SKKN các dạng toán liên quan đến số nguyên tố và có phương pháp giải quyết

I/ ĐẶT VẤN ĐỀ:
1/Thực trạng và tầm quan trọng của vấn đề:
Toán học nói riêng là môn học công cụ đắc lực không thể thiếu để hổ trợ cho các
môn khoa học khác cũng như giải quyết các vấn đề thực tế. Việc giúp HS nắm vững kiến
thức cơ bản và vận dụng toán học vào thực tế không phải của riêng thầy giáo, cô giáo nào.
Chương trình toán THCS đã giúp HS giải quyết nhiều vấn đề cơ bản trong thực tế.
Trong chương trình toán THCS nhiều một dạng toán mang tính áp dụng cao, nó là cơ sở
để ứng dụng giải quyết các bài toán liên quan. Trong đó có một dạng toán liên quan đến số
nguyên tố có thể nói là rất khó đối với học sinh THCS. Trên thực tế kiến thức về số
nguyên tố chỉ dừng lại ở khái miện chứ không đi sâu vì thế khi gặp một bài toán khó về số
nguyên tố nhất là đối tượng HS giỏi lại gặp rất nhiều thì HS không có phương hướng để
giải quyết.
Qua nhiều năm giảng dạy, bản thân tôi cũng đã không khỏi trăn trở làm thế nào để
HS có thể hiểu được và nắm vững các dạng toán liên quan đến số nguyên tố và có phương
pháp giải quyết. Chính vì thế tôi đã đi vào nghiên cứu, tìm hiểu và viết đề tài này nhằm
san sẻ kinh nghiệm của mình với các em HS cùng đồng nghiệp.
2/Phạm vi đề tài:
Trong chương trình toán THCS thì số nguyên tố đã được đưa vào từ lớp 6 chỉ ở
dưới dạng khái niệm chứ không đi sâu thêm. Ở các lớp 7, 8, 9 thì lại không khai thác, bổ
sung thêm mà chỉ vận dụng mở rộng. Vì thế hầu như cả chương trình THCS đều có những
bài tập liên quan đến số nguyên tố. Do đó đề tài nghiên cứu cso phạm vi tương đối rộng
cho cả các lớp THCS.
3/Đối tượng nghiên cứu:
Để tiến hành đề tài này tôi đã nghiên cứu và áp dụng cho chủ yếu là HSG ở tất cae
các khối 6, 7, 8, 9 trong các năm học qua.
Đề tài này là tài liệu học tập tốt cho HSG cấp THCS và là tài liệu tham khảo cho các
thầy, cô giáo và phụ huynh HS nói chung.
II/ CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Dạy học toán thực chất là dạy hoạt động toán học. HS-chủ thể của hoạt động học cần
phải được cuốn hút vào những hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông
qua đó học sinh tự lực khám phá những điều mình chưa biết chứ không phải thụ động tiếp

thu những tri thức đã sắp đặt sẵn. Theo tinh thần này trong tiết lên lớp, giáo viên là người
tổ chức và chỉ đạo học sinh tiến hành các hoạt động học tập, củng cố kiến thức cũ tìm tòi
phát hiện kiến thức mới. Giáo viên không cung cấp, không áp đặt những kiến thức có sẵn
đến với học sinh mà hướng cho học sinh thông qua các hoạt động để phát hiện và chiếm
lĩnh tri thức .
Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên giúp học sinh chuyển
từ thói quen học tập thụ động sang tự mình tìm tòi và phát hiện kiến thức giúp rèn luyên
khả năng tư duy, nhớ kỹ các kiến thức đã học.
Về mặt lí luận mà nói thì theo khung phân phối chương trình và sách giáo khoa
(SGK) hiện hành thì toàn bộ kiến thức về “số nguyên tố” chỉ gói gọn trong bài học “Số
nguyên tố. Hợp số. Bảng số nguyên tố” mà nội dung chỉ dừng lại ở khái niệm số nguyên
1
tố. Chính vì thế mà HS còn rất thiếu kỉ năng cũng như phương pháp khi gặp các bài toán
khó!
III/ CƠ SỞ THỰC TIỄN:
Nhìn chung trong nhiều năm qua ở trường THCS Quang Trung nói riêng chất lượng
mũi nhọn bộ môn toán có thể nói còn quá khiêm tốn. Việc nghiên cứu viết các chuyên đề
về môn toán để giảng dạy và đặt biệt là để bồi dưỡng HSG có thể nói còn quá ít. Với đề tài
“Số nguyên tố và các dạng toán liên quan” thì chưa có ai viết bao giờ. Tôi cũng đi hỏi
thăm nhiều đồng nghiệp trong huyện để tìm tư liệu dạy học nhưng cũng chưa có ai viết về
đề tài này.
Qua nhiều kì thi nhất là thi HSG thì nhiều bài tập liên quan về số nguyên tố đôi khi
đòi hỏi ở mức độ cao hơn nhiều khi HS được học trên lớp cũng như đòi hỏi những phương
pháp ngoài SGK thì mới có thể “xở” nổi. Do đó phần lớn HS đều bỏ dở!
Qua kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy, nghiên cứu, tìm tòi tài liệu, tôi nhận thấy
cần có một đề tài đi sâu hơn về vấn đề này và tôi đã viết đề tài này nhằm san sẻ những
hiểu biết của mình với đồng nghiệp.
IV/ NỘI DUNG
A/ Kiến thức cần nhớ:
1. Định nghĩa:

* Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
* Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.
2. Tính chất:
* Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q thì p = q.
* Nếu tích abc chia hết cho số nguyên tố p thì ít nhất một thừa số của tích abc chia
hết cho số nguyên tố p.
* Nếu a và b không chia hết cho số nguyên tố p thì tích ab không chia hết cho số
nguyên tố p .
3. Cách nhận biết một số nguyên tố:
a) Chia số đó lần lượt cho các số nguyên tố đã biết từ nhỏ đến lớn.
- Nếu có một phép chia hết thì số đó không phải là số nguyên tố.
- Nếu chia cho đến lúc số thương nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn còn số dư
thì số đó là số nguyên tố.
b) Một số có 2 ước số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố.
4. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố:
* Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng
một tích các thừa số nguyên tố.
- Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của mỗi số nguyên tố là chính số đó.
- Mọi hợp số đều phân tích được ra thừa số nguyên tố.
.
íi , , µ nh÷ng sè nguyªn tè.
, , , N vµ , , , 1
A a b c
V a b c l
α β γ
=
α β γ ∈ α β γ ≥
2
5. Số các ước số và tổng các ước số của một số:
+1 1 1

¶ sö .
íi , , µ nh÷ng sè nguyªn tè.
, , , N vµ , , , 1
1. Sè c¸c íc sè cña A lµ: ( +1)( +1) ( +1).
a 1 1 1
2. Tæng c¸c íc sè cña A lµ: .
1 1 1
Gi A a b c
V a b c l
b c
a b c
α β γ
α β+ γ+
=
α β γ ∈ α β γ ≥
α β γ
− − −
− − −
6. Số nguyên tố cùng nhau:
* Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1.
Hai số a và b nguyên tố cùng nhau
⇔
ƯCLN(a, b) = 1.
Các số a, b, c nguyên tố cùng nhau
⇔
ƯCLN(a, b, c) = 1.
Các số a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau
⇔
ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) =
ƯCLN(c, a) =1.

Số nguyên tố được được nghiên cứu từ nhiều thế kỉ trước công nguyên nhưng
cho đến nay nhiều bài tóan về số nguyên tố vẫn chưa được giải quyết trọn vẹn!
7/ Sàng Ơ- RA- TÔ – XTEN ( Euratosthène)
Làm thế nào để tìm được tất cả các số nguyên tố trong một giới hạn nào đó, chẳng
hạn từ 1 đến 100?
Ta làm như sau: Trước hết xóa đi số 1.
Giữ lại số 2 và xóa đi tất cả bội của 2 mà lớn hơn 2.
Giữ lại số 3 và xóa đi tất cả bội của 3 mà lớn hơn 3.
Giữ lại số 5 (số 4 đã bị xóa) và xóa đi tất cả bội của 5 mà lớn hơn 5.
Giữ lại số 7 (số 6 đã bị xóa) và xóa đi tất cả bội của 7 mà lớn hơn 7.
Các số 8; 9; 10 đã bị xóa . Không cần xóa tiếp các bội của các số lớn hơn 10 cũng
kết luận được rằng không còn hợp số nào nữa.
Thật vậy, giả sử n là một hợp số chia hết cho một số a lớn hơn 10 thì do n < 100,
a> 10 nên n phải chia hết cho một số b nhỏ hơn 10, do đó n đã bị xóa.
Nhà tóan học cổ Hi Lạp Ơ- ra- tô- xten.( Thế kỉ III trước Công nguyên) là người
đầu tiên đưa ra cách làm này. Ông viết các số trên giấy cỏ sậy căng trên một cái khung
rồi dùi thủng các hợp số được một vật tương tự như các sàng: các hợp số được sàng qua,
các số nguyên tố được giữ lại. Bảng số nguyên tố này được gọi là sàng Ơ- ra- tô- xten.
Bài tập 1:
Dùng bảng các số nguyên tố nhỏ hơn 100 hãy nêu cách kiểm tra một số nhỏ hơn
10000 có là số nguyên tố hay không? Xét bài tóan trên đối với các số 259; 353l.
Giải: Cho số n < 10000 (n>1) . Nếu n chia hết cho một số k nào đó (1< k< n) thì n
là hợp số. Nếu n không chia hết cho số nguyên tố p(p
2
< n ) thì n là số nguyên tố.
Số 259 chia hết cho 7 nên là hợp số.
Số 353 không chia hết cho tất cả các số nguyên tố
8/ Sự phân bố số nguyên tố:
3
Từ 1 đến 100 có 25 số nguyên tố, trong trăm thứ hai có 21 nguyên tố , trong trăm

thứ ba có 16 số nguyên tố , . Trong nghìn đầu tiên có 168 số nguyên tố , trong nghìn thứ
hai có 145 số nguyên tố, trong nghìn thứ bacó 127 số nguyên tố , .Như vậy càng đi xa
theo dãy số tự nhiên, các số nguyên tố càng thưa dần .
Bài tập 2:
Có tồn tại 1000 sồ tự nhiên liên tiếp đều là hợp số hay không?
Giải : Có .Gọi a = 2.3.4 . 1001 .Các số A+2, A+3, ,A+1001 là 1000 số tự nhiên
liên tiếp và rõ ràng đều là hợp số (đpcm) .
Một vấn đề được đặt ra : Có nhưng khoản rất lớn các số tự nhiên liên tiềp đều là
hợp số . Vậy có thể đến một lúc nào đó không còn số nguyên tố nữa không ? Có số nguyên
tố cuối cùng không ? Từ thế kỉ III trước Công nguyên, nhà toán học cổ HiLạp Ơ – clit
(Euclide) đã chứng minh rằng : Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn .
Bài tập 3:
Chứng minh rằng không thể có hữu hạn số nguyên tố
Giải: Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p
1
, p
2
, , p
n
trong đó p
n
là số lớn nhất
trong các số nguyên tố .
Xét số A = p
1
p
2
p
n
+ 1 thì A chia cho mỗi sồ nguyên tố p

i
(1 < i <n) đều dư 1 (1).
Mặt khác A là hợp số ( vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là p
n
) do đó A phải chia
hết cho một số nguyên tố nào đó, tức là A chia hết cho một trong các số p
i
(1 < i <n) (2),
mâu thuẫn với (1).
Vậy không thể có hữu hạn số nguyên tố (đpcm).
Qua sự phân bố các số nguyên tố, nhà tóan học Pháp Bec – tơ – răng đưa ra dự đóan:
Nếu n > 1 thì giữa n và 2n có ít nhất một số nguyên tố. Năm 1852, nhà toán học Nga Trê
– bư – sép đã chứng minh được mệnh đề này. Ông còn chứng minh được:
Nếu n > 3 thì giữa n và 2n – 2 có ít nhất một số nguyên tố. Ta cũng có mệnh đề
sau: Nếu n > 5 thì giữa n và 2n có ít nhất hai số nguyên tố.
Bài tập 4:
Cho số tự nhiên n > 2. Chứng minh rằng các số n! – 1 có ít nhất một ước nguyên tố
lớn hơn n.
Giải : Gọi a = n! – 1 . Do n > 2 nêm a>1.Mội số tự nhiên lớn hơn 1 đều có ít nhất
một ước nguyên tố .Gọi p là ước nguyên tố của a.Tia sẽ chứng minh rằng p >n.
Thật vậy giả sử p < n thì tích 1.2.3 n chia hết cho p, ta có n ! chia hết cho p , mà a
chia hết cho p nên 1 chia hết chi p, vô lí .
B/ Các dạng bài tập về số nguyên tố:
1/ Chứng minh một biểu thức luôn là số nguyên tố:
Bài tập 5:
Chứng minh rằng tồn tại vô số số tự nhiên n sao cho n
2
= x
2
+p trong đó p là số

nguyên tố và x là số tự nhiên.
Giải: Lấy n=3k+2 (k tự nhiên). Từ dẳng thức n
2
=x
2
+p
suy ra p =n
2
–x
2
=(n-x)(n+x)
Vì p nguyên tố và n>x nên n-x=1 và n+x=p .
Từ đó p=2n-1 =3(2k+1), điều không thể xảy ra.
4
Vậy số có dạng 3k+2 (có vô số như thế ) không thể biểu diễn dưới dạng x
2
+p
Bài tập 6:
Tìm tất cả số nguyên tố có dạng -1
Giải: Với n>4 từ đẳng thức -1=ta thấy rằng số -1 là hợp số.Thật thế,với n=2k ta có
-1=(2k-1)(k+1) và với n=2k+1 ta có -1=k(2k+3)
Nếu n=2 ta có số nguyên tố đầu tiên là 2,nếu n=3 thi ta có số nguyên tố 5
Bài tập 7:
Chứng minh rằng nếu số 2
n
+1 là số nguyên tố thì n=2
m
.
Giải: Giả sử n≠2m.thế thì nó có thể viết dưới dạng n=tk,trong đó k là số lẻ nào
đó>1.suy ra:

2
n
+1=2
tk
+1=(2
t
+1)(
2t(k-1
)-
2t(k-2)
+…-2
t
+1)là hợp số.vậy đều giả sử là sai vì 2
n
+1 theo đề bài là
số nguyên tố.
Bài tập 8:
Chứng minh rằng khi chia một số nguyên tố cho 30 thi số dư cũng là số nguyên tố.
Chỉ dẫn :- Chứng minh rằng số dư này không chia hết cho 2, 3, 5 .
Bài tập 9:
Chứng minh rằng số nhỏ nhất N nguyên tố cùng nhau với một trong các số 1,2,…,n là
số nguyên tố.
Chỉ dẫn :- Aùp dụng tính chất sau: mọi ước của số đang xét lớn hơn n và nguyên tố cùng
nhau với các số 1, 2, 3,…….,n.
Bài tập 10:
Tìm tất cả các số nguyên tố có dạng p
P
+1(p tự nhiên) chứa không quá 19 chữ số.
Đáp án: Rõ ràng p<19. Ngoài ra nếu p lẻ
2/ Với một số nguyên tố, chứng minh đẳng thức, biểu thức thỏa mãn điều kiện nào đó:

Bài tập 11:
Cho a, b, p là 3 số tự nhiên bất ky øchứng minh rằng ta tìm được hai số k, l nguyên
tố cùng nhau sau cho ak+pl chia hết cho p.
Giải: UCLN của các số b và p-a là d . Suy ra b=kd va p-a =ld, trong đó k và l
nguyên tố cùng nhau.
Nhưng thế thì ak +bl =a.+b.=.p=kp
Bài tập 12:
Cho ba số tự nhiên a, b, c sau cho các số q= b
C
+a, q = a
b
+c, r = c
a
+b đều là số
nguyên tố.Chứng minh rằng hai trong ba số p,q,r dều bằng nhau.
Giải: Hai trong ba số a, b, c, có cùng tính chẵn lẻ, giả sử đó là hai số a và b. Vì b
c
cùng tính chẵn lẽ như b nên p= b
c
+a là chẵn. Nhưng p là số nguyên tố nên p= 2 , suy ra
a=b=1. Khi đó q=1
b
+c =c
n
+1=r
Bài tập 13:
Giả sử p là số nguyên tố. Chứng minh rằng tổng 2
p
+3
p

khôngthể biểu thị dưới dạng
x
m
( x và m là hai số tự nhiên và m>1)
Giải: Nếu p=2 thì 2
2
+3
2
=13≠x
m
,trong đó x và m là số tự nhiên,m>1.
Giả sử bây giờ p là số nguyên tố nào đó.Thế thì:
2
p
+3
p
=(2+3)(2
p-1
-2
p-2
.3+2
p-3
.3
2
-…+3
p-1
)=5a
5
trong đó a=2
p-1

-2
p-2
.3+…+3
p-1
Lưu ý rằng 3
k
=(5-2)
k
=5B
k
+(-2)
k
,trong đó Bk là số nguyên(suy ra từ công thức niutơn
chẳng hạn).Vậy:
A=2
p-1
-2
p-2
(5B
1
-2)+2
p-3
(5B
2
+2
2
)-…-(5B
p-1
+2
p-1

)=5B+p.2
p-1
,trong đó
B=-2o-2B
1
+2p-3B
2
-…+B
p-1
Suy ra: 2
p
+3
p
=5(5B+p.2
p-1
)=25.B+5p.2
p-1
Đặt 2
p
+3
p
=x
m
,trong đó x và m là số tự nhiên,m>1.
Ta có:
25B +5p.2
p-1
=x
,do đó
x chia hết cho 5

Nhưng m>1 nên x
m
chia hết cho 25.Lai do p≠5 nên 5p.2
p-1
không chia hết cho 25.
Nếu p=5 thì 2
5
+3
5
=32+243=275≠x
m
với m>1
Bài tập 14:
Chứng minh rằng nếu số 2
n
+1 là số nguyên tố thì n=2
m
.
Giải: Giảsử n≠2m.thế thì nó có thể viết dưới dạng n=tk,trong đó k là số lẻ nào
đó>1.suy ra:
2
n
+1=2
tk
+1=(2
t
+1)(
2t(k-1
)-
2t(k-2)

+…-2
t
+1)là hợp số.vậy đều giả sử là sai vì 2
n
+1 theo
đề bài là số nguyên tố.
Bài tập 15:
Chứng minh rằng với số nguyên tố p>5 không tồn tại đẳng thức (p -1)!+1=p
m
với
mọi m tự nhiên.
Giải: Vì p>5 nên.2.do đó(p-1)
2
=2. (p-1) chia hết cho (p-1)!
Giả sử với m tự nhiên nào đo ùta có đẳng thức (p-1)!+1=p
m
,thế thì (p-1)
2
chia hết cho p
m
-
1,suy ra p-1 chia hết p
m-1
+p
m-2
+…+p+1=(p
m-1
-1)+ (p
m-1
-2)+…+

(p-1)+m
Vì p-1 chia hết p
t
-1 với mọi t=1,2,…,m-1 nên suy ra p-1 chia hết m.Vì thế m>p-1 vaø
p
m
>p
p-1
>(p-1)
p-1
+1> (p-1)!+1,điều này trái với giả thiết
Bài tập 16:
Giả sử p>2 làsố nguyên tố . Chứng minh 2/p chỉ có thể biểu diễn bằng một cách dưới
dang = + với x, y là hai số nguyên dương khác nhau.
Giải: Nhân cả hai vế của phương trình = + với2xyp rồi chuyển 2xp và 2yp từ vế
phải sang vế trái,sau đó cộng thêm p
2
vào 2 vế ta biến đổi phương trình thành dạng:(2x-p)
(2y-p)=p
2
Do x và y là 2 số phân biệt nên 2 thừa số ở vế trái của phương trình cũng phân
biệt.Vậy tích của chúng có thể bằng p
2
chỉ trong trường hợp một trong hai thừa số bằng
1,còn thừa số kia bằng p
2
Giả sử 2x-p=1,2y-1= p
2
thì x=,y=p.
Trường hợp thứ hai chỉ khác do x và y đổi chỗ cho nhau.

3/ Tìm giá trị tham số để biểu thức là số nguyên tố:
Bài tập 17:
Tìm tất cả các số tự nhiên N(theo hệ thập phân)thỏa mãn các điêu khiện sau:
N= aabb, trong đó aab và abb là số nguyên tố
6
Giải: Do aab là số nguyên tố , tức là110a +b là số nguyên tố ta có b=1,3,7 hoặc
9.Từ điều kiện thứ nhất ta có :N=11(100a +b).
theo bảng số nguyên tố ta tím được các cặp số nguyên tố
aab và abb thỏa mãn điều kiện thứ nhất sau đây:
(223,233),(227,277),(331,311),(443,433),(449,499),(557,577),(773,733),(881,811),
(887,877),(991,911),(997,977).
Tương ứng với 100a+b là các số sau
203=7.29,207=9.23,301=7.43,403=13.31,409= số nguyên tố ,
507=3.13
2
,703=19.37,801=3
2
.89,807=2.269;901=17.53;907=số nguyên tố
Vậy N=8877=3.11.269
Bài tập 18:
Tìm số tự nhiên p sao cho p và p+3 đều là số nguyên tố.
Giải: Một số tự nhiên bấy kì có 1 trong hai dạng:
2n; 2n+1 n∈N
Nếu p= 2n+1 thì p+3 =2n + 4 :2
Ta có p+3 >3 và p+3 :2
Nên p+3 là hợp số trái đề bài.
Do đó p=2n
Nhưng p nguyên tố nên p= 2
P+3 =5 nguyên tố.
Vậy:p=2

Bài tập 19:
Tìm số nguyên tố p sao cho p+4 va p+8 đều là số nguyên tố
Giải: Bất kì số tự nhiên nao cũng có một trong ba dạng:
3n; 3n +1;3n+2 ;n∈N
Nếu p=3n thì p+8 =3n+9 :3 , vô lí.
Nếu p=3n+2 thì p+4= 3n +6, vô lí.
Do đó p=3n
Nhưng p nguyên tố nên p = 3
P+4=7;p+8=11, nguyên tố
Vậy p=3
Bài tập 20:
Chứng tỏ rằng nếu p=a+ b
là một số nguyên tố thì a và b là hai số nguyên tố cùng nhau.
Giải: Giả sử a và b là hai số không nguyên tố cùng nhau.
Ta suy ra a và b phải có ít nhất một USC d >1.
a:d ; b:d
Do đó : a+b :d
Suy ra p:d
Số tự nhiên p, ngoài 1và p còn có một ƯSC d >1 nên p là một hợp số, trái với dề bài
đã cho.
Vậy a và b là nguyên tố cùng nhau nếu p = a + b là một số nguyên tố.
7
Bài tập 21:
Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng ab và a+b nguyên tố
cùng nhau.
Giải: Giả sử ab và a+b không nguyên tố cùng nhau.
Ta suy ra ab và a+b có một ƯSC nguyên tố d
ab:d ; a+b:d
Vì ab:d, d nguyên tố nên hoặc a :d hoặc b: d
Nếu a:d

Mà a+b :d nên ra b:d
Suy ra a và b có một USC nguyên tố d, vô lí vì(a,b )=1
Tương tự b:d
Vậy ab và a+b nguyên tố cùng nhau nếu a và b nguyên tố cùng nhau.
4/ Cách xác định số lượng ước của một số:
1- Nếu số M phân tích ra thừa số nguyên tố được m=a
x
.b
y
…c
z
thì số lượng các ước
của M là: (x+1)(y+1)…(z+1).
2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố,số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên
tố với số mũ chẵn.Từ đó suy ra:
Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 2
2
Số chính phương chia hết cho 2
3
thì chia hết cho 2
4
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 3
2
Số chính phương chia hết cho 3
3
thì chia hết cho 3
4
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 5
2
3-Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố:

Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a:p hoăc b:p
Bài tập 22:
Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng là 601
Giải: Tổng của hai số nguyên tố là 601,là một số lẻ nên một trong hai sốphải là số
nguyên tố chẵn,đó là số 2.Số thứ 2 là:601-2=599(tra bảng thấy 599 là số nguyên tố)
Bài tập 23:
Cho A=5+52+53+…+5100
a/SốA là số nguyên tố hay hợp số?
b/Số A có phải là số chính phương không?
Giải
a/A>5;A:5(vì mỗi hạng tử đều chia hết cho 5) nên A là hợp số.
b/5
2
:25 nên5
3
:25,…,5
100
:25
nhưng 5/25 nên A/25
Số A:5 nhưngA/25 nên A không phải là số chính phương
Bài tập 24:
Số 54 có bao nhiêu ước?Viết tất cả các ước của nó
Giải: 54=2.3
3
Số ước của 54 là(1+1)(3+1)=8 ước
5/ Một số bài toán tổng hợp:
8
Bài tập 25:
Gọi d(N) là số ươcù của N tìm tất cả số N sau cho N/d( N) =p với p là số nguyên
tố(lưu ý: cá số 1 vàN được coi là ước của N).

Giải: Giả sử q là ước của N. Hiển nhiên nếu q không chia hết cho p thì q thi 2 cũng
là ước của d(N), trong trường hợp trái lại q/p là ước của d(N) . Suy ra d(N) <=2d(d(n)).
Đặt d(N) =b. vì b không thể chia hết cho số c >b/2 (trừ c= b) nên từ bất đẳng thức
d(b) >b/2 suy ra b chia hết cho tất cả các số nhỏ hơn b/2.
Suy ra b ∈(12, 8 ,6, 4 ,3, 2,) và N=pb. Vậy chỉ còn chọn ra số có dang pb.
Bài tập 26:
Chứng minh rằng phân số , n ∈ N là một phân số tối giản.
Giải: Ta có thể viết:
2n+5= (n+2) +(n+3)
n
2
+5n +6 = (n+2) +(n+3)
(n+2) và (n+3) là hai số tự nhiên liên tiếp nên nguyên tố cùng nhau.
Theo bài 55, ta suy ra tổng của chúng:
2n+5= (n+2) +(n+3) và tích của chúng n
2
+5n +6 = (n+2) +(n+3)
là hai số nguyên tố cùng nhau.
Do đó phân số tối giản.
Bài tập 27:
Cho a=;n ∈N, n >3. Định m để a là một số nguyên tố.
Giải: Ta có : 2n -5 và 2 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Suy ra: a ∈ N⇔2a ∈N
Ta có 2a===1+
Vì 2a là số tự nhiên nên ta có : 2n-5|21
=>2n -5 =1, 3, 7, 21
+Với 2n-5= 1, ta có :n=3 => a=11, nguyên tố
+Với 2n-5=3, ta có :n=4 => a=4, hợp số
+Với 2n-5= 7, ta có :n=6 => a=2, nguyên tố
+Với 2n-5= 21, ta có :n=13 => a=1, không nguyên tố

Vậy :Giá trị tự nhiên phải tìm để cho a là một số nguyên tố là:
n=3 hoặc n=6
Bài tập 28:
Tìm tất cả các giá trị của số tự nhiên n để phân số sau tối giản: , n ∈N, n >3
Giải: Để cho phân số tối giản thì (2n-5) và( n+8) phải nguyên tố cùng nhau.
Giả sử d là một ước số chung nguyên tố của 2n-5 và n+8 ø .
D|2n -5 (1)
D|2+8 (2)
Ta có
(2) =>d|2(n+8)=2n + 16 =(2n-5)+ 21 (3)
(1) và (3) => d|21
=>d=1; 3; 7; 21
D nguyên tố => d=3 hoặc d=7
9
Muốn phân số đã cho là phân số tối giản thì ( n+8) không được chia hết cho 3 và 7.
Do đó ta có : n ≠3k+1, n≠7m -1
với k,m là các số tự nhiên và k >1, m>1
vậy: các giá trị của n phải tìm là: n≠3k+1, n≠7m-1 với n ∈ N , n > 3
Bài tập 29:
Cho phân số tối giản. Hỏi các phân số và có tối giản hay không
Giải: Xem phân số
Giả sử phân số không phải là phân số tối giản.Ta suy ra a và a+b là một ước chung
nguyên tố d, a:d, a+b:d
⇒b:d
⇒a vàb có một ước chung nguyên tố d
Do đó phân số không tối giản
Điều này vô lí trái với giả thiết
Vậy:Nếu là phân số tối giản thì cũng là một phân số tối giản
*Xem phân số
giả sử phân số khong phải là phân số tối giản

ta suy ra a và ab+b=(a+1)b co mot ước chung nguyên tố d
a:d (1)
(a+1)b:d (2)
Vì a và a+1 là hai số tự nhiên liên tiếp nen nguyên tố cùng nhau
Ta có:a:d⇒a+1/d
(2)⇒b:d
Từ(1) và(3) suy ra phân số không phải là phân số tối giản,vô lí
Vậy:nếu tối giản thì tối giản
Bài 30: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn
hay số lẻ.
HD:
Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn duy nhất là 2, còn 24
số nguyên tố còn lại là số lẻ. Do đó tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn.
Bài 31: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong ba số
nguyên tố đó.
HD:
Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại ít nhất
một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất.
Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2.
Bài 32: Tổng của 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không? Vì sao?
HD:
10
Vì tổng của 2 số nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số nguyên tố đó tồn tại 1 số nguyên tố
chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. Do đó số nguyên tố còn lại là 2001. Do 2001
chia hết cho 3 và 2001 > 3. Suy ra 2001 không phải là số nguyên tố.
Bài 33: Tìm số nguyên tố p, sao cho p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.
HD:
Giả sử p là số nguyên tố.
- Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 4 = 6 đều không phải là số nguyên tố.
- Nếu p

≥
3 thì số nguyên tố p có 1 trong 3 dạng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k
∈
N*.
+) Nếu p = 3k
⇒
p = 3
⇒
p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố.
+) Nếu p = 3k +1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1)
⇒
p + 2
M
3 và p + 2 > 3. Do đó
p + 2 là hợp số.
+) Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2)
⇒
p + 4
M
3 và p + 4 > 3. Do đó
p + 4 là hợp số.
Vậy với p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.
Bài 34: Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 8 là hợp số.
HD:
Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2 với k
∈
N*.
- Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2)
⇒
p + 4

M
3 và p + 4 > 3. Do đó
p + 4 là hợp số ( Trái với đề bài p + 4 là số nguyên tố).
- Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3)
⇒
p + 8
M
3 và p + 8 > 3. Do đó
p + 8 là hợp số.
Vậy số nguyên tố p có dạng: p = 3k + 1 thì p + 8 là hợp số.
Bài 35: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n + 1 hoặc 4n – 1.
HD:
Mỗi số tự nhiên n khi chia cho 4 có thể có 1 trong các số dư: 0; 1; 2; 3. Do đó mọi số tự
nhiên n đều có thể viết được dưới 1 trong 4 dạng: 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3
với k
∈
N*.
- Nếu n = 4k
⇒
n
M
4
⇒
n là hợp số.
- Nếu n = 4k + 2
⇒
n
M
2
⇒

n là hợp số.
Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4k + 1 hoặc 4k – 1. Hay mọi số nguyên tố
lớn hơn 2 đều có dạng 4n + 1 hoặc 4n – 1 với n
∈
N*.
Bài 36: Tìm ssó nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu
của hai số nguyên tố.
HD:
Bài 37: Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: x
2
– 6y
2
= 1.
HD:
11
¶ sö a, b, c, d, e lµ c¸c sè nguyªn tè vµ d > e.
Theo bµi ra: a = b + c = d - e (*).
Tõ (*) a > 2 a lµ sè nguyªn tè lÎ.
b + c vµ d - e lµ sè lÎ.
Do b, d lµ c¸c sè nguyªn tè b, d lµ sè lÎ c, e
Gi
⇒ ⇒
⇒
⇒ ⇒
lµ sè ch½n.
c = e = 2 (do c, e lµ c¸c sè nguyªn tè).
a = b + 2 = d - 2 d = b + 4.
VËy ta cÇn t×m sè nguyªn tè b sao cho b + 2 vµ b + 4 còng lµ c¸c sè nguyªn tè.
⇒
⇒ ⇒

2 2 2 2 2
2
2 2
2
ã: x 6 1 1 6 ( 1)( 1) 6
6 2 ( 1)( 1) 2
µ x - 1 + x + 1 = 2x x - 1 vµ x + 1 cã cïng tÝnh ch½n lÎ.
x - 1 vµ x + 1 lµ hai sè ch½n liªn tiÕp
( 1)( 1) 8 6 8 3 4
2 2 2 5
Ta c y x y x x y
Do y x x
M
x x y y
y y y x
− = ⇒ − = ⇒ − + =
⇒ − +
⇒
⇒
⇒ − + ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ =
M M
M M M
M M
Bài 38: Cho p và p + 2 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 1
M
6.
HD:
Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2 với k
∈

N*.
- Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1)
⇒
p + 2
M
3 và p + 2 > 3. Do đó
p + 2 là hợp số ( Trái với đề bài p + 2 là số nguyên tố).
- Nếu p = 3k + 2 thì p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) (1).
Do p là số nguyên tố và p > 3
⇒
p lẻ
⇒
k lẻ
⇒
k + 1 chẵn
⇒
k + 1
M
2 (2)
Từ (1) và (2)
⇒
p + 1
M
6.
6/ Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
a) p + 2 và p + 10.
b) p + 10 và p + 20.
c) p + 10 và p + 14.
d) p + 14 và p + 20.

e) p + 2và p + 8.
f) p + 2 và p + 14.
g) p + 4 và p + 10.
h) p + 8 và p + 10.
Bài 2: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
a) p + 2, p + 8, p + 12, p + 14.
b) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14.
c) p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.
d) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.
e) p + 6, p + 12, p + 18, p + 24.
12
f) p + 18, p + 24, p + 26, p + 32.
g) p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16.
Bài 3:
a) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 8 là hợp số.
b) Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 4p + 1 là hợp số.
c) Cho p và 10p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 5p + 1 là hợp số.
d) Cho p và p + 8 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 4 là hợp số.
e) Cho p và 4p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 2p + 1 là hợp số.
f) Cho p và 5p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 10p + 1 là hợp số.
g) Cho p và 8p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p - 1 là hợp số.
h) Cho p và 8p - 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p + 1 là hợp số.
i) Cho p và 8p
2
- 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p
2
+ 1 là hợp số.
j) Cho p và 8p
2
+ 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p

2
- 1 là hợp số.
Bài 4: Chứng minh rằng:
a) Nếu p và q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì p
2
– q
2

M
24.
b) Nếu a, a + k, a + 2k (a, k
∈
N
*
) là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k
M
6.
Bài 5:
a) Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm số dư r.
b) Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư r. Tìm số dư r biết rằng r không là số nguyên
tố.
Bài 6: Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp. Chứng
minh rằng một số tự nhiên lớn hơn 3 nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6.
Bài 7: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trước là d đơn vị. Chứng
minh rằng d chia hết cho 6.
Bài 8: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta
được một số là lập phương của một số tự nhiên.
Bài 9: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị, chữ số
hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết được dưới dạng tích của 3 số nguyên tố
liên tiếp.

Bài 10: Tìm 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp đều là các số nguyên tố.
Bài 11: Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p
2
+ q
2
+ r
2
cũng là số nguyên tố.
Bài 12: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho a.b.c < a.b + b.c + c.a.
Bài 13: Tìm 3 số nguyên tố p, q, r sao cho p
q
+ q
p
= r.
Bài 14: Tìm các số nguyên tố x, y, z thoả mãn x
y
+ 1 = z.
Bài 15: Tìm số nguyên tố
2
, µ c¸c sè nguyªn tè vµ b .abcd sao cho ab ac l cd b c= + −
Bài 16: Cho các số p = b
c
+ a, q = a
b
+ c, r = c
a
+ b (a, b, c
∈
N*) là các số nguyên tố.
Chứng minh rằng 3 số p, q, r có ít nhất hai số bằng nhau.

Bài 17: Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho:
a) x
2
– 12y
2
= 1.
b) 3x
2
+ 1 = 19y
2
.
c) 5x
2
– 11y
2
= 1.
d) 7x
2
– 3y
2
= 1.
13
e) 13x
2
– y
2
= 3.
f) x
2
= 8y + 1.

Bài 18: Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng.
Bài 19: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để p và 8p
2
+ 1 là các số nguyên tố là
p = 3.
Bài 20: Chứng minh rằng: Nếu a
2
– b
2
là một số nguyên tố thì a
2
– b
2
= a + b.
Bài 21: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6n + 1 hoặc
6n – 1.
Bài 22: Chứng minh rằng tổng bình phương của 3 số nguyên tố lớn hơn 3 không thể là
một số nguyên tố.
Bài 23: Cho số tự nhiên n
≥
2. Gọi p
1
, p
2
, , p
n
là những số nguyên tố sao cho
p
n

≤
n + 1. Đặt A = p
1
.p
2
p
n
. Chứng minh rằng trong dãy số các số tự nhiên liên tiếp: A
+ 2, A + 3, , A + (n + 1). Không chứa một số nguyên tố nào.
Bài 24: Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố thì 2.3.4 (p – 3)(p – 2) - 1
M
p.
Bài 25: Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố thì 2.3.4 (p – 2)(p – 1) + 1
M
p.
C/ Dạy các dạng bài toán về số nguyên tố cho HS:
Trên đây là một số dạng toán liên quan đến số nguyên tố. Tuy nhiên tiến hành dạy
các dạng toán này cho HS lại là một vấn đề cần quan tâm. Theo qui định của chương trình
thì không có thời gian để dạy hết các dạng toán trên được. Vì vậy các dạng toán về số
nguyên tố chỉ được dạy cho HS trong các tiết bồi dưỡng HSG.
V/ KẾT QUẢ:
Qua việc áp dụng dạy các dạng toán về số nguyên tố như trên trong những năm gần
đây bản thân tôi nhận thấy đã đem lại kết quả khá tốt.
Đa số HS nắm được các dạng toán về số nguyên tố.
HS biết vận dụng thành thạo để giải được các bài toán tương tự như đã học
Do các dạng toán về số nguyên tố HS chủ yếu gặp phải khi đi thi HSG. Lại có khi
nhiều năm không ra dạng toán này nên kết quả của đề yài vẫn chưa được thống kê bằng
con số cụ thể hơn!
Kết quả trên đây cũng chỉ là rất khiêm tốn nhưng cũng minh chứng được cho tính
hiệu quả của đề tài này.

Nhưng dù sao tôi cũng nghĩ rằng kết quả thi HSG toán không chỉ phụ thuộc vào
người thầy vào đề tài này mà còn phụ thuộc rất nhiều yếu tố khác nữa.
VI/ KẾT LUẬN:
Với kinh nghiệm trong giảng dạy và tìm tòi nghiên cứu cũng như áp dụng tôi thấy
rằng việc hướng dẫn HS các dạng toán về số nguyên tố như trên đã đem lại hiệu quả nhất
định, góp phần nâng cao chất lượng đăc biệt là chất lượng HSG. Đại đa số HS nắm được
các dạng toán một cách hệ thống, khoa học, biết đối chiếu so sánh, nhận dạng và biết vận
dụng một cách sáng tạo vào các bài tập.
14
Với thời gian ngắn ngủi và kinh nghiệm chưa nhiều chắc rằng tài liệu này còn có
nhiều thiếu sót, hạn chế rất mong các thầy cô giáo, học sinh cùng bạn đọc góp ý kiến phê
bình.
Chân thành cảm ơn !
Đại Lộc, ngày 01/03/2014
Người viết: Nguyễn Mính
(GV tổ Toán-Lí-Tin trường THCS Quang Trung).

15