Đề tài về phương sai của sai số thay đổi

Trường Đại Học Thương Mại
Bài thảo luận nhóm 5
Đề tài về phương sai của sai số thay đổi
Câu 1:
1, Bản chất
Trái với giả thuyết của mô hình hồi tuyến tính cổ điển phương sai của sai số
không đổi
( )
( )
iUEU
ii
∀== ,var
22
σ
. Phương sai của sai số thay đổi có hàm mật độ
xác suất không giống nhau ứng với mỗi giá trị khác nhau của biến độc lập, nghĩa
là nó mô tả cho trường hợp phương sai của các sai số thay đổi,
( )
( )
22
var
iii
UEU
σ
==
.
Đồ thị minh họa 1 trường hợp của phương sai sai số thay đổi giảm dần theo giá trị
của biến độc lập.
Thực hiện: Nhóm 5 Trang 1
f(u)
X

Y
Trường Đại Học Thương Mại
2, Nguyên nhân
Phương sai thay đổi có thể do một số nguyên nhân sau:
- Do bản chất của các mối liên hệ kinh tế: có nhiều mối quan hệ kinh tế đã chứa
đựng hiện tượng này. Chẳng hạn mối quan hệ giữa thu nhập và tiết kiệm, thông
thường thu nhập tăng thì mức độ biến động của tiết kiệm cũng tăng.
- Do kỹ thuật thu nhập số liệu được cải tiến,
2
σ
dường như giảm. Kỹ thuật thu
thập số liệu càng được cải tiến sai lầm phạm phải càng ít hơn.
- Do con người học được hành vi trong quá khứ, Chẳng hạn, lỗi của người đánh
máy càng ít nếu thời gian thực hành càng tăng.
- Phương sai của sai số thay đổi cũng xuất hiện khi có các quan sát ngoại lai.
Quan sát ngoại lai là các quan sát khác biệt rất nhiều(quá nhỏ hoặc quá lớn) với
các quan sát khác trong mẫu. Việc đưa vào hoặc loại bỏ các quan sát này ảnh
hưởng rất lớn đến phân tích hồi quy.
- Một nguyên nhân khác là mô hình định dạng sai. Có thể do bỏ sót biến thích hợp
hoặc dạng giải tích của hàm là sai.
3, Hậu quả
Mục này ta sẽ xem hậu quả của giả thiết phương sai của sai số không đổi không
được thỏa mãn có ảnh hưởng như thế nào đến các ước lượng thu được.
Có những vấn đề sau:
- Các ước lượng bình phương nhỏ nhất(OLS) vẫn là không chệch nhưng không
hiệu quả (ước lượng có phương sai nhỏ nhất).
- Ước lượng của các phương sai sẽ bị chệch như vậy làm mất hiệu lực khi kiểm
định.
Thực hiện: Nhóm 5 Trang 2
Trường Đại Học Thương Mại

- Việc dùng thống kê t và F để kiểm định giả thuyết không còn đáng tin cậy nữa,
do đó kết quả kiểm định không còn tin cậy.
- Kết quả dự báo không còn hiệu quả nữa khi sử dụng các ước lượng bình phương
nhỏ nhất có phương sai không nhỏ nhất. Nghĩa là nếu sử dụng các hệ số ước
lượng tìm được bằng phương pháp khác mà chúng không chệch và có phương sai
nhỏ hơn các ước lượng OLS thì kết quả dự báo sẽ tốt hơn.
Câu 2:
A, Nhắc lại lý thuyết:
1, Cách phát hiện
a, Phương pháp định tính
*) Dựa vào bản chất của vấn đề nghiên cứu
Trên thực tế thì ở số liệu chéo liên quan đến các đơn vị không thuần nhất hay xảy
ra hiện tượng phương sai của sai số thay đổi.
*) Dựa vào đồ thị của phần dư
Đồ thị của sai số của hồi quy (phần dư) đối với giá trị của biến độc lập X
hoặc giá trị dự đoán
Y
ˆ
sẽ cho ta biết liệu phương sai của sai số có thay đổi hay
không. Phương sai của phần dư được chỉ ra bằng độ rộng của biểu đồ phân rải của
phần dư khi X tăng. Nếu độ rộng của phần dư tăng hoặc giảm khi X tăng thì giả
thiết về phương sai hằng số có thể không được thỏa mãn.
Biểu đồ phần dư đối với X cho ta thấy rằng độ rộng của biểu đồ rải tăng lên (giảm
đi) khi X tăng, cho nên có chứng cớ để cho rằng phương sai của sai số thay đổi
khi X tăng. Chú ý rằng đôi khi người ta vẽ đồ thị của phần dư bình phương đối
với X.
Nhưng có một số vấn đề thực hành mà ta cần bàn tới là nếu chúng ta xem xét hồi
quy bội có nhiều hơn một biến giải thích thì chúng ta phải làm thế nào? Liệu có
Thực hiện: Nhóm 5 Trang 3
Trường Đại Học Thương Mại

thể dùng đồ thị nữa không? Một trong các cách có thể làm và vẽ đồ thị của phần
dư theo
Y
ˆ
. Vì
i
Y
ˆ
là tổ hợp tuyến tính của các giá trị của X nên đồ thị phần dư
bình phương đối với
i
Y
ˆ
có thể chỉ ra một mẫu gợi ý cho ta có tồn tại hiện tượng
phương sai thay đổi hay không ?
b, Phương pháp định lượng
*) Kiểm định Park:
Park đã hình thứ hóa phương pháp đồ thị cho rằng
2
i
σ
là hàm nào đó của biến giải
thích X. Dạng hàm đề nghị là:

i
v
ii
eX
2
.

22
β
σσ
=
Lấy ln của 2 vế ta được

iii
vX
++=
lnlnln
2
22
βσσ
Trong đó v
i
là số hạng ngẫu nhiên.
Vì
2
i
σ

là chưa biết nên Park đã đề nghị sử dụng e
i
2
thay cho
2
i
σ
và ước lượng hồi
quy sau:

iiiiii
vXvXe
++=++=
lnlnlnln
212
22
βββσ
(1)
Trong đó
2
1
ln
i
σβ
=
,
2
i
σ
thu được từ hồi quy gốc.
Để thực hiện kiểm định park ta sẽ tiến hành các bước sau:
1. Ước lượng hồi quy gốc, cho dù có hoặc không tồn tại hiện tượng phương
sai của sai số thay đổi.
2. Từ hồi quy gốc thu được các phần dư e
i
sau đó bình phương chúng được e
2
i

rồi đến lấy

2
ln
i
e
3. Ước lượng hồi quy trong đó biến giải thích (X
i
) là biến giải thích trong hồi
quy gốc, nếu có nhiều biến giải thích có thể ước lượng hồi quy đối với mỗi
biến giải thích, hoặc có thể ước lượng hồi quy đối với
ˆ
i
y
làm biến giải
thích, trong đó
ˆ
i
y
là y
i
đã được ước lượng.
Thực hiện: Nhóm 5 Trang 4
Trường Đại Học Thương Mại
4. kiểm định giả thiết H
o:
2
β
=
0 nghĩa là không có hiện tượng phương sai của
sai số thay đổi. Nếu có tồn tại mối liên hệ có ý nghĩa về mặt thống kê giữa
ln e

2
và lnX
i
thì giả thiết H
0
:
β
2
= 0 có thể bác bỏ, trong trường hợp này ta
phải tìm cách khắc phục.
5. Nếu giả thiết H
0
:
β
2
= 0 được chấp thuận thì
β
1
trong hồi quy (1) có thể
được giải thích như là giá trị của phương sai không đổi (
2
1
ln
σβ
=
)
*) Kiểm định Glejser
Kiểm định Glejser cũng tương tự như kiểm định Park. Sau khi thu được phần
dư ei từ hồi quy theo phương pháp bình quân nhỏ nhất, Glejser đề nghị giá trị hồi
quy giá trị tuyệt đối của e

i
,
i
e
đối với biến X nào mà có thể có kết hợp chặt chẽ
với
2
i
σ
. Trong thực nghiệm Glejser sử dụng các hàm sau:

i
e
= β
1
+ β
2
X
i
+ v
i

i
e
= β
1
+ β
2
i
X

+ v
i
i
e
= β
1
+ β
2

i
X
1
+ v
i
i
e
= β
1
+ β
2

i
X
1
+ v
i
i
e
=
i

X
21
ββ
+
+ v
i
i
e
=
2
21 i
X
ββ
+
+ v
i

Trong đó vi là sai số.
Giả thiết H
0
trong mỗi trường hợp đã nêu trên là không có phương sai của sai số
thay đổi, nghĩa là H
0
: β
2
= 0. Nếu giả thiết này bị bác bỏ thì có thế có hiện tượng
phương sai của sai số thay đổi. Cần lưu ý rằng kiểm định Glejser cũng có vấn đề
như kiểm định Park. Goldfeld và Quandt đã chỉ ra rằng sai số v
i
trong hồi quy

Glejser có một số vấn đề, như giá trị kỳ vọng của nó khác không, nó có tương
quan chuỗi. Tuy nhiên Glejser cho rằng trong mẫu kiểm định lớn thì 4 mô hình
đầu cho ta kết quả tốt trong việc vạch ra hiện tượng phương sai của sai số thay đổi
( hai mô hình còn có vấn đề vì là phi tuyến theo tham số, do đó, không thể ước
lượng bằng thủ tục bình phương nhỏ nhất thông thường)
Thực hiện: Nhóm 5 Trang 5
Trường Đại Học Thương Mại
Do vậy mà kiểm định Glejser được sử dụng như một công cụ để chuẩn đoán
trong mỗ lớn.
*)Kiểm định Goldfeld- Quandt
Nếu giả thiết rằng phương sai của sai số thay đổi
2
i
σ
có thể liên hệ dương
với một trong các biến giải thích trong mô hình hồi quy thì ta có thể sử dụng kiểm
định này.Để đơn giản ta hãy xét mô hình 2 biến:
Y
i =
β
1
+

β
2
X
i
+ U
i
Giả sử

2
i
σ
có liên hệ dương với biến X theo cách sau:

2
i
σ
=
2
σ
X
i
2
(*)
Trong đó
2
σ

là hằng số. Giả thiết này có nghĩa là
2
i
σ
tỉ lệ với bình phương của
biến X. Nếu giả thiết (*) là thích hợp thì điều này có nghĩa là khi X tăng
δ
i
2
cũng
tăng.

Thủ tục kiểm định của Goldfeld-Quandt gồm các bước sau:
Bước 1: Sắp xếp các quan sát theo thứ tự tăng dần về của biến X.
Bước 2: Bỏ c quan sát ở giữa theo cách sau:
Đối với mô hình 2 biến, George G . Judge đề nghị :
c = 4 nếu cỡ mẫu khoảng n = 30
c = 10 nếu cỡ mẫu khoảng n = 60
và chia số quan sát còn lại thành 2 nhóm, trong đó mỗi nhóm có
2
n c−
quan sát.
Bước 3: Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất ước lượng tham số của
các hàm hồi quy đối với
2
n c−
đầu và cuối: thu được tổng bình phương các phần
dư của RSS
1
, RSS
2
tương ứng với các giá trị của X
i
nhỏ hơn và RSS
2
- ứng với
Thực hiện: Nhóm 5 Trang 6
Trường Đại Học Thương Mại
các giá trị X
i
nhỏ hơn. Bậc tự do tương ứng là với
2

n c−
- k hoặc
2
2
n c k
− −
.
Trong đó k là số các tham số được ước lượng kể cả hệ số chặn ( trường hợp 2 biến
k = 2 )
Bước 4: Tính F =
2
1
RSS
df
RSS
df
Nếu U
1
là phân phối chuẩn và nếu giả thiết về phương sai có điều kiện không đổi
được thỏa mãn thì F tuân theo phân phối F với bậc tự do ở tử số và mẫu số là
(n – c – 2k)/2, nghĩa là F có phân phối F(df,df).
Trong ứng dụng nếu F tính được lớn hơn điểm tới hạn F ở mức ý nghĩa mong
muốn thì chúng ta có thể từ bỏ giả thiết H
0
: phương sai có điều kiện không đổi,
nghĩa là có thể nói có thể phương sai số thay đổi.
Chú ý rằng trong trường hợp các biến giải thích X nhiều hơn 1 thì việc sắp xếp
các quan sát trong kiểm định ở bước 1 có thể làm đối với 1 biến bất kì trong các
biến giải thích đó. Chúng ta có thể tiến hành kiểm định Park đối với mỗi biến X.
*) Kiểm định white

Kiểm định white đề nghị một thủ tục không đòi hỏi U có phân phối chuẩn.
Kiểm định này là một kiểm định tổng quát về sự thuần nhất của phương sai xét
mô hình sau:

ii
UXXY
+++=
33221
βββ
(3)
Bước 1: Ước lượng (3) bằng OLS, từ đó thu được các phần dư tương ứng
Bước 2: Ước lượng mô hình sau:

ii
VXXXXXXe
++++++=
326
2
35
2
2433221
2
αααααα
(4)
R
2
là hệ số xác định bội từ (4)
Bước 3: Kiểm định giả thuyết.
H
0

: Phương sai sai số đồng đều (
0
65432
=====
ααααα
)
H
1
: Phương sai sai số thay đổi
Thực hiện: Nhóm 5 Trang 7
Trường Đại Học Thương Mại
nR
2
có phần xấp xỉ
)(
2
df
χ
, df bằng hệ số của mô hình (4) không kể hệ số chặn.
Bước 4: Nếu nR
2
không vượt quá giá trị
)(
2
df
α
χ
thì giả thuyết H
0
không có cơ sở

bị bác bỏ và ngược lại.
*) Kiểm định dựa trên biến phụ thuộc
Kiểm định này dựa trên ý tưởng cho rằng phương sai của yếu tố ngẫu nhiên phụ
thuộc các biến độc lập có hay không có trong mô hình, nhưng không biết rõ chúng
là những biến nào. Vì vậy thay vì xem xét quan hệ đó người ta xem xét mô hình
sau đây :
σ
1
2
= α
1
+α
2
(E(Y
1
))
2
(5)
Trong (5),
2
i
σ
và E(Y
1
) đều chưa biết do đó sử dụng các ước lượng của nó là e
i
2

và
2

ˆ
i
Y
.
Bước 1: Ước lượng mô hình ban đầu bằng OLS. Từ đó thu được e
i
và Ŷ
i
Bước 2: Ước lượng mô hình sau đây bằng OLS:
e
i
2
=α
1
+ α
2
.
2
ˆ
i
Y
+ v
1
.
Từ kết quả này thu được R
2
tương ứng. Có thể sử dụng hai kiểm định sau đây để
kiểm định thiết:
H
0

: Phương sai của sai số đồng đều.
H
1
: Phương sai của sai số thay đổi.
a. Kiểm định
2
χ
nR
2
có phân phối xấp xỉ
2
χ
. Nếu nR
2
lớn hơn
2
χ
thì H
0
bị bác bỏ
Trường hợp ngược lại không có cơ sở bác bỏ H
0
.
b. kiểm định F
Thực hiện: Nhóm 5 Trang 8