cũng đa dạng và thay đổi tùy
tình huống cụ thể. Sự thống nhất giữa nội dung và hình thức trong toán học được
thể hiện rất rõ bởi lẽ những đối tượng toán học được sử dụng đều mang một ý nghĩa
rõ ràng, thông thường được nhắc đến lần đầu tiên qua các định nghĩa, một khi tuân
theo định nghĩa thì đối tượng được xác định chính xác và tất cả những đối tượng
thỏa mãn định nghĩa đều đúng là cái mà ta đang muốn đề cập đến.
Ví dụ: đường kính của đường tròn có thể nhìn dưới các góc độ: dây cung qua
tâm, dây cung mà khoảng cách từ tâm đến nó nhỏ nhất, dây cung có độ dài lớn nhất,
…
2. Sự phủ định của phủ định trong toán học
Sự phủ định là sự thay thế sự vật này bằng sự vật khác trong quá trình vận
động và phát triển. Sự phủ định trong toán học có ý nghĩa to lớn trong việc mở rộng
các kết quả toán học, nó cho người ta cái nhìn rộng hơn trước rất nhiều. Sự phủ định

cho ta nhiều dữ kiện hơn khi giải quyết bài toán.
Ví dụ:• “Thẳng hàng” và “không thẳng hàng” là phủ định lẫn nhau nhưng khi
phủ định khái niệm thẳng hàng thì ta có khái niệm mở rộng của thẳng hàng. Ba
điểm A, B, C thẳng hàng là trường hợp riêng của ba điểm A, B, C không thẳng hàng
ứng với góc ABC là góc bẹt.
3. Bất biến và vạn biến trong toán học
Bất biến và vạn biến thể hiện rất rõ ràng và đa dạng trong toán học. Mỗi định
lí nói lên một quy luật tức là cái gì đó đúng ở khắp mọi nơi (bất biến) và ta dùng
định lí đó ở rất nhiều nơi (vạn biến). Mỗi một công thức là bất biến và nó được
dùng để tính những giá trị cụ thể (vạn biến).
HVTH: Lê Minh Tuấn Page 9
Ví dụ: công thức nghiệm của phương trình bậc hai tổng quát là bất biến và nó
dùng để tính nghiệm cho mọi phương trình bậc hai với hệ số cụ thể (vạn biến).
KẾT LUẬN
Nói tóm lại, mối quan hệ giữa triết học và toán học là mối quan hệ khách
quan, phù hợp với quy luật trong tiến trình nhận thức của con người. Mối quan hệ
này nếu được khai thác tốt thì góp phần to lớn giúp con người phát triển tư duy, tăng
HVTH: Lê Minh Tuấn Page 10
khả năng nhận thức và cải tạo thế giới. Trong đó, chúng ta cần phải khai thác sức
mạnh của công cụ hữu ích là phép biện chứng duy vật. Nói như giáo sư guyễn Cảnh
Toàn: “Trong khoa học tư duy thì phải đặc biệt coi trọng phương pháp duy vật biện
chứng vì đó là vũ khí tư duy cực kì lợi hại của các dân tộc nghèo, bị áp bức để
chống lại kẻ xâm lược (trong chiến tranh), để hội nhập và cạnh tranh trên trường
quốc tế (trong xây dựng hòa bình), bởi lẽ chỉ với cách nhìn mọi sự vật như là một
“thống nhất mâu thuẫn” mới có thể chuyển hóa: yếu thành mạnh, nghèo thành giàu,
sở đoản thành sở trường.”
Toán học góp phần vào sự hình thành, luận chứng, củng cố, hoàn thiện thế giới
quan khoa học mà nền tảng của nó là triết học duy vật nói chung, triết học duy vật
biện chứng nói riêng. Mối quan hệ giữa toán học và triết học duy vật biện chứng là
mối quan hệ khách quan, hợp quy luật trong tiến trình phát triển nhận thức của con

người
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Slide bài giảng Triết học , TS. Bùi Văn Mưa
[2] C. Mác, Ph. Ăngghen, C. Mác, Ph. Ăngghen toàn tập, tập 2, NXB Sự thật
Hà Nội, năm 1962.
[3] C. Mác, Ph. Ăngghen, C. Mác, Ph. Ăngghen toàn tập, tập 20, NXB Sự thật Hà
Nội, năm 1994.
[4] Nguyễn Cảnh Toàn, Tuyển tập tác phẩm Tự giáo dục, tự học, tự nghiên cứu
(tập 1), ĐHSP Hà Nội, TTVH ngôn ngữ đông tây, năm 2001.
PHỤ LỤC
HVTH: Lê Minh Tuấn Page 11
HVTH: Lê Minh Tuấn Page 12