luong giac 10-11

ĐẠI SỐ 10 +11
October
02,2008
Tuesday, May 19, 2015 1
NHẤN PHÍM SPACE BAR ĐỂ XEM TiẾP
( nhấn vào dấu >> để xem từng phần )
I.GI TR LNG GIC CA GểC(CUNG)LNG GIC
I S 10+11
Tuesday, May 19, 2015 2
A
u
x
y
O
K
M
sin x
trc sin
y
x
u
O
M
H
COS X
trc cos
x
x
A.CC NH NGHA
Cho gúc lng giỏc
(Ox,Ou) cú s o x ,ly

im M trờn ng
trũn LG (OA,OM) cú
s o = x
Gi ta M(x ; y ) vi
,OH x OK y
= =
cos
Truùc x'Ox goùi laứ truùc coõsin
x OH=
sin
Truùc y'Oy goùi laứ truùc sin
x OK
=
A
I.GI TR LNG GIC CA GểC(CUNG)LNG GIC
i s 10 +11
Tuesday, May 19, 2015
3
x
y
A
t
u
O
M T
x
tan x
trc tang
sin
tan

cos
Truùc t'At goùi laứ truùc tang
x
x AT
x
= =
x
y
B R
O x
M
cos
cot
sin
Truùc z'Az goùi laứ truùc coõtang
x
x BR
x
= =
u
z
z
cotx
trc cụtang
A.CC NH NGHA
B.HỆ THỨC CƠ BẢN
i)
sin( ) sin cos( ) cos
tan( ) t an cot( ) co
2

t
2
k k
k k
α α α απ π
π πα α α α
+ = + =
+ = + =
k
∈
Z
ii)
, 1 si n 1, 1 cos 1
α α α
∀ ∈ − ≤ ≤ − ≤ ≤
R
iii)
2 2
2
2
2
2
cos sin 1
1
tan .cot 1 tan
cot
1
1 tan (cos 0)
cos
1

1 cot (sin 0)
sin
α α
α α α
α
α α
α
α α
α
+ =
= ⇔ =
+ = ≠
+ = ≠
Tuesday, May 19, 2015 4
C.GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BiỆT
CUNG
GIÁ TRỊ
L.G
0


sin x 0

1 0 - 1 0
cos x 1 0 - 1 0

1
tan x

0 1 0 0

cot x



1

0 0
6
π
3
π
4
π
2
π
π
3
2
π
2
π
1
2
1
2
2
2
2
2

3
2
3
2
3
3
3
3
3
3
II
II
II
II
Tuesday, May 19, 2015 5
<< trở về
II
II.GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BiỆT

sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
α α
α α
α α
α α
− = −
− =
− = −

− = −
2.Hai góc bù nhau
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
π α α
π α α
π α α
π α α
− =
− = −
− = −
− = −
3.Hai góc phụ nhau
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
tan( ) cot
2
cot( ) tan
2
π
α α
π
α α
π
α α
π

α α
− =
− =
− =
− =
1.Hai góc đối nhau
Tuesday, May 19, 2015 6
II.GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BiỆT
4.Hai góc hơn kém
π
sin( ) sin
cos( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ = −
+ =
+ =
5.Hai góc hơn kém
2
π
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
tan( ) cot

2
cot( ) tan
2
π
α α
π
α α
π
α α
π
α α
+ =
+ = −
+ = −
+ = −
Tuesday, May 19, 2015
7
<< trở về
III.CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
s
c
i
os
n( ) sin cos cos sin
sin( ) si
( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin s
n cos c
i
os si

n
n
α β α β α β
α β α β
α β α β α β
α β α
α β
β α β
− +
+ −
− =
+
=
−
=
=
+
tan tan
tan(
tan tan
tan( )
)
1 tan .t an
1 tan .tan
α β
α β
α
α β
β
α β

α β
−
−
+
+
+
−
=
=
1.CÔNG THỨC CỘNG
Tuesday, May 19, 2015 8
III.CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
2 2
2
2
2
cos 2 cos sin
cos 2 2cos 1
cos 2 1 2
sin 2 2sin .cos
2 t
sin
an
tan 2
1 tan
α α α
α α α
α
α α
α

α
α
α
= −
= −
=
=
−
−
=
CÔNG THỨC HẠ BẬC
2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
2
1 cos 2
cos
2
x
x
+
=
2
1 cos 2
sin
2
x
x
−
=
Tuesday, May 19, 2015 9
III.CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

vinhbinhpro
a) BiẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
( ) ( )
1
cos .cos cos cos
2
α β α β α β
= + + −
 
 
( ) ( )
1
sin .sin cos cos
2
α β α β α β
= − + − −
 
 
( ) ( )
1
sin .cos sin sin
2
α β α β α β
= + + −
 
 
Tuesday, May 19, 2015 10
III.CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
vinhbinhpro
b) BiẾN ĐỔI TỔNGTHÀNH TÍCH

cos cos 2cos cos
2 2
x y x y
x y
+ −
+ =
cos cos 2sin sin
2 2
x y x y
x y
+ −
− = −
sin sin 2sin cos
2 2
x y x y
x y
+ −
+ =
sin sin 2cos si n
2 2
x y x y
x y
+ −
− =
( )
sin
tan tan
cos .cos
x y
x y

x y
+
+ =
( )
sin
tan tan
cos .cos
x y
x y
x y
−
− =
Tuesday, May 19, 2015 11
<< trở về
IV. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Tuesday, May 19, 2015 12
DAI SO 10+11
1.HÀM SỐ y=sinx
[sin :
s
1;
i
1]
n
Tập xác đònh của hàm số :
Tập giá trò của hàm số :
Hàm số lẻ - tuầ
D=[-1,1]
n hoàn-chu kỳ 2
x y x

D
π
→
→
−
=
=
R
R
2.HÀM SỐ y=cosx
cos
cos:

Tập xác đònh của hàm số :
Tập gia
D=[-1;1]
D=[-1ù trò của hàm số :
Hàm số chẳn - tuần hoàn-
,1
ch
]
u kỳ 2
x y x
π
→
→ =
R
R
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Tuesday, May 19, 2015 13

IV. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
3.HÀM SỐ y=tanx
4.HÀM SỐ y=cotx
{ }
cos
cot
sin
*
,*
*
cot: D

Tập xác đònh :
Tập giá trò của hàm số :
Hàm số lẻ - tuần hoàn -chu ky
R
D= \R
ø
R
x
yx k
k k Z
x
x
π
π
π
= =→≠
∈
→

<< trở về
*
*
*
sin
tan
cos2
,
2
tan: D

Tập xác đònh :
Tập giá trò của hàm số :
Hàm số lẻ - tuần hoàn -chu
D=
ky
R
R
ø
\
x k
k k Z
R
x
y x
x
π
π
π
π

π
≠ +
 
+ ∈
 
 
= =
→
→
V.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GiÁC
vinhbinhpro
a.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
a. Dạng tổng quát : sinx = m (1)
) 1i Khi phöông trình (1) voâ nghieäm.m
>
1 1 1:ii) Khi phöông trình (1) coù nghieäm:m m
≤ ⇔− ≤ ≤
2
sin sin ( )
2
x k
x m k
x k
α π
α
π α π
= +

= = ⇔ ∈


= − +

Z
arcsin 2
sin si n ( )
arcsin 2
x m k
x m k
x m k
π
α
π π
= +

= = ⇔ ∈

= − +

Z
( ) ( ) 2
sin ( ) sin ( ) ( )
( ) ( ) 2
f x g x k
f x g x k
f x g x k
π
π π
= +

= ⇔ ∈


= − +

Z
Mở rộng
Tuesday, May 19, 2015 14
V.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GiÁC
•
vbp
Tuesday, May 19, 2015 15
a.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
b. Dạng tổng quát : cosx = m (2)
) 1i Khi phöông trình (2) voâ nghieäm.m
>
1 1 1:ii) Khi phöông trình (2) coù nghieäm:m m
≤ ⇔− ≤ ≤
2
cos cos 2 ,( )
2
x k
x m x k k
x k
α π
α α π
α π
= +

= = ⇔ ⇔ = ± + ∈

= − +


Z
arccos 2
cos arccos 2 ,( )
arccos 2
x m k
x m x m k k
x m k
π
π
π
= +

= ⇔ ⇔ = ± + ∈

= − +

Z
( ) ( ) 2
cos ( ) cos ( ) ,( )
( ) ( ) 2
f x g x k
f x g x k
f x g x k
π
π
= +

= ⇔ ∈


= − +

Z
Mở rộng
V.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GiÁC
Tuesday, May
19, 2015
16
a.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
c. Dạng tổng quát : tanx = m (3)

Công thức tính nghiệm
tan tan
ta arctan n
x m
x m
x k
x m k
π
π
α α
= = ⇔
= =⇔
= +
+
Mở rộng
tan ( ) tan ( ) ( ) ( )f x g x f x g x k
π
= ⇔ = +
d. Dạng tổng quát : cotx = m (4)

Công thức tính nghiệm
cot cot
co arc cot t
x m
x m
x k
x m k
π
π
α α
= = ⇔
= =⇔
= +
+
cot ( ) cot ( ) ( ) ( )f x g x f x g x k
π
= ⇔ = +
Mở rộng
( )k Z
∈
V.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GiÁC
•
Đại số 10+11
Tuesday, May 19, 2015 17
b.MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GiẢN
1.Phương trình bậc I đối với một hàm số lượng giác
sin 0 cos 0
tan 0 cot 0
a x b a x b

a x b a x b
+ = + =
+ = + =
Dạng tổng quát
Cách giải :
Đưa về dạng
sin 0 sin
cos 0 cos
tan 0 tan
cot 0 cot
b
a x b x
a
b
a x b x
a
b
a x b x
a
b
a x b x
a
+ = ⇔ = −
+ = ⇔ = −
+ = ⇔ = −
+ = ⇔ = −
Đây là phương trình LG cơ bản
mà ta biết cách giải
Mở rộng :
sin ( ) 0 cos ( ) 0

tan ( ) 0 cot ( ) 0
a u x b a u x b
a u x b a u x b
+ = + =
+ = + =
(u(x) là hàm số theo x)
V.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GiÁC
đại số 10 +11
Tuesday, May 19, 2015 18
2.Phương trình bậc II đối với một hàm số lượng giác
Dạng tổng qt
2 2
2 2
sin sin 0(1) cos cos 0(2)
tan tan 0(3) cot cot 0(4)
a x b x c a x b x c
a x b x c a x b x c
+ + = + + =
+ + = + + =
Cách giải pt (1) và (2)
2
1 1
2 2
sin cos ( 1 1 1)
(1),(2) 0 (*)
sin cos
sin cos
Đặt
Giải (*) giả sử có 2 nghiệm thỏa điều kiện trên,
giải tiếp :

t x hay t x t t
Pt at bt c
x t x t
hay
x t x t
= = − ≤ ≤ ⇔ ≤
⇔ + + =
= =
 
 
= =
 
2
2
1 1
2 2
tan cot
(3),( 4) 0 (*)
,
tan cot
tan cos
1
Đặt
Giải (*) giả sử có 2 nghiệm
giải tiếp :

t x hay t x
Pt at bt c
t t

x t x t
hay
x t t t
= =
⇔ + + =
= =
 
 
= =
 
Cách giải pt (3) và (4)
<< TRỞ VỀ
V.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GiÁC
đại số 10+11
Tuesday, May 19, 2015 19
3.Phương trình bậc I đối với một sinx và cosx
( )
sin cos
, , , 0 0
a x b x c
a b c R a b
+ =
∈ ≠ ∨ ≠
Dạng tổng qt
Cách giải tổng qt (a và b khác 0)
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2

2
2
sin .sin cos
(*) sin cos
1
,
(*)
(
sin c
.cos
cos( )
os
2
2 2 2
2 2
2 2
2
2
Chia 2 vế cho a
a a a
Do: nên có số sao cho
a a
a a
a
đây là pt lg cơ bản)
a
b
a b c
x x
b b b

a b
b b
a b
b b
x
c
c
x
b
b
x
α
α α
α α
α
+
⇔ + =
+ + +
   
+ =
 ÷  ÷
+ +
   
= =
+ +
⇔ =
+
⇔ =
+
+

−
2 2
2
2
c
cos sin,
(*) os .sin sin .cos
sin( ) (
2 2
2
2
GHI CHÚ
Cách khác : có số sao cho
a a
a
đây là pt lg cơ bản)
a
a b
b b
b
c
b
x x
c
x
β β
β
β
β β
+

= =
+ +
=
⇔
+
+
⇔
+
=
V.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GiÁC
Đại số 10+11
Tuesday, May 19, 2015
20
3.Phương trình thuần nhất bậc HAI đối với sinx và cosx
Dạng tổng qt
2
2 2
2
sin sin .cos cos
(
sin sin .
, , , 0
cos cos 0 (1
0 0)
)
(2)
,
a x b x x c x
a b c d a
a x

b c
b x c x
d
R
x
+ + =
∈ ≠ ∨ ≠ ∨
+
≠
+ =
2 2
(sin cos )Thay vào
Chuyển sang trái và thu gọn ,đưa về
pt có dạng (1)
(2)d d x x
= +
Cách giải tổng qt pt (1)
1. cos 0 sin 1 cos 0
.cos 0
Vì nên không nghiệm đúng của pt (1)

b x thì
x
x x
± =
⇒ ≠
= =
2. :
2
Chia 2 vế của pt (1) cho cos b x

2 2
sin .cos
0
cos cos
2
sin
(1) a
x x
x x
x
b c
⇔ + + =
2
2
tan .tan 0
0 ( tan )


a x b x c
at bt c t x
⇔ + + =
⇔ + + = =
tan( đây là pt bậc 2 theo biết cách giải) x
−
<< TRỞ VỀ
V.PHNG TRèNH LNG GiC
i s 10+11
Tuesday, May 19, 2015 21
4.Phng trỡnh lng giỏc khỏc Phng trỡnh tớch s
Chỳ ý:

( ) 0
( ). ( ). ( ) 0 ( ) 0
( ) 0
u x
u x v x w x v x
w x
=


= =


=

cos 2 cos 1
Vớ duù: Giaỷi phửụng trỡnh
cos3x x x
+ =
(trớch : thi H-C khi D-nm 2006)
(*) cos3 cos cos 2 1 0
Hửụựng daồn:
x x x
+ =
cos cos 2sin sin
2 2
x y x y
x y
+
=
2

cos 2 1 2sinx x
=
2
2sin 2 .sin 1 2sin 1 0x x x
+ =
( )
( )
2
sin sin 2 sin 0
sin 0 (1)
sin 2cos 1 0
1
cos (2)
2
x x x
x
x x
x
+ =
=


+ =

=

2
(1) (2) 2 ( )
3
x k x k k Z

= = +
ĐẠI SỐ 10+11
Tuesday, May 19, 2015 22
4.Phương trình lượng giác khác Phương trình LG có điều kiện
3 tan
Ví dụ : Giải phương trình:
tan x x
=
cos3 0 cos 0
Hướng dẫn :
* Điều kiện : x x
≠ ∧ ≠
* tan 3 n
2
ta 3



x x
x k
x x k
π
π
=
⇔
=
=
⇔ +

A
B
A’
B’
O
*
2
cos3 0 cos 0
Nghiệm của pt là các giá trò k
thỏa đk: và x x
π
≠ ≠
1) cos3 cos3 0
2
cos cos 0
2
A và A' thỏa mãn.
2) A và A' thỏa mãn
x k
x k
π
π
= ≠ ⇔
= ≠ ⇔
2 2Nghiệm của pt là : và
hay :
x k x k
x k
π π
π

π
+ =
=
=
V.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GiÁC
<< trở về