Giải bài tập giải tích

Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11
PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN
1. Hai cung đối nhau: -x và x
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
− =
− = −
− = −
− = −
2. Hai cung bù nhau:
x
π
−
và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
π
π

π
π
− =
− = −
− = −
− = −
3. Hai cung phụ nhau:
2
x
π
−
và x
sin cos cos sin
2 2
tan cot cot tan
2 2
x x x x
x x x x
π π
π π
   
− = − =
   
   
   
− = − =
   
   
4. Hai cung hơn kém nhau Pi:
x

π
+
và x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
π
π
π
π
+ = −
+ = −
+ =
+ =
5. Các hằng đẳng thức lượng giác
2 2
2
2
1
. sin cos 1 . 1 tan
cos
1
. 1 cot . tan .cot 1
sin
a x x b x

x
c x d x x
x
+ = + =
+ = =
6. Công thức cộng lượng giác
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
x y x y x y
x y x y x y
x y x y y x
x y x y y x
− = +
+ = −
− = −
+ = +
7. Công thức nhân đôi
2 2 2 2
sin 2 2sin cos : sin 2sin cos
2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
nx nx
x x x TQ nx
x x x x x
= =
= − = − = −
8. Công thức nhân ba:
3 3

sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cosx x x x x x= − = −
9. Công thức hạ bậc:
2 2
1 cos2 1 cos2
sin cos
2 2
x x
x x
− +
= =
10. Công thức biến đổi tích thành tổng
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
= − + +
= − − +
= − + +
11 . Công thức biến đổi tổng thành tích

Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước1
Trng THPT Hựng Vng Bi tp Toỏn khi 11
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
+
+ =
+
=
+
+ =
+
=
A. CễNG THC BIN I
I/. GI TR LNG GIC
Bi 1: Cho
3 3

sin < < .Tớnh cos ,tan ,cot .
5 2
p
a p a a a a
ổ ử
ữ
ỗ
=-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Bi 2: Cho 5cosa + 4 = 0
( )
o o
180 < a < 270
.Tớnh sina , tana, cota.
Bi 3: Cho
o o o o
tan15 2 3. Tớnh sin15 ,cos15 ,cot15 .= -
Bi 4: Tớnh
tan x cot x
A
tan x cot x
+
=
-
bit
1

sinx = .
3
Tớnh
2sin x 3cos x
B
3sin x 2cos x
+
=
-
bit tanx = -2
Tớnh
2 2
2
sin x 3sin x cos x 2cos x
C
1 4sin x
+ -
=
+
bit cotx = -3
Bi 5: Chng minh:
4 4 2 2 6 6 2 2
a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1- 3sin xcos x

(s dng nh 1 cụng thc)
2 2 2 2 2 2
c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx
Bi 6: Chng minh cỏc ng thc sau:

2 2

2 2 2
2 2 2
1-2cos x 1+sin x cosx 1
a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx =
1+sinx cosx
sin x.cos x 1-sin x
sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx
d/ + = ; e/ = ; f/ =
1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sin x
1+cosx
g/
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1-cosx 4cotx sin x cos x
- = ; h/1- - = sinx.cosx;
1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx
1 tan x-tan y sin x-sin y
i/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ =
1+cosx
tan x.tan y sin x.sin y
Bi 7: * Chng minh cỏc biu thc sau c lp i vi x:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
6 6 4 4 4 2 4 2
2
4 4 2 2 8 8 8 8 6 6 4

6 6
4 2 4 2
4 4
A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3
C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 si n x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x
sin x+cos x-1
E= sin x+4cos x+ cos x+4sin x; F= ;
sin x+cos x-1
4 4
6 6 4
2 2
sin x+3cos x-1
G=
sin x+cos x+3cos x-1
H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sin x 1-cos x ;(x 0; )
2
p
ộ ự
ờ ỳ
ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
II/. GI TR LNG GIC CA CUNG C BIT
* Bit 1 HSLG khỏc:
Bi 1:Cho sinx = - 0,96 vi
3
x 2
2
p
p

ổ ử
ữ
ỗ
< <
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

a/ Tớnh cosx ; b/ Tớnh
( ) ( )
sin x , co s x , tan x , co t 3 x
2 2
p p
p p
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
+ - + -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
Nguyn Hu Hiu - GV Trng THPT Hựng Vng- TX ng Xoi-Bỡnh Phc2
Trng THPT Hựng Vng Bi tp Toỏn khi 11
Bi 2: Tớnh:

( )

( )
( )
( ) ( )
( )
2cos sin tan
2 2
A 2cos ;
cot sin
2
3 3
sin tan sin cot
2 2 2 2
B cot cot tan
3
cos 2 tan
cos cot
2
p p
a a p a
a
p
a p a
p p p p
a b b a
b b b
p
p b p a
p a b
ổ ử ổ ử
ữ ữ

ỗ ỗ
- + -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
= -
ổ ử
ữ
ỗ
+ -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
+ + - +
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
= - + -
ổ ử
- -
ữ

ỗ
- -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Bi 3: n gin biu thc:

( ) ( )
( )
( ) ( )
9 5
A sin 13 cos cot 12 tan ;
2 2
7 3 3
B cos 15 sin tan .cot
2 2 2
5 9 7
C sin 7 cos cot 3 tan 2 tan
2 2 2
p p
p a a p a a
p p p
p a a a a
p p p
p a a p a a a
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ

= + - - + - + -
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= - + - - + -
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= + + - - - + - + -
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
ữ
Bi 4: n gin biu thc:

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
o o o o o

A sin a sin 2 a sin 3 a ... sin 100 a
B cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x
p p p p
= + + + + + + + +
= - - - + + + - + -
Bi 5: n gin biu thc:

( ) ( )
( )
( )
o o
o o o
19
tan x .cos 36 x .sin x 5
2sin 2550 cos 188
1
2
A B
9
tan 368 2 cos 638 cos98
sin x .cos x 99
2
p
p p
p
p
ổ ử
ữ
ỗ
- - -

ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ố ứ
= = +
ổ ử
+
ữ
ỗ
- -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Bi 6: Chng minh:

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
o o o o o o
2 2
a /sin 825 cos 2535 cos75 sin 555 tan 695 tan 245 0
85 3
b/sin x cos 207 x sin 33 x sin x 1
2 2
p p
p p
- + - + =

ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
+ + + + + + - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
Bi 7: Cho tam giỏc ABC.Chng minh:

A B C
a /sin(A B) sinA; b/cosA cos(B C) 0; c/sin co s ;
2 2
3A B C
d/ cosC cos(A B 2C) 0; e/sinA cos 0
2
+
+ = + + = =
+ +
+ + + = + =
III/. CễNG THC LNG GIC
Bi 8: Tớnh giỏ tr cỏc HSLG ca cỏc cung sau:
o o o o o
15 ,75 ,105 ,285 ,3045
Bi 9: Tớnh giỏ tr cỏc HSLG ca cỏc cung sau:
7 13 19 103 299
, , , ,
12 12 12 12 12
p p p p p

Bi 10:Tớnh
cos x
3
p
ổ ử
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
bit
12 3
sin x , ( < x < 2 )
13 2
p
p
=-
Bi 11:Cho 2 gúc nhn
,
a b
cú
1 1
tan ,tan
2 3
a b
= =
. a/ Tớnh

( )
tan
a b
+
b/ Tớnh
a b
+
Bi 12:Cho 2 gúc nhn x v y tho :
x y
4
tan x.tan y 3 2 2
p
ỡ
ù
ù
+ =
ù
ớ
ù
ù
= -
ù
ợ
a/ Tớnh
( )
tan x y ;tanx tany+ +
b/ Tớnh tanx , tany c/ Tớnh x v y.
Nguyn Hu Hiu - GV Trng THPT Hựng Vng- TX ng Xoi-Bỡnh Phc3
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11
Bài 13:Tính

tan x
4
p
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
biết
40
sin x
41
=-
và
3
< x <
2
p
p
Bài 14:Tính
tan
4
p
a
æ ö
÷

ç
+
÷
ç
÷
ç
è ø
theo
tan
a
. Áp dụng: Tính tg15
o
Bài 15: Tính:
o o o
o o o o
o o o
o o o
o o o o
o o
tan 25 tan 20 1 tan15
A sin 20 cos10 sin10 cos 20 B C
1 tan 25 .tan 20 1 tan15
3 tan 225 cot81 .cot 69
D sin15 3 cos15 E sin15 cos15 F
3
cot 261 tan 201
+ +
= + = =
- -
-

= - = + =
+
Bài 16:Tính:

3
a / A cos x cos x cos x cos x
3 4 6 4
2 2
b/ B tan x.tan x tan x tan x tan x tan x
3 3 3 3
p p p p
p p p p
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= - + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + + + +
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø

Bài 17:Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:

2 2 2 2 2 2
2 2
A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x
3 3 3 3
p p p p
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + - = + + + -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
Bài 18:Chứng minh:

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
a / cos a b .cos a b cos a sin b cos b sin a
b /sin a b .sin a b sin a sin b cos b cos a
c /sin a b .cos a b sin a cos a sin bcos b
d /sin a sin a 2 sin a
4 4
p p
+ - = - = -

+ - = - = -
+ - = +
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ - - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác
Cho tam giác ABC.Chứng minh:

1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB
2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC
A B C B C
3/ sin cos cos sin sin
2 2 2 2 2
A B C B C
4/ cos sin cos cos sin
2 2 2 2 2
5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C
2
A B B
6/ tan tan tan
2 2
p
= -
= -

æ ö
÷
ç
¹
÷
ç
÷
ç
è ø
+
C C A
tan tan tan 1
2 2 2 2
A B C A B C
7/ cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1
+ =
+ + =

( học thuộc kết quả )
Công thức biến đổi:
Bài 20:BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG
( ) ( )
o o
2
a / sin .sin b/ cos5x.cos3x c / sin x 30 cos x 30
5 5
p p
+ -

( ) ( ) ( )
d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e / 8 cos x.sin 2x.sin 3x;
f / sin x .sin x .cos 2x; g / 4 cos a b .cos b c .cos c a
6 6
p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ - - - -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

Bài 21:BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước4
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11

( ) ( ) ( )
a / cos4x cos3x; b/ cos3x cos6 x; c/ sin5x sin x
d / sin a b sin a b ; e/ tan a b tana; f / tan 2a tana
+ - +
+ - - + + -
Bài 22:HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau :
A B C
9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos
2 2 2
A B C

10/ cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin . sin .sin
2 2 2
11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4 sinA.sinB.sinC
12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 -
( )
2 2 2
2 2 2
4cosA.cosB.cosC
13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA. cosB.cosC
14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA. cosB.cosC
A B C
15/ sinA + sinB - sinC = 4sin .sin .cos
2 2 2

( tiếp theo Loại 5- Trang 8)
Bài 23:Chứng minh
ABCD
vuông nếu:

2 2 2
sin B sin C
a / sin A ; b / sin C cos A cos B; c / sin A sin B sin C 2
cos B cos C
+
= = + + + =
+

Bài 24:Chứng minh
ABCD
cân nếu:

2
C sin B
a / sin A 2 sin B.cos C; b / tan A tan B 2 cot ; c / tan A2 tan B tan A. tan B; d / 2 cos A
2 sin C
= + = + = =
Bài 25:Chứng minh
ABCD
đều nếu:
1 3
a / cos A.cos B.cos C ; b / sin A sin B sin C sin 2A sin2B sin 2C; c / cos A cos B cos C
8 2
= + + = + + + + =
Bài 26:Chứng minh
ABCD
cân hoặc vuông nếu:

( ) ( )
2
2
2 2 2 2 2
sin B C sin B C
C tan B sin B
a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c /
2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C
+ -
= = =
+ -
Bài 27:Hãy nhận dạng
ABCD
biết:

2 2 2
sin A
a / sin 4A sin 4B sin 4C 0 b / cos A cos B cos C 1 c / 2 sin C
cos B
+ + = + + = =
B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Chú ý : 1)
A
B
có nghĩa khi B
0
≠
(A có nghĩa) ;
A
có nghĩa khi A
0
≥
2)
1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤

3)
sin 0 ; sinx = 1 x = 2 ; sinx = -1 x = 2
2 2
x x k k k
π π
π π π
= ⇔ = ⇔ + ⇔ − +
4)

os 0 ; osx = 1 x = 2 ; osx = -1 x = 2
2
c x x k c k c k
π
π π π π
= ⇔ = + ⇔ ⇔ +
5) Hàm số y = tanx xác định khi
2
x k
π
π
≠ +
Hàm số y = cotx xác định khi
x k
π
≠
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx 2) y = cos
1
2
x
x
+
+
3) y = sin
4x +
4) y = cos
2
3 2x x− +
5) y =

2
os2xc
6) y =
2 sinx−
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước5
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11
7) y =
1 osx
1-sinx
c+
8) y = tan(x +
4
π
) 9) y = cot(2x -
)
3
π
10) y =
1 1
sinx 2 osxc
−
II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
sin
2
(-x) =
[ ]
2
sin(-x)
= (-sinx)

2
= sin
2
x
Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ
D
; Kiểm tra
,x D x D x∈ ⇒ − ∈ ∀
Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng

− = →


− = − →


− ≠ ± →

0 0 0
( ) ( ) ch½n
( ) ( ) lÎ
Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch¼n, kh«ng lÎ
f x f x f
f x f x f
f x f x f
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2
4) y =
1
2

tan
2
x 5) y = sin
x
+ x
2
6) y = cos
3x
III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác
Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng
2 ; 2
2 2
k k
π π
 
− + π + π
 
 
Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng
3
2 ; 2
2 2
k k
π π
 
+ π + π
 
 
Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng
( )

2 ; 2k k−π + π π
Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
2 ; 2k kπ π + π
Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng
;
2 2
k k
π π
 
− + π + π
 
 
Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng
( )
;k kπ π + π
Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số
1) y = sinx trên
;
6 3
π π
 
−
 
 
2) y = cosx trên khoảng
2 3
;
3 2
π π

 
 
 
3) y = cotx trên khoảng
3
;
4 2
π π
 
− −
 
 
4) y = cosx trên đoạn
13 29
;
3 6
π π
 
 
 
5) y = tanx trên đoạn
121 239
;
3 6
π π
 
−
 
 
6) y = sin2x trên đoạn

3
;
4 4
π π
 
−
 
 

7) y = tan3x trên khoảng
;
12 6
π π
 
−
 
 
8) y =sin(x +
3
π
) trên đoạn
4 2
;
3 3
π π
 
−
 
 
Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số

Hàm số

Khoảng
3
;
2
π
 
π
 
 
;
3 3
π π
 
−
 
 
23 25
;
4 4
π π
 
 
 
362 481
;
3 4
π π
 

− −
 
 
y = sinx
y = cosx
y = tanx
y = cotx
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước6
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Tốn khối 11
Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K
⇒
y = A.f(x) +B
®ång biÕn trªn K nÕu A > 0
nghÞch biÕn trªn K nÕu A < 0



Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn
[ ]
;−π π
2) y = -2cos
2
3
x
π
 
+
 
 

trên đoạn
2
;
3 3
π π
 
−
 
 
IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Chú ý :
1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤
; 0
≤
sin
2
x
≤
1 ; A
2
+ B
≥
B
Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = 2sin(x-
2
π
) + 3 2) y = 3 –
1
2

cos2x 3) y = -1 -
2
os (2x + )
3
c
π
4) y =
2
1 os(4x )c+
- 2 5) y =
2 sinx 3+
6) y = 5cos
4
x
π
+
7) y =
2
sin 4sinx + 3x −
8) y =
2
4 3 os 3 1c x− +
Chú ý :
Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn
[ ]
;a b
thì
[ ]
[ ]
a;

a;
ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )
b
b
m f x f b f x f a= =
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn
[ ]
;a b
thì
[ ]
[ ]
a;
a;
ax ( ) ( ) ; min ( ) ( )
b
b
m f x f a f x f b= =
Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = sinx trên đoạn
;
2 3
π π
 
− −
 
 
2) y = cosx trên đoạn
;
2 2
π π

 
−
 
 
3) y = sinx trên đoạn
;0
2
π
 
−
 
 
4) y = cos
π
x trên đoạn
1 3
;
4 2
 
 
 
C.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC.
I:LÍ THUYẾT .
1/Phương trình lượng giác cơ bản .
sin u = sin v ⇔



+−=
+=

ππ
π
2
2
kvu
kvu
( k ∈ Z )
cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π. ( k ∈ Z )
tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z )
cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z )
2/ Phương trình đặc biệt :
sinx = 0 ⇔ x = kπ , sinx = 1 ⇔ x =
2
π
+ k2π ,sinx = -1 ⇔ x = -
2
π
+ k2π
cosx = 0 ⇔ x =
2
π
+ k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π .
3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .
Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a
2
+ b
2
≠ 0
Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔
)cos(.

22
ϕ
−+
xba
= c với
22
cos
ba
a
+
=
ϕ
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước7
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Tốn khối 11
asinx +bcosx = c ⇔
)sin(.
22
ϕ
++
xba
= c với
22
cos
ba
a
+
=
ϕ
.
Cách 2 :

Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z
Với x ≠ π + kπ đặt t = tan
2
x
ta được phương trình bậc hai theo t :
(c + b)t
2
– 2at + c – a = 0
Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a
2
+ b
2
- c
2
≥ 0 .
Bài tập :Giải các phương trình sau:
1.
2sincos3 =− xx
, 2.
1sin3cos
−=−
xx
3.
xxx 3sin419cos33sin3
3
+=−
, 4.
4
1
)

4
(cossin
44
=++
π
xx
5.
)7sin5(cos35sin7cos xxxx
−=−
, 6.
tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x
− = +

7.
3(1 cos 2 )
cos
2sin
x
x
x
−
=
8.
2
1
sin 2 sin
2
x x+ =

4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :

Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0
với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx.
Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 .
Bài tập: Giải các phương trình sau:
1. 2cos
2
x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0
3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin
4
x + cos
4
x) = 2sin2x – 1
5. sin
4
2x + cos
4
2x = 1 – 2sin4x 6.
x
x
2
cos
3
4
cos
=
7.
2
3
3 2tan
cos

x
x
= +
8. 5tan x -2cotx - 3 = 0
9.
2
6sin 3 cos12 4x x+ =
10.
4 2
4sin 12cos 7x x+ =
5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :
a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin
2
x +b sinx cosx + c cos
2
x = 0 .
Cách 1 :
• Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
• Xét
cos 0x
≠
chia hai vế của phương trình cho cos
2
x rồi đặt t = tanx.
Cách 2: Thay sin
2
x =
2
1
(1 – cos 2x ), cos

2
x =
2
1
(1+ cos 2x) ,
sinxcosx =
2
1
sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x .
b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi
đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x =
2
π
+ kπ ,k∈Z.
Bài tập :
1. 2sin
2
x – 5sinx.cosx – cos
2
x = - 2
2. 3sin
2
x + 8sinxcosx + ( 8
3
- 9)cos
2
x = 0
3. 4sin
2
x +3

3
sin2x – 2cos
2
x = 4
4. 6sinx – 2cos
3
x = 5sin2x.cosx.
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước8
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Tốn khối 11
5.
2 2
1
sin sin 2 2cos
2
x x x+ − =
6/ Phương trình dạng : a( cosx
±
sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
Đặt t = cosx + sinx , điều kiện
22
≤≤−
t
khi đó sinxcosx =
2
1
2
−t
Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t .
Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0
Đặt t = cosx - sinx , điều kiện

22
≤≤−
t
khi đó sinxcosx =
2
1
2
t
−
Bài tập : Giải các phương trình sau :
1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12
3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1
4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7. Các phương trình lượng giác khác.
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos
2
x – 9sinx = 0,
4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg
2
x + 3 =
xcos
3
, 6/ 4sin
4
+12cos
2
x = 7

Bài 2 : Giải các phương trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx
2/
x
x
2
cos
3
4
cos
=
ĐS : x = k3π , x= ±
4
π
+k3π , x = ±
4
5
π
+k3π
3/ 1+ sin
2
x
sinx - cos
2
x
sin
2
x = 2cos
2
(

−
4
π

2
x
) ĐS: sinx =1 v sin
2
x
= 1
4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = -
4
π
+ k π
5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 =
xcos
1
ĐS : x = k2π , x = ±
3
π
+k2π
6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos
2
x ĐS : cosx = 0 , cos 2x =
2
1

7/ 2cos
2
2x +cos 2x = 4sin

2
2xcos
2
x
8/ cos 3x – cos 2x = 2
9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan
2
x

10/ sin2x+ 2tanx = 3
11/ sin
2
x + sin
2
3x = 3cos
2
2x HD :đặt t =cos 2x


12/ tan
3
( x -
4
π
) = tanx - 1 ĐS : x = kπ v x =
4
π
+ kπ
13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx.
14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x =

4
π
+ kπ
15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX.
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước9
Trường THPT Hùng Vương Bài tập Tốn khối 11
Giải các phương trình sau :
1/ sin
2
x + 2sin 2x –3 +7cos
2
x = 0 .
2/ cos
3
x – sin
3
x = cosx + sinx.
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x
4/ sin
3
x + cos
3
x = 2( sin
5
x + cos
5
x ) ĐS : x=

4
π
+
2
π
k

5/ sin
3
(x -
4
π
) =
2
sinx ĐS : x =
4
π
+kπ
6/ 3cos
4
x – sin
2
2x + sin
4
x = 0 ĐS :x = ±
3
π
+ kπ v x=
4
π

+
2
π
k

7/ 3sin
4
x +5cos
4
x – 3 = 0 .
8/ 6sinx – 2cos
3
x = 5sin 2x cosx
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG .
Giải các phương trình sau :
1/ cos
3
x + sin
3
x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos
3
x + cos 2x +sinx = 0
3/ 1 + sin
3
x + cos
3
x =
2
3
sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0

5/ sin
3
x – cos
3
x = 1 + sinxcosx 6/
3
1 0
co ssin
sin
1
co s
1
=+++
xx
xx

7/ tanx + tan
2
x + tan
3
x + cotx+cot
2
x +cot
3
x = 6
8/
x
2
sin
2

+ 2tan
2
x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
9/ 1 + cos
3
x – sin
3
x = sin 2x 10/ cos
3
x – sin
3
x = - 1
11/ 2cos 2x + sin
2
x cosx + cos
2
x sinx = 2( sinx + cosx ).


IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÁC .
Giải các phương trình sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2
3/ sin
2
x + sin
2
3x – 3cos
2
2x = 0 4/ cos3x cos
3

x – sin3xsin
3
x = cos
3
4x +
4
1

5/ sin
4
2
x
+ cos
4
2
x
= 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
7/ sin
6
x + cos
6
x = sin
4
x + cos
4
x 8/ sin
4
x + cos
4
x – cos

2
x = 1 – 2sin
2
x cos
2
x
9/ 3sin3x -
3
cos 9x = 1 + 4sin
3
x. 10/
x
x
xx
sin
cos1
sincos
=
−
+

11/ sin
2
)
42
(
π
−
x
tan

2
x – cos
2
2
x
= 0 12/ cotx – tanx + 4sinx =
xsin
1

13 / sinxcosx + cosx = - 2sin
2
x - sinx + 1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan
2
x + tan2x )
15/
32cos)
2sin21
3sin3cos
(sin5
+=
+
+
+
x
x
xx
x
16/ sin
2
3x – cos

2
4x = sin
2
5x – cos
2
6x
17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/
2
4
4
(2 sin 2 )sin 3
tan 1
cos
x x
x
x
−
+ =
19/ tanx +cosx – cos
2
x = sinx (1+tanx.tan
2
x
)
Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xồi-Bình Phước10